北师大版九年级数学下册第三章《圆》讲义（含练习题及答案）

北师大版九年级下册数学第三章圆讲义

【基础巩固】

1、与圆有关的大题一切线的证明、长度求解、特殊平行四边形证明；

2、尺规作图一三角形内切圆圆心（角平分线交点）、外接圆圆心（垂直平分

线交点）；

3、隐圆有关的最值问题（定长、定角）。

【精准突破】

一.与圆有关的大题——切线的证明、长度求解、特殊平行四边形证明

例1.（切线的证明）如图，在△48。中，AB=AC,以,48为直径的。。交BC于点。，过点

作DEJ.4C于点E,求证：DE是。。的切线.

例2.（第二问长度求解）如图，在。。中，点£是直径力8与弦的交点，点尸为直径A6延

长线上一点，且FC=4C,若40=30。.

⑴求证：C尸是。。的切线；

（2）若4E=4,OE=1,求DE的长.

第1页共41页

例3.(特殊平行四边形证明)如图，以48为直径的。。交N8A0的角平分线PC,过C作CD1

ADfD,交AB的延长线于E.已知NE=30。.

(1)求证：CO为。。的切线.

⑵连接CF,0C,请判断四边形。力尸C的形状并证明.

【实战演练】

1.如图，在Rt^ACB中，4力。8=90。,乙4=60。，以4C为直径作。0,G为A8的中点.，连

接CG交。。于£点，过E点作£7)_L48,。为垂足，延长DE交C8于点E

⑴求证：0E是。。的切线.

(2)若CF=2,求BC的长.

2.如图，点。为半圆的圆心，C,。为半圆上的两点，且AC=CO.连接80并延长，与AC的

延长线相交于点E.

第2页共41页

⑴求证：CD=CEx

(2)若。0的半径为4,AC=2,求BD的长.

3.如图，在ZUBC中，KC=90。,点M在圆。上,AC交圆。十点与圆。交于点。,DM=力£,

DE工AD交AB于点E,4E为。。的直径，DFLAB.

(1)求证：Z-CAD=4DAB；

⑵若DM平分410C,求4c40的度数；

⑶若AD=BO=6cm,求图中阴影部分的面积.

4.如图，已知力B为O0的直径，点C为。0上一点，延长力8至点。，连接CD,且NOCB=

^DAC,过点A作力E_LAD交DC的延长线于点E.

第3页共41页

⑴求证：co是。。的切线；

（2）若CD=4,8。=2,求AE的长.

5.如图，O0过A/IBC的顶点4B,与4c交于点。，连接BD,^CBD=AA.

⑴求证：8c是。。的切线

⑵若47〃。=45。，BD=2,则团9=.（结果保留官和根号）

6.如图，为0。的直径，C为。。上一点，点D为林的中点，过点Z）作DE14C,交AC

的延长线于点E,延长ED交力B的延长线于点F.

第4页共41页

⑴求证：E。是。。的切线；

（2）若CE=2cm,ED=4cm,求。0的半径.

7.如图，48是G）。的直径，弦CD_L4B干点E,过B作G）。的切线，交7K的延长线于点F,

连接

⑴若乙48D=40°,求N尸的度数;

(2)若AC=8,BD=6,求弦CD的长.

8.如图1,把△ACD绕点C逆时针旋转90。得点力，。分别对应点B,E,且满足A,D,

E三点在同一条直线上.连结DE交BC于。£的中点F,△。）后的外接圆0。与45交于6,“两

点.

第5页共41页

BB

⑴求证：BE是。。的切线.

⑵判断四边形8隙。的形状，并说明理由.

9.如图，。。是448。的外接圆，8E为。。的直径，BE与AC交于点、F,。为BE延长线上一

点，连接CO,CE,AE,LBAC+/.BCD=180°.

⑴求证：乙DCE=LCBD；

(2)若力8=8C,tan乙0=5。0半径为4,求长.

