传感器技术及应用（第2版）

传感器技术及应用传感技术是新一代信息技术三大组成部分之一，是发展物联网及其应用的关键和瓶颈，是发展中国装备制造业的关键基础元器件。其作用越来越被工业界、科技界、国防军工、政府决策部门所认识和重视。基础知识定义、分类发展趋势选用原则一般特性传感器原理检测技术电容式传感器电阻式传感器电感式传感器压电式传感器磁电式传感器热电式传感器光电传感器声、波及辐射传感器课程主要内容传感器的工作原理、结构、主要参数、检测电路及其典型应用

绪论“没有传感器就没有现代科学技术”的观点已为全世界所公认。以传感器为核心的检测系统就像神经和感官一样，源源不断地向人类提供宏观与微观世界的种种信息，成为人们认识自然、改造自然的有利工具。[Mendelyeev,DmitryIvanovich]

科学仅仅是在人们懂得了测量才开始的－门捷列夫传感器是人类五官的延长，又称之为电五官。传感器是获取信息的主要途径与手段。没有传感器，现代化生产就失去了基础。传感器是边缘学科开发的先驱。传感器技术在发展经济、推动社会进步等方面起着重要作用。传感器已渗透到诸如工业生产、宇宙开发、海洋探测、环境保护、资源调查、医学诊断、生物工程、甚至文物保护等等极其广泛的领域。从茫茫的太空到浩瀚的海洋，以至各种复杂的工程系统，几乎每一个现代化项目，都离不开各种各样的传感器。国家标准（GB7665-87）中传感器（Transducer/Sensor）的定义：能够感受规定的被测量并按照一定规律转换成可用输出信号的器件或装置。①传感器是测量装置，能完成检测任务；②输入量是某一被测量，可能是物理量，也可能是化学量、生物量等；③输出量是某种物理量，便于传输、转换、处理、显示等，可以是气、光、电物理量，主要是电物理量；④输出输入有对应关系，且应有一定的精确程度。传感器功用：一感二传，即感受被测信息，并传送出去。是将各种非电量按一定规律转换成便于处理和传输的另一种物理量的装置传感器的应用

传感器的应用领域涉及机械制造、工业过程控制、汽车电子产品、通信电子产品、消费电子产品和专用设备等。（1）工业自动化中的应用

机械手、机器人中的传感器

转动/移动位置传感器、力传感器、视觉传感器、听觉传感器、接近距离传感器、触觉传感器、热觉传感器、嗅觉传感器。

在各种自动控制系统中，检测环节起着系统感官的作用，是其重要组成部分。（2）生产加工过程监测

切削力传感器，加工噪声传感器，超声波测距传感器、红外接近开关传感器等。（3）消费类可穿戴设备传感器高度计手表湿度传感器监测当地的相对湿度压力传感器监测海拔高度温度传感器监测当地空气温度健身手环压力传感器监测海拔高度变化温度传感器监测当地空气温度或皮肤温度湿度传感器监测当地的相对湿度或皮肤湿度（汗水）压电薄膜传感器监测用户运动和一般活动强度生命特征光学传感器测量心率和SpO2

浓度温度传感器测量皮肤和呼气温度压力传感器监测吸气和呼气活动睡眠监测湿度传感器控制CPAP

面罩中的湿度，以提高舒适度温度传感器监测皮肤温度和呼吸空气，以提高舒适度压力传感器监测呼吸频率光学传感器测量心率和SpO2

浓度（4）流程工业设备运行状态监控在电力、冶金、石化、化工等流程工业中，生产线上设备运行状态关系到整个生产线流程。通常建立24小时在线监测系统。

石化企业输油管道、储油罐等压力容器的破损和泄漏检测（5）产品质量测量

在汽车、机床等设备，电机、发动机等零部件出厂时，必须对其性能质量进行测量和出厂检验。

汽车出厂检验原理框图，测量参数包括润滑油温度、冷却水温度、燃油压力及发动机转速等。通过对抽样汽车的测试，工程师可以了解产品质量。汽车扭距测量机床加工精度测量

未来的战争一定程度上可以称之为传感器战争。未来战场将布满各种传感器，它们既包括电视摄像机、激光雷达、成像雷达、微光夜视仪、制冷和非制冷热像仪等可视设备，也包括声传感器、震动传感器、磁传感器、气象传感器和探测生化战剂的传感器，当然也可能出现目前尚未问世或成熟的其它传感器。这些传感器将为指挥人员和士兵收集大量的战场态势信息，使他们拥有全面的信息优势，从而最大限度地增强他们的攻击威力。（6）在军事和航天领域的应用中国传感器的发展走过了一段极不平坦之路：从无到有，从有到全，全而不強，机遇很多。对传感器的认识上下基本趋于一致，转变了“造船不如买船、买船不如租船”的思维模式，从“市场换技术”的迷雾中走出，正确理解“科技创新的主体在企业”这一观点。经过几代传感器人的努力，风雨同舟，一路艰辛，成绩巨大，业绩卓然，问题不少，前景光明。

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《中国传感器（技术、产业）发展蓝皮书》传感器是信息技术的源头。没有传感器对原始参数的准确、可靠、实时的测量，信息处理与传输的能力再强，都没有任何实际意义。

没有传感器，就不能实现检测与测量；

没有测量，就没有科学，就没有技术；

因此，大力发展传感器技术在任何时候都是重要的和必要的。传感器的组成辅助电源敏感元件转换元件基本转换电路非电量电量敏感元件是直接感受被测量，并输出与被测量成确定关系的某一物理量的元件。转换元件：敏感元件的输出就是它的输入，它把输入转换成电路参量。基本转换电路：上述电路参数接入基本转换电路（简称转换电路），便可转换成电量输出。典型测控系统被控对象传感器信号调理信号转换与处理显示存储传输执行器控制信号电信号典型测控系统主要包括：测控对象、传感器、信号调理、信号转换与处理、执行器、显示/存储/传输等几部分。信号调理信号调理大致可分为四种类型，即电平调整、线性化、信号形式变换、滤波、阻抗匹配。

电平调整是对电压信号进行的放大或衰减，及传感器零位电压的调整等。

线性化是针对传感器的非线性特性的信号调理。尽最大可能扩大传感器的响应特性的线性范围。

信号形式变换是将传感器输出信号从一种形式变换为另一种形式，如电压-电流变换。

滤波是滤除系统中的无用噪声信号。1、按传感器的工作机理，分为物理型、化学型、生物型等2、按构成原理，结构型与物性型两大类3、根据传感器的能量转换情况，可分为能量控制型传感器和能量转换型传感器4、按照物理原理分类：电阻、电容、电感等5、按照传感器的用途分类：位移、压力、振动、温度传感器7、根据传感器输出信号：模拟信号和数字信号6、根据转换过程可逆与否：单向和双向8、根据传感器使用电源与否：有源传感器和无源传感器传感器的分类传感器的发展动向

