常用逻辑用语（期末复习讲义）解析版-高一数学上学期（人教A版）

专题02常用逻辑用语（期末复习讲义）

.明•期末考情.

核心考点复习目标考情规律

核心易错点。学生常混淆“注是条件”，

2.1充分条件能通过“定义法”、"集合法''、“等价

导致判断颠倒。命题趋势是结合方程、

与必要条件的转化法”等多种方法，准确判断条件

不等式、集合、函数等知识构成复合情

判断间的逻辑关系与类型。

境题。

2.2全称量词能正确书写含有一个量词的命题的易错点集中：否定时只改量词（v—m）

与存在量词命否定，并理解否定前后命题真假性的而不否定结论。常以选择题形式考查对

题的否定关系。否定形式准确性的理解。

常见综合题型与难点。将逻辑关系转化

2.3根据命题能利用充分、必要条件的逻辑关系，

为集合包含关系或方程（不等式）恒成

真假求参数范或全称/存在命题的真假，建立不等

立、能成立问题，是考查逻辑与代数综

围式（组）求解参数取值范围。

合能力的关键

.记•必备知识.

!知识点01命题的概念

（1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.

（2）分类：判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.

<3）结构形式：”若P,则“”“如果〃，那么”等形式的命题中，P称为命题的条件,夕称为命题

的结论.

知识点02充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件的定义

一般地，“若〃，则q”为真命题，是指由条件〃通过推理可以得出夕。

由p可推出q,记作〃=9,并且说〃是夕的充分条件，q是〃的必要条件。

如果“若〃，则q”为假命题，是指由条件〃不能推出结论“，记作〃Rq,则p不是q的充分条件，q

不是〃的必要条件。

2.充分性和必要性的关系

在“若〃，则乡”中，

若：p=q,则〃是q的充分条件，q是〃的必要条件

若:q=p，则9是〃的充分条件，〃是夕的必要条件

也就是说：在“若〃，则中，

条件二＞结论，充分性成立：

结论二＞条件，必要性.成立

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若〃-＞“，则〃是夕的充分条件，“是”的必要条件

p是q的充分不必要条件pnq艮qKp

P是q的必要不充分条件且q=p

p是q的充要条件poq

P是q的既不充分又不必要条件且qNp

知识点03集合中的包含关系在判断条件关系中的应用

设命题〃对应集合A,命题q对应集合5

若即〃=＞夕，〃是q的充分条件（充分性成立）

若AqB,即“二〃，〃是的必要条件（必要性成立）

若A至8,即〃=g,q-p,p是,q的充分不必要条件

若A秘B,即〃於q,q=p,p是q的必要不充分条件

若A=8,即〃=q,q=p,p是q的充要条件

知识点04全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

（1）全称量词：短语“所有的''"任意一个"在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号，〃表示.含有全称量

词的命题，叫做仝称量词命题.仝称量词命题”对M中任意一个成立"可用符号简记为限的

D（X）.

（2）存在量词：短语〃存在一个〃“至少有一个〃在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号'勺〃表示.含有存

在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,p（x）成立"可用符号简记为一

mvfW,D（X）.

2.全称量词命题和存在量词命题的否定

（1）全称量词命题的否定

对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：V%WM,p（x）,它的否定「p：_

mxEM,不成立.

全称量词命题的否定是存在量词畲题.

（2）存在量词命题的否定

对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题pTx6M,p（x）,它的否定「p：VxW

存在量词命题的否定是全称量词令题.

（3）在书写这两种命题的否定时，相应地存在量可变为全称量词,全称量词变为存在量词.

.破•重难题型.

行题型一判断充分条件与必要条件

解|题|技|巧

（1）直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可.

（2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断.

【典例1】（24-25高一上•广东梅州•期末）"x>0〃是。+2>1〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式x+2>l,利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】解不等式x+2>l可得x>T,且卜卜>。｝｛小>一1｝,

因此，"x>0〃是的充分不必要条件.

故选：A.

【典例2】（24-25高一上•河南激可•期末）”角a与4的终边关于直线T对称〃是“疝（a+"）=-1〃的（）

A.充分必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据终边关于丁=-%对称，得两角的关系，再由sin（a+0=-l,得两角满足的关系，根据充分必

要条件的定义即可求解.