10.如图，已知A8为。0的弦，连接40,过。0上的点C作CDIIHO,交48的延长线于点D,

且404c=乙ABC.

第6页共41页

⑴求证：co为。。的切线；

(2)若NC=2,tanD=:，求04的长.

11.如图，已知MB是。。的直径，直线DE与。。相切于点C,AC平分4ZM8.

⑴求证：AD1DC；

⑵若力£)=4,AC=5,贝JAB的长为

12.如图，力8为。。的直径，点。为。。上一点，点。在BM的延长线上，且乙。94=乙8.

第7页共41页

B

⑴求证：CD为。。的切线；

(2)若AC=2,CD=4,求BO的长.

13.如图，直线分别与0。相切于E、尸、G,且4B||CD.OB=6cm,0C=8cm.求:

(1)/9。。的度数：

(2)8E+CG的长;

⑶。。的半径.

第8页共41页

二.尺规作图

例1.已知：如图，EL4BC.

求作：。0,使圆心。在6c边的中线上，且圆与力C、BC边相切.

【实战演练】

1.已知：O。，半径为八求作：圆内接RtANBC,使得/ACB=90。，BC=V3r.

2.已知：如图：四边形48。。，点E为4。上一点.

求作：O。，使。EIIG),且48,8C与。。相切.

3.用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：。是BC上一点.

求作：与NA8C的平分线相切于点。的。0.

第9页共41页

4.(1)用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：A/IBC.

求作：点P，使P4=PC,且点P在△4BC边力B的高上.

(2)如图，已知：AABC.

求作：O。，使点。在4c上，^AOB=2ZC,且与BC相切.

5.作图题：请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：AABC及BC边上一点、D.

求作：。。，使。。与边BC相切，点。为切点，且圆心。到两边的距离相等.

三.隐圆有关的最值问题(定长、定角)

例1.(定长)如图，在正方形4BC。中，AB=6,E是C。边上的中点，产是线段8C上的

动点，将既CF沿以所在的直线折叠得到△占C'N,连接AC,,则的最小值是AC".

第10页共41页

例2.（定角）如图，在矩形中，AB=6,BC=8,尸为CO边的中点，E为矩形4BC。外

一动点，且Z4EC=9O。，则线段E/长度的最大值为.

【实战演练】

1.如图所示，在扇形046中，LA0B=90°,半径。4=8.点F位于脑的;处、且靠近点A的

位置，点C、。分别在线段0力、。8上，CD=8.E为C。的中点.连接EF、BE.在C。滑动

过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为.

北师大版九年级下册数学第三章圆讲义•答案版

第11页共41页

【基础巩固】

1、与圆有关的大题——切线的证明、长度求解、特殊平行四边形证明；

2、尺规作图一三角形内切圆圆心（角平分线交点）、外接圆圆心（垂直平分

线交点）；

3、隐圆有关的最值问题（定长、定角）。

【精准突破】

一.与圆有关的大题——切线的证明、长度求解、特殊平行四边形证明

例1.（切线的证明）如图，在△ABC中，AB=AC,以为直径的。。交BC于点。，过点

。作DE1AC于点E,求证：DE是。。的切线.

比48=AC,

0=Z.C,

WB=OD,

0Z.5=乙ODB,

团乙C=乙ODB,

^DELAC,

0ZDFC=90°,

0ZEDC+ZC=90°,

第12页共41页

团NEDC+乙ODB=90°,

0ZODE=18OO-9O°=9O°,

(3DE是。。的切线.

例2.（第二问长度求解）如图，在。。中，点E是直径48与弦CD的交点，点/为直径,48延

⑴求证：CF是。。的切线；

⑵若AE=4,OE=1,求DE的长.