开发新型传感器

开发新材料新工艺的采用集成化、多功能化智能化

开展基础研究，发现新现象，开发传感器的新材料和新工艺；实现传感器的集成化与智能化

传感器的工作机理是基于各种效应和定律，由此启发人们进一步探索具有新效应的敏感功能材料，并以此研制出具有新原理的新型物性型传感器件，这是发展高性能、多功能、低成本和小型化传感器的重要途径。世界各国都在物性型传感器方面投入大量人力、物力加强研究，从而使它成为一个值得注意的发展动向。1．开发新型传感器新型传感器包括：①采用新原理；②填补传感器空白；③仿生传感器等方面。它们之间是互相联系的。传感器材料是传感器技术的重要基础，由于材料科学的进步，人们在制造时，可控制它们的成分，从而设计制造出用于各种传感器的功能材料。用复杂材料来制造性能更加良好的传感器是今后的发展方向之一。2．开发新材料（1）半导体敏感材料（2）陶瓷材料（3）磁性材料（4）智能材料如，半导体氧化物可以制造各种气体传感器，而陶瓷传感器工作温度远高于半导体，光导纤维的应用是传感器材料的重大突破，用它研制的传感器与传统的相比有突出的特点。有机材料作为传感器材料的研究，引起国内外学者的极大兴趣。在发展新型传感器中，离不开新工艺的采用。新工艺的含义范围很广，这里主要指与发展新型传感器联系特别密切的精细加工技术。该技术又称微机械加工技术，是近年来随着集成电路工艺发展起来的，它是离子束、电子束、分子束、激光束和化学刻蚀等用于微电子加工的技术，目前已越来越多地用于传感器领域。3．新工艺的采用例如利用半导体技术制造出压阻式传感器，利用薄膜工艺制造出快速响应的气敏、湿敏传感器，日本横河公司利用各向异性腐蚀技术进行高精度三维加工，在硅片上构成孔、沟棱锥、半球等各种开头，制作出全硅谐振式压力传感器。4．集成化、多功能化多功能一体化，即将传感器与放大、运算以及温度补偿等环节一体化，组装成一个器件。把多个功能不同的传感元件集成在一起，除可同时进行多种参数的测量外，还可对这些参数的测量结果进行综合处理和评价，可反映出被测系统的整体状态。为同时测量几种不同被测参数，可将几种不同的传感器元件复合在一起，作成集成块。例如一种温、气、湿三功能陶瓷传感器已经研制成功。5．智能化对外界信息具有检测、数据处理、逻辑判断、自诊断和自适应能力的集成一体化多功能传感器，这种传感器具有与主机互相对话的功能，可以自行选择最佳方案，能将已获得的大量数据进行分割处理，实现远距离、高速度、高精度传输等。智能传感器是传感器技术与大规模集成电路技术相结合的产物，它的实现取决于传感技术与半导体集成化工艺水平的提高与发展，是传感器重要的发展方向之一。第1章传感与检测技术的理论基础1.1测量概论

1.2测量数据的估计和处理1.1测量概论1.1.1测量测量是以确定被测量的值或获取测量结果为目的的一系列操作。所以,测量也就是将被测量与同种性质的标准量进行比较，确定被测量对标准量的倍数。它可由下式表示：式中：x——被测量值；

u——标准量，即测量单位；

n——比值（纯数），含有测量误差。

由测量所获得的被测量的量值叫测量结果，测量结果可用一定的数值表示，也可以用一条曲线或某种图形表示，但无论其表现形式如何，测量结果应包括比值和测量单位。测量结果仅仅是被测量的最佳估计值，并非真值，所以还应给出测量结果的质量，即测量结果的可信程度。这个可信程度用测量不确定度表示，测量不确定度表征测量值的分散程度。

因此测量结果的完整表述应包括估计值、测量单位及测量不确定度。

被测量值和比值等都是测量过程的信息，这些信息依托于物质才能在空间和时间上进行传递。被测量作用到实际物体上，使其某些参数发生变化，参数承载了信息而成为信号。选择其中适当的参数作为测量信号，例如热电偶温度传感器的工作参数是热电偶的电势，差压流量传感器中的孔板工作参数是差压Δp。

测量过程就是传感器从被测对象获取被测量的信息，建立起测量信号，经过变换、传输、处理，从而获得被测量量值的过程。1.1.2测量方法实现被测量与标准量比较得出比值的方法，称为测量方法。针对不同测量任务，进行具体分析，找出切实可行的测量方法，对测量工作是十分重要的。对于测量方法，从不同角度，有不同的分类方法。根据获得测量值的方法可分为直接测量、间接测量和组合测量；根据测量方式可分为偏差式测量、零位式测量与微差式测量；根据测量条件不同可分为等精度测量与不等精度测量；根据被测量变化快慢可分为静态测量与动态测量；根据测量敏感元件是否与被测介质接触可分为接触式测量与非接触式测量；根据测量系统是否向被测对象施加能量可分为主动式测量与被动式测量等。

1.直接测量、间接测量与组合测量在使用仪表或传感器进行测量时，测得值直接与标准量进行比较，不需要经过任何运算，直接得到被测量的数值，这种测量方法称为直接测量。被测量与测得值之间关系可用下式表示：

y=x

式中：y——被测量的值；

x——直接测得值。优点：简单、迅速缺点：精度低

例如，用磁电式电流表测量电路的某一支路电流，用弹簧管压力表测量压力等，都属于直接测量。直接测量的优点是测量过程简单而又迅速，缺点是测量精度不容易达到很高。

y=f(x)或y=f(x1,x2,…,xn)在使用仪表或传感器进行测量时，首先对与被测量有确定函数关系的几个量进行直接测量，将直接测得值代入函数关系式，经过计算得到所需要的结果，这种测量称为间接测量。间接测量与直接测量不同，被测量y是一个测得值x或几个测得值x1，x2，…，xn的函数，即

被测量y不能直接测量求得，必须有测得值x或xi（i=1，2，…，n）及与被测量y的函数关系确定。如直接测量电压值U和电阻值R，根据式P=U2/R求电功率P即为间接测量的实例。间接测量手续较多，花费时间较长，一般用在直接测量不方便，或者缺乏直接测量手段的场合。举例1：测电阻率举例2：曹冲称象优点：能够获得不能通过直接测量的信息；精度更高若被测量必须经过求解联立方程组求得，如有若干个被测量y1，y2，…，ym，直接测得值为x1,x2,…,xn,把被测量与测得值之间的函数关系列成方程组，即这种测量方法称为组合测量方程组中方程的个数n要大于被测量y的个数m，用最小二乘法求出被测量的数值。组合测量是一种特殊的精密测量方法，操作手续复杂，花费时间长，多适用于科学实验或特殊场合。

