2026年高考数学二轮复习专题04 导数及其应用（复习讲义）（原卷版）

专题04导数及其应用目录01析·考情精解 202构·知能框架 303破·题型攻坚 3考点一导数小题 3真题动向必备知识知识1导数运算问题知识2利用导数研究曲线的切线问题知识3有关可导函数单调性问题命题预测题型1求已知函数的极值或最值题型2由函数在区间上的单调性求参数题型3求曲线上一点处的切线方程考点二导数大题 11真题动向必备知识知识1讨论单调区间问题知识2函数的极值与最值知识3函数恒成立与能成立问题命题预测题型1讨论单调区间问题题型2函数恒成立与能成立问题题型3函数零点与不等式证明问题命题轨迹透视有关导数的天津高考试题，导数小题一般以课程学习情境为主,突出基础性;大题一般以探索创新情境为主,突出综合性,作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点:(1)利用导数的几何意义解决与函数的切线有关的问题、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题要侧重通性通法,含参的讨论要准确把握住分类标准,有条不紊地进行分类讨论;(2)不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题,要侧重函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法的渗透,加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养。考点频次总结考点2025年2024年2023年导数小题T4，5分导数大题T20，16分T22，16分T20，16分2026命题预测预计在2026年高考中，导数小题一般切线最值及极值,突出基础性，大题一般侧重单调性、恒成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题考点一导数小题1．（2019·天津·高考真题，12，5分）曲线在点处的切线方程为.2．（2018·天津·高考真题，12，5分）已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为．3．（2017·天津·高考真题，12，5分）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为.4．（2016·天津·高考真题，12，5分）已知函数为的导函数，则的值为.5．（2015·天津·高考真题，12，5分）已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为．6．（2010·天津·高考真题，15，5分）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是.7．（2012·天津·高考真题，6，5分）函数在区间(0,1)内的零点个数是A．0 B．1 C．2 D．38．（2013·天津·高考真题，7，5分）设函数，若实数满足，则A． B．C． D．知识1导数运算问题①几个常用函数的导数(c为常数)②基本初等函数的导数公式 ③简单函数导数的运算法则两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方④复合函数的导数定义：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作求导：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积简称：由外到内依次求导知识2利用导数研究曲线的切线问题（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．①在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．②过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）知识3集合的运算性质①．求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数的定义域；（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减.②利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间上单调递增(减)可知()在区间上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值．【易错提醒】1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．题型1求已知函数的极值或最值1．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是.2．（2025·天津河东·二模）设函数，，若存在，使得，则的最小值为.3．（2025·天津·一模）已知，函数若关于的方程，恰有2个互异的实数解，则的取值范围是．4．（2025·天津武清·模拟预测）已知，，则最小值为.5．（2025·天津河西·模拟预测）已知定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；

②函数有2个零点；③的解集为；

④，都有．其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2024·天津河东·一模）已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（

）①；②在上是单调函数；③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根A．1 B．2 C．3 D．47．（2025·天津和平·二模）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则实数（

）A．2 B．0C． D．8．（2025·天津河北·一模）函数的导数为，则的部分图象大致是（

）A． B．C． D．题型2由函数在区间上的单调性求参数9．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（

）A． B．C． D．10．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的且则取值范围是（

）A． B． C． D．11．（2025·天津·一模）设，，，则（

）A． B．C． D．12．（2025·天津·模拟预测）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件13．（2025·天津·二模）设，函数.若在区间上恰有2个不同的零点，则的取值范围是；若在定义域内恰有2个零点，则的取值范围是.14．（2025·天津河北·一模）设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是15．（2023·天津滨海新·三模）已知正实数m，n，满足，则的最小值为.16．（2025·天津·三模）已知函数，则函数存在个极值点；若方程有两个不等实根，则的取值范围是题型3求曲线上一点处的切线方程17．（2025·天津武清·一模）函数

关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是.18．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为．19．（2024·天津红桥·二模）函数有且只有一个零点，则m的取值范围是．20．（2024·天津·一模）已知定义在上的函数满足，当时，.若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围为.21．（2025·天津·一模）函数（）的图象关于点成中心对称，则下列结论正确的个数是（

）①在单调递减；②在有2个极值点；③直线是一条对称轴；④直线是一条切线.A．3个 B．2个 C．1个 D．0个22．（2024·天津和平·二模）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．23．（2023·天津和平·二模）函数的部分图象如图所示，，则下列四个选项中正确的个数为（

）①②函数在上单调递减；③函数在上的值域为；④曲线在处的切线斜率为．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个24．（2020·天津·二模）已知函数函数.若关于的方程有个互异的实数根，则实数的取值范围是A． B． C． D．考点二导数大题1．（2025·天津·高考真题，20，16分）已知函数(1)时，求在点处的切线方程；(2)有3个零点，且.（i）求a的取值范围；（ii）证明．2．（2024·天津·高考真题，20，16分）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意成立，求实数的值；(3)若，求证：．3．（2023·天津·高考真题，20，16分）已知函数．(1)求曲线在处的切线斜率；(2)求证：当时，；(3)证明：．4．（2022·天津·高考真题，20，16分）已知，函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)若曲线和有公共点，（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．5．（2021·天津·高考真题，20，16分）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．6．（2020·天津·高考真题，20，16分）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．7．（2019·天津·高考真题，20，16分）设函数，其中.（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若，（i）证明恰有两个零点（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.8．（2019·天津·高考真题，20，16分）设函数为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.知识1讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间；知识2函数的切线极值与最值问题函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．知识3函数恒成立与能成立问题恒成立问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．【易错提醒】（1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．（2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.题型1讨论单调区间问题1．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若在内的最大值为2，求的值；(3)若，求的取值范围．2．（2025·天津宁河·模拟预测）已知函数，(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；(2)当时，讨论函数单调性(3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值；(4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围．3．（2025·天津·二模）已知函数，其中.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求证：在上单调递增；(3)求证：，且，.4．（2025·天津和平·三模）已知函数，的导函数为，函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)若，对于给定实数，总存在4个不同实数，，，，使得关于的方程恰有3个不同的实数根．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）记，求证：．5．（2025·天津·一模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围；(3)求证：对于任意正整数n，有．6．（2025·天津·一模）已知函数(1)若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值；(2)若函数存在唯一极值点，求的取值范围；(3)若函数存在极大值，记作，求证：.7．（2025·天津河西·二模）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）.8．（2025·天津·二模）已知函数，，且曲线在处的切线的倾斜角为.(1)若函数在区间上单调递增，求实数的最大值；(2)当时，（，为的导函数），求的取值范围；(3)设函数，若，证明：.题型2函数恒成立与能成立问题9．（2025·天津·二模）已知函数.(1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值；(2)若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值；(3)实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：.10．（2025·天津河北·二模）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，若不等式恒成立，求a