【答案】⑴见解析

【详解】（1）证明：连接CO,如图1所示,

图1vFC=AC,

:.Z.A=Z.F,

•••Z.A=Z.D=30°,

:.乙F=30°,乙COB=2Z,D=60°,

•••Z.FCO=90°,

ACO1CF,

团。。为。。的半径，

团。”是O。的切线；

(2)解：连接BC,过点E作E"_L4C于点，，如图2所示:

第13页共41页

C

IL

AF

D

图2VAE=4,OE=1,

二AO=OB=3,BE=OB-OE=2,

团48为O。的直径，

:.Z.ACB=90°,

v=30°,

^AC=-AB=3V3,

2

在RtZkAEH中，EH=1E.4=2,AH=^EH=2®

团CH=AC-AH=y/3,

2

在RSECH中，CE=VEH2+CH=V7,

•••Z.D=Z.A,乙BED=乙CEA,

•••△BED5〉CEA,

烂=”,

CEAE

2_DE

即

万二7

解得：DE=^~,

故DE的长为苧.

例3.(特殊平行四边形证明)如图，以48为直径的。。交NBA0的角平分线PC,过C作CD1

于D,交AB的延长线于E.已知NE=30°.

D

(1)求证：CD为。。的切线.

第14页共41页

⑵连接CG0C,请判断四边形04/T的形状并证明.

【答案】（1）见解析

⑵四边形。力FC是菱形，证明见解析

【详解】（1）证明：连接0C

•••4C平分乙ZZ4B,

•••Z.DAC=Z.CAB,

,:0C=。4,

•••Z.OAC=Z.OCA,

•••Z.DAC=Z.OCA,

•••OCIIAD,

vAD1CD,

:.OC1CD,

■:0C为O。半径，

•••co是O。的切线；

（2）解：四边形。4尸。是菱形,

理由：连接。入CF,0C,

•••ZD=90°,

vLE=30°,

•，•Z.DAE=60°,

vOA=OF,

•••△40F是等边三角形,

第15页共41页

•••AF=OA,

AF=OC,

•:AFIIOC,

••・四边形O4FC是菱形.

【实战演练】

1.如图，在中，乙ACS=90。,4A=60。，以为直径作。0,G为A8的中点.，连

接CG交。。于£点，过七点作。为垂足，延长OE交G9于点P.

⑴求证：OE是0。的切线.

⑵若C尸=2,求BC的长.

【答案】（1）证明见解析

(2)12

vZ.A=60°,

••.△4CG为等边三角形，

:.Z-ACG=Z-AGC=60°.

•••CO=OE,

・•.△OCE是等边三角形，

Z.AGC=乙OEC=60°,OE||AG.

•••ED1AG,.\OE1ED.

第16页共41页

•••0E是。。的半径，

:，DE是。。的切线.

(2)解：•••0E||48,。为AC的中点,

••.E为CG的中点.

EF=-MG.

2

•••。匕FE是。。的切线，

CF=EF.MC=MG.

••・△MG8是含30。角的百.角三角形,

BM=2MG=2CM=4CF,

BC=6CF=6x2=12.

2.如图，点。为半圆的圆心，C,。为半圆上的两点，月.AC=CD.连接BD并延长，与4C的

延长线相交于点£

⑴求证：CD=CEx

(2)若O。的半径为4,AC=2,求B。的长.

【答案】(1)见解析

(2)7

【详解】(1)连接8C,

第17页共41页

A°是半圆的直径，

二4ACB=90°.

•••AC=CD,

•••4ABC=乙DBC,

•••LE=乙CAB.

•••乙EDC+LCDB=180°,乙CDB+乙CAB=180°,

:.乙EDC=Z.CAB,

:.乙EDC=Z-E,

•••CD=CE.

(2)连接CO,AD交于点M,

A°B...AC=CD,

••.CO1AD,且点M为的中点.

令。M的长为工,

则CM=4-x.

在RtZiCM中，

AM2=AC2-CM2=22-(4-x)2.

在Rt△40M中，

AM2=A02-0M2=42-X2,

...22-(4-x)2=42-x2,

解得％=g

即OM.

又,••点。为AB中点，点M为AD中点，

/.OM为团408的中位线，

•••BD=2OM=7.

