2026年中考数学复习几何综合压轴题突破：截长补短

专题1截长补短

解题要点剖析

截长补短，顾名思义就是把较长的线段截成两条线段或者延长较短的线段成为一条新的线段.如图1-1所示，

线段AB较短，线段CD较长.我们可以在线段CD上截取CE=AB,也可以延长线段AB到点F,使得AF=CD我们

可以看到，线段CD上的一点E,线段AB延长线上的一点F,其实描述的都是三条线段的数量关系，即AB+DE=

CD,或者AB+BF=CD.

C，---------C«--------------»DC---------

A*------*BA*-------*BA*J*F

图1-1

另外，在初中几何综合题中会经常出现一类问题，就是求三条线段的数量关系.而这一类问题大多可以借助上

述截长补短的方法来完成.具体地说，我们不妨设线段a,b,c中线段a最长，通常可以在线段a上截取一条线段

使之长度等于线段b,此时线段a上还剩下一条线段，接下来只需要考虑这段剩下的线段和线段c之间的数量关系

即可.我们也可以延长线段b,使延长的部分等于线段c,接下来只需要考虑延长之后的长线段与线段a的关系.

当然，在探索三条线段之间的数量关系时，既可能出现线段与线段之间的相等关系，又可能出现倍数关系，

比如0倍.此时，就需要构造或者寻找图形当中的等腰直角三角形其他的倍数关系也是同样的道理

经典考题解析

例1在△ABC中,NBAC=90。.

⑴如图1-2⑴所示，直线1是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线I的对称点A：连接A'C.A'B.A'

C与AB交于点E;

（2招图1-2⑴中的直线A'B沿着EC方向平移与直线EC交于点D.与直线BC交于点F,过点F作直线AB的

垂线，垂足为点H.

①如图122）所示，当点D在线段EC上时.请猜想线段FHQF.AC之间的数量关系，并证明；

②当点D在线段EC的延长线上时，直接写出线段FH,DF,AC之间的数量关系.

图1-2

思路分析除去画图问题不讲，我!门只看第⑵问①和②中的问题，都是判断三条线段之间的数量关系。遇到这

种问题，我们要尝试的方法就是截长补短。其中,由于线段AC是最长的线段，我们不妨从它入手进行截长。结

合NBAC=90。和FH±AB这样的条件，可以考虑过点F作AC的垂线段FG,从而构造出矩形AHFG,也就相当于

截取出AG=FHO接下来要考虑的问题就是最长线段AC被截取线段FH之后剩下的线段CG与第三条线段FD的关

系。

线段CG与线段FD是什么关系？如何来证明呢？问题转化为常见的两条线段之间的关系。

事实上,在构图过程中,我们可以知道EB=EC且DF始终与线^CE保持垂直关系，因此可以证明△DFC与

△GCF全等，进而证明DF-GC,问题得解。

对于点D在EC延长线上的情况，首先要做的是按照题目要求准确画出图象。此时我们会发现，FH,FD和C

A三条线段中,FH是最长线段。因此，结论一定发生变化，但是方法可以借鉴。如图3所示,矩形依然存在，只

需要证明仆DCF与△GCF全等即可。

规范解答

解：⑴正确画出图形，如图1-3⑴所示。

(2)©DF+FH=CA.

证明：过点F作FG_LCA于点G如图1-3(2)所示.

•・・FH_LBA于点H,ZA=90°,FG1CA,

・•・西边形HFGA为矩形.

AFH=AG,FG〃AB.

AZGFC=ZEBC.

由⑴和平移，可知

ZECB=ZEBC=ZGFC,

ZFDC=ZA=90°.

.\ZFDC=ZFGC=90o.

VCF=FC,

AAFGC^ACDF.

ACG=FD.

・•・DF+FH=GC+AG.即DF+FH=AC.

②过点C作HF的垂线，垂足为点G.如图1-3(3)所示,FH-DF=CA.

题后反思由此可见，适合截长补短的题型相对来说t匕较典型.但是需要注意的是，怎么截长’?七靠近哪个端点

附近截长?补短也是同样的道理.因此，方法虽然简单，但是具体问题中要依据条件和图形的结构，在充分分析之后

才可能获取正确方法.

另外，一般来讲，对于这样的问题，截长可行，补短也可行.但是，或许其中的某一种方法更为简单，因此，

充分分析，合理选择.

例2?£△ABC中,AB-AC,点P是三角形右外侧一点,且2APB-NABC.

