北师大版高中数学必修一第一章 预备知识 章末检测卷

北师大必修一第一章预备知识章末检测卷

一、单选题

1.老子健德经》有云“天下难事，必作于易：天下大事，必作于细"，根据这句话，说明“做容易题”

是“做难题”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知集合M/V={-1,1}»则下列结论正确的是（）

A.MUN=MB.Mn/*/={-1!C.MGND.QMN={0,1,2）

3.已知集合力={0,m,m2-3m+2},且2€4则实数根为（）

A.2B.3CO或3D.0,2.3

4.已知命题p：axe[1,3]，/一狈+4Vo是真命题，则p的一个必要不充分条件是（）

A.a<5B.a>3C.a<4D.a>4

5.下列五个关系式中正确的个数为（）（D{a,b}={b,a）；®{a,b）G出,a}；③{0}二。；④。些{0}；@0G{0}.

A.3B.5C.4D.2

6.已知全集U=R,集合4={x|0WxW2},B=一x>0.},则图中的阴影部分表示的集合为（）

A.[x\x<1或%>2}B.{x\x<0或1VxV2}

C.{x|l<x<2}D.{x|l<x<2}

7.已知集合A={12,小+4a,a-2},-3EA,则a=（）

A.-1B.-3或1C.3D.-3

g.已知集合4={X|X2-2X-3V0}.集合A="||工一1|W3},集合C={出宗VO}.则集合5,B,C的

关系为（）

A.BQAB.A=BC.CQBD.AQC

9.已知关于x的不等式a/+bx+c>0的解集为卜|2V%V3},则关于x的不等式b/+QX+c<0的解集

为（）

<<■1<

Xj«

B.XIIX

・2\N2S

c11班1

--<X<?<->I

kl.3JD.IX3J

2Z

则

的最

值为

+1X+-小

y

+1

3939

C

A----

4422

U.已知关于、的不等式组嬴：/+7k<0仅有一个整数解，则k的取值范围为()

A.(-5,3)U(4,5)B.[-5,3)U(4,5]C.(-5,3]U[4,5)D.[-5,3]U[4,5]

12.不等式(2-x)(2%-3)>0的解集是()

3

A.l；-oo,-)U(2,4-co)B.R

3

eg,2)D.0

二、多选题

13.已知(C/)G8,下列选项一定成立的是()

A.Afl8=0B.(CacA

C.AUB=RD.(CMU(CRB)=R

14.下列说法错误的是（）

A.命题“VxER,x2>一1”的否定是“女eR,x2<一1"

B.>y2”是“4>y”的必要而不充分条件

C.若X、y>0,xy+x+y=3,则x+y的最小值为2

D.关于％的不等式--ax-b<0的解集是（2,3）,则a+b=l

15.《儿何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据,

通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C

为线段4B上的点，且4C=a,BC=b,。为A8的中点，以48为直径作半圆.过点。作力8的垂线交半圆于D,

连接0D,AD,BD,过点C作。。的垂线，垂足为E,则该图形可以完成的所有的无字证明为（）

A0CB

A.^>/aK(a>0,b>0)B.a2+fe2>2ab(a>0,b>0)

2

C./ab>(a>0,b>0)

Z+l

16.已知M、N均为实数集R的子集，且NnC/?M=。，则下列结论中正确的是（）

A.MClCRN=0B.Mk)CRN=R

C.CRMUCRN=CRMD.CRMnCRN=CRM

17.下列命题正确的是（）

A.命题“mxeR,%2+%+1>0”的否定是“v%eR,x2+x+1<0v

B.a+b=0的充要条件是2=-1

a

C.YxGR,x2>0

D.a>l,b>1是ab>1的充分条件

18.下列说法正确的是（）

A.Q€Q是QeR的充分不必要条件

B.若集合4={x\ax24-ax+1=0}中只有一个元素，则Q=4

C.已知p:VxER,x-2>0,则-1P对应的x的集合为{X既W2}.

D.己知集合M={0,1},则满足条件MUN=M的集合N的个数为4

19.任取•个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1：若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有

限次步骤，必进入循环圈1-4-2-这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对

于正整数m,经过几步变换，第一次到达1,就称为n步“雹程”.如取7几=3,由上述运算法则得出：3-10t

5Tl6->8一4T2->1,共需经过7个步骤变成1,得n=7。则下列命题正确的有（）

A.若n=2,则m只能是4；

B.当m=17时，n=12；

C.随着m的增大，几也增大；

D.若"=7,则〃.的取值集合［3,20,21,128}.

三、填空题

20.设全集U=R,集合M={%|0〈xV2},/V={x|-x+l>0},则图中阴影部

分表示的集合为.