第18页共41页

3.如图，在A/18C中，4?=90。,点M在圆。上,4C交圆。于点M,BC与圆0交于点D,DM=DE,

DE14。交AB于点儿4E为。。的直径，DFA.AB.

⑵若DM平分乙4OC,求乙C4D的度数；

⑶若4。=80=6cm,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

（2）30°

⑶（2兀一学）（训2）

【详解】（1）证明：•；DM=DE,

/,><x

:.DM=DE,

•••Z.CAD=Z.DAB；

（2）解：连接0M,。。，作0HlM。于H,

V6CAD=/-DAB,

:.乙CAD=Z.ODA,

OD||AC,

•••Z-C=90°,

•••AC1BC,

•••OD1BC,

乙MDC+乙MOO=90",

第19页共41页

•••OM=OD,OH1MD,

：•乙DOH=+乙MOD,

2

•••4CAD=-^MOD,

2

:.乙CAD=乙DOH,

•••ND。”+NMDO=90。，

乙DOH=乙CDM,

•••乙CAD=Z.CDM,

•••DM平分乙ADC,

Z.CDM=乙4DM,

vZ.CAD+Z.ADM+“DM=90°,

乙CAD=30°；

（3）解：-DA=DB,

•••Z.DAB=乙B,

vOD=0A,

:.LDAB=Z.ADO,

:.乙DOB=Z.DAB+Z.ADO=2Z.F»

•••乙DOB+ZF=90°,

乙B=乙DAB=30°,

•••乙BOD=60°,

AD=6cm,

：•DF=-AD=3cm,

2

...OF==FD=y/3cm,

•••OD=2OF=2\f3cm,

••・扇形ODE的面积=60邙学I=27r（cm?）,△。。/的面积=：。尸.DF=l3x>/3=

36022X

苧（评），

••・阴影部分的面积二扇形ODE的面积-AODF的面积=（2兀一手）（皿2）.

4.如图，已知为。。的直径，点C为。。上一点，延长4B至点。，连接CO,且皿B=

第20页共41页

^DAC,过点A作力E_L4D交DC的延长线于点£

⑴求证：CD是00的切线；

⑵若CD=4,8。=2,求的长.

【答案】（1）见解析

（2）6

【详解】（1）证明：如图，连接。C,

^ACB=90°,

乙BCO+Z.OCA=90°,

回OC=OA,

:.Z.OAC=Z.OCA

^\Z-DCB=Z.DAC»

:.Z-DCB=Z.OCA,

^DCB+乙OCB=90°,即。C1CD,

13OC是。0的半径，

13CD是。。的切线.

(2)解：由(1)知，OC1CD,

团在Rt^OCO中，由勾股定理，得OC?+=。。2,

团。8=OC,

(3OB2+42=(08+2)2,

第21页共41页

解得：OB=3,

胤48=6,

^AELAD,4B为（DO的直径,

团AE是。0的切线，

配E是。。的切线，

EL4E=CE,

在Rt中，由勾股定理，^AD2-VAE2=DE2,

即(6+2)2+4E2=(4+4E)2,

解得：AE=6.

5.如图，。0过△ABC的顶点4B,与AC交于点0,连接BO,^CBD=Z.A.

⑴求证：8c是。。的切线

⑵若"80=45。，8。=2,则身0=.（结果保留n和根号）

【答案】⑴见解析；

2）yn.

【详解】（1）证明：如下图所示，连接4。并延长交。0于点N,交BC于点F,连接BN,

.•4%是00的直径，

•••乙ABN=90°,

vDN=DN,

•••乙DBN=乙DAN,

乙CBD=乙CAB,

•••Z.CBD-乙DBN=乙BAD-Z.DAN,

二乙BAN=乙CBN,

v0A=0B,

•••乙BAN=Z.ABO,

乙BON=4BAN+乙ABO=2乙BAN,

如下图所示，过点。作0M18N,

第22页共41页

•••OB=ON,

・乙

••/.BOM=2-Z.BON=BAN,

在RMOBM中，/,BOM+Z.OBN=90°,

又•••乙BAN=乙CBN,

•••乙OBC=乙CBN+乙OBN=90°,

•••。8是。。的半径，

•••8c是。。的切线：

（2）解：如下图所示，连接。8、0D,

•••乙CBD=45°,

=Z.CBD=45°,

•••乙BOD=2Z.A=90。，

在Rt^BOD中，OB2+0D2=BD2,

vOB=OD,BD-2,

:.2OB2=22,

:，OB=0D-y/2f

故答案为：yn.