⑴如图1-4⑴所示若/BAC=60。点P恰巧在NABC的平分线上PA=2.求PB的长；

⑵如图1-4⑵所示若NBAC=60。探究PA,PB,PC的数量关系,并证明；

⑶如图1-4⑶所示，若NBAO120。,请直接写出PA.PBFC的数量关系.

思路分析第⑴问的条件比较充分，我们可以知道△ABP为直角三角形，利用30的条件就可以求出PB的长.

对于第⑵问，注意到题目要解决的问题是三条线段之间的数量关系.此时，我们就要考虑能否利用截长补短的

方法.其中，线段PB是最长线段，怎样把它截长呢?是靠近点P还是靠近点B?经过思考还拿不准的问题，动手尝试

是必须要做的事情.

如果截取PD二PA.因为NAPB=NABC=60。.所以可以证明△APD为等边三角形.当图形中出现了两个有所重音

的等边三角形时，全等就会出现.接下来就只需要证明^APC与△ADB全等.第⑵问中.我们实际上阎造了PD=PA

以及BD=PC对于第⑶问，PD=PA以及BD=PC显然不能同时成立.这说明结论必定发生变化.

反思第⑵问、可以了解到，全等的理由是CA=CB,ZPAC=ZBAD以及AD二AP.对于第⑶问,我们是否仍然可以

借鉴呢?从这个角度出发，可以在BP上截取BD=PC,进而分析PD与PA的数量关系.

规范解答®:(l)VAB=AC,ZBAC=60%

.•.△ABC是等边三角形.

VZAPB=ZABC,

AZAPB=60°.

又.••点P恰巧在NABC的平分线上，

/.ZABP=30°.

/.ZPAB=90°,

；・BP=2AP.

；AP=2,

:.BP=4.

(2)结论:PA+PC=PB.

证明:如图1-5所示在BP上截取PD.使PD=PA.连接AD.

VZAPB=60°,

•••△ADP是等边三角形.

AZDAP=60o.

/.Z1=Z2,PA=DA.

XVAB=AC,

/.△ABD^AACP,

r.PC=DB.

・•・PA+PC=PD+BD=PB.

(3偿论:6PA+PC=PB.

题后反思需要注意的问题是，第⑶问中三条线段的关系中出现了V5倍的关系.一旦出现这种情况，题目难度

就会上升但也不必恐慌,因为解决问题的基本策略不会变化，依然是截长补短.要做的事情有两点：第一，勇于尝

试，如果行不通，及时回到原点从头来过.第二，要把常见的情形进行了解，如果有等腰直角三角形，那么有可能

存在0倍关系，如果出现含120。的等腰三角形，那么就可能出现6倍关系.

例3在^ABC中,NABC=452AB丈BC,BEJ_AC,垂足为点E,AD1BC垂足为点D.

(1)如图1-6⑴所示作NADB的角平分线DF交BE于点F.连接AF.求证:NFAB二NFBA;

(2)如图1-6⑵所示.连接DE.点G与点D关于直线AC对称，连接DG.EG.

①依据题意补全图形；

②用等式表示线段AE,BE,DG之间的数量关系，并加以证明.

思路分析当/ABO45。和AD1BC两个条件同时出现时，△ADB就是等腰直角三角形.再加上DF平分NAD

B.可以证明仆ADF-^ABDF全等.进而可以证明NFAB=/FBA.

对于第⑵问，当我们把图作出来之后，在判断三条线段的数量关系时，还要想到截长补短的方法.其中，BE

是最长的线段，我们应该把BE截成两段，一段与AE有关系，另一段与DG有关系.再结合AD=BD.的条件,当我

们把AD和AE放在一起,即放到△ADE中考虑的时候，就会有思路.这个思路就是可以构造一个与前者全等的二

角形，且一边为BD,另一边在BE上，它当然还要和BH相等.沿着这个思路，我们可以作辅助线并寻求进一步的

证明.

规范解答证明:⑴:ADJ_BC,NABC=45。,

/.ZBAD=45°.

AAD=BD.

•・，DF平分/ADB,

/.ZADF=ZBDF.

在AADFfQABDF中，

AD=BD,

□{口力

DF=DF、

/.△ADF^ABDF.

••・AF=BF.

AZFAB=ZFBA.

(2XD补全图形如图1-7所示.

②数量关系:GD+AE=BE.

过点D作DHJ_DE交BE于点H,

AZADE+ZADH=90°.

VAD±BC,

AZBDH+ZADH=90°.

AZADE=ZBDH.