21.设实数a,b满足a+b=4,则ab的最大值为；(a?+1)(匕2+劫的最小值为.

22.对于非空实数集合4记A'={y|VxeAy<%),设非空实数集合P满足条件”若xV1,则％CP”且MG

P,给出下列命题：

①若全集为实数集R,对于任意非空实数集合4必有a/=/r：

②对于任意给定符合题设条件的集合M,P,必有

③存在符合题设条件的集合M,P,使得M*CiP=。；

④存在符合题设条件的集合M,P,使得MnP•工。.

其中所有正确命题的序号是.

四'解答题

23.设集合A={x|3x—2>1},B={x\2m<x<m+3].

(1)当血=-1时，求An8,4US.

(2)若BU/l,求血的取值范闱.

24.若不等式(1-d)x2-4x+6>。的解集是{R-3Vx<1}.

(1)解不等式2/+(2-a)x-a>0：

(2)若关于x的一元二次不等式k/一ax+AW0的解集为R,求实数k的取值范围.

25.某学校为了开展劳动教育，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形种植园.图中阴影部分是宽度

为1m的小路，中间4SC三个矩形区域将种植辣椒、茄子、小白菜(其中8,C区域的形状、大小完全相同).设

矩形种植园的一条边长为x/n,蔬菜种植的总面积为SM2.

(1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围；

(2)当x的值为多少时,才能使蔬菜种植的总面积S最大?最大面积是多少？

26.已知实数a,b,c满足Q+b+c=0.

(1)证明："a=匕=c=0”是"ab+be+ac=0”的充要条件；

(2)若a>b>c且abc=1,证明：Q>V4.

27.设函数y=ax2+x-b(aGR,bGR).

(1)若b=l,且集合{x|y=0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合;

(2)解关于％的不等式y<(a-l)x2+(b+2)x-2b；

(3)当a>0,b>1时，记不等式y>0的解集为尸，集合Q={x|-2-t<x<-2+t}.若对于任意正数C,Pn

Q手。，求5—2的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”，

但“做难题”一定可以推出“做容易题”，

故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件.

故选:B.

2.【答案】A

【解析】•:M={-1,0,1,2},N={-1,1},

ANcM,MA/V={-1,1},MUN=M,CMN={0,2},

故选：A.

根据集合的运算性质分别判断即“J.

本题考查了集合的运算以及集合间的关系，考查转化思想，是基础题.

3.【答案】B

【解析】因为2GA,所以m=2或租2-3m+2=2,

若优=2,则帆2一3m+2=0,不满足集合中元素的互异性，应舍去；

若瓶？-3m+2=2,则解得根=0,或m=3,

显然m=0不满足集合中元素的互异性，应舍去，

故m=3.

故选:B.

4.【答案】B

2

【解析】因为x-ax+4<0,所以当％W[1,3]时，a>(%4-^)min

因为x+52-4,当且仅当“一士，即又一2时，等号成立，

XXX

所以a>4是p的充要条件，因为a>4=a>3,但a>3不能推出a>4,

所以a>3是p的一个必要不充分条件，

故选:B.

5.【答案】C

【解析】①集合具有无序性，故①正确；

②集合具有无序性，两集合相等，故的包含关系，故②正确；

③空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故③错误.

④申空集是任何非空集合的真子集，④正确：

⑤中元素0与集合{0}用连接，⑤正确，

故正确的个数有4个.

6.【答案】4

【解析】B=[x\x<0^cx>1},/IUF={x|0<%<2}U[x\x<0苑>1}=R,

AC\B={x|0<x<2}A[x\x<0>1}={x|l<x<2},

・•.I生影部分表示的集合为力UB中去掉4n8就是CRG4n8)={x\x41她》2).

故选A.

7.【答案】0

【解析】•••一3W4,-3=a?+4a或-3=a-2.

若-3=a2+4a,解得a=—1或G=—3.

当。二一1时，a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性，故舍去；

当a=—3时，集合4=[12,—3,—5)»满足题意,故Q——3成立.

若-3=。-2,解得。=一1,由二述讨论可知，不满足题意，故舍去.

综上所述，a=—3.

8.【答案】D

【解析】•:x2-2x-3<0,即(％-3)(x+1)<0,

A-1<%<3,则4=[-1,3],

又|x-l|W3,即一3二工一1W3,

-2<x<4,则8=[—2川，

.上v0-4)(%+5)<0

•x+5-+5H0

-5<%<4,则。=(-5,4],

AQC,BGC,AQB,

故选：D.

