北京市昌平区2024-2025学年八年级数学上学期期末质量测试卷（解析版）

昌平区2024-2025学年第一学期初二年级期末质量抽测

数学试卷

本试卷共8页，三道大题，28个小题，满分100分.考试时间120分钟.考生务必将答案填

涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请交回答题卡.

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一

个是符合题意的.

1.实数16的算术平方根等于（）

A.2B.±2C.4D.±4

【答案】C

【释析】

【分析】根据算术平方根的定义，即可求解.

【详解】解：16的算术平方根为J语=4.

故选:C

【点睛】本题主要考查了求算术平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，其中正的平方根称为这个正

数的算术平方根是解题的关键.

2.《2025年春节联欢晚会》主标识以农历乙巳蛇年中的“巳”为原形，将两个“巳”字对称摆放，则恰似

中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意.二方连续，四方连续，是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创

意链接，更彰显着■中华民族精神根脉生生不■息的时代力量.下列图案中，不是轴对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图

形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可.

【详解】解：A、是釉对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B.

3.仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出

=的依据是（）.

B

A.sssSASC.ASAD.AAS

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了作图一基本作图，全等三角形的判定与性质，由作图可得OG=PM,

OH=PN,GH=MN,得出乙0GH一尸MV（SSS）,即可得解.

【详解】解：由作图可得：0G=PM、OH=PN,GH=MN,

；..OGHgPMN（SSS）,

・•・ZCPD=ZAOB.

故选：A.

4.下列各式从左到右变形正确的是（）

cX+11C,f：：141

A.工”B.——=-D.闺二y

-xxx+337+22x2

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查分式的性质，利用分式的性质逐项判断即可.

【详解】解：A.原选项变形不正确，则A不符合题意;

-xx

筌《原选项变形错误，则B不符合题意:

B.

x+2x+21

C.了二暮=，西=”'变形正确'故选项0符合题意;

D.二，原选项变形错误，则D不符合题意;

2x4r

故选：C.

5.下列各式是最简二次根式的是（）

7；

A.727B.耶D.瓜

【答案】D

【解析】

【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.

【详解】解：A、原式=36,不是最简最简二次根式，故A不符合题意；

B、原式=3,不是最简最简二次根式，故B不符合题意；

C、原式=立，不是最简最简二次根式，故C不符合题意；

2

D、、为是最简最简二次根式，符合题意

故选：D.

【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型.

6.下列事件中，属于必然事件的是()

A.13个人中至少有两个人出生月份相同

B.掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3

C.射击运动员射击一次，命中靶心

D.2025年有366天

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.根据必然事件、不可能事件、随机事件

的概念对各个选项进行判断即可，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.

【详解】解：A、13个人中至少有两个人出生月份相同是必然事件，因为一年有12个月，13个人即使平

均分配12个月，还会多一个人，故是必然事件，符合题意；

B、掷-•枚骰子，向上一•面的点数一定大于3是随机事件，故该选项不符合题意；；

C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该选项不符合题意；

D、2025年有365天，故为不可能事件，不符合题意，

故选：A.

7.观察表格中的数据：

X32333435363738

0

广1024108911561225129613691444

由表格中数据可知2.69()

A.在3.4〜3.5之间B.在3.5〜3.6之间

C.在35〜36之间D.在0.35〜0.36之间

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得126g的平方根在35到36之间，进而可得12.69

的平方根在3.5到3.6之间.

【详解】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间,

2.69在3.5〜36之间,

故选：B.

8.已知：如图，在VA8C中，。_148于点£）,===下列结论中，正确的

是（）

②当ZAC3=90。时,则〃+/?=（、+，.

③当NAC8=90。时，则士十乙二］.

a-b-h-

④当NAC3=90。时，则必=M.

A.①②B.①②④C.①©©D.①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键.

利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到,9?=,0〃进行求解.

22

【详解】解：①当片+从二/时，则NAC8=90。，正确，故①符合题意;

②当ZACB=90°时，SABC：ch,则ab-ch，

V（6/4-b）"=a2+/+lab=c2+2ch，（c+=c2+2ch+h2»

a+〃=c+〃不成立，故②不符合题意，④符合题意;

③・・・CO_L48于点。，BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,

，a2+b2=c2—ab=—ch,

22

a2b2=c2h2>

.c2_1

..肃=E

,a24-b2_1

••a2b2/"

・・・’7+[=4，故④正确，符合题意，

a~b~h~

・•・正确的有①③④，

故选：C.

二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）

9.若G5在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是

【答案】/23

【解析】

【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解

题为关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解.