VAD1BC,BE±AC,ZAKE=ZBKD,

/.ZDAE=ZDBH.

在AADEBDH在

□DAE=1]DBH,

{AD=BD,

匚ADE=：BDH,

.,.△ADE^ABDH.

ADE=DH,AE=BH.

VDH1DE,

/.ZDEH=ZDHE=45°.

VBE1AC,

□□Z)EC=45.

♦・•点G与点D关于直线AC对称，

AAC垂直平分GD.

，GD〃BE,NGEC=ZDEC=45°.

AZGED=ZEDH=90°.

；・GE〃DH.

.•・四边形GEHD是平行四边形.

r.GD+AE=EH+BH=BE.

题后反思相对来说，这道题的难度比较高.原因在于图形相对比较复杂，且截长补短的切入点不太好找，即使

找到了辅助线，后续的证明依然不明阻但是，我们也没有必要畏难第一，截长补短的思路很肯定，只要不断尝

试，一定可行.第二，完成辅助线后，必然还要有后续证明，有的题目相对容易，有的题目依然很难，但不要退缩.

全等三角形的出镜率极高，要想到特殊三角形或者特殊四边形.如果存在，要积极利用其边角性质.做到以上两点，

答案就会浮出水面.

例4如图1-8所示，在正方形ABCD中点E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合)，连接DE,点A关于

直线DE的对称点为点F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH_LDE交DG的延长线于点H,连

BH

接'力C

(1球证:GF=GC;\

⑵用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.

AEB

图1-8

思路分析我们借助对称和正方形的性质可以很容易解决第(1)问.对于第⑵问，不管我们是目测还是用刻度尺

测量，都可以清楚地知道线段BH和AE不相等.既然不相等，那么一定存在其他的数量关系，是什么呢?我们依然

可以通过刻度尺进行测量和猜测另外，可能有点难度的问题是，即使猜测到这种特殊的数量关系，又如何证明呢?

如何把距离较远的两条线段联系到一起呢？

相对来说，先通过测量得到猜想是重要的.两条线段不相等，又不是“倍半”关系，那么通常就是6倍或者V3

倍，我们可以借助刻度尺来完成这个清想，进而判断应4E接下来是证明的问题.分为两个层次：第一，立意

味着需要构造等腰直角三角形；第二，出现等腰直角三角形后，借助全等实现线段的迁移.有了这样的想法，我们

就能想到如何添加辅助线了，即在AD上截取AM=AE,既构造出等腰直角三角形，同时又构造出两个全等的三角

形，即4口乂£和4EBH,最后要解决的问题就是寻找全等的条件.

规范解答解：⑴证明：连接DF,如图1-9所示

V四边形ABCD为正方形，

/.DA=DC=AB,ZA=ZC=ZADC=90°.

•・•点A与点F关于DE对称，

.,.△ADE^AFDE,

，DA=DF=DC,ZDFE=ZA=90°.

VDG=DG,

.,.△DFG^ADCG.

，GF=GC.

(l)BH=y[2AE.

证明：

如图1-9所示在AD上截取AM=AE,连接ME.

VZA=90°,

□ME=6AE.

TAD二AB,

/.DM=EB.

曲1),可得/1=N2,N3=N4,

AZ2+Z3=45°.

VEH1ED.

・•・ED=EH.

•・•Z1+NAED=NBEH+NAED=90。，

AZ1=ZBEH.

/.△DME^AEBH.

匚BH=EM=®4E.

题后反思相对于其他问题，这个例题的截长补短的特点并不突出.因为其他更典型的问题一般是三条线段之间

通过截长补短确定数量关系，而这个例题则是要寻找两条线段的关系.但是，解决问题的思路有相同之处，第一步

是截取相等线段，第二步是证明全等，最后一步是解决问题.

全真模拟训练

1.如图在。O中,BC=2,AB=AC,点D为1/C上的动点，且cos8=噂.

(1)求AB的长度;

(2)求ADAE的值;

(3试点A作AHJ_BD,垂足为点H.求证:BH=CD+DH.

2.如图所示，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，

使得点A的对应点点E落在射线BC上，连接BQ,设［。力片a（0<a<60且存30）.

⑴当（0<a<30时，

①在图中依题意画出图形，并求8。硒度数（用含a的式子表示）；

②探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系,并加以证明；

⑵当30<a<60时，直接写出线段CE,AC,CQ之间的数量关系

（第2题）

3.如图所示,在菱形ABCD中，［8=60,,点E为AB边上一动点（与点A,B不重合），连接CE,将

嫡两边所在射线CE,CA以点C为中心，顺时针旋转120，分别交射线AD于点F,G.

