(第1课时)等比数列的概念课件-高二上学期数学人教A版选择性

第四章

数列4.3.1等比数列的概念学习目标学科素养1.通过实例，理解等比数列的概念.(重点)2.掌握等比中项的概念并会应用.(重点)3.掌握等比数列的通项公式及其应用，并了解其推导过程.(重点)4.理解等比数列通项公式与函数的关系.(难点)5.能利用等比数列的定义等方法判定与证明等比数列.(重点)数学抽象逻辑推理数学运算人教A版2019选择性必修第二册第1课时

等比数列的概念及通项公式1.等差数列定义：an-an-1=d（n≥2，n∈N*）或

an+1-an=d

(n∈N*)

3.通项公式：an

=a1+(n-1)d.

通项公式的一般形式：an=am+(n－m)d.

等差数列与一次函数：an=dn+a1-d=

kn+b，其中k=d.4.等差数列的函数特征：等差数列对应图象上所有的点在同一条直线上：d＝0,等差数列为常数列；d＜0,等差数列单调递减；d＞0,等差数列单调递增.

复习导入5.判定等差数列常用的方法(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列复习导入与等比数列有关的数的设项技巧：

6.对称设项法求解等比数列探究新知

我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数"，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？请看以下几个实例中的数列，思考它们有何共同特征？实例1：两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:9,92,93,‧‧‧,9l0

;①100,1002,1003,‧‧‧,10010

;②5,52,53,‧‧‧,5l0.③探究新知

探究新知实例3:在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：2，4，8，16，32，64，…

⑤细菌个数第一次第二次第三次24第n次……分裂次数8

实例4:某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是：a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5

⑥复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.探究新知问题1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？

取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9．共同规律：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.

公比通常用字母

表示().q≠0探究新知问题2：类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？等差数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母d表示.an-an-1=d(n≥2,n∈N*).或an+1-an=d(n∈N*).符号语言：

如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数，那么这个数列就叫做_________.常数叫做等比数列的_____.二比同等比数列公比等比数列符号语言：q判定等比数列常用的方法：探究新知概念辨析1：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？概念辨析2：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？概念辨析3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？常数列一定是等差数列，公差为0.②非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差d=0，公比q=1.等差数列的项、公差均可以是0.等比数列的项和公比均不可以是0非零常数列是等比数列，公比为1.探究新知1.判断下列数列是否是等比数列.如果是，写出它的公比.(5)

0,1,2,4,8,…(6)

2,0,2,0,2,…(7)

1,a2,a4,a6,…a≠0时，是等比数列，公比为a2a=0时，不是等比数列教材P31(所有的奇数项同号，所有的偶数项同号，但奇偶项异号)探究新知问题3:类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？等差中项

如果三个数a,A,b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项.

等比中项

如果三个数a,G,b组成

，那么G叫做a和b的

.等比数列等比中项追问：任意两个实数a，b都有等比中项吗？

若a，b异号则无等比中项.若a，b同号(且a≠0，b≠0)则有两个等比中项.A－a＝b－A2A＝a＋b.a,G,b成等比数列(互为相反数)探究新知问题4:怎样利用等比中项来判断数列{an}为等比数列？{an}为等比数列{an}为等比数列判定等比数列常用的方法：练习1.在等比数列{an}中，a1=1，a3=4，则a2=

.

±2探究新知

方法1：由等比数列的定义,得∴

a2=a1qa3=a2q

=a1q2a4=a3q=a1q3‧‧‧‧‧‧∴an=a1qn-1

(n≥2).∴首项为a1,

公比为q的等比数列{an}的通项公式为：追问：还有其它方法推导吗？问题5：若一个等比数列{an},它的首项为a1,公比是q，那么这个数列的通项公式是什么？又∵当n=1时，上式也成立.∴

an=a1qn-1不完全归纳法或迭代法探究新知追问：还有其它方法推导吗？回顾等差数列通项公式的推导方法.方法2：设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,根据等比数列的定义,得…n-1个又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.

累乘法

累加法……等差数列类比探究新知等比数列的通项公式首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为:等比数列{an}的通项公式的一般形式：a1、q、n、an中知三求一探究新知例1

若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.法一：教材P29①②②的两边分别除以①的两边，得

，则

通项公式法探究新知探究新知例1

若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.教材P29法二：

所以等比中项法2.已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处

填入适当的数.a1a3a5a7q

探究新知教材P313.在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝60.求a1和公比q.探究新知教材P313.在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝60.求a1和公比q.探究新知问题6：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？(一次与指数函数的复合函数)l(指数型函数)当x＝n

(n∈N*)时的函数值，即an＝f(n).当q＞0且q≠1时，an是指数型函数探究新知

∴数列{kan}是以ka为首项，a为公比的等比数列.∴f(1)＝ka，f(2)＝ka2，...，f(n)＝kan，...

指数式的底数即为公比q,可以直接从通项公式看出公比q的值.探究新知a1a1>0a1<0q=1q0<q<1q>10<q<1q>1追问1：类比指数函数的性质，判断公比q>0的等比数列的单调性？增减减减减增增增增增减减追问2：当公比q<0，等比数列的单调性？当q<0时,等比数列的各项符号正负交替，但所有的奇数项(或偶数项)的符号相同.等比数列为摆动数列.不变不变不变探究新知公比q可以是正数、负数，不可为0.当q

>0时,等比数列的各项符号相同.当q<0时,等比数列的各项符号正负交替，但所有的奇数项(或偶数项)的符号相同.等比数列为摆动数列.当0＜q＜1，a1＞0时,等比数列为递减数列;

a1＜0时,等比数列为递增数列;当

q＞1，a1＞0时,等比数列为递增数列;

a1＜0时,等比数列为递减数列;当q＝1时,等比数列为非零常数列.根据公比q取值，判断等比数列的单调性：探究新知∴等比数列{an}的图象是指数型函数

图象上一群孤立的点.解

析探究新知探究新知

注意设法探究新知例3数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,

第1项与第5项的和等于132.

求这个数列.解：教材P30

探究新知对称设项法求解等比数列与等差数列有关的数的设项技巧：(1)如果是三个数成等差数列，可设为a－d,a,a+d或a,a+d,a+2d.(2)如果是四个数成等差数列，可设为a－2d,a－d,a+d,a+2d或

a,a+d,a+2d,a+3d.与等比数列有关的数的设项技巧：

探究新知4.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，求这个等比数列的首项和公比．教材P37练习5.三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．探究新知探究新知教材P32等比数列的判定与证明结论：探究新知教材P32等比数列的判定与证明结论：探究新知等比数列的判定与