【详解】角。与夕的终边关于直线y=T对称，则a+/='+2E,keZ,

31r

乂dn（a+6）=-1,则。+尸=万+2反，keZ,

所以由角。与夕的终边关于直线）'=T对称，可以推出sin（a+/3）=-l,

由sin（a+万）=-1,可以推出角。马夕的终边关于直线），=一对称，

所以角a与0的终边关于直线），=一对称是sin（a+4）=-1的充要条件.

故选：A.

【典例3］（24-25高一上•云南昆明・期末）已知出反ccR,使a>人成立的一个充分不必要条件是（）

A.a+ob+cB.ac>beC.同>例D.ac2>be2

【答案】D

【分析】根据充分、必要条件的定义，结合不等式的性质，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】选项A：若a+c>〃+c,则〃>〃，反之成Z则〃+<?>〃+<:也成立，

所以a+c>8+c是〃>〃的充要条件，故A错误；

选项B：若ac>bc,当c>0时，则”>〃，当evO时,则

故无法一定得到a>〃，充分性不成立，故B错误；

选项C：当〃=-2力=1时，满足时>例，但此时"2,充分性不成立，故C错误；

选项D：若ac?》一若，且。2>0，则a>b,故充分性成立，

反之若a>b,当c2=0时，农二二机乙必要性不成立，

所以ac>>儿2是〃>/）的允分不必要条件，故D正确.

故选：D

【典例4］（24-25高一上•河南濮阳•期末）某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24

但不大于28时，可认定为轻微肥胖：当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和

严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（）

A.严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件

B.严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件

C.严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件

D.严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可.

【详解】由题竟可得严重肥胖一定能推出肥胖指数大干24,但肥胖指数大干24,不大干28时不能推出严

重肥胖，

因此严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件.

故选:A.

【变式1】（24-25高一上•陕西西安•期末）己知贝是“a-C”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】由不等式的性质可知由a>〃=a-c、>b-c,

由c=a-c+c>〃一c+c=a>/?,

故选：A

【变式2］（24-25高一上•广东深圳•期末）设集合A={3,/,0},8={4,a-2},则“AcB={4}〃是"〃=-2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断.

【详解】若Ac8={4},则46人

所以"=4,解得〃=±2,

当〃=2时，A={3,4.0}.8={4.0},此时AcB={4,0},不合题意舍去，

当a=—2时，A={3,4,0},8={4,T},此时Ac8={4},满足题意，

则4=-2,则充分性成立，

反之，亦得必要性成立，

则"AcB={4}〃是2〃的充要条件.

故选：C.

【变式3】（24・25高一上•北京顺义•期末）已知户均为第二象限角，则"cosa>cos/?〃是“sina>sin/?〃的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据已知角所在象限，分析余弦值大小关系与正弦值大小关系之间的逻辑联系

【详解】在第二象限，余弦函数值是负数且单调递减，止弦函数值是正数且单调递减.

己知”，“均为第二象限角，当cosa>cos〃时，根据余弦函数在第二象限的单调性可知a.

因为正弦函数在第二象限单调递减，当时，可得sina>sin〃.

这说明由cosa>cos£可以推出sina>sin尸.

当sina>sin〃时，根据正弦函数在第二象限单调递减川一知a<6,再根据余弦函数在第二象限单调递减，可

得cosa>cos/?.

说明由sina>sin/也可以推出cosa>cos/.

所以"cosa>cos4"是"sina>sin尸”的充分必要条件.

故选：C

【变式4］（24-25高一上•贵州毕节•期末）已知命题P：Y-4K+3>0,那么命题〃成立的一个充分不必要

条件是（）

A.x<-lB.l<x<2C.x>4D.2Vx<3

【答案】AC

【分析】解不等式，只需是何1>3或x<l｝的真子集，得到答案.

【详解】〃：/一4犬+3>（）=3>3或工<1,

要求命题〃成立的一个充分不必要条件，只需满足国工>3或x<l｝的真子集即可，

其中｛Xxv-1｝和｛#>4｝满足要求，其他选项不满足.

故选：AC

「题型二由充分条件与必要条件求解参数

【典例1］（24-25高一上•安徽宣城•期末）已知〃:2"-〃10,/IKxK2,若〃是q的一个必要不充分条件，

则实数机的取值范围是.