6.如图，4B为0。的直径，C为。。上一点，点。为林的中点，过点Z）作DE14C,交AC

的延长线于点E,延长ED交AB的延长线于点F.

第23页共41页

⑴求证：E。是。。的切线；

(2)若CE=2cm,ED=4cm,求。0的半径.

【答案】⑴见解析

⑵半径为5cm.

【详解】(1)证明：连接。＞AD.

团CD=困

0ZEJ4D=£.DAB，

团。4=0D,

^Z.OAD=44DO,

0Z.OD71=Z.DAC,

^AEWOD,

WE1AC,

团。。1DE,

团E。是0。的切线.

(2)解：过点。作OG_L4C于G,连接OD,0C.

第24页共41页

可得四边形。GED为矩形.

0OD=EG,ED=0G=4.

设半径为r,则。C=OD=EG=r,

^GC=EG-CE=r-2,

在RtaOGC中，r2=(r-2)2+42,

0r=5,即半径为5cm.

7.如图，是O。的直径，弦CD14B于点E,过B作。。的切线，交4C的延长线于点心

连接8D.

(1)若乙4BD=40。,求NF的度数;

(2)若AC=8,BD=6,求弦CO的长.

【答案】⑴4尸=40。；

(2)CD=9.6.

【详解】(1)解：•••8-切0。「点8,。8是。。半径,

•••OB1BF,

vCD1AB,

•••CDIIFB,

•••Z.ACD=乙F,

•••Z.ACD=Z.ABD=40°

:，Z.ACD=Z.F=40°；

(2)解:连接BC

是O。直径，CD1AB

第25页共41页

0CF=ED,弧8。=弧8£)

:.BC=BD=6.

,.TB是。。直径，

Z.ACB=90°

AB=>/AC24-BC2=10.

^ABC=^AC-BC=^AE-CEf

:，CE=4.8,

•••CD=9.6.

8.如图1,把△4C0绕点C逆时针旋转90。得△BCE,点4。分别对应点B,E,且满足力，D,

E三点在同一条直线上.连结DE交8。于OE的中点心ACDE的外接圆0。与48交于G,"两

点♦

图1图2

⑴求证：BE是0。的切线.

⑵判断四边形BEC。的形状，并说明理由.

【答案】（1）证明过程见解析

⑵平行四边形；理由见解析

【详解】（1）证明：•••把A4CD绕点C逆时针旋转90。得ABCE,

二Z.CAD="BE,Z.ACB=乙ECD=90°,

v乙AFC=乙BFE,

二Z.BEF=Z.ACF=90°,

•••AE1BE,

又•••Z-ECD=90°,

•••5。为。0的直径，

•••BE为。。的切线；

（2）解：四边形BEC。为平行四边形.

第26页共41页

理由如下：•••把△4CD绕点C逆时针旋转90。得△BCE,点4。分别对应点B,E,

ADC=EC,Z.DCE=90°,BE=AD,

vOE=OD,

ACO1ED,

:.乙COE=90。，

vZ.BEO=90°,

•••乙COE=Z.BEO,

BEIIOC,

•・•点尸是OE的中点，

•••EF=OF,

在△"£1与ACF。中，

(乙BEF=Z.COF

EF=OF,

\ABFE=Z.CFO

•••△BFE^LCFO(ASA),

BE=OC,

四边形8EC。是平行四边形.