【详解】解：由题意得：x—320,

Ax>3：

故答案为了33.

10.在4ABe中，AB二AC,点D在BC上（不与点B,C重合）.只需添加一个条件即可证明AABDgA

ACD,这个条件可以是__________（写出一个即可）

【答案】ZBAD=ZCAD（或BDtCD）

【解析】

【分析[证明4ABD@AACD,已经具备A8=AC,AO=AD根据选择的判定三角形全等的判定方法

可得答案.

【详解】解：•.•A3=AC,AD=AD,

/.要使一ABOgaACD,

则可以添加：ZBAD=ZCAD,

此时利用边角边判定：^ABD^^ACD,

或可以添加：BD=CD、

此时利用边边边判定：AAB*.ACQ,

故答案为：NRAD=NCAD或（BD=CD.）

【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键.

II.某超市举办迎新春抽奖活动：不透明箱子中放有8张红卡、6张黄卡、4张绿卡，每张卡片除颜色外其

余均相同.抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一对福字，抽到绿卡得一个灯笼，第一位购物者抽得春联的

可能性大小是.

4

【答案】-

【解析】

【分析】本题考查的是概率公式，正确理解题意是解题的关键.

直接利用概率公式求解即可.

84

【详解】解：由题意得，第一位购物者抽得春联的可能性大小是丁二二二，

78r+6+49

4

故答案为：—.

12.比较大小：7102后.（填或』”）

【答案】＜

【解析】

【分析】首先利用二次根式的性质可得26=近，再比较大小即可.

【详解】解：・・・26=尼，

・,・屈〈2百，

故答案为：V.

【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，准确计算是解题的关键.

13,如图，点。在ZAOB的平分线上，CO_L于点。，且8=2,如果E是射线Q4上一点，且OE=4,

那么△OEC的面积是.

A

E,

【答案】4

【解析】

【分析】本题考查是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.作

CF_LOA于点R根据角平分线的性质得到C/=CO=2,再根据三角形面积公式计算即可.

【详解】解：如图，作C/_LO4于点F,

•・•点。在NAOB的平分线上，CDLOB,

:・CF=CD=2,

・・

•S♦COzFccC=-2OECF=-2X4X2=4.

故答案为：4

"DB

14.如果等腰三角形的一个内角是80。，那么这个等腰三角形的顶角度数是___.

【答案】80。或20。

【解析】

【分析】题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，在计算等腰三角形有关边、角的问题

时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论.此类题目考查基本知识的同时，树立分类讨论思想，培

养学生全面思考问题的数学素养.

根据等腰三角形的性质，分两种情况求出这个等腰三角形顶角的度数即可.

【详解】解：若80。的内角是该等腰三角形的顶角，则顶角度数为80。；

若80。的内角是该等腰三角形的一个底角，则根据等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和定

理，可知顶角的度数为：180。一80。x2=20。；

故答案为:80。或20。.

15.如图，在VA3c中，AB=AC,己知A3=10,的垂直平分线交AB于点D,交AC于点、E,

cBCE的周长等于16,则AC的长为.

A

【解析】

【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，根据线段垂直平分线上的

点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出一BCE的周长=AC+AC,然后代入数据进行计

算即可得解.

【详解】解：・・・力石是线段AB的垂直平分线，

1・AE=BE,

・•・4BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC,

・•・8c=16—10=6.

故答案为：6.

16.在跨学科主题学习中，同学们需要完成制作乐器任务.小明了解到三分损益法是古代中国发明制定

音律时所用的生律法，包含“三分损一”和“三分益一”两层含义.“三分损一”是指将原有长度作3等

分而减去其中1份；“三分益一”则是指将原有长度作3等分而增添其中I份.我们可以利用三分损益法

制作含有宫、商、角、徵、羽五个音调的乐器，以基本音“宫”的管长。为标准，经“三分损一”得“徵”，

徵管“三分益一”得“商”，商管“三分损一”得“羽”，羽管“三分益一”得“角”.若。为18,则商

管的管长为；小明用长度为力的发声管制作了若干个微管，小红用长度为。的发声管制作了同样数量

的角管，则2的值为.

c

27

【答案】©.16②.一##0.84375

32

【解析】

【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.根据题意可得

商管的管长为4x11-!>]1+口，再把。=18代入计算即可；根据题意分别求出氏C,进而可得答案.

\Q

QQ

当4=18时，-a=-xl8=16,

99

根据题意，得

2

・,「64J32，

81

27

故答案为：16,士.