【答案】m>4

【分析】化简命题P,再利用必要不充分条件的定义列式求解.

【详解】命题而命题q：l《xK2,由〃是4的一个必要不充分条件，

得m之2,解得〃后4,所以实数力的取值范围是〃亚4.

故答案为：山24

【典例2］（24-25高一上•江西•期末）已知集合人=｛川a-2GSa+l｝,B=｛x|-6<x<4｝,全集U=R.

⑴当"2时，求@A）c8；

⑵若“xw8”是"xeA”的必要不充分条件，求实数〃的取值范围.

【答案】⑴（4A）nB=｛x|-6Kx<0或3<xW4｝；

（2）-4<a<3

【分析】（1）先求出特定。值卜.集合A的补集，再与集合3求交集；

（2）根据必要不充分条件得出集合A与8的包含关系，进而求出实数。的取值范围.

【详解】（1）当。=2时，集合4=｛x|0WxW3｝,则6A=｛x|x<0或x>3｝

所以（64）19=｛划一64%<（）或3<144｝；

（2）“xe8〃是"xeA〃的必要不充分条件，故A为3的真子集,

a-2<a+\a-2<a+\

则a-2>—6或，a-2>-6,解得

a+1<4d+1<4

【典例3】(24-25高一上•安徽合肥•期末)已知集合A=gw3iW9,集合8TMog./l+2x)>2}.

⑴求4B；

⑵己知。=卜--2小+>_1工0},若xeC是的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

【答案】⑴AU5={X|XN3}

(2)(5,+8).

【分析】(1)先求出集合AB,再求其并集即可；

(2)求出集合C,再由题意可得C是3的真子集，从而可求出实数，〃的取值范围.

【详解】(1)解不等式：工3149,得3«x«6,即从=卜|34》46},

解不等式1%(2工+1)>2,得x>4,即4=卜门>4},

所以Au3={x|x23}；

(2)由C=|x|x2-2/fix+nr-1<o1=|x|x2-2/fix+(〃?-1)(”?+1)«o}={x]〃?一1«xV〃?+1},

由xeC是xe8的充分不必要条件，可得C是8的真子集，

所以〃2-1>4,解得〃>5,

所以实数机的取值范围是(5,+8)

【变式1】(24-25高一上•江苏盐城•期末)已知集合人=卜已<4},8={x|(x—〃?)(x—『1)<0}.

3

(1)若m=/，求集合Ac8；

(2)若"xeA"是"xeZT的必要不充分条件，求实数/〃的取值范围.

3

【答案】(l)AD8=q,2)

(2)(5]

【分析】(1)分别求解指数不等式和一元二次不等式，得到集合A3,再由交集定义即得:

(2)由条件判断集合8是集合A的真子集，进而得到关于参数，〃的不等式，求解即得.

【详解】(1)由2、<4可得x<2,故集合A=(YO,2),

当〃时，-〃—)<()即*_3*—[)<(),解得.<*<1,即8=弓,[),

所以A14=(*2).

(2)因为“xcA"是"xwB”的必要不充分条件，故集合8是集合A的真子集，

A=(-oo,2),8=(〃?,m+1),则有“Z+1W2,解得，〃这1,故实数，〃的取值范围为(-8川.

【变式2】(24-25高一上•云南昆明・期末)已知全集〃=乩集合A={X|X2—4X+3K0},5={X|1<X<5},

C={x\2a<x<a+1].

⑴求4(心8)；

(2)若"xeC"是"xc夕的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

【答案】⑴&lxW3或x>5}；

【分析】(1)根据集合的运算法则计算：

(2)转化为集合的包含关系求解.

【详解】(1)A={x|x-4x+3<0}={x|l<x<3),

^Z?={A|X<1n£x>5),

所以AD(«8)={X|XW3或K>5}.

(2)若“xeC〃是“xeB”的必要不充分条件，则BqC且BwC,

所以产:!v且两个等号不能同时取得,解得-

/z+7>52

所以。的取值范围是1-2,口.

2

【变式3】(24-25高一上•四川泸州•期末)设全集U=R,A=ix\y/?={.d2<2r<4).

