高中数学建模大赛真题及答案2025

高中数学建模大赛真题及答案2025

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.某工厂生产A、B两种产品，A需原料1kg/件，B需2kg/件，原料总量50kg；A利润200元/件，B利润300元/件，求最大利润时的产量组合（整数解）是？A.(25,0)B.(0,25)C.(10,20)D.(20,15)2.某城市人口年增长率r，2020年100万，2025年120万，r≈？A.0.037B.0.042C.0.051D.0.0633.某班身高均值165cm，方差10，每个学生身高加5cm，新方差是？A.0B.10C.15D.254.销量y与广告x（万元）关系为y=50x-0.5x²，边际利润最大时的x是？A.25B.50C.100D.无最大值5.交通路口红灯绿灯时间均为t秒，黄灯3秒，最优t满足？A.t=30B.与车流量成正比C.等待时间最短D.黄灯=红灯时间6.作物产量y与施肥x（kg/亩）关系为y=100x-2x²+500，最大产量时x=？A.25B.50C.100D.2007.次品率p=0.01v+0.0001v²（v为生产速度），每件次品损失10元，利润5元/件，最优v=？A.25B.50C.100D.1508.河流流量Q与降雨量x关系为Q=ax+b，2023年x=100时Q=50，2024年x=120时Q=60，x=150时Q=？A.75B.80C.85D.909.游戏得分y=100t-0.1t³（t为时间），得分增长最快时t=？A.10B.20C.30D.4010.小区垃圾量y与分类参与率x（%）关系为y=20-0.1x，x=60%时y=？A.14B.16C.18D.20二、填空题（总共10题，每题2分）1.商品进价50元/件，售价100元时销量100件，售价每降1元销量加5件，设售价x元，每周利润函数为______2.共享单车需求d=2n-100，d=500时n=______3.工厂固定成本10000元，可变成本50元/件，售价100元/件，盈亏平衡点产量______件4.班级成绩众数85、中位数80，加入一个85分学生，新众数______5.汽车油耗y=0.01v²-0.5v+10，v=60时油耗______L/100km6.就诊人数y=50x+100（x为季节：1春、2夏、3秋、4冬），x=3时y=______7.企业年利润增长率10%，2020年1000万元，2025年利润约______万元8.需求Q=1000-2P，供给Q=3P-500，均衡价格P=______元9.投资100万元，年收益率8%复利，5年后本利和约______万元10.身高均值160cm、标准差5cm，随机选一人身高在155-165cm的概率约______三、判断题（总共10题，每题2分）1.线性规划最优解一定在可行域顶点上（）2.指数增长模型中变量随时间无限增长（）3.数据加常数后方差不变（）4.二次函数极值点是顶点横坐标（）5.线性回归斜率表示自变量每变1单位因变量的平均变化量（）6.盈亏平衡点是总成本等于总收益时的产量（）7.边际利润是利润函数的导数（）8.正态分布中均值和中位数相等（）9.复利本利和公式S=P(1+r)^n（）10.分类变量的众数一定唯一（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述“城市出租车计费问题”的数学建模思路2.如何用线性规划描述企业两种产品的产量优化问题3.统计建模中“拟合优度”的含义及作用4.如何用指数模型预测人口增长五、讨论题（总共4题，每题5分）1.城市共享单车停放点优化需考虑哪些因素？如何建立综合模型？2.学校食堂减少餐食浪费的数学建模思路3.电商“双11”销量预测可采用哪些模型？说明适用条件4.工厂生产排班优化（减少加班）的建模方法---答案与解析一、单项选择题答案1.C解析：约束x+2y≤50，目标200x+300y，代入得C利润7000元最大2.A解析：100(1+r)^5=120→r≈0.0373.B解析：方差与数据平移无关4.A解析：边际利润y’=50-x，导数为0时x=255.C解析：优化目标为最小化等待时间6.A解析：二次函数顶点x=-b/(2a)=100/4=257.B解析：利润=5v-10(0.01v+0.0001v²)v=5v-0.1v²-0.001v³，求导得v=508.A解析：代入得a=0.5，b=0，x=150时Q=759.A解析：增长速度为y’=100-0.3t²，导数为0时t=1010.A解析：y=20-0.160=14二、填空题答案1.