32

三、解答题（本题共12道小题，第17・22题，每小题5分，第23・26题，每小题6分，第27、

28题，每小题7分，共68分）

17计算：>/2x5/6—5/15-i-\/5+>/3（5/3—lj.

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，掌握运算法则是解题的关键.

先计算乘除法，再合并同类二次根式即可.

【详解】解：原式=2\/5—+3—

12y

计算：不一了二

悟案】占

【解析】

【分析】首先把两分式通分化为同分母分式后，再按照分母不变，分子相加减的法则计算.

x+y2)，

【详解】解：原式=

U+.v)(x-y)(犬+y)。-y)

x+y-2y

(x+y)(x-y)

(x+y)(x-y)

x+y

【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的加减法则是解题关键.

53

19.解方程：――=-.

\-2xx

3

【答案】X=yy

【解析】

【分析】本题主要考查解分式方程，将方程去分母化为整式方程，解整式方程求出整式方程的解，再进行

检给即可.

53

【详解】解:,_

1-2xx

去分母得，5x=3(l-2x)

3

解得,%=-,

检验：当x时，Ml-2x)w0,

3

所以原分式方程的解是X=

20.如图，己知在同一直线上，4。=8瓦8。〃七£44=/瓦)尸，求证：LABC沿/XDEF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查r全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握几种全等三角形的判定方法是解题的关

键.

先由平行得到NA3C=N£,再由ASA即可证明.

【详解】证明：・.・AQ=3E，

;.AD—BD=BE—BD,即"=。瓦

BC//EF,

/.ZABC=4E,

在VA8c和J)EF中,

NA=NEDF,

•AB=DE,

NABC=/E,

.•.AABC&DEF(ASA).

21.已知：X2+X-4=0,求代数式J；"।的值.

【答案】一二，7

x~+x4

【解析】

【分析】根据分式的运算法则对原式进行化简，再把已知条件变形为化简算式可以利用的形式后代入求解

即可.

【详解】解：原式=，・一~—

x-\x2-2x+l

二1(1)2

x-1x(x+l)(x-l)

1

——3•

r+X

由己知可得：x2+x=4»

把上式代入经化简后的原式可得原式=，.

4

【点睛】本题考查分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算方法与整体代入的思想方法是解题关键.

22.已知，YABC,AB=AC,八。是。的平分线，交BC于点D,点、E是A3上一点，作

ZDCF=ZACB,交石。延长线于点F.求证：BE=CF.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的列定与性质，等腰三角形的性质，正确证明全等是解题的关键.根据等

腰三角形的性质证明出△3OE&Zka)F(ASA)即可.

【详解】证明：・.AB=AC,

:.ZACB=ZABC，

Q/DCF=ZACB,

:"EBD=/FCD.

-,AB=AC,力。平分/BAC，

BD=DC.

在V8DE和VCOF中，

NBDE=/CDF,

<BD=CD,

NEBD=/FCD,

4BDE名ACDF(ASA),

:.BE-CF.

23.学校组织同学们参观博物馆，并为每位同学租了讲解揩，同学们只要带着讲解器靠近文物，讲解器中

就会自动播放讲解语音.同学们有90分钟的时间选择自己感兴趣的展馆参观，甲组和乙组同学分别选择

参观A馆和B馆，4馆的文物比B馆多25个，8馆平均每个文物的讲解语音时长是A馆的1.5倍，两组同

学认真地听完了馆内所有文物的语音讲解，甲组同学按时结束参观，乙组同学提前30分钟结束参观，求A

馆平均每个文物的讲解语音时长.

【答案】A馆平均每个文物的讲解语音时长为2分钟.

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键.

设A馆平均每个文物的讲解语音时长为x分钟，则B馆平均每个文物的讲解语音时长为1.5X分钟，根据

4馆的文物比B馆多25个建立方程即可.

【详解】解：设A馆平均每个文物的讲解语音时长为x分钟，

则〃馆平均每个文物的讲解语音时长为1.5X分钟，

9090-30

根据题意，得一一25=——,解得：x=2,

x1.5x

经检验，x=2是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.

答：A馆平均每个文物的讲解语音时长为2分钟.

24.小明同学在学习完直角三角形之后，发现直角三角形中当一个角是30。时，30。角的对边等于斜边的

一半，具体探究过程如下.

已知：如图1,在VA8c中，Z4CB=90°,ZBAC=30°,

求证；BC=—AB.

