2026年高考数学二轮复习专题02 基本不等式归类（题型）（天津）（解析版）

专题02基本不等式归类目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01直接法求最值题型02常规凑配法求最值题型03消参法求最值题型04双换元求最值题型05“1”的代换求最值【解答题破译】题型01利用基本不等式解决实际问题第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01直接法求最值【例1-1】（2026·天津滨海新·联考）已知正实数，满足，则下列结论错误的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为.【答案】D【分析】运用基本不等式可判断ACD，运用消元法及二次函数可判断B.【详解】对于A：由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B：由题可知，故，则.当时，二次函数取得最小值，故B正确；对于C：，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；对于D：，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故D错误.故选：D.【例1-2】（2026·天津河东·月考）(其中)的最大值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】因为)，所以,sy，当且仅当，即时，等号成立，故选：B.1.

一正：确保参与运算的各项均为正数，若出现负数需先转化符号。2.

二定：通过配凑、拆分等手段，使和或积为定值——求和的最小值时构造积为定值，求积的最大值时构造和为定值。3.

三相等：验证等号成立的条件（各项相等），若等号无法成立，需改用函数单调性等其他方法。【变式1-1】（2026·天津蓟州·月考）已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式恒成立可得出，再利用基本不等式可求得的最大值.【详解】解：因为不等式对任意恒成立，所以，，因为，对称轴为，在上单调递减，所以，当时，有最小值，所以，所以，当且仅当且时等号成立，即时等号成立，满足.所以的最大值为.故选：C【变式1-2】（2026·天津西青·月考）下列说法正确的个数是（

）．①；②函数的最小值为4；③若，则最大值为1；④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.【详解】对于①只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则①不正确；对于②,，令，则在上单调递增，则最小值为,则②不正确；对于③,，则③正确；对于④,当时，，当且仅当时，即，等号成立，则④不正确.综上只有1个正确，故选：B.【变式1-3】已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值.【详解】由及A，B，C，D四点共面得：，即，又，，所以，当且仅当时等号成立，故选：B题型02常规凑配法求最值【例2-1】（2026·天津滨海新·联考）已知，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】利用配凑法和基本不等式即可求解.【详解】，当且仅当，即时，等号成立.故选：B.【例2-2】（2026·天津南开·联考）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（

）.A． B． C．1 D．【答案】C【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得.【详解】，，恒成立，而，当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为.故选：C.1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2．注意验证取得条件．【变式2-1】（2026·天津·调研）正项等差数列中，，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．6【答案】B【分析】结合等差数列性质与基本不等式“1”的活用计算即可得.【详解】由等差数列性质可得，又、，则，当且仅当即、时等号成立；故的最小值为.故选：B.【变式2-2】（2026·天津·月考）当时，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代数式化为，结合基本不等式可求得答案.【详解】因为，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，所以当时，则的最大值为.故选：A.【变式2-3】（2026·天津武清·月考）函数的最大值是（