（1脓题意补全图形；

（2诺C4CE=a，求［14C的大小（用含a的式子表示）；

（3）用等式表示线段AE,AF与CG之间的数量关系，并证明.

（第3题）

4.在△ABC中，AB=BC,BD」/C,垂足为点D.

⑴如图(1)所示，当UABC=90时，若CE平分匚4CB,,交AB于点E,交BD于点F.

①求证：△BEF是等腰三角形；

②求证：BD=:(BC+BE).

⑵点E在AB边上，连接CE若BIA；0C+8"在图⑵中补全图形，判断"CE与NABC之间的数量关系，写

出你的结论，并写出求解.口1"与/也。关系的思路.

(1)(2)

(第4题)

5.已知△ABC,AB=AC,NBAC=a,在BA的延长线上任取一点D过点D作BC的平行线交CA的延长线于点E.

⑴当CBAC=6Q时，如图⑴所示,依题意补全图形，直接写出EC,BC,ED之间的数量关系；

⑵当CB4c=90时，如图⑵所示,判断EC,BC,ED之间的数量关系，并加以证明；

⑶当/8人©=0(时(0<«<180).请写出EC,BC,ED之间的数量关系并写出解题思路.

BB

(1)(2)

(第5题)

1.(1)如图所示，过点A作AM_LBC.

C.4B=ACyAMBC,BC=2,

匚BM=CM=：BC=L

□cos8="=绊在即匚/1M8中，BM=1,

AB10

口.4B=BM+cosB=1+詈=VT0.

(2旌接DC.

VAB=AC,

AZACB=ZABC.

•・•西边形ABCD内接于OO,

AZADC+ZABC=180°.

VZACE+ZACB=180°,

AZADC=ZACE.

VZCAE=ZCAE,

AAEAC-ACAD.

JC=/f£

AD~AC"

匚,40：AE=AC2=(y/^=\0.

(3注BD上取一点N,使得BN=CD,连接AN.

AB=ACy

在AABN?[]AACD中｛口3=口1,

BN=CD、

/.AADN^AACD.

，AN二AD.

又VAHIBD,

ANH=HD.

又・・・BN二CD,

ACD+HD=BN+NH=BH.

2.⑴当0<a<30时，

①画出的图形如图(1)所示.

•••△ABC为等边三角形，

/.NABO60。.

•••CD为等边三角形的中线，

Q为线段CD上的点，

：,由等边三角形的对称性得QA=QB.

VZDAQ=a,

・•・ZABQ=ZDAQ=a,ZQBE=60°-a.

•・•爱段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，

AQE=QA.

・・・QB=QE.

可得ZBQE=1800-2ZQBE=180°-2(60o-a)=60<>+2a.

□CE+ACMCQ.

如图⑵所示.延长CA到点F.使得AF=CE,连接QF.作QH

,/NBQE=60o+2a,点E在BC上，

・•・ZQEC=ZBQE+ZQBE=(60°+2a)+(60°-a)=120°+a.

•・•点F在CA的延长线上.NDAQ=a,

・•・ZQAF=ZBAF+ZDAQ=1200+a.

AZQAF=ZQEC.

又TAF-CEqA-QE,

AAQAF^AQEC.

AQF=QC.

•・,QH1AC,垂足为点H,

/.FH=CH,CF=2CH,

；在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上，

□□川。。=；口力。8=30口.

即AQCF是底角为30。的等腰三角形.

n

□CH=CQ口cos□HCQ=CQJcos3(r=yCQ.

□CE+AC=AF+AC=CF=2CH=>/3CQ.

⑵如图(3)所示，当30。<(1<60。时,AC-CE=V3CQ.

3.⑴补全的图形如图(1)所示.

(2)由题意彳导NECF=NACG=120°.

/.ZFCG=ZACE=a.

四边形ABCD是菱形,NDAB=60。，

.*.ZDAC=ZBAC=30°.

；・ZAGC=30°.

□DJFC=a+303.

(3)AE+AF=y/3CG.

证明如图⑵所示过点C作CHIAG垂足为点H.

Fl

D

由⑵可知/BAC=ZDAC=ZAGC=30°.

.\CA=CG.

CHG=\AG.

■:ZACE=ZGCF,ZCAE=ZCGF,

/.△ACE^AGCF.

AAE=FG.

在RtAHCG中,HG=CGQcosUCGH=yCG.

□AG=6CG.

EPJF+J£=v5C