2026年高考数学二轮复习专题08 等差数列与等比数列（热点）（天津）（解析版）

专题08等差数列与等比数列内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：近三年天津高考中，等差、等比数列是必考核心模块，以小题+解答题为主，解答题稳定15分，整体难度中档偏上，侧重基本量运算、通项与求和、综合应用。共性规律：1.

题型结构：小题偶尔出现，以基本量运算为主；解答题稳定15分，必出等差+等比综合。2.

核心考查：基本量（a₁,d/q）、通项公式、前n项和（错位相减、裂项相消高频）、性质应用（如m+n=p+q则aₘ+aₙ=aₚ+aq）。3.

难度梯度：第一问基础（求通项），第二问中档（求和/性质），第三问拔高（与不等式、函数结合）。4.

能力要求：强调运算求解与逻辑推理，注重递推关系转化、分类讨论、函数思想的应用。预测2026年：1.

题型与分值：大概率延续1小题（5分）+1解答题（15分），解答题仍是数列模块核心载体。2.

考点预测小题：聚焦等比数列基本量或等差性质，如片段和、中项性质，难度基础偏易。解答题：①第一问：定义法证明等差/等比，求通项；②第二问：错位相减、裂项相消或分组求和；③第三问：与不等式恒成立、函数最值、新定义结合，考查综合能力。3.

命题新动向跨模块融合：与函数（单调性、最值）、不等式（放缩法）结合，增强综合性。递推创新：以递推关系为入口，转化为等差/等比数列求解通项。实际应用：融入数学文化、实际背景，考查建模能力．题型01等差数列的基本量计算解｜题｜策｜略1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．例1（2026·天津武清·月考）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且，，成等比数列，若，则．【答案】36【分析】根据等差数列、等比数列及等差数列前项和公式列方程组求出等差数列的通项公式，计算出，，，相加求和即可.【详解】设等差数列的首项为，公差为.因为，，成等比数列，所以，即，整理得，又，所以.又，所以，即.联立解得，.所以等差数列的通项公式为.所以，，.因此.故答案为：36.例2（2026·天津南开·月考）已知为等差数列，，．为等比数列，且，．(1)求与的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意分别求解等差数列和等比数列通项公式的基本量，即可求出相应的通项公式；（2）利用分组求和法直接求解即可.【详解】（1）令等差数列的公差为，则，解得，所以，所以，令等比数列的公比为，，解得，所以.故与的通项公式分别为，.（2）由（1）知，，，则，令数列的前项和为，则.故数列的前项和为.【变式1】（2026·天津蓟州·月考）已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（

）个.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由条件，可得，，即可判断①正误；由条件得，根据等差数列求和公式及性质，可判断②正误；根据数列的单调性，可判断③、④的正误.【详解】对于①：因为，所以，，所以，故①正确；对于②：因为，所以，所以，故②正确；对于③：因为，所以为单调递增数列，所以等差数列中前6项均小于0，则使得取得最小值时的n为6，故③正确；对于④：因为，且为单调递增数列，且，所以，且满足成立的最小n值为13.故④正确.故选：D【变式2】（2026·天津蓟州·月考）已知等差数列、的前项和分别为、，若，则＝（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式计算可得.【详解】因为，所以.故选：D.题型02等差数列性质的应用解｜题｜策｜略1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq\f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.例1（2026·天津南开·月考）已知为等差数列，为它的前项和，若，则．【答案】6【分析】利用等差数列前项和公式求解即可.【详解】由于为等差数列，为它的前项和，则，所以,则，故答案为：例2（2026·天津·月考）等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（

）A．4052 B．4051 C．4050 D．4049【答案】C【分析】根据等差数列的性质和前项和公式进行计算判断即可.【详解】因为等差数列中，，则.故，.故使前项和成立的最大自然数.故选：C.【变式1】（2026·天津红桥·月考）等差数列的前项和分别为，且，则．【答案】.【分析】先利用等差数列的性质，得出前项和公式并转化为项的形式，再将“项的比值”转化为“前特定项和的比值”，最后计算即可.【详解】对于等差数列性质，知前项和，即，同理：对于等差数列，则，因此：，即：，已知，代入得：，所以，故答案为：.【变式2】（2026·天津·月考）在等差数列中，，则的值为.【答案】【分析】利用等差数列的等差中项性质运算即可.【详解】因为在等差数列中，若，则，且等差中项，所以，得到，故.故答案为：题型03等差数列的单调性及应用解｜题｜策｜略当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．例1（2025·天津·模拟预测）已知等差数列，其前项和为，若，，则下列结论正确的是（）（1）

（2）使的的最大值为16（3）当时最大（4）数列（）中的最大项为第8项A．（1）（2） B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4）【答案】B【分析】根据等差数列的通项性质与前项和性质逐项判断即可．【详解】等差数列，，，又，，，，（1）正确；，，，使的的最大值为15，（2）错误；，，当，，，，所以当时最大，（3）正确；当，且递减，且递增，当时，，最大，故（4）正确．故选：B．例2（2025·天津·模拟预测）已知是等差数列的前项和，且，，则（