2.偏差式测量、零位式测量与微差式测量用仪表指针的位移（即偏差）决定被测量的量值，这种测量方法称为偏差式测量。偏差式测量,其测量过程简单、迅速，但测量结果的精度较低。

用指零仪表的零位反映测量系统的平衡状态，在测量系统平衡时，用已知的标准量决定被测量的量值，这种测量方法称为零位式测量。零位式测量的优点是可以获得比较高的测量精度，但测量过程比较复杂，费时较长，不适用于测量变化迅速的信号。

微差式测量是综合了偏差式测量与零位式测量的优点而提出的一种测量方法。它将被测量与已知的标准量相比较，取得差值后，再用偏差法测得此差值。应用这种方法测量时，不需要调整标准量，而只需测量两者的差值。

3.等精度测量与不等精度测量在整个测量过程中，若影响和决定误差大小的全部因素（条件）始终保持不变，如由同一个测量者，用同一台仪器，用同样的方法，在同样的环境条件下，对同一被测量进行多次重复测量，称为等精度测量。在实际中，极难做到影响和决定误差大小的全部因素（条件）始终保持不变，所以一般情况下只是近似认为是等精度测量。有时在科学研究或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同精度的仪表，不同的测量方法，不同的测量次数以及不同的测量者进行测量和对比，这种测量称为不等精度测量。

4.静态测量与动态测量

被测量在测量过程中认为是固定不变的，对这种被测量进行的测量称为静态测量。静态测量不需要考虑时间因素对测量的影响。若被测量在测量过程中是随时间不断变化的，对这种被测量进行的测量称为动态测量。1.1.3测量系统

1.测量系统构成

测量系统应具有对被测对象的特征量进行检测、传输、处理及显示等功能，一个测量系统是传感器、变送器（变换器）和其它变换装置等的有机组合。

测量系统组成框图

传感器是感受被测量（物理量、化学量、生物量等）的大小，并输出相对应的可用输出信号（一般多为电量）的器件或装置。

变送器将传感器输出的信号变换成便于传输和处理的信号，大多数变送器的输出信号是统一的标准信号（目前多为4～20mA直流电流），信号标准是系统各环节之间的通信协议。当测量系统的几个功能环节独立地分隔开时，必须由一个地方向另一个地方传输信号，传输环节就是完成这种传输功能的。传输通道将测量系统各环节间的输入、输出信号连接起来，通常用电缆连接，或用光导纤维连接，以用来传输数据。

信号处理环节将传感器输出信号进行处理和变换。如对信号进行放大、运算、线性化、数—模或模—数转换，使其输出信号便于显示、记录。这种信号处理环节可用于自动控制系统，也可与计算机系统连接，以便对测量信号进行信息处理。

显示装置是将被测量信息变成人的感官能接受的形式，以完成监视、控制或分析的目的。测量结果可以采用模拟显示，也可采用数字显示或图形显示，也可以由记录装置进行自动记录或由打印机将数据打印出来。

2.开环测量系统与闭环测量系统（1）开环测量系统开环测量系统全部信息变换只沿着一个方向进行，如图所示。其中x为输入量，y为输出量，k1、k2、k3为各个环节的传递系数。y=k1k2k3x

输入输出关系表示如下：采用开环方式构成的测量系统，结构较简单，但各环节特性的变化都会造成测量误差。

因为开环测量系统是由多个环节串联而成的，因此系统的相对误差等于各环节相对误差之和。即式中，δ——系统的相对误差；δi——各环节的相对误差。

（2）闭环测量系统闭环测量系统有两个通道，一为正向通道，一为反馈通道，其结构如图所示。闭环测量系统框图其中Δx为正向通道的输入量，β为反馈环节的传递系数，正向通道的总传递系数k=k1k2。可知：当k>>1时，则系统的输入输出关系为

显然，这时整个系统的输入输出关系由反馈环节的特性决定，放大器等环节特性的变化不会造成测量误差，或者说造成的误差很小。1.1.4测量误差测量误差是测得值减去被测量的真值。由于真值往往不知道，因此测量的目的是希望通过测量获取被测量的真实值。

但由于种种原因，例如，传感器本身性能不十分优良，测量方法不十分完善，外界干扰的影响等，造成被测量的测得值与真实值不一致，因而测量中总是存在误差。

由于真值未知，所以在实际中，有时用约定真值代替真值，常用某量的多次测量结果来确定约定真值；或用精度高的仪器示值代替约定真值。

在工程技术及科学研究中，对被测量进行测量时，测量的可靠性至关重要，不同场合对测量结果可靠性的要求也不同。例如，在量值传递、经济核算、产品检验场合应保证测量结果有足够的准确度。

当测量值用作控制信号时，则要注意测量的稳定性和可靠性。因此，测量结果的准确程度，应与测量的目的与要求相联系，相适应。

那种不惜工本，不顾场合，一味追求越准越好的作法是不可取的，要有技术与经济兼顾的意识。

1.测量误差的表示方法

测量误差的表示方法有多种，含义各异。（1）绝对误差绝对误差可用下式定义：Δ=x-L式中:Δ——绝对误差；x——测量值；L——真值。绝对误差是有正、负并有量纲的。

在实际测量中，有时要用到修正值，修正值是与绝对误差大小相等、符号相反的值，即c=-Δ式中，c为修正值，通常用高一等级的测量标准或标准仪器获得修正值。利用修正值可对测量值进行修正，从而得到准确的实际值,修正后的实际测量值x′为x′=x+c

修正值给出的方式，可以是具体的数值，也可以是一条曲线或公式。

采用绝对误差表示测量误差，不能很好说明测量质量的好坏。例如，在温度测量时，绝对误差Δ=1℃，对体温测量来说是不允许的，而对钢水温度测量来说是极好的测量结果，所以用相对误差可以比较客观地反映测量的准确性。（2）实际相对误差实际相对误差的定义由下式给出：式中：δ——实际相对误差，一般用百分数给出；

Δ——绝对误差；

L——真值。由于被测量的真值L无法知道，实际测量时用测量值x代替真值L进行计算，这个相对误差称为标称相对误差，即

（3）引用误差引用误差是仪表中通用的一种误差表示方法。它是相对于仪表满量程的一种误差，又称满量程相对误差，一般也用百分数表示。即式中：γ——引用误差；

Δ——绝对误差。仪表精度等级是根据最大引用误差来确定的。例如，0.5级表的引用误差的最大值不超过±0.5%；1.0级表的引用误差的最大值不超过±1%。在仪表和传感器使用时，经常会遇到基本误差和附加误差两个概念。