⑴求（4力B；

（2）已知。=国4"<2〃-1},若"xeA”的充分条件是“xwC〃，求实数。的取值范围.

【答案]⑴（。薄）八8={邓"《外

（2）“《-84

【分析】（1）求出人=卜门>|},8={却"。},再根据补集和交集运算求解；

（2）根据题意转化为Cu8.根据集合间的基本关系求解.

1

【详解】（1）因为，二丁号，所以工―=>0,即%>：,所以A=<

中>5卜64=（小冶

Wa22

因为2W2*W4，所以l〈xW2，所以8:{R1WXW2},

所以（药A）C8=[H1£XW2卜

（2）因为“xwB"的充分条件是"xwC",

所以C=

若C=0,则a>2a-1,所以a<I；

[a>l3

若。工0，则、所以14。4彳，

[2a~\<22

综上所述：-叫1.

Q题型三充要条件的证明

【典例1]（1）己知实数力,0均大于0,证明：a（!r+c2）+/?（c2+6/2）+c（6F2+lr）>6abc.

（2）求证：关于％的方程ar?+加+c=0有一个根为1的充要条件是a+8+c=0.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）由不等式/+从"2c力（当且仅当a=〃时等号成立）及不等式性质可得；

（2）直接根据充分必要条件的充分性和必要性分别证明即可.

【详解】证明：因为从+c222A（当且仅当〃=c时等号成立），

c2+a2>2ac（当且仅当〃=c时等号成立），

a2^b2>lab（当且仅当〃=〃时等号成立）.乂实数。也。均大于0,

所以a(b-+c2)>2abc,b(c2+a2)>2abc,c(a2+h~)>2abc,再由不等式性质得，

a(b2+c1^+b[c1+a2)+c(/+〃2)Za2Z?c+b-27c+c-2aZ?=6abg当且仅当〃=b=c时等号成立.

所以〃(从+,2)+艇/+/)+4/一〃2”6他门当且仅当〃=b=c时等号成立)

⑵充分性：因为a+h+c=O,

所以c=-a-〃，代入方程av?+H+C-0,ax24-bx—«—/?—0>即(r—1)(〃丫+〃+〃)=0.

所以方程av?+法+<?=0有一个根为1.

必要性：因为方程ar?+〃x+c=0有一个根为1,所以x=l满足方程ar?+/zr+c=0,

所以ax『+〃x1+c=0,即a+/?+c=0.

故关于4的方程加+6+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.

【变式1】已知，心工0,求证："一2a7+2a分一父=0成立的充要条件是。-8=0.提不：

a'_//*=(4―/?)(/+(山+b，)

【答案】证明见解析.

【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可.

【详解】充分性：

若a-b=0,则/一2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0,

即充分性成立；

必要性：

若a，一2a2b+2ab2-1/=0»而/一2a2b+lab2-b-=(a-b)(a2-ab+b2),

KO(a-b)(a2-ab+b2)=(),-ab+b2=(«--)2+—,

24

bq人2

由dbw0•得4/0H.力w0,即(〃——)*》0,H.--->0,

24

因此洒+从=3-2)2+生>0,则。一〃=0,即必要性成立，

24

所以a3-2a2b+2加一/=0成立的充要条件是。一〃二0.

【变式2]已知实数r八z满足x+y+z=0.

(1)若工、)，均为正数，z=-2,求'的最小值，并求出此时工、》的值：

(2)证明："W+y2+z?=0"是"冲+"+xz=0"的充要条件.

【答案】（1）2,x=Ly=l；

（2）证明见解析.

（1）由x+y=2得到，+，=<，+，（x+），）=〈£+2+2卜!2日土+2=2,验证等号成立

【分析】

x），2（xy）），121Vxy

的条件，即可得到‘+’的最小值及此时乂），的值；

（2）充分性证明：由X+y+Z=0得到（x+y+z）2=o,利用完全平方公式去掉括号，代入/+），2+72=0即

可得到不，+）2+*=0；必要性证明：将X+），+Z=。两边平方，去括号，代入D+*+XZ=。即可得到

x2+y2+z2=0.

【详解】(1)x+.v+z=0,z=-2»：.x+y=2,\-x>0,y>0.

