安徽省六校2024-2025学年高三下学期2月素质检测考试数学试题+答案

安徽六校2025年春季素质检测考试命题单位：湖北省黄冈中学审稿单位：重庆市南开中学1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={yly=√2-3x},3.已知单位圆0上有两点A,B,,设向量a=nOA+OB,b=OA+OB,若a|+b|=√3,则实数n的值为A.-1B.-24.现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，7.已知椭圆的上顶点为A,左、右焦点分别为F₁,F₂,连接AF₂并延长交椭圆C于另一点B,若IF₁BI:IABI=5:7,则椭圆C的离心率为3亿人都在用的扫描App3亿人都在用的扫描App8.已知可导函数f(x)的定义域为R,且有f(x)-f(4-x)=4x-8,设g(x)是f(x)的导函数，若g(x+1)为A.2025B.2026C.4050D.49.已知函,则下列说法正确的是10.对于函数y=f(x),如果对于其定义域D中任意给定的实数x,都有-x∈D,并且f(x)·f(-x)=2,则称若H(x₁)+H(x₂)>0,则x₁+x₂>011.我国知名品牌小米公司的Logo具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线C:A.对任意的n∈R且n≠0,曲线C总关于x轴和y轴对称13.设函数f(x)=In(4-x)+Inx+ax(a>0),若f(x)在[1,2]上的最大值恒大于4,则实数a的取值范围3亿人都在用的扫描App15.(13分)已知函数f(x)=xlnx-ax.(1)当a=0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≤x²+2恒成立，求实数a的取值范围.16.(15分)如图所示，半圆柱的轴截面为平面BCC₁B₁,BC是圆柱底面的直径，0为底面圆心，A4,为一条母线，点E在棱CC₁上，且CE=ACC₁,0<λ<1,且AB=AC=AA₁=4.(2)当时，求平面AB₁E与平面B₁OE夹角的余弦值.17.(15分)投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3,4,5,6时得2分；独立地重复(1)设投掷2次骰子，最终得分为X,求随机变量X的分布列与期望；3亿人都在用的扫描App18.(17分)已知双曲线的右顶点E(1,0),斜率为1的直线交C于M、N两点，且MN中点Q(1,3).(1)求双曲线C的方程；(2)证明：△MEN为直角三角形；(3)经过点T(0,2)且斜率不为零的直线l与双曲线C的两支分别交于点A,B.若点D是点B关于y轴的对称点，试问，不论直线l的斜率如何变化，直线AD是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由.19.(17分)设各项互不相同的正整数数列a₁,a₂,…,an满足：对任意的1≤i≤n-2,都有2a:+1>a₁+ai+2·(1)若{aa}(1≤n≤10)为递减的正整数数列，求a₁的最小值；(2)对于给定的n,设am是正整数数列a₁,a₂,…,a。的最大项；(i)当n为奇数时，求证：正整数数列a₁,a₂,…,a。的最大项的最小值为数学试题第4页(共4页)安徽六校2025年春季素质检测考试数学试题参考答案题号123456789选项ADBCBCCD1.A【解析】巾2-3x≥0,得到,所以y=√2-3x的值域为[0,+c∞],因为y=log₃(1-2x)的定义域所以1a+bI²=(nOA+OB+OA+OB)²=[(n+1)OA+2OB]²,再让3个小组分别前往不同的养老院，因此共有安排方法15×A³=90(种).有C²=6(种),最后安排3号养老院，有C²2=1(种),根据分步乘法计数原理，因此共有安排方法15×6×1=90(种).6.C【解析】当这个小正方休可以在大正四面体内部任意转动且小正方休的棱长最所以底面三角形BCD的高为,则X设正四面体ABCD内切球的半径为R,球心为0.