（4）基本误差基本误差是指传感器或仪表在规定的标准条件下所具有的误差。例如，某传感器是在电源电压(220±5)V、电网频率(50±2)Hz、环境温度(20±5)℃、湿度65%±5%的条件下标定的。如果传感器在这个条件下工作，则传感器所具有的误差为基本误差。仪表的精度等级就是由基本误差决定的。（5）附加误差附加误差是指传感器或仪表的使用条件偏离额定条件下出现的误差。例如，温度附加误差、频率附加误差、电源电压波动附加误差等。2.测量误差的性质根据测量数据中的误差所呈现的规律及产生的原因可将其分为系统误差、随机误差和粗大误差。（1）随机误差在同一测量条件下，多次测量被测量时，其绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差称为随机误差。

即随机误差是将测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。重复性条件包括：相同的测量程序，相同的观测者，在相同的条件下使用相同的测量仪器，相同的地点，在短时间内重复测量。式中：xi——被测量的某一个测量值；

x∞——重复性条件下无限多次的测量值的平均值，即(n→∞)

由于重复测量实际上只能测量有限次，因此实用中的随机误差只是一个近似估计值。对于随机误差不能用简单的修正值来修正，当测量次数足够多时，随机误差就整体而言，服从一定的统计规律，通过对测量数据的统计处理可以计算随机误差出现的可能性的大小。随机误差可用下式表示：

（2）系统误差在同一测量条件下，多次测量被测量时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律（如线性、多项式、周期性等函数规律）变化的误差称为系统误差。前者为恒值系统误差，后者为变值系统误差。在我国制订的国家计量技术规范《通用计量术语及定义》中，对系统误差的定义是，在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。它可用下式表示：系统误差=x∞-L

式中,L为被测量的真值。

因为真值不能通过测量获知，所以通过有限次测量的平均值x与L的约定真值近似地得出系统误差，称之为系统误差的估计，得出的系统误差可对测量结果进行修正，但由于系统误差不能完全获知，因此通过修正值对系统误差只能有限程度地补偿。引起系统误差的原因复杂，如测量方法不完善，零点未调整，采用近似的计算公式，测量者的经验不足等等。对于系统误差，首先要查找误差根源，并设法减小和消除，而对于无法消除的恒值系统误差，可以在测量结果中加以修正。

（3）粗大误差超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差，粗大误差又称疏忽误差。这类误差的发生是由于测量者疏忽大意，测错、读错或环境条件的突然变化等引起的。含有粗大误差的测量值明显地歪曲了客观现象，故含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值。在数据处理时，要采用的测量值不应该包含有粗大误差，即所有的坏值都应当剔除。所以进行误差分析时，要估计的误差只有系统误差和随机误差两类。1.2测量数据的估计和处理1.2.1随机误差的统计处理

1.正态分布多次等精度地重复测量同一量值时，得到一系列不同的测量值，即使剔除了坏值，并采取措施消除了系统误差，然而每个测量值数据各异，可以肯定每个测量值还会含有误差。这些误差的出现没有确定的规律，具有随机性，所以称为随机误差。

随机误差的分布规律，可以在大量测量数据的基础上总结出来，就误差的总体来说是服从统计规律的。由于大多数随机误差服从正态分布，因而正态分布理论就成为研究随机误差的基础。

随机误差一般具有以下几个性质：①绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等，误差所具有的这个特性称为对称性。②在一定测量条件下的有限测量值中，其随机误差的绝对值不会超过一定的界限，这一特性称为有界性。③绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多，这一特性称为单峰性。④对同一量值进行多次测量，其误差的算术平均值随着测量次数n的增加趋向于零，这一特性称为误差的抵偿性。设对某一被测量进行多次重复测量，得到一系列的测量值为xi，设被测量的真值为L，则测量列中的随机误差δi为δi=xi-L

i=1,2,…,n正态分布的概率分布密度f(δ)为

2.随机误差的数字特征

(1)算术平均值x

正态分布是以x=L为对称轴，它是正态总体的平均值。由于在测量过程中，不可避免地存在随机误差，因此我们无法求得测量的真值。

但如随机误差服从正态分布，算术平均值处随机误差的概率密度最大，即算术平均值与被测量的真值最为接近，随着测量次数增加，算术平均值越趋近于真值。

如果对某一量进行无限多次测量，就可以得到不受随机误差影响的值，或其影响甚微，可以忽略。由于实际上是有限次测量，因而有限次直接测量中算术平均值是诸测量值中最可信赖的，把它作为等精度多次测量的结果，即被测量的最佳估计值。对被测量进行等精度的n次测量，得n个测量值x1,x2,…,xn，它们的算术平均值为

由于被测量的真值为未知，不能求得随机误差，可用算术平均值代替被测量的真值进行计算，则有式中,vi为xi的残余误差（简称残差）。

（2）标准偏差σ

标准偏差简称为标准差，又称均方根误差。标准差σ刻划总体的分散程度，下图给出了L相同，σ不同（σ=0.5，σ=1，σ=1.5）的正态分布曲线，σ值愈大，曲线愈平坦，即随机变量的分散性愈大；反之，愈小，曲线愈尖锐（集中），随机变量的分散性愈小。标准差σ由下式算得:σ是在当测量次数趋于无穷时得到的，它是正态总体的平均值，称为理论标准差或总体标准差。但在实际测量中,σ不可能得到，因为被测量是在重复性条件下进行有限次测量，用算术平均值代替真值，此时表征测量值（随机误差）分散性的量用标准差的估计值σs表示，它是评定单次测量值不可靠性的指标，由贝塞尔公式计算得到，即

式中：xi——第i次测量值；

x——n次测量值的算术平均值；

vi——

残余误差，即vi=xi-x。标准差的估计值σs也可用代号s表示。标准差的估计值又称为样本标准差，它是作为总体标准差σ的估计值，但并不是σ的无偏估计，而样本方差σ2s才是总体方差σ2的无偏估计。标准差的估计值是方差的正平方根，具有与xi相同的量纲。

若对被测量进行m组的“多次重复测量”，若这些测量值已消除了系统误差，只存在随机误差，各组所得的算术平均值x1,x2,…,xm各不相同，也是随机变量，它们分布在期望值附近，但比测量值靠近于期望值，随着测量次数的增多，平均值将收敛于期望值。算术平均值的可靠性指标用算术平均值的标准差σx来评定，它与标准差的估计值σs的关系如下：由上式可见，在测量条件一定的情况下，算术平均值的标准差σx随着测量次数n的增加而减小，算术平均值愈接近期望值。图示为σx/σs比值与n的关系曲线。从图中可见，当n增加到一定次数（例如10次）以后，σx的减小就变得缓慢，所以不能单靠无限地增加测量次数来提高测量精度。图

σx/σs

与n的关系曲线实际上测量次数愈多，愈难保证测量条件的稳定，从而带来新的误差。所以在一般精密测量中，重复性条件下测量的次数n大多少于10，此时如要进一步提高测量精度，则应采取其它措施（如提高仪器精度，改进测量方法，改善环境条件等）来解决。