11\_11

—+—』+2+2=2,

K)'2xy)

,-^-=-

当且仅当上=2时取等号，联立了一〉，解得x=y=l,

x+y=2

的最小值为2,此时x=Ly=l；

(2)充分性证明：•,•x+y+z=0，.•.(x+)，+z)2=0,x2+j2+z2+2^+2xz+2yz=0,

vA2+y2+z2=0,/.2xy+2xz+2yz=0,:.xy^yz+xz=O-

必要性证明：-x+y+z=0,：.x2+y2+z24-2xy+2xz+2yz=0,

xy+yz+xz=0,/.2xy+2xz+2yz=0,x2+y2+z2=0.

0题型四含有一个量词的命题的否定

【典例1］（24-25高一上•江苏盐城•期末）命题“*>0,f一3二>0"的否定是（）

A.3x<0,X2-3X<0B.3X>0,X2-3X<0

C.Vx<0,X2-3X<0D.VX>0,X2-3X<0

【答案】D

【分析】根据存在量词的命题的否定的规定，改变量词并否定结论即可.

【详解】命题"*>0,X2-3x>0"的否定是"Dx>0.X2-3A-<0".

故选：D.

【典例2］（24-25高一上•云南昭通•期末）已知命题P：女GR,』7>0,则力为（）

x-1

A.VXGR,—^―<0

x-1

B.HreR,—^-<0

x-1

C.VXGR»—^―V0或x-l=0

x-\

E

D.3xwR,WO或x-l=0

x-\

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定的定义判断即可.

【详解】命题〃:土^R,一、>0的否定为：VXGR.」一40或x—1=。，

X-1X-1

故选:C.

【典例3】（24-25高一上•湖北•期末）命题“Vx«3,+8）,3*>5x”的否定是（）

A.Vxe（3,+x）,3V<5xB.ive（3,+oo）,y<5x

C.Vx^（3,+co）,3Y5XD.3LV^（3,+OO）,3Y5X

【答案】B

【分析】直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可.

【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以命题"Br«3,+8）,31r>5x”的否定是：Hre（3,+00）,3A<5x

故选：B

【变式1】（24-25高一上海南•期末）命题"HrwR,卜-1|>2"的否定是（）

A.VxeR,|x-l|<2B.VXGR,|x-l|^2

C.HteR,|x-l|<2D.3x《R,|x-l|W2

【答案】B

【分析】由特称命题的否定是“存在”改“任意〃，并否定原结论，即可得答案.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为：VXGR,|X-1|^2.

故选：B.

【变式2】(24-25高一上•福建三明・期末)命题pNxwR,都有凶之0.则f为()

A.VXGR,都有凶《()B.WxwR,都有RvO

C.3,v0€R,使得闻WOD.训wR,使得闻<0

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定可得r，命题.

【详解】命题〃：X/XGR,都有凶之0,

根据全称最词命题的否定可得M：ItoCR,使得|引<0.

故选：D.

【变式3】(24-25高一上•山西・期末)命题4%一5>0〃的否定是()

A.3xe(0,l],x2-4,r-5<0

B.3XG(-OO,0]l(l,+oo),x2-4A-5<0

C.VXG(0,1],X2-4X-5<0

D.Vx€(-oo,OJL(1,+<»),x2-4x-5<0

【答案】A

【分析】含有一个量词的命题的否定，需要“改量词，否结论

【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，

所以命题“,£(0,1],/-44-5>0"的否定是"三方£(0,1],<?-4彳一5三0”.

故选：A.

「题型五判断全称量词命题与存在量词命题的真假

【典例|】（24-25高一上•辽宁丹东•期末）已知命题P"xwR,」一＜1,命题J7＜-x+b

x+1

则（）

A.〃和q都是真命题B.T7和g都是真命题

C.〃和F都是真命题D.~和F都是真命题

【答案】B

【分析】举出反例，得到〃为假畲题，举出实例，得到4为真命题.

【详解】命题P,当x=0得，=故P为假命题，f为真命题，

r+1

命题"，x=-1时，VP^=l,-x+l=2»故满足x+1，4为真命题.