所以正四面体的内切球的半径因为正方体的棱长为a,所以正方体的外接球的半径,因此8.1【解析】∵f(x)-f(4-x)=4x-8,∴两边求导得f'(x)+f'(4-x)=4,∴g(x)+g(4-x)=4,可知g(x)关于点(2,2)对称，由g(x)+g(4-x)=4,可得g(x)=4-g(4-x),因此g(2-x)=4-g(4-x),可得g(x)=4-g(x+2),即g(x)=4-[4-g(x+2+2)]=g(x+4),可知4为g(x)的周期，函数f(x)的最小正周期,故A正确；对于B,因为,而函数I不单调，对于C,出,得,不可能取到,故C错误；故D正确.对于C,当x<0时，-x>0,,故C正确；任取m、n∈RHm>n,则-m<-n,所以f(m)<f(n),f(-m)>f(-n),所以H(m)-H(n)=[f(-m)-f(m)]-[f(-n)-f(n)]因为H(-x)=f(x)-f(-x)=-H(x),故函数H(x)为R上的奇函数，11.ABD【解析】对丁A,取曲线C上点P(x,y),则(x,-y),(-x,y)在曲线C上，故曲线C总关丁故曲线C上的点到原点的距离最小值为2,故B正确；所以y=2或y=-2,所以曲线C与y轴有2个交点，当y=0时，Ixl”=1,lxl=1,得x=1或x=-1,所以曲线C与x轴有2个交点，对于D,当a=b=1,时，由x²+y²=(x³³+(y³=(x³+y³)L(x³+y)²-3(xy)³」=,当且仅当Ixl=Iyl时等号成立，故曲线C上的点到原点的距离最小值为,故D正确.两式相除得q²=4,则q=2,所以4【解析】f(x)=In(4-x)+Inx+ax(a>0)的定义域为∴f(x)在[1,2]I单调递增，故f(x)在[1,2]上的最大值为ʃ(2)=2In2+2a>4,即a>2-In2可得B点的轨迹方程为|,设,BC=a,【解析】(1)∵函数ʃ(x)=xlnx的定义域是(0,+∞),ʃ'(x)=Inx+1.……………1分令f'(x)>0,得Inx+1>0,解得∴f(x)的单调递增区间是.………4分综上，f(x)的单调递减区问是,单调递增区问是…………………5分(2)∵任意x∈(0,+∞),f(x)≤x²+2,∵x>0,∴在x∈(0,+∞)上恒成立.………………8分,贝令h'(x)=0,得x₁=2,x₂=-1(舍去).(1)证明见解析出圆柱的特征可知BB₁⊥平而ABC,乂40C平而ABC,所以BB₁⊥40,因为BB₁∩BC=B,BB₁,BCC平而BCC₁B₁,则401平而BCC₁B₁,3分因为AB=AC=AA₁=4,则BC=√2AB=4√所以B₁O²=B₁B²+BO²=24,OE²=OC²+CE²=12,因为B₁O⊥OE,AO⊥OE,AO∩B₁O=0,AO,B₁OC平面AB₁0,所以OE⊥平而AB₁0,乂AB₁C平而AB₁0,故OE⊥AB₁.………………7分(2)出题意及(1)易知AA₁,AB,AC两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系4-xyz,则B₁(4,0,4),E(0,4,1),0(2,2,0),所以AB₁=(4,0,4),AE由(1)知A01平面B₁OE,故平面B₁OE的一个法向量是AO=(2,2,0),9分设π=(x,y,z)是平面AB₁E的一个法向量，则有.,取z=-4,可得π=(4,1,-4)………12分设平面AB₁E与平面B₁OE夹角为θ,则平而AB₁E与平而B₁OE夹角的余弦值……………………15分【解析】(1)X的可能取值为2,3,4,………………………1分………4分………5分数学期望…………7分(2)由题意知……………9分,H当n=1时，上式也成立，…………综上：.……………15分(2)证明见解析(3)定点坐标……………3分∴双曲线C的方程为：…………………5分联立=(x₁-1)(x₂-1)+(x₁+2∴EM⊥EN,∴△EMN为直角三角形；………10分(3)设l方程为y=kx+2,k≠0,联立直线l与C的方程，消去y得(3-k²)x………巾对称性可知，若直线AD过定点，则定点在y轴上所以直线AD过定点，定点坐标为…………17分时等号成立………………4分若d₁,d2₂,…,dₙ_1中同时有1和此时，am-am-1=1,am+1-am=-1,所以am+1=am-1,矛盾.故d₁,d₂,…,dn_1中不同时出现1和-1.…………………若dm-1≥2,则am-am-1=dm-1≥2……………8分(n-m+1).故an-am≤-2-3-…-(n-m+1),即即和总右一个成立.……10分……………………………12分此时,取a₁=1.……………13分