3.正态分布随机误差的概率计算如随机变量符合正态分布，它出现的概率就是正态分布曲线下所包围的面积。因为全部随机变量出现的总的概率为1，所以曲线所包围的面积应等于1，即随机变量落在任意区间（a，b）的概率为式中,Pa为置信概率。

σ是正态分布的特征参数，区间通常表示成σ的倍数，如kσ。由于随机变量分布对称性的特点，常取对称的区间，即在±kσ区间的概率为式中:k——置信系数；

±kσ——置信区间(误差限)。正态分布的k值及其相应的概率

从表可知，当k=1时，Pa=0.6827，即测量结果中随机误差出现在-σ～+σ范围内的概率为68.27%,而|v|>σ的概率为31.73%。出现在-3σ～+3σ范围内的概率是99.73%,因此可以认为绝对值大于3σ的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为极限误差δlim，即极限误差δlim=±3σ。

随机变量落在±kσ范围内出现的概率为Pa，则超出的概率称为置信度，又称为显著性水平，用α表示α=1-Pa

4.不等精度直接测量的权与误差前面讲述的内容是等精度测量的问题。严格地说，绝对的等精度测量是很难保证的，但对条件差别不大的测量，一般都当作等精度测量对待，某些条件的变化，如测量时温度的波动等，只作为误差来考虑。

但有时在科学研究或高精度测量中，为了获得足够的信息，有意改变测量条件，比如不同的地点、用不同精度的仪表，或是用不同的测量方法等进行测量，这样的测量属于不等精度测量。对于不等精度的测量，测量数据的分析和综合不能套用前面等精度测量的数据处理的计算公式，需推导出新的计算公式。

（1）“权”的概念在等精度测量中，即多次重复测量得到的各个测得值具有相同的精度，可用同一个标准偏差σ值来表征，或者说各个测得值具有相同的可信程度，并取所有测量值的算术平均值作为测量结果。

在不等精度测量时，对同一被测量进行m组独立无系统误差及无粗大误差的测量，得到m组测量列（进行多次测量的一组数据称为一测量列）的测量结果及其误差，由于各组测量条件不同，各组的测量结果及误差不能同等看待，即各组测量结果的可靠程度不一样。测量精度高（即标准差小）的测量列具有较高的可靠性。

为了衡量这种可靠性和可信赖程度，引进“权”的概念。

“权”可理解为各组测量结果相对的可信赖程度。测量次数多，测量方法完善，测量仪表精度高，测量的环境条件好，测量人员的水平高，则测量结果可靠，其权也大。

权是相比较而存在的。

权用符号p表示，有两种计算方法：①用各组测量列的测量次数n的比值表示p1∶p2∶….∶pm=n1∶n2∶…..∶nm

②用各组测量列的标准差平方的倒数的比值表示可看出：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。如果已知各组算术平均值的标准差，即可确定响应权的大小。

测量结果权的数值只表示各组间的相对可靠程度，它是一个无量纲的数。通常在计算各组权时，令最小的权数为“1”，以便用简单的数值来表示各组的权。

（2）加权算术平均值xp

在等精度测量时，测量结果的最佳估计值用算术平均值表示;而在不等精度测量时，测量结果的最佳估计值用加权算术平均值表示。加权算术平均值不同于一般的算术平均值，它是各组测量列的全体平均值，不仅要考虑各测得值，而且还要考虑各组的权。

若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量列的算术平均值 ，相应各组的权分别为p1,p2,….,pm，则加权平均值可用下式表示：

（3）加权算术平均值的标准差

用加权算术平均值作为不等精度测量结果的最佳估计值时，其精度由加权算术平均值的标准差来表示。对同一个被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 ，则加权算术平均值xp的标准差可由下式计算:1.2.2系统误差的通用处理方法

1.从误差根源上消除系统误差由于系统误差的特殊性，在处理方法上与随机误差完全不同。主要是如何有效地找出系统误差的根源，并减小或消除。查找误差根源的关键，就是要对测量设备、测量对象和测量系统作全面分析，明确其中有无产生明显系统误差的因素，并采取相应措施予以修正或消除。

由于具体条件不同，在分析查找误差根源时，并没有一成不变的方法，这与测量者的经验、水平以及测量技术的发展密切相关。通常，我们可以从以下几个方面进行分析考虑。①所用传感器，测量仪表或组成元件是否准确可靠。比如传感器或仪表灵敏度不足，仪表刻度不准确，变换器、放大器等性能不太优良等都会引起误差，而且是常见的误差。②测量方法是否完善，如用电压表测量电压，电压表的内阻对测量结果有影响。③传感器仪表安装、调整或放置是否正确合理。例如，未调好仪表水平位置，安装时仪表指针偏心等都会引起误差。④传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。例如，环境、温度、湿度、气压等的变化也会引起误差。⑤测量者操作是否正确。例如，读数时视差、视力疲劳等都会引起系统误差。

2.系统误差的发现与判别

发现系统误差一般比较困难，下面只介绍几种发现系统误差的一般方法。（1）实验对比法这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量，来发现系统误差的。这种方法适用于发现固定的系统误差。例如，一台测量仪表本身存在固定的系统误差，即使进行多次测量也不能发现，只有用更高一级精度的测量仪表测量时，才能发现这台测量仪表的系统误差。

（2）残余误差观察法这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无变化的系统误差。

图

残余误差变化规律把残余误差按照测量值先后顺序作图，如图所示。图(a)残余误差有规律地递增(或递减)，表明存在线性变化的系统误差；图(b)中残余误差大小和符号大体呈周期性，可以认为有周期性系统误差；图(c)残余误差变化规律较复杂，怀疑同时存在线性系统误差和周期性系统误差。

（3）准则检查法目前已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差。不过这些准则都有一定适用范围。如马利科夫判据将残余误差前后各半分为两组，若“∑vi前”与“∑vi后”之差明显不为零，则可能含有线性系统误差。阿贝检验法是检查残余误差是否偏离正态分布，若偏离，则可能存在变化的系统误差。将测量值的残余误差按测量顺序排列,且设 A=v21+v22+…+v2n

B=(v1-v2)2+(v2-v3)2+…+(vn-1-vn)2+(vn-v1)2若则可能含有变化的系统误差，但类型不能判定。

3.系统误差的消除（1）在测量结果中进行修正对于已知的恒值系统误差，可以用修正值对测量结果进行修正；对于变值系统误差，设法找出误差的变化规律，用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正；对未知系统误差，则按随机误差进行处理。（2）消除系统误差的根源在测量之前，仔细检查仪表，正确调整和安装；防止外界干扰影响；选好观测位置消除视差；选择环境条件比较稳定时进行读数等。（3）在测量系统中采用补偿措施找出系统误差规律在测量过程中自动消除系统误差。如用热电偶测量温度时，热电偶参考端温度变化会引起系统误差，消除此误差的办法之一是在热电偶回路中加一个冷端补偿器，从而实现自动补偿。