2

证明：如图2,延长8c至点。，使得CD=BC，连接A0

图1图2

(I)请你按照小明的思路完成证明过程；

(2)小明想设计一个长方形的钟表，钟面如图所示，宽为6,长为2Q(〃N3G),且整点时刻对应的点

都在长方形的边I..

A

12

9・。3

6

①若2点时对应的点8在长方形的边上，则A8二：

②着1点时对应的点C在长方形的边上，则.

【答案】(1)见解析(2)①3J5：②G

【解析】

【分析】3)延长3c至点Q,使得CO=3C,连接AD,证明&AC8之二ACO(SAS),再证明一ADB

是等边三角形，即可求证；

(2)①应用结论，2点0寸，44。4=60。，则/480=30。，故O8=2AO=6,那么有勾股定理求解

即可；②应用结论，ZAOC=30a,0c=2AC则由勾股定理得，(2月。『-AC?=32,解方程即可.

【小问1详解】

证明：延长至点。，使得CO=BC,连接40,如上图2,

VZACB=90°,ZBAC=30°

・•・ZB=90°-ZBAC=60。，Z4CD=180。一ZACB=90。，

・•・ZACD=ZACB,

在△ACB和二48中，

BC=CD

<NACB=NACD,

AC=AC

・・・_AC的一ACO（SAS）,

・•・=

・•・一AD3是等边三角形，

：-AB=BD,

・・・BC=CD=-BD,

2

・•・BC=-AB,

2

【小问2详解】

解：①如图，当B点在宽边上时，依据题意，ON=a,/BON=3。。,

：・OB=2BN,

・•・OB2-BN?=（2Z?N『-BN2=3BN2=ON2=a2,

・・•长为2《aN3石）,

:・BNN3,这与题意矛盾，故该情况不成立；

A

9

尸.............2

6

如绍，当8点在长边上时，

AB

---------------------T--------------------

一.

963

6

360°

2点时，ZAOB=——x2=60°,

12

由题意得，ZOAB=90°,

・•・ZABO=90°-ZAOB=30°,

***OB=2AO=2x3=6,

•*-AB=^OB2-AO2=3A/3，

故答案为：373;

②由上题知2点对应的点在长边上，故1点对应的点也在长边上，如图,

AC

12|/

9b3

6

1点时，ZAOC=30°,而。4_LAC

・・・OC=2AC,

•・•OC2-AC2=AO2>

A（2AC）2-AC2=32,

解得：AC=6（舍负），

故答案为：73.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，勾

股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键.

25,2024年10月昌平区举办了第二十一届苹果文化节活动，小聪和小明在活动期间分别购买了两次苹果,

两次的单价分别是〃2元/千克和〃元/千克(〃?。〃)，小聪每次买4元钱的苹果，小明每次买8千克的苹果.

(1)当。=10时，小聪两次购买苹果的总质量为(请用含〃?、〃的式子表示)；

总价钱

(2)请你分析他们两次购买苹果的平均价格谁更低(平均价格=）.

10m+1On

【答案】(1)

mn

(2)小聪两次购买苹果的平均价格更低，见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了用代数式表示式以及异分母异分子的大小比较，分式的混合运算的应用.

<1)由费用+单价=数量分别表示小聪两次购买苹果的质量，再相加即可：

2a

(2)小聪两次购买平果的平均价格：~a―1，小明两次购买单果的平均价格："，:",然后作差,

一十一2b

mn

化筒比较.

【小问1详解】

解：当4=10时，小聪两次购买苹果的总质量为竺+q=10'"+1°〃（千克）,

mn

10〃7+10〃

故答案为：----------

mn

【小问2详解】

2a_2mn

解：小聪两次购买苹果的平均价格：=

—+——

tnn

小明两次购买苹果的平均价格：—=--

2b2

422222

2nmm+n_根〃一+4fnn-(^m+2rnn+n_/n+2mn-n-(m-n)

fn+n22(〃?+〃)2(机+〃)2(w+n)2(〃?+〃)

,/w>0,/?>0,

：.2(m4-/?)>0,-(m-n)2<0.

2（m+n）

2mnm+n八

..--------------<0,

m+n2

2mnm+n

-----<-----，

m+n2

二小聪两次购买苹果的平均价格更低.

26.学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等.类

比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在关系.如图1,2,在VA3C

中，如果A8>AC,那么我们可以将VA8C折叠，使边AC落在A8上，点。落在A8上的。点，折线

交BC于点E.

ZADE>ZB

.-.ZC>ZB

因此可得结论，在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对角较大.

【探究结论】

(I)类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题：

“在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对边较大”

已知：在VA3c中，ZACB>ZB.求证：AB>AC.