(x-50)(600-5x)解析：销量=100+5(100-x)=600-5x，利润=（售价-进价）×销量2.300解析：500=2n-100→n=3003.200解析：100Q=10000+50Q→Q=2004.85解析：加入后85分出现次数最多5.16解析：0.01×3600-0.5×60+10=166.250解析：50×3+100=2507.1611解析：1000×(1.1)^5≈1610.51≈16118.300解析：1000-2P=3P-500→P=3009.146.93解析：100×(1.08)^5≈146.9310.68%解析：正态分布68-95-99.7规则，1σ范围内概率约68%三、判断题答案1.√解析：线性规划最优解性质2.√解析：无约束时指数增长无上限3.√解析：方差仅与数据离散程度有关4.√解析：二次函数顶点横坐标为极值点5.√解析：线性回归斜率的定义6.√解析：盈亏平衡点的定义7.√解析：边际利润的导数定义8.√解析：正态分布对称性9.√解析：复利公式的正确形式10.×解析：分类变量可能有多个众数（如成绩80和85均出现多次）四、简答题答案1.出租车计费建模思路：①确定计费规则：起步价n元（3km内），3km后每kmm元，夜间（22:00-6:00）加价p%；②变量定义：距离x（km），时间t（是否夜间，用0/1表示）；③建立函数：x≤3时，y=n；3<x≤10时，y=n+m(x-3)；x>10时，y=n+m(x-3)+0.5m(x-10)（超10km加50%）；夜间则乘以(1+p%)；④验证：代入实际数据调整参数。2.线性规划产量优化：①目标函数：设A产量x，B产量y，目标maxZ=ax+by（a、b为单位利润）；②约束条件：原料约束c1x+c2y≤C（c1、c2为单位原料消耗，C为总量）；工时约束d1x+d2y≤D（d1、d2为单位工时，D为总工时）；产量非负x≥0，y≥0；③求解：用顶点法或图解法找可行域顶点的最优解。3.拟合优度含义：拟合优度R²衡量统计模型对观测数据的拟合程度，取值[0,1]；作用：R²越接近1，模型解释数据变异的能力越强，可判断模型是否合适；若R²低，需考虑增加变量或换模型（如非线性模型）。4.指数模型人口预测：①假设：人口增长率r恒定，无迁移；②模型：y(t)=y0(1+r)^t（y0为初始人口，t为时间）；③步骤：用历史数据（如2020-2024年人口）估计r（r=(y(t)-y0)/(y0t)）；④验证：用2025年实际人口修正r，再预测未来人口；⑤注意：长期需考虑环境容量（修正为Logistic模型）。五、讨论题答案1.共享单车停放点优化：①考虑因素：人口密度（覆盖需求）、交通流量（通行效率）、已有停放点距离（避免重复）、建设成本（场地租赁）、政策限制（规划红线）；②模型：目标函数min（建设成本+用户步行距离成本）；约束：每个停放点覆盖半径内人口≥阈值、停放点数量≤规划上限、不占用消防通道；③方法：用整数线性规划，或启发式算法（如遗传算法）优化位置和数量，结合GIS数据可视化验证。2.食堂餐食浪费优化：①建模思路：①预测就餐人数：用时间序列模型（如ARIMA）预测每日/每餐人数（考虑节假日、天气）；②动态供应量：根据预测人数，结合餐食保质期（如米饭保质期1天，蔬菜2天），建立库存模型；③约束：营养均衡（蛋白质、热量达标）、成本控制（食材采购成本≤预算）、浪费率≤5%；④验证：对比优化前后浪费量，调整预测参数（如节假日修正系数）。3.双11销量预测模型：①线性回归：适用于销量与广告、历史销量线性相关，需数据平稳；②时间序列：ARIMA模型，适用于有季节性（如双11前销量增长）和趋势（逐年增长）；③指数平滑：Holt-Winters模型，适用于含趋势和季节性的短期预测；④机器学习：随机森林，适用于多变量（广告投入、竞品活动、用户基数）；⑤选择：若数据线性相关选线性回归，有季节趋势选ARIMA，多变量选随机森林，需交叉验证选最优模型。4.工厂排班优化（减