）A．4 B．5 C．2 D．【答案】D【分析】利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为，所以，因此由基本不等式可得，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此有，当时取等号，所以有，当时取等号，所以当时，有最大值，故选：D题型03消参法求最值【例3-1】已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则的最小值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】依题意得，，则，由基本不等式即可求解．【详解】因为b是a，1的等差中项，所以，得，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为，故选：B.【例3-2】（2026·天津·联考）等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．【答案】D【分析】先由数列各项都为正数，得，再由等差数列中任意两项的关系及基本不等式可得.【详解】因等差数列中，，设公差为，则，，因各项都为正数，所以，，得，当，所以..当且仅当，符合各项为正数.故选：D.消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可【变式3-1】（2026·天津和平·联考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可求得，结合基本不等式可求得最小值.【详解】，；不等式的解集为，方程的两根为和，且，，解得：，（当且仅当时取等号），的最小值为.故选：C.【变式3-2】（2026·天津西青·联考）若一元二次不等式的解集为，则最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】分析可得，利用韦达定理可得出、，再利用基本不等式可求得的最大值.【详解】因为一元二次不等式的解集为，所以、为关于的方程的两根且，所以，则，所以，当且仅当时，即当时等号成立.因此的最大值为.故选：B.【变式3-3】（2025·天津河北·模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】由题意可知：，m是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可.【详解】由题意可知：，m是方程的两根，且，则，可得，，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故选：C.题型04双换元求最值【例4-1】（2025·天津静海·三模）若，，，则的最小值为（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】令，利用点到直线的距离公式可求的最小值.【详解】令，由，可得，原点到直线的距离为，所以，联立，可得，所以当，时，取最小值，最小值为.故选：D.【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．9 B．10 C．18 D．24【答案】C【分析】将已知式变形为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值.【详解】因为，，且，所以，又由可得，所以，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为18.故选：C.若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1．代换变量，统一变量再处理．2．注意验证取得条件．【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）已知均为正实数，，则的最小值是（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果.【详解】因为，即，设，则，且，则，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值是.故选：B【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）已知正数，，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案.【详解】正数，，满足，故，令，故，，，，当且仅当，即，时，等号成立，故.故选：D【变式4-3】（2025·天津·一模）已知且，则的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意得，，令，则，由得，故，当且仅当，结合，即时取等号，也即，即时，等号成立，故的最小值为9，故选：B题型05“1”的代换求最值【例5-1】（2025·天津南开·一模）若直线过点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可得即，再结合，从而可求解.【详解】由题直线过点，可得即，所以，当且仅当即，时取等号，故C正确.故选：C.【例5-2】（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为．【答案】【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解.【详解】由于，故，且，故，当且仅当，结合，故当时等号取到，故答案为：1．1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形2．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法注意验证取得条件【变式5-1】（2025·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（

）A．6 B．9 C． D．18【答案】B【分析】由乘“1”法利用基本不等式即可求解.【详解】，，且，且，，当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9.故选：B.【变式5-2】（2025·天津红桥·二模）已知正实数，满足，则的最小值为【答案】【分析】先把整理为，对，利用基本不等式求出最小值，即可求出的最小值.【详解】因为正实数，满足，所以当且仅当，即时等号成立，所以.故答案为：.【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为【答案】【分析】先对进行等式变形，利用把原式化简为，再利用均值不等式可得，然后由函数在区间上是单调递减，即可得到最小值为.【详解】由，因为，所以上式，又因为，，由均值不等式得：，利用函数在区间上是单调递减可知：，当且仅当时取到最小值.故答案为：题型01利用基本不等式解决实际问题【例1-1】（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为已知．(1)求角的大小；(2)若，，求的值；(3)若，当的周长取最大值时，求的面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到；（2）根据得，由正弦定理求得的值；（3）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积.【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，又因为，且，所以，又因为，，所以，即.（2）因为在中，，所以，又因为，，由正弦定理，可得.（3）在中，由余弦定理，得，即，所以，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为，此时面积.【例1-2】（2024·天津河西·二模）已知数列的首项，且满足，的前项和为.(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)在数列中，，，求数列的通项公式及.【答案】(1)证明见及解析，(2)(3)，【分析】（1）依据等比数列的定义构造等比数列，再求解通项即可.（2）利用裂项相消法求出，结合分离参数法求解参数范围即可.（3）结合题意求出，再利用错位相减法求和即可.【详解】（1）∵，∴，即，又，∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列，∴，.（2），∴，由，得，∴恒成立，，当且仅当时取等，此时解得，所以实数的取值范围是.（3）由，，∴，数列的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列，偶数项为以2为首项，4为公比的等比数列，，设，，两式相减得，∴，所以.1．理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．2．注意定义域，验证取得条件．3.注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．【变式1-1】已知的内角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的值；(2)若的面积为，的平分线交于，求线段的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得，进而求得.（2）利用三角形的面积公式列方程，求得，再根据面积列方程，利用基本不等式求得的最大值.【详解】（1）由正弦定理，及，得，即，由余弦定理得，，所以．（2）如图所示，因为，所以，因为为的平分线，，所以，，当且仅当时，等号成立，所以线段的最大值为．