9.如图，。。是△/1%?的外接圆，BE为。。的直径,BE与AC交于点、F,。为BE延长线上一

点,连接CD,CE,AE,LBAC4-/.BCD=180°.

⑴求证：乙DCE=LCBD；

(2)若=tanzD=。0半径为4,求8c长.

3

【答案】⑴见解析

(2)等

【详解】(1)证明：连接04OC,如图：

第27页共41页

D

•・•Z.BAC+乙ABC+Z.ACB=180°,Z,BAC+乙BCD=180%乙BCD=

Z.ACB+Z.ACD,

•••4ABC=z.ACDf

vZ.AOC=2Z.ABC,OA=OC,

・••/.ACO=Z.OAC=90°-乙4BC,

:.Z.OCD=Z.ACO+Z.ACD=90°-4ABC4-Z,ABC=90°,

••・BE为。。的直径，

二乙BCE=乙BCO+/.ACO=90°,

:.Z.BCO=Z.DCE,

•••OB=OCf

•••LBCO=乙CBD

•••LDCE=乙CBD；

(2)解:%*AB=BC,

:.Z.BAC=z.ACBf

•••Z.BAO=Z.BCO,

又OA=OC,

•••△AOB三△COB(SAS),

•••Z.ABO=乙CBO,

•••8"为乙48c的平分线，

:•BE上AC,AF=CF,£.COF=Z.ABC,

•••Z.D+乙COD=90°,

•••tanzCOD=—

tanD4

vOC=4,

CL1612

•••OF=—,CF=—,

»•>

BF=OB+OF=号

第28页共41页

BC=VCF2+BF2=

10.如图，已知AB为O。的弦,连接4。，过00上的点C作CDIIA。，交48的延长线于点D,

（2）若8C=2,tanD=p求04的长.

【答案】⑴见解析

⑵«

【详解】（1）证明：过点C作。。直径CE,连接4E,如图1所示,

图1zl=^.ABC,

vZ.OAC=4ABC,

:.zl=Z-OACt

•:CE为O。的直径，。4=0C,

•••LEAC=90%42=乙OAC,

•••zl=z2,

•••△ACE为等腰直角三角形，

:.Zl=Z2=45°,OA10C,

团COM。，

CD1OC,

•••0C为0。的半径，

二C。为。0的切线；

（2）解：过点C作。。直径CE交A8于M,连接七8,过M作MFIAC于尸，如图2所示,

第29页共41页

则4E8C=90°,

团C0||4。，

:.Z.OAM=40,

•••tanz.OAM=tanzD=3

由（1）可知，0410C,WCA=45°,

在Rtz\04M中，tan4。力A1=等=$

，设OM=Q,OA=3a,

•••OC=OA=3a,

MC=OC-OM=3a-a=2a,

•••乙OCA=45°,MF1AC,

•・.△MC/为等腰直角三角形，

=CF=yMC=yx2a=

在Rt△04C中,COSAOCA=—,

AC

AC=———='3a—=3>j2a,

COSZOC/lCOS45*

:.AF=AC-CF=36a-V2a=2&a,

在Rtz\4M尸中，tan4MAC=竺=华=二,

AF2V2a2

•••/.MAC=乙BAC,

•••tanz.fi/lC=5

又y=KBAC,

0tanF=tanz.BAC=

2

在RtAEBC中，BC=2,tanE=^=-^

BE2

第30页共41页

21

BE一2

:.BE=4,

0CF=7B。+BE?=V22+42=2瓜

...。/=沏=遍.

11.如图，已知力B是OO的直径，直线DE与。。相切于点C,4C平分乙）4B.