9.【答案】A

【脩析】由不等式a/+以+c>0的解集为{x[2<%<3},

得到Q<0,且方程a/+hx+c=0的两个根分别为2和3,

由韦达定理得：—2=5,-=6,则b=—5Q,c=6a,

aa

则6/+。v0可化为-5a/+Q%+6QV0,

化简得：5x2-x-6<0,即(5%—6)。+1)V0,

解得：—1V%V(，

即不等式以2+QX+CV。的解集为｛划一1v无<胃.

故选A

10.【答案】B

【解析】因为4,y为非负实数，且X+2y=2,即％+2(y+l)=4,

立i+与=”+*过吟叫

xy+1xy+1

1212

=x+-+2y+2+——-4=-+——r

xy+1文y+1

121

=(x+7TT)[x+2(y+1)]x4

=；(5+"+普)另(5+2J2普)=小

4、xy+174'yjxy+V4

当且仅当％=丫+1,即x=*y=；时取等号.

故选:B.

11.【答案】B

【解析】解不等式--2x-8>D,得x>4或％<-2,

解方程组2/+(2A+7)x+7k=0,得与=一1,x2=-k,

①当一攵〈一夕即k"时，

不等式2/+(2k+7)x+7kV0的解为-k<x<-L

此时不等式组解集力=

•••集合4中有且仅一整数，

则一5<-k<-4,

解得4</c<5；

②当一即kv狗,

不等式2/+(2k+7)x+7kV0的解为一：<x<-k,要使集合力中有且只有一个整数解,

则一3V—3<5,

即-5<k<3,

综上，k的取值范围为[—5,3)U(4,5].

故选8.

12.【答案】C

【解析】原不等式可化为(％-2)(2%-3)V0,解得,V%V2,所以原不等式的解集是G，2).故选C

13.【答案】BC

【解析】对于4，B,设CRA=[2,+8),B=[l,4-oo),则4=(-8,2),

二｛n8=[1,2),•0•4不正确，

CRB=(-8,1),

・••S)U(CRB)=(-8,1)U[2,+OO),

••.D不正确:

对于B,C,由图可知，AUB=R,：.B,C正确，

故选BC.

14.【答案】ABD

【解析1Vxe/?,x2>-r的否定是“mxWR,x2<-lv,A错误；

x>y不能推出/>y2,/>丫2也不能推出%>丫，故8错误；

无y+x+y=34(妥)+(x+y),整理得：x4-y>2,当且仅当％=y时取等号，故C正确；

若美丁x的不等式/-。4-^〈。的解集是仁力)，贝U2和3是方程兀2一。人一力二。的解，所以。=2+3二

5,—b=2x3=6.

因此a+b=-1,故。错误.

故选：ABD.

15.【答案】AC

【解析】由4C+C8=a+b,得。0=詈

由Kt△ACD^Rt△可知CO=7AC♦BC=>J~abf

又0DNCD,>y/~ab(a>0,b>0),4正确；

由;^△COEsRt^ooc可知C£)2=。£・。0,即。£=需=得=12p又CD2DE,即

2cTba^b

0,b>0),C正确.

对于B、0选项，无法由题中图象证明得出，所以不选.

故选AC.

16.【答案】BD

【解析】因为NClCRM=0,

所以NcM,

对于A,C,设M={%|第VO}.N=(x\x<-1],

则CRM={x\x>0},CRN={x\x>-1},

则Mn(CRN)={x|-1<x<0],故4错误；

(CRM)U(CRN)={x\x>-1}=CRN,故C错误；

对于8,由Verm图和NGM知，MUCRN=R,故8正确；

对于。，因为NGM,

所以(C拉M)A(CHN)=C《MuN)=CM故D正确.

故选BD.

17.【答案】AD

【解析】命题'TX£R,X2+X+INO”的否定是“VxER,x2+x+1<0",4对;

当a=b=0时，Q+b=。但，不存在，所以a+b=0不是'=一1的充分条件，B错；

当《=0时，x2=0,C错；

由G>l,b>1可得ab>1,所以a>l,b>1是ab>1的充分条件，。对.

18.【答案】ABCD

【解析】对从若aWQ,则awR,但反之不成立，

例如Q=优WR,但aCQ,则aWQ是aWR的充分不必要条件，故A正确；

对B,若a=0,则4=0,不合题意；

若GH0,则仁智2_4。-0=@=4,

故B正确;

对C,R.J>2,则r〃：lr€R.j42,即」p对应的％的集合为{刘、42},故C正确；

对D,由MUN=M,得NCM,则集合N的个数为22=4,故D正确.

故选：ABCD.