故选：B

【典例2]（24-25高一上•河南焦年,期末）已知命题〃:V"0—1,同＞0,命题夕：太＜0,2025,=/,则（）

A.〃和都是真命题B.〃是假命题，（7是真命题

C.〃是真命题，g是假命题D.〃和q都是假命题

【答案】B

【分析】利用特例法判断命题〃的真假；判断指数函数y=2025，与二次函数y=F在（_],0）上有一个交点，

即可判断命题9的真假.

【详解】因为〃7=0时同=0,所以命题1,帆＞0为假命题；

因为x=-1时，2025-,＜（-1）2；x=0时，2025°＞02,且指数函数y=2025、与二次函数），二/都是连续函数，

所以指数函数），=2025,与二次函数），=/在（_],o）上有一个交点，所以王＜0,2025'=/,故命题4为真命

题.

综上〃是假命题，“是真命题.

故选：B.

【变式1】（24-25高一上•河北保定•期末）下列命题中，真命题的选项是（）

A.VxeR,lnx2＞0B.VxeR,-1＜-7-

sinA:

r,>

C.迟€R,e<1D.3A0€R,cos$=2

【答案】C

【分析】根据对数函数的定义域，正弦函数、指数函数以及余弦函数的值域即可判断.

【详解】对A,当工=0时，1（1/20不成立，所以A错误；

对B,当x=0时，」一不存在，所以B错误；

sinx

对3当x$0时，0<ev<1»所以C正确；

对D,因为函数'=851的值域为[_9],所以D错误.

故选：C.

【变式2】（24-25高一上•陕西安康•期末）已知命题p:3xeR,cosx>l；命题g:Vx>3,,则（）

A.〃和4都是直命撅B.~1P和，/都是真命顾

C.〃和F都是真命题D.T7和F都是真命题

【答案】B

【分析】结合余弦函数、指数函数的性质判断存在量词命题、全称题词命题的真假.

【详解】由于VxwR.cosxWl,则命题p：3xeR,cosx>l是假命题，是真命题：

命题4:Dx>3,7C3'-9>1是真命题，F是假命题，

故选：B

「题型六由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数范围

【典例1]（24-25高一上广东广卅期末）若〃*41,4],使得〃+。+1“〃是假命题，则实数。的取值范

围是（）

A.（-a）,-9）B.（』-3）C.（-9,YO）D.（Tyc）

【答案】A

【分析】根据"Vxe[l,4],使得2_r+a+l<0〃是真命题，即可求解最值得解.

【详解】由于“玉使得21+。+120〃是假命题，则“心小4卜使得2丫+。+1<0〃是真命题，

故2x4+a+lv0,贝iJav-9,

故选：A

【典例2]（24-25高一上•云南昭通・期末）使命题"Vxw[T,2],2、K0〃为真命题的一个充分不必要条件

可以是（）

A.心4B.a<4C.ci>5D.a<5

【答案】C

【分析】先求命题1,2],2、-aW0”为真命题的充要条件，根据充分不必要条件定义，结合选项即

可得解.

【详解】因为命题“以4―1,2],2'-心0"为真命题，

所以（2、一〃）四<0,其中

又函数y=2、在卜1,2]上单调递增，

所以函数y=2-a,xw卜1,2]的最大值为4—〃，

所以4一。W0,即心4,

所以命题"女e卜1,2],2r-«<0”为真命题的充要条件为a24,

根据选项，命题”近丫4-1,2],2'-a40”为真命题的•个充分不必要条件可以是a25,

故选：C.

【典例3]（24-25高一上•四川眉山•期末）己知命题〃:VxeR,./一2〃氏-3〃?>0成立；命题

q:3xeR,丁+4HLX+1<0成立.

⑴若命题〃为真命题，求实数次的取值范围；

⑵若命题〃真。假，求实数，〃的取值范围.

【答案】⑴卜〃|-3<,〃v0}

（2）•

【分析】（1）根据题意得到△<（）,求出答案；

（2）先求出4真时，实数加的取值范围，进而得到P真"假时，实数加的取值范围.

【详解】（1）因为命题〃：\^£=2一2皿-3〃?>0为真命题，即『-2g-3心。在R上恒成立,

则判别式△=(一2⑹2-4X(-3〃。＜0

B[Jnt+3〃?<0<=>〃7（相+3）<0,解得-3<m<0.

所以实数”的取值范围为卜〃I-3<m<0｝.