【变式1-2】（2025·天津·一模）设的内角的对边分别为，已知.(1)若.（i）求；（ii）求；(2)求的最大值.【答案】(1)（i）3；（ii）(2)【分析】（1）（i）由和差角公式化简等式，代入即可求得；（ii）由同角三角函数的关系求得，由和差角公式求得，然后由正弦定理求得边；（2）由正切的和差角公式和（i）中的关系化简，然后由基本不等式求得最大值.【详解】（1）（i），展开化简得：所以；（ii）由，而为三角形内角，故，所以，由正弦定理，得.（2）由（1）可得，故均为锐角，所以，当且仅当时，取到最大值.【变式1-3】（2025·天津·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)求的最大值.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式，即可证明；（2）首先根据正弦定理边化角，再结合（1）的结论，以及三角恒等变换，化简，再结合基本不等式求最值.【详解】（1）由正弦定理可知，，得，且，即，整理为，即；（2），由（1）可知，，且，所以，上下同时除以，，因为，得，所以，当时等号成立，所以，所以的最大值为.1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为.【答案】4【分析】利用二次函数的性质得到，消去变量后利用基本不等式求解最值即可.【详解】因为二次函数的值域为，所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为，所以的最小值为，所以，即，而，当且仅当时取等，此时.故答案为：42．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则；的最小值为．【答案】3【详解】

连接AO，并延长交BC于点D，易知点D为BC的中点，所以，.又因为是的中心，所以是的重心，即，所以.因为，，所以，，所以.因为M，O，N三点共线，所以，所以，.因为，，所以，，又，所以，.由，得，，令，当和重合时，为上中线，此时,所以，则，得.根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，所以，.因为，所以，根据二次函数的性质可知，所以的最小值为.故答案为：3，.3．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为；当在上的投影向量为时，.【答案】【分析】（1）首先利用基底法表示数量积，再结合四边形面积公式，以及基本不等式，即可求解的最小值；根据第一问的过程，结合投影向量公式，可以求，，再代入数量积公式，即可求解.【详解】由条件可知，,，所以，所以，，，，，当时等号成立，所以的最小值为；在上的投影向量为，则，即,因为，所以，得，，则.故答案为：；.4．（2025·天津河西·二模）在正四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对外接球，根据几何关系建立方程求解半径；对内切球，先求出侧面三角形面积进而得到四棱锥表面积，再利用等体积法求出内切球半径，最后得到的表达式，通过换元法结合基本不等式求其最小值及对应的值，最后利用锥体体积公式求解即可.【详解】设正四棱锥的高为，设，连接，则平面，设该正四棱锥的外接球球心为，则在直线上，取的中点，连接、，对外接球，解得：，对内切球：，故四棱锥表面积，由体积法：，所以，令，则，进而，当且仅当，即时，取最小值，此时.因此，该正四棱锥的体积为.故选：B.5．（2025·天津·二模）在中，.（1）若，则向量在向量上的投影向量的模为；（2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为.【答案】4；【分析】根据三角形面积公式可得，即可根据投影向量的定义求解（1），根据重心的性质，结合基底表达，即可根据向量的数量积运算律，结合基本不等式求解（2）即可.【详解】（1）因为，所以，解得，则，结合，解得，由投影向量公式得在向量上的投影向量为，故向量在向量上的投影向量的模为，（2）如图，根据题意可知为的重心，故，

又为线段上靠近的三等分点，故,因此，，，由（1）知，故，所以，当且仅当，即时取等号，则的最小值为.故答案为：4，6．（2025·天津和平·二模）在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则，若，则当最大时，的值为.【答案】/【分析】第一空，由题意知，得，由三点共线的结论即可求出；第二空，先求和，由有，得，利用数量积的定义和基本不等式即可求得，由得即可求解.【详解】由题意有，所以，由，所以，所以，，由有，即，即，所以，即，当时，等号成立，当最大时，，，由有，所以，所以，故答案为：；.7．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．2【答案】D【分析】利用