⑴求讦：AD1DC：

⑵若4。=4,4。=5,贝J4B的长为

【答案】（1）见解析

（2）T

【详解】（1）证明：如图，连接。。,

•••LDAC=Z.BAC,

vOA=OC,

:.乙OCA=Z-BACt

•••Z-DAC=乙OCA,

•••OCIIAD,

•••直线DE与。。相切于点C,

•••OC1DC,

•••4D1DC：

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（2）解：如图，连接BC,

••♦力8是。。的直径,

Z.ACB=90°,

:.Z.ADC=Z.ACB,

•••Z.DAC=乙CAB,

•••△DACCAB,

...丝="gpi=_L

ACAB5AB

解得：AB

4

故答案为:

4

12.如图，48为。。的直径，点。为。。上一点，点C在的延长线上，且乙。。力二28.

⑴求证：CD为。。的切线；

（2）若4c=2,8=4,求BO的长.

【答案】（1）证明见解析

Z.ADB=90°,

第32页共41页

^Z.ODB+^ODA=90。,

vOB=OD,

乙ABD=乙ODB,

又•••Z.CDA=LCBD,

AZ.ODA+Z.CDA=90°,

即。01CD,

。。是O。的半径，

•••CD为。。的切线.

(2)vZ.CDA=Z.CBD.Z.ACD=乙DCB,

•••△ACDDCB,

BDCDCB

:.—=—=—,

ADACCD

•:AC=2,CD=4,

BDCD4

・\—=—=_=/,

ADAC2

•••BD=2AD,

.CDCB

由―和

可得g=早，

即CB=8,

AB=CB-AC=8—2=6,

•••Z.ADB=90°,

AD2+BD2=AB2,

即+44。2=36,

解得4D=W，

・•.BD*.

5

13.如图，直线48、8。、。。分别与。。相切于/、尸、6且48||CD,OB=6cm,OC=8cm.求:

第33页共41页

AEB

⑴48。。的度数；

(2)BE+CG的长；

⑶。。的半径.

【答案】⑴ZBOC=90。

(2)10cm

(3)0F=4.8cm

【详解】(1)解：根据切线长定理得乙OBF=LOCF=£OCG；

vABIICD,

:./.ABC+乙BCD=180°,

:.M)BF+Z-OCF=90°,

•••NBOC=90°；

(2)解：由(1)知，Z.BOC=90°.

团08=6cm,OC=8cm,

•••由勾股定理得到；BC=y/OB2+OC2=10cm,

根据切线长定理得BE=8/，CF=CG,

二BE+CG=BC=10cm：

(3)解：连接。F,

・••BC与。。相切于点入

:.OF1BC,

S&OBC=xBC=~0BxOC,

即LOFx10=工x6x8.

22

•••OF=4.8cm.

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AEB

二.尺规作图

例1.已知:如图，EL4FC.

求作：O。，使圆心。在BC边的中线上，且圆与4C、BC边相切.

【答案】见解析

【详解】解：如图，先作线段8c的垂直平分线，交BC于点D,连接4D,再作乙4CB的平分

线，交AD于点0,过点。作OHJ.BC,垂足为H,以点。为圆心，0”的长为半径画圆，

则O。即为所求.

X

【实战演练】

1.已知：O。，半径为广，求作：圆内接使得N4CB=90。，BC=V3r.

【答案】见解析

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【详解】解：如图,RS4IC即为所作.

048为。。的直径，

^AB=2r,Z-ACB=90°,

071C=AO=r,

I3BC=y/AB2-AC2=V3r.

2.已知：如图：四边形4BCD,点E为力。上一点.

求作：O。，使OEIICD,且48,8c与。0相切.

【答案】见解析，则。。即为所求

【详解】如下图，

则G。即为所求.

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3.用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：。是BC上一点.

求作：与乙A8C的平分线相切于点。的。。.

【答案】图见解析

【详解】解：如下图，即为所求作.

4.（1）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：AABC.

求作：点P，使24=PC,且点。在边49的高上.

（2）如图，已知：AABC.

求作：00,使点O在HC上，乙4。8二2乙C,且与BC相切.

【答案】（1）见解析；12）见解析

【详解】解：（1）如图，点P为所作.

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解：（2）如图，。。为所作,

5.作图题：请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：△A8C及8C边上一点。.

求作：O。，使。。与边PC