（2）若q:*eR,x2+4mr+lvO为真,即关于“的不等式f+4出+1<0有解,

则A=（4〃?『-4>0,解得：加〉;或机<一；，

若4假，则实数〃?的取值范围为卜I工,

由（1）可知：若命题〃真，则实数制的取值范围为｛，川-3<〃?<0｝；

综上所述：实数机的取值范围为“川-gw〃iv。•.

【变式1】（24-25高一上•广东深圳•期末）已知命题“土£氏/一4文一。-1<0〃为假命题，则。的取值范围

是（）

A.（』-5）B.（-5,+oo）C.（-<x>,-5]D.[-5,+a?）

【答案】C

【分析】由其否定为真命题，通过一元二次不等式恒成立求解即可；

【详解】由命题“3xeR,f-4x-为假命题，

可得“X/x£R,f-4x-a-1之0〃为真命题，

所以△=l6+4（a+l）W0,

解得：a4—5,

故选：C

【变式2]（24-25高一上•山东潍坊・期末）若命题P："区』十]，，.使命题〃为假命题的一个必

要不充分条件是（）

A.[1,+so）B.（—2]C.（1,-K»）D.（-oo,5]

【答案】A

【分析】由命题〃为真求出〃，的范围，再结合选项求出命题〃为假命题的必要不允分条件.

【详解】Vxe[-1,2],+而+当且仅当工=0时取等号，则〃叱1,

因此命题P：〃?W1,命题P为假命题时,/w>1>

由给定的选项知，集合。+8）真包含于集合"内），

所以使命题P为假命题的一个必要不充分条件是口，”）.

故选：A

22

【变式3]已知命题〃：:3xeRtx+2ax+2a+a=0.

⑴若命题"为真命题，求实数。的取值范围：

（2）若命题〃和F均为真命题，求实数〃的取值范围.

【答案】⑴

（2）0<«<I.

【分析】（1）利用全称量词命题为真求出〃的范围，再由力为真求得答案.

（2）由存在量词命题为真求出命题4,进而求出F,再结合（1）的信息求出结果.

【详解】（1）对于任意1KXK2,不等式工2一〃之0044/恒成立，而（/）*=],则々a,

即命题则命题力：。>1,

所以实数〃的取值范围是。>1.

（2）由HvwR,/+24X+24+"=0,得△=4/-4（2。+/）=20,解得。$0,

即命题夕:々工0,则命题由（1）知命题〃:。小，

由命题P和F均为真命题，得OcaWl,

所以实数〃的取值范围是0vaK1.

.过•分层验收.

期末基础通关练（测试时间：15分钟）

一、单选题

1.（24-25高一上•陕西西安•期末）是的（）

A.允要条件B.允分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由充分条件、必要条件的定义即可判断.

【详解】由+得a>b,反之不成立,则〃”是的必要不充分条件.

故选：C.

2.（24-25高一上峡州铜仁•期末）“x>l”是"y=ln（x-2）有意义”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据对数的真数大于零解不等式，再利用范围大小可得结论.

【详解】易知若使y=ln（x-2）有意义需满足x—2>0,解得x>2；

显然晨>2〃能推出反之则不成立;

因此"x>l"是"y=ln（K-2）有意义〃的必要不充分条件.

故选：B

3.（24-25高一上•江苏苏州・期末）”点尸（如e,tan。）在第二象限〃是“角。为第三象限角〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断.

【详解】若点夕（sin。,tan。）在第二象限，则sin，vO,tan夕>0,则角。为第三象限角，故充分性成立,

若角6为第三象限角，则sin，<O.lan"O,则点尸（siMtanO）在第二象限，故必要性成立，

能点P（sinatan。）在第二象限〃是〃角。为第三象限角〃的充要条件.

故选：C.

4.（24-25高一上•广西钦州•期末）命题“玉压工/"工筌田”勺否定是（）

A.eZ,x2-5x-20B.V.veZ,x2-5x-2#0

C.史Z,x?-5x-2r0D.V.r^Z,x2-5x-2^0

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.

【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题.

所以否定为：VxeZ,x2-5x-2^0

故选：B.