（4）实时反馈修正由于自动化测量技术及微机的应用，可用实时反馈修正的办法来消除复杂的变化系统误差。当查明某种误差因素的变化对测量结果有明显的复杂影响时，应尽可能找出其影响测量结果的函数关系或近似的函数关系。在测量过程中，用传感器将这些误差因素的变化，转换成某种物理量形式（一般为电量），及时按照其函数关系，通过计算机算出影响测量结果的误差值，并对测量结果作实时的自动修正。1.2.3粗大误差

1.3σ准则前面已讲到，通常把等于3σ的误差称为极限误差，对于正态分布的随机误差，落在±3σ

以外的概率只有0.27%，它在有限次测量中发生的可能性很小。3σ准则就是如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值|vi|>3σ时，则该测量值为可疑值（坏值），应剔除。

3σ准则又称莱以达准则。3σ准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，它应用于测量次数充分多的情况。

2.肖维勒准则肖维勒准则是以正态分布为前提的，假设多次重复测量所得的n个测量值中，某个测量值的残余误差|vi|>Zcσ,则剔除此数据。实用中Zc<3，所以在一定程度上弥补了3σ准则的不足。肖维勒准则中的Zc值见表。肖维勒准则中的Zc值3.格拉布斯准则格拉布斯准则也是以正态分布为前提的，理论上较严谨，使用也较方便。某个测量值的残余误差的绝对值|vi|＞Gσ，则判断此值中含有粗大误差，应予剔除，此即格拉布斯准则。G值与重复测量次数n和置信概率Pa有关，见下表。表

格拉布斯准则中的G值

以上准则是以数据按正态分布为前提的，当偏离正态分布，特别是测量次数很少时，判断的可靠性就差。因此，对待粗大误差，除用剔除准则外，更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心。另外，要保证测量条件的稳定，以防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响。1.2.4测量数据处理中的几个问题

1.间接测量中的测量数据处理前面主要是针对直接测量的误差分析，在直接测量中，测量误差就是直接测得值的误差。而对于间接测量，是通过直接测得值与被测量之间的函数关系，经过计算得到被测量的，所以间接测量的误差则是各个直接测得值误差的函数。

一个测量系统或一个传感器都是由若干部分组成的，设各环节分别为x1,x2,…,xn，系统总的输入输出之间的函数关系为y=f(x1,x2,…,xn)，而各部分又都存在误差，也会影响测量系统或传感器总的误差，这类误差的分析也可归纳到间接测量的误差分析。在间接测量中，已知各直接测得值的误差（或局部误差），求总的误差，即误差的合成（也称误差的综合）；反之，确定了总的误差后，各环节（或各部分）具有多大误差才能保证总的误差值不超过规定值，这叫做误差的分配。在传感器和测量系统的设计时经常用到误差的分配。下面介绍误差的合成。

（1）绝对误差和相对误差的合成如被测量为y，设各直接测得值x1,x2,…,xn之间相互独立，则与被测量y之间函数关系为y=f(x1,x2,…,xn)

各测得值的绝对误差分别为Δx1,Δx2,….,Δxn,因为误差一般均很小，其误差可用微分来表示，则被测量y的误差可表示为

实际计算误差时，以各环节的绝对误差Δx1,Δx2,…,Δxn来代替上式中的dx1,dx2,…,dxn，即式中，Δy为综合后总的绝对误差。如测得值与被测量的函数关系为y=x1+x2+…+xn，则综合绝对误差Δy=Δx1+Δx2+…+Δxn如被测量y的综合误差用相对误差表示，则

但当误差项数较多时，相对误差的合成一般情况下按方和根合成比较符合统计值，即式中，

（2）标准差的合成设被测量y与各直接测得值x1,x2,…,xn之间的函数关系为y=f(x1,x2,…,xn)，各测得值的标准差分别为σ１，σ２，…，σn，当各测得值相互独立时，被测量y的标准差为

2.最小二乘法的应用最小二乘法原理是一种数学原理，要获得最可信赖的测量结果，应使各测量值的残余误差平方和为最小，这就是最小二乘法原理。可用算术平均值作为多次测量的结果，因为它们符合最小二乘法原理。

最小二乘法作为一种数据处理手段，在组合测量的数据处理、实验曲线的拟合及在其它多种学科方面，均获得了广泛的应用。

下面以组合测量为例说明最小二乘法原理及基本运算。设有线性函数方程组为式中:X1,X2,…,Xm——被测量；

Y1,Y2,…,Yn——直接测得值。

由于在测量中不可避免会引入误差，所求得的结果必然会带有一定的误差，为了减小随机误差的影响，测量次数n大于所求未知数个数m（n>m），显然，用一般的代数方法无法求解，而只有采用最小二乘法来求解。根据最小二乘法原理，在直接测得值有误差的情况下，欲求被测量最可信赖的值，应使残余误差的平方之和为最小，即

若x1,x2,…,xm是被测量X1,X2,…,Xm最可信赖的值，又称最佳估计值，则相应的估计值亦有下列函数关系:

设l1，l2，…，ln为带有误差的实际直接测得值，它们与相应的估计值y1,y2,…,yn之间的偏差即为残余误差，残余误差方程组为

按最小二乘法原理，要得到可信赖的结果x1,x2,…,xm，上述方程组的残余误差平方和为最小。根据求极值条件，应使将上述偏微分方程式整理，最后可写成上式即为重复性测量的线性函数最小二乘估计的正规方程。式中

正规方程是一个m元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有唯一确定的解，由此可解得欲求被测量的估计值x1,x2,…,xm,即为符合最小二乘原理的最佳解。线性函数的最小二乘法处理应用矩阵这一工具进行讨论有许多便利之处。将误差方程用下列的矩阵表示：式中，系数矩阵为被测量估计值矩阵为直接测得值矩阵为残余误差矩阵为残余误差平方和最小这一条件的矩阵形式为即V′V=最小或将上述线性函数的正规方程式用残余误差表示，可改写成写成矩阵形式为即A′V=0有上式即为最小二乘估计的矩阵解。

3.用经验公式拟合实验数据——回归分析在工程实践和科学实验中，经常遇到对于一批实验数据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式。用经验公式拟合实验数据，工程上把这种方法称为回归分析。回归分析就是应用数理统计的方法，对实验数据进行分析和处理，从而得出反映变量间相互关系的经验公式，也称回归方程。当经验公式为线性函数时，例如y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn

称这种回归分析为线性回归分析，它在工程中应用价值较高。在线性回归分析中，当独立变量只有一个时，即函数关系为y=b0+bx

这种回归称为一元线性回归，这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。设有n对测量数据(xi,yi)，用一元线性回归方程拟合，则根据测量数据值，实际上只要求出方程中系数b0、b的最佳估计值，一元线性回归方程也就确定了。求取一元线性回归方程中系数b0、b的值，最常用的方法是利用最小二乘法原理，即应使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小，见图。图

用最小二乘法求回归直线误差方程组为式中： 分别为在x1,x2,…,xn点上y的估计值。在求经验公式时，有时用图解法分析显得更方便、直观，将测量数据值（xi,yi）绘制在坐标纸上(称之为散点图)，把这些测量点直接连接起来，根据曲线（包括直线）的形状、特征以及变化趋势，可以设法给出它们的数学模型（即经验公式）。这不仅可把一条形象化的曲线与各种分析方法联系起来，而且还在相当程度上扩展了原有曲线的应用范围。1.3

传感器的基本特性传感器特性参数表征的意义在研发中，是传感器效应（原理）选择，结构设计的导向。在应用中，是传感器选取的重要依据。正确、准确理解传感器特性指标的含义，是学习、掌握传感器技术的基础。一、传感器的静态特性

传感器的静态特性是指被测量的值处于稳定状态时的输出与输入的关系。如果被测量是一个不随时间变化，或随时间变化缓慢的量，可以只考虑其静态特性，这时传感器的输入量与输出量之间在数值上一般具有一定的对应关系，关系式中不含有时间变量。表征传感器静态特性的指标或统计方法，在不同的教材，甚至不同的行业、领域有不同的叫法。式中：a0——输入量x为零时的输出量；

a1，a2，…，an——非线性项系数。传感器的静态特性可以用一组性能指标来描述，如灵敏度、迟滞、线性度、重复性和漂移等。对静态特性而言，传感器的输入量x与输出量y之间的关系通常可用一个如下的多项式表示：y=a0+a1x+a2x2+…+anxn

1.灵敏度灵敏度是传感器静态特性的一个重要指标。其定义是输出量增量Δy与引起输出量增量Δy的相应输入量增量Δx之比。用S表示灵敏度，即传感器的灵敏度它表示单位输入量的变化所引起传感器输出量的变化.很显然，灵敏度S值越大，表示传感器越灵敏。

2.线性度

传感器的线性度是指传感器的输出与输入之间数量关系的线性程度。输出与输入关系可分为线性特性和非线性特性。从传感器的性能看，希望具有线性关系，即理想输入输出关系。

传感器的线性度是指在全量程范围内实际特性曲线与拟合直线之间的最大偏差值ΔLmax与满量程输出值YFS之比。线性度也称为非线性误差，通常用相对误差来表示线性度误差γL表示，即式中：ΔLmax——最大非线性绝对误差；

YFS——满量程输出值。

实际遇到的传感器大多为非线性。在实际使用中，为了标定和数据处理的方便，希望得到线性关系，因此引入各种非线性补偿环节，如采用非线性补偿电路或计算机软件进行线性化处理，从而使传感器的输出与输入关系为线性或接近线性。

但如果传感器非线性的方次不高，输入量变化范围较小时，可用一条直线（切线或割线）近似地代表实际曲线的一段，使传感器输入输出特性线性化，所采用的直线称为拟合直线。几种直线拟合方法(a)理论拟合；(b)过零旋转拟合；(c)端点连线拟合；(d)端点平移拟合

3.迟滞

传感器在输入量由小到大（正行程）及输入量由大到小（反行程）变化期间其输入输出特性曲线不重合的现象称为迟滞。

也就是说，对于同一大小的输入信号，传感器的正反行程输出信号大小不相等，这个差值称为迟滞差值。传感器在全量程范围内最大的迟滞差值ΔHmax与满量程输出值YFS之比称为迟滞误差，用γH表示，即

产生这种现象的主要原因是由于传感器敏感元件材料的物理性质和机械另部件的缺陷所造成的，例如弹性敏感元件弹性滞后、运动部件摩擦、传动机构的间隙、紧固件松动等。迟滞误差又称为回差或变差。

4.重复性

重复性是指传感器在输入量按同一方向作全量程连续多次变化时，所得特性曲线不一致的程度。

重复性反映传感器的重复精度，用统计指标表示。常用标准差σ计算，也可用正反行程中最大重复差值ΔRmax计算，即5.分辨力（分辨率)分辨力是传感器在规定测量范围内所能检测出的被测输入量的最小变化量。有时用该值相对满量程输入值之百分数表示，则称为分辨率。

6.漂移

传感器的漂移是指在输入量不变的情况下，传感器输出量随着时间变化，此现象称为漂移。

产生漂移的原因有两个方面：一是传感器自身结构参数；二是周围环境（如温度、湿度等）。最常见的漂移是温度漂移，即周围环境温度变化而引起输出的变化。

式中：Δt——工作环境温度t偏离标准环境温度t20之差，即Δt=t-t20；

yt——传感器在环境温度t时的输出；

y20——传感器在环境温度t20时的输出。温度漂移通常用传感器工作环境温度偏离标准环境温度（一般为20℃）时的输出值的变化量与温度变化量之比(ξ)来表示，即7.静态误差（精度）：精度是评价传感器静态性能的综合性指标，指传感器在满量程内任一点输出值相对其理论值的可能偏离（逼近）程度。表示采用该传感器进行静态测量时所得数值的不确定度。静态误差常用的计算方法：将非线性、回差、重复性误差按几何法或代数法综合二、传感器的动态特性

传感器的动态特性是指输入量随时间变化时传感器的响应特性。

由于传感器的惯性和滞后，当被测量随时间变化时，传感器的输出往往来不及达到平衡状态，处于动态过渡过程之中，所以传感器的输出量也是时间的函数，其间的关系要用动态特性来表示。

一个动态特性好的传感器，其输出将再现输入量的变化规律，即具有相同的时间函数。实际的传感器，输出信号将不会与输入信号具有相同的时间函数,这种输出与输入间的差异就是所谓的动态误差。当被测温度随时间变化或传感器突然插入被测介质中，以及传感器以扫描方式测量某温度场的温度分布等情况时，都存在动态测温问题。

如把一支热电偶从温度为t0℃环境中迅速插入一个温度为t1℃的恒温水槽中，这时热电偶测量的介质温度从t0突然上升到t1，而热电偶反映出来的温度从t0℃变化到t1℃需要经历一段时间，即有一段过渡过程。热电偶反映出来的温度与其介质温度的差值就称为动态误差。

造成热电偶输出波形失真和产生动态误差的原因，是温度传感器有热惯性（由传感器的比热容和质量大小决定）和传热热阻，使得在动态测温时传感器输出总是滞后于被测介质的温度变化。

如带有套管热电偶其热惯性要比裸热电偶大得多。这种热惯性是热电偶固有的，它决定了热电偶测量快速变化的温度时会产生动态误差。影响动态特性的“固有因素”任何传感器都有，只不过它们的表现形式和作用程度不同而已。