19.【答案】ABD

【解析】对于A，若九=2,可逆向思考：1-2-4,所以7九只能是4,A正确；

对于8,因为17T52T26Tl3-40t20t10t5T1618T4T2t1,所以n=12,4正确;

对FC,因为当m=3时，几=7,而当m=4时，n=2,所以不是随着m的增大，几也增大，C错误；

对于D,若n=7,由已知，可以有m=3,此外同4中思考方法，还有：

1-2-4-8-16-5-10-20,这时m=20；

l<-2<—4<—8<—16<—32<-64*-21,这时m=21；

1-2-4-8-16-32-64-128,这时m=128.

从上述法则可知：最后四步相同，第2步的数有两种情况，若为5,则m=20,

若为32,则第1步均为64,则m只能是21或128.

故当九=7时,m的取值集合为{3,20,21,128},。正确.

故选：ABD.

20.【答案】{刈14%〈2)

【解析】N={x\-x+l>0]={x\x<1},

MUN=(x\x<2),

图中阴影部分表示的集合为CMUNN={x|l<x<2},

故答案为：{R1WXV2}.

21.【答案】4；16

【解析】第一空：对于劭的求解

法一配凑和积关系：由不等式得过W(早)2得必工(亨)2=4,得好44.所以成的最大值为4.

法二消元由Q+6=4,得a=4-b,贝ijab=(4-b)b=-/+4b,由二次函数得最大值为4.

法三比值换元令2=£=b=m，则a+匕=4o|%"则4b=16%=邛―<

ab=—(1+£计"2

1°i+r'

16_/

2、F+2一"

法四齐次减元ab==4.

…以+22依+2

第二空；对于(。2+1)(炉+1)的求解

法一和积平方关系转化(。2+1)(/+1)=a2b2+a2+b2+l=a2b2+(a+b)2-2ab+l=(ab-

l)2+16>16,所以(M+1)("+1)的最小值为16.

法二消元法由a+b=4,得b=4—a,则(小+1)((4—a)2+1]=[a(4—a)]2+2a2—8a+17=[a(4-

a)]2-2a(4-a)+1+16=[a(4-a)-I]2+16>16,当仅当a(4-a)=1取等号.

(4

法三比值换元令，=£=b=ta,则a+b=4="一手'则（小+1）（块+i）=

[岛丫+艰岛丫+”=[（篇岛）f+岛丫+（篇2+「16t

+

.(i+02

22

16(l+t2+2t-2f),4|16t32t+1+16-[———7—11+16Z16.

。+£)2+1=r

(i+O2(1+小l(l+t)2J

22.【答案】②③④

【解析】由于非空实数集4记力*={y|Vx€4y3无},则*中元素为不大于4中所有值的数，即不大于人中

最小元素的数组成的集合.

①当月集合下边界趋向负无穷大时，如4=（-8,2],CRA=（2,+co）,/T=。，故①错误：

②由于MGP,假设M中最小值为m,P最小值为p,那么mNp.因此M*表示不大于m所有数组成的集合，P・

表示所有不大于p的数组成的集合.则P*GM”,故②正确；

③令M=P={刈1<%<5,则AT={x|xWI},故M，CIP=0,故③正确；

④令M=P={x|2<x<3}»则P"=[x\x<2},故MC尸,=[x\x=2}工0,故④正确；

故答案为：②③④.

23.【解析】（1）：集合A={x|3x-2>1}={x|x>1},B={x\2m<x<m+3].

把机二-1代入8中得：一2工工工2,即8二"|一2WXW2},

AC\B={x\l<x<2],AUB={x\x>-2}.

（2）•••集合4={x|x>1},5={x|2m<x<7n+3},BQA,

.•.当8=0时，2m>m4-3,解得?n>3,满足题意，

当BW0时,（2m>T+3,解得六血43.

综上，zn的取值范围是弓,+8）.

24.【解析】（1）由题意可得a>1,且一3和1是方程（1-a）x2-4x+6=0,

则可得—3+1=不，—且—3x1=—,解得Q=3,

1—a1—Q

不等式2/+(2-a)x-a>0化为2/-x-3>0,(x+1)(2%-3)>0,

解得％<-1或无>|,所以不等式的解集为或：

(2)依题意，不等式上/一3%&<0的解集为R.

当A=0时，原不等式的解集为{x|xN0),不符题意；

当吐。时,此=N屋0，解得&4-宗

综上，Z的取值范围为,生《一|}.

25.【解析】(1)由题意,矩形花园的总面积为(2a+3)%=750,

3753

•••a=-x---2

3753、八

Va=--2>0*

：•x<250,

3<x<250,

即G关于％的关系式为Q=竺一弓，3<x<250；

x2

(2)由(1)可知；Q=W-右则s=a-