5.（24-25高一上•陕西西安•期末）已知〃.乂乜R,2X2-3X+2=0,贝4<）

A.〃是假命题，2X2-3X+2=0

B.〃是假命题，~'P：VxeR,2x2-3x+2^0

C.P是真命题，—>p：VxeR,2x2—3x+20

D.〃是真命题，r?:3xeR,2*2-3x+2wO

【答案】B

【分析】由AvOr"得〃是假命题，进血由存在量词的否定可得.

【详解】因为A=（-3）2-4X2X2=-7<0,

所以方程2/-3x+2=0无实数根，则〃是假命题，

「〃:VxeR,2X2-3X+2^0.

故选：B

二、多选题

6.（24-25高一上•江苏盐城•期末）集合A={dd-2x-3<0},〃={Nx</”},若“xwA”是“xw8”的充分不

必要条件，则用可以是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】BCD

【分析】由题知A={H-1<X<3},进而根据题意得AU/再根据集合关系求解即可.

【详解】解：解不等式/一2工一3二（工一3乂1+1）<0得—1〈工<3,

所以4={乂_]<x<3},

因为人{小<〃?},".A"是"xe夕的充分不必要条件，

所以〃后3,即机的取值范围为{fn\m>3},

所以，〃，可以是3,4,5.

故选：BCD

7.(24-25高一上•安徽淮南•期末)“不等式『一2、+加20在R上恒成立”的充分不必要条件可以是()

A.B.m>1C.D.m>3

【答案】CD

【分析】利用不等式恒成立求出加的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解.

【详解】不等式f-2工+〃亚0在R上恒成立，则△=解得〃?之1,

选项中满足是集合{，〃I〃止1}真子集的是CD.

所以所求充分不必要条件是CD.

故选：CD

二、填空题

8.(24-25高一上•安徽阜阳•期末)已知〃?cR,若一>心”是-3X-4N0”的充分不必要条件,则加的取

值范围为—.

【答案】［4,48)

【分析】解不等式可得x24或xK-1,结合已知可得，〃的取值范围.

【详解】由丁-31-420,可得(x-4)(x+l)?0,解得X1或KW—1,

因为“x>阳〃是&-3110”的充分不必要条件，所以加之4,

所以用的取值范围为［4,y).

故答案为：［4,+8).

四、解答题

9.(24-25高一上・广东汕头・期末)设全集。="集合人=伊丁—3%-282()},集合8=伊a-\<x<2a-l}.

(1)当a=4时，求

(2)若3/0,且“xeA〃是“xwZr的必要不充分条件，求实数〃的取值范围.

【答案】⑴&A)CB={X|3MXV7}

⑵［8,+。)

【分析】(1)解一元二次不等式化简集合4代入。=4,得到集合8根据补集与交集的运算，可得答案:

(2)根据必要不充分条件的集合表示，建立不等式组，可得答案.

【详解】⑴解一元二次不等式/-3%-28之0,得XWY或工27,

所以A=EXW_4或*7},所以a,A={x|Tvx<7}

当〃=4时，B={x|3<x<7}

所以@A)c8={划3Wx<7}

(2)因为“xw4〃是“大£4〃的必要不充分条件，

所以8UA,又因为

a-\<2a-\a-\<2a-\

所以，或，

2a-\<-4a-\>l

解不等式组得a28

综卜.所述,实数。的取值范用为电+O0)

10.(24-25高一上•广东汕头•期末)已知集合A=32<xW4},函数f(x)=x2-4ax+3a

⑴若a=l,设/(x)<。的解集为8,求(QB)A；

⑵设命题P：3xeRJ")<。，写出命题，的否定；若命题，是假命题，求实数。的取值范围.

【答案】⑴即8)CA={X|3WXW4}

3

(2)命题P的否定：VxeR,x2-4av+3«>0:实数”的取值范围为0$a$;

4

【分析】(1)解一元二次不等式求得集合B，利用补集的意义求得Q8,进而利用交集的意可求(％B)cA；

(2)利用存在量词命题的否定全称量词命题可求得命题〃的否定，法一：根据命题〃的否定为真命题可求

得"的范围.法二：求得命题〃为真命题时。的范围，利用命题真假性的关系可求得结论.

【详解】(1)当。=1时，fi={x|?-4x+3<0}={x|l<x<3},«B={x|xKI或x23},

而A={x|2<xW4},所以匹可c4