1.传感器的基本动态特性方程传感器的种类和形式很多，但它们的动态特性一般都可以用下述的微分方程来描述：式中，a0、a1、…,an,b0、b1、….,bm是与传感器的结构特性有关的常系数。通过求解微分方程容易分清暂态响应与稳态响应。通解与传感器本身的特性及起始条件，特解不仅与传感器的特性有关，而且与输入量x有关。1）零阶系统除了a0、b0之外，其它的系数均为零，则微分方程就变成简单的代数方程，即a0y(t)=b0x(t)通常将该代数方程写成y(t)=kx(t)式中，k=b0/a0为传感器的静态灵敏度或放大系数。

传感器的动态特性用该方程式来描述的就称为零阶系统。

零阶系统具有理想的动态特性，无论被测量x(t)如何随时间变化，零阶系统的输出都不会失真，其输出在时间上也无任何滞后，所以零阶系统又称为比例系统。在工程应用中，电位器式的电阻传感器、变面积式的电容传感器及利用静态式压力传感器测量液位均可看作零阶系统。2）一阶系统除了a0、a1与b0之外，其它的系数均为零，则微分方程为上式通常改写成为

式中：τ——传感器的时间常数，τ=a1/a0；

k——传感器的静态灵敏度或放大系数，k=b0/a0。用该方程式描述其动态特性的传感器就称为一阶系统，一阶系统又称为惯性系统。

时间常数τ具有时间的量纲，它反映传感器的惯性的大小，静态灵敏度则说明其静态特性。

如前面提到的不带套管热电偶测温系统、电路中常用的阻容滤波器等均可看作为一阶系统。3）二阶系统二阶系统的微分方程为二阶系统的微分方程通常改写为式中：k——传感器的静态灵敏度或放大系数，k=b0/a0；

ξ——传感器的阻尼系数，

ωn——传感器的固有频率，

根据二阶微分方程特征方程根的性质不同，二阶系统又可分为：①二阶惯性系统：其特点是特征方程的根为两个负实根，它相当于两个一阶系统串联。②二阶振荡系统：其特点是特征方程的根为一对带负实部的共轭复根。带有套管的热电偶、电磁式的动圈仪表及RLC振荡电路等均可看作为二阶系统。微分方程方法又称为时域分析法传递函数（频域分析法）传递函数是拉氏变换算子S的有理分式，所有系数都是实数，由传感器的结构参数决定。分子的阶次m不能大于分母的阶次n，由物理条件决定的。

2.传感器的动态响应特性传感器的动态特性不仅与传感器的“固有因素”有关，还与传感器输入量的变化形式有关。也就是说，同一个传感器在不同形式的输入信号作用下，输出量的变化是不同的，通常选用几种典型的输入信号作为标准输入信号，研究传感器的响应特性。

1）瞬态响应特性传感器的瞬态响应是时间响应。在研究传感器的动态特性时，有时需要从时域中对传感器的响应和过渡过程进行分析，这种分析方法称为时域分析法。传感器在进行时域分析时，用得比较多的标准输入信号有阶跃信号和脉冲信号，传感器的输出瞬态响应分别称为阶跃响应和脉冲响应。(1)零阶传感器(2)一阶传感器的单位阶跃响应一阶传感器的微分方程为设传感器的静态灵敏度k=1，写出它的传递函数为对初始状态为零的传感器，若输入一个单位阶跃信号，即t≤0t>0输入信号x(t)的拉氏变换为一阶传感器的单位阶跃响应拉氏变换式为进行拉氏反变换，可得一阶传感器的单位阶跃响应信号为

响应曲线如图所示。由图可见：传感器存在惯性，它的输出不能立即复现输入信号，而是从零开始，按指数规律上升，最终达到稳态值。通常认为t=（3～4）τ时，如当t=4τ时其输出就可达到稳态值的98.2%，可以认为已达到稳态。所以，一阶传感器的时间常数τ越小，响应越快，响应曲线越接近于输入阶跃曲线，即动态误差小。因此，τ值是一阶传感器重要的性能参数。(3)

二阶传感器的单位阶跃响应二阶传感器的微分方程为设传感器的静态灵敏度k=1，其二阶传感器的传递函数为传感器输出的拉氏变换为

图为二阶传感器的单位阶跃响应曲线。二阶传感器对阶跃信号的响应在很大程度上取决于阻尼比ξ和固有角频率ωn。①ξ=0时，特征根为一对虚根，阶跃响应是一个等幅振荡过程，这种等幅振荡状态又称为无阻尼状态；②ξ>1时，特征根为两个不同的负实根，阶跃响应是一个不振荡的衰减过程，这种状态又称为过阻尼状态；③ξ=1时，特征根为两个相同的负实根，阶跃响应也是一个不振荡的衰减过程，但是它是一个由不振荡衰减到振荡衰减的临界过程，故又称为临界阻尼状态；④0<ξ<1时，特征根为一对共轭复根，阶跃响应是一个衰减振荡过程，在这一过程中ξ值不同，衰减快慢也不同，这种衰减振荡状态又称为欠阻尼状态。

阻尼比ξ直接影响超调量和振荡次数，为了获得满意的瞬态响应特性，实际使用中常按稍欠阻尼调整，对于二阶传感器取ξ=0.6～0.7之间，则最大超调量不超过10%，趋于稳态的调整时间也最短，约为（3～4）/(ξω)。固有频率ωn由传感器的结构参数决定，固有频率ωn也即等幅振荡的频率，ωn越高，传感器的响应也越快。(4)传感器的时域动态性能指标时域动态性能指标叙述如下：①时间常数τ：一阶传感器输出上升到稳态值的63.2%所需的时间,称为时间常数。②延迟时间td：传感器输出达到稳态值的50%所需的时间。③上升时间tr：传感器输出达到稳态值的90%所需的时间。④峰值时间tp：二阶传感器输出响应曲线达到第一个峰值所需的时间。⑤超调量σ：二阶传感器输出超过稳态值的最大值。⑥衰减比d：衰减振荡的二阶传感器输出响应曲线第一个峰值与第二个峰值之比。一阶传感器的时域动态性能指标二阶传感器的时域动态性能指标2）频率响应特性传感器对不同频率成分的正弦输入信号的响应特性，称为频率响应特性。

一个传感器输入端有正弦信号作用时，其输出响应仍然是同频率的正弦信号，只是与输入端正弦信号的幅值和相位不同。

频率响应法是从传感器的频率特性出发研究传感器的输出与输入的幅值比和两者相位差的变化。幅频特性:相频特性：

(1）一阶传感器的频率响应

s用jω代替得到频率特性表达式：图为一阶传感器的频率响应特性曲线。可看出，时间常数τ越小，频率响应特性越好。