如羽3,小聪的思路是：在NACB内部作N3CD=N3……

证明：

应用结论】

(2)在三角形A3C中，AB>AC,4。平分NK4C,点七为AC边上任意一点(不与点4点C重

合)，连接跖，交AO于点立求证：BF>FE.

【答案】［探究结论］证明见解析；［应用结论］证明见解析

【解析】

【分析】［探究结论］可得QC=D3,由AO+DC〉AC得到AZ)+D8>AC,即可证明；

［应用结论］在4区」:截取AG=AE,连接Gb,证明一G4尸且乙£4尸(SAS),再运用结论证明.

【详解】［探究结论］

证明：・：/BCD=/B,

/.DC=DB.

,/AD+DC>AC,

.\AD+DB>AC,

/.AB>AC：

［应用结论］

证明：在A8上截取AG=AE,连接G尸.

・.・A。平分NK4C,

/.ZG4F=ZE4F.

-AF=AF，

ZG4尸治二E4尸(SAS).

:.FG=FE,ZAGF=ZAEF,

:"BGF=/CEB.

・；NCEB>ZABE,

...NBGF>ZABE.

：.BF>FG,

.\BF>FE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角

性质，三角形的三边关系等知识点，正确运用结论，构造全等三角形是解题的关键.

27.已知VA3C,NAC3=90。.NA=60。，点。是直线人4上一点，连接CD，以CO为边作等边三角

形CDE,使点E在。。上侧，点尸是线段上一点，且A尸=AC,连接EREB.

(I)如图1,补全图形，则NDFE=

(2)过点E作EG_LAB,交AB于点G,

①如图I,用等式表示线段。之间的数量关系，并证明;

②如图2,当点。在8A的延长线时，直接写出线段OG,E£/13之间的数量关系.

【答案】(1)120(2)®AB=2DG+EF；②A8=2OG—所

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，等

腰三角形的判定与性质等知识点，正确构造全等三角形是解题的关键.

(I)先补全图形，可得,尸。为等边三角形，证明,ACg一/CE(SAS),再根据等边三角形的性质以

及全等三角形的性质求解；

(2)①连接BE,CF,先证明AAC尸为等边三角形，再证明二AC恒二FCE,

.BFEWCFE(SAS),则3E=CE,故BE=DE，再根据等腰三角形的三线合一求证；②先补全图

形，证明同①即可.

【小问1详解】

解：补全图形，如图，

•：AF=AC^A=60°f

・•・_AFC为等边三角形，

・•.CA=CF,ZACF=ZAFC=60°,

:等边三角形CDE,

；.CD=CE,NDCE=64。,

・•・ZACD=ZFCE,

・・..ACD^FCE(SAS),

・•・ZEFC=ZA=60°,

・•・ZDFE=ZAFC+NEFC=600+60°=120°,

故答案为；120；

【小问2详解】

解:①A3=2DG+M,理由如下,

证明：连接3ECF

VZACB=90°,ZA=60°,

・•・ZABC=30°

VAF=AC,

・•・ZXAb为等边三角形，

・•・ZACF=ZAFC=60°,

・•・ZFCB=30°,

・•・ZABC=NFCB=30。,

：・FB=FC,

•；&CDE为等边三角形,

・・・CD=CE=DE,ZDCE=60°,

:,ZACD=/ECF,

:・LACD^FCE,

・•.AD=EF,/CFE=ZA=60c,

・•・/BFE=180°-AAFC-ACFE=60°,

・•・乙BFE=/CFE=HJ

,:FE=FE,

・•・.BFE冬CFE（SAS）,

:,BE=CE,

:・BE=DE，

•・•EGA.RD,

:・BD=2DG,

•・•AB=BD+AD^

••・AB=2DG+EF；

②=理由如下,

证羽：连接BE,B

VZXCT=90°,ZA=60°,

・•・ZABC=30°

•/AF=AC,

・•・△Ab为等边三角形，

・•・ZACF=ZAFC=60°,

・•・ZFCB=30°,

.,.ZABC=ZFCB=30°,

：・FB=FC,

・・・_C£)£为等边三角形，

・•.CD=CE=DE,ZDCE=60°,

・•・ZACD=/ECF,

：・_ACD^.FCE,

•・・AD=EF,NCFE=/CAD=180°-60°=l20°,

•・•ZBFE=180°-ZAFE=180°-(ZCFE-ZAFC)=120°,

・•・NBFE=/CFE=T20。，

•・•FE=FE,

A.BFE^CFE（S