）A．数列为递增数列 B．C．的最大值为 D．【答案】C【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可.【详解】由题意，，，则，故B错误；数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误；由于时，，时，，所以的最大值为，故C正确；，故D错误.故选：C.【变式1】（2025·天津·模拟预测）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据题意判断两个条件都等价于，进而判断答案即可.【详解】设等差数列的公差为，若对，，即，若，则，即为单调递增数列，又因为，所以，所以，即，所以“对，”是“”的充要条件.故选：C【变式2】（2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（

）A．数列是递增数列 B．C．当取得最大值时， D．【答案】B【分析】根据等差数列求和公式及等差数列性质计算出，且，从而得到公差小于0，时，取得最大值，判断ABC；利用得到D错误.【详解】ABC选项，，∴，，∴，∴，且，B正确；∴公差，等差数列是递减数列，A错误；时，取得最大值，C错误；D选项，，D错误.故选：B．题型04等差数列前n项和性质应用解｜题｜策｜略1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列．3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).例1（2026·天津河东·月考）已知等差数列的前项和分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差数列前项和公式以及下标和性质可得【详解】由等差数列的前项和分别为且，所以故选：D例2（2026·天津河东·月考）已知数列，均为等差数列，其前n项和分别为，，且则.【答案】【分析】根据等差数列性质求解即可；【详解】因为数列，均为等差数列，其前n项和分别为，，且所以.故答案为：【变式1】（2026·天津滨海新·模拟预测）设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（

）A． B．C． D．时，的最小值为14【答案】AC【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案.【详解】由题意，，而，可以判断是递减数列，所以，C正确，而，D错误；又，所以，B错误；而，A正确.故选：AC【变式2】（2025·天津南开·模拟预测）在前项和为的等差数列中，，，则.【答案】【分析】根据等差数列的性质计算可得.【详解】根据等差数列的性质可知，，成等差数列，所以，即，解得.故答案为：题型05等比数列的基本量计算解｜题｜策｜略等比数列的运算技巧1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。例1（2026·天津南开·月考）等差数列中，已知(1)求数列的通项公式及前项和；(2)若分别为等比数列的第项和第项，且，求数列的通项公式．【答案】(1)；(2)【分析】（1）求解等差数列通项公式的基本量，即可根据公式直接求得结果；（2）根据题意求解等比数列通项公式的基本量，即可求出通项公式.【详解】（1）由题知，令等差数列的公差为，由，解得，所以数列的通项公式，前项和.（2）令等比数列的公比为，则，解得，因为，所以，所以数列的通项公式.例2（2026·天津南开·月考）已知是等比数列，，，则公比．【答案】2【分析】根据等比数列的通项公式的性质直接运算即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：2【变式1】（2026·天津南开·月考）已知是各项为正数的等比数列，，且与的等差中项为4，则等于（

）A．2 B． C．4 D．8【答案】D【分析】利用等比中项的性质可根据求得，再根据等差中项的性质得到，结合，解得公比，进而可求得.【详解】由题可知，，得，解得或（舍去）.设等比数列的公比为，则由，可得，整理得，得或（舍去），则.故选：D.【变式2】（2026·天津北辰·月考）若数列满足，则称数列为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】由题知，则称数列为“梦想数列”，根据“梦想数列”的定义可得数列为公比为2的等比数列，再利用等比数列的性质求解即可.【详解】，可得，因为正项数列为“梦想数列”，所以，即，则数列是以2为公比的等比数列，因为，所以.故选：C.题型06等比数列性质的应用解｜题｜策｜略1、等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2、应用等比数列性质解题时的2个注意点（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．例1（2026·天津北辰·月考）已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则．【答案】【分析】取对数得，再结合等差数列、等比数列的性质和对数运算性质，即可求解．【详解】，两边同时取以为底的对数，得，，又是等差数列，则（常数），故，故是等比数列，则，又，.故答案为：.例2（2026·天津·月考）设各项均为正数的等比数列满足，则等于.【答案】【分析】利用等比数列的通项公式将转化为的等式，通过计算得到的值，即的值，利用等比数列的性质得到，代入计算得解.【详解】是各项均为正数的等比数列，，，，，，.故答案为：.【变式1】（2025·天津滨海新·模拟预测）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是【答案】【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果.【详解】由题意得：，解得：，，解得：，所以.故答案为：.【变式2】（2026·天津·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列及等比数列的下标和性质求值，再代入结合诱导公式及两角差的正弦公式求解.【详解】因为数列是等比数列，且，所以，因为数列是等差数列，且，所以，则.故选：D.题型07等比数列单调性及应用解｜题｜策｜略等比数列前n项和的函数特征1、与的关系（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。2、与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。例1（2026·天津滨海新·月考）已知是公比大于0的等比数列，是单调递增数列；是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行判断即可．【详解】由，则，当时，则，此时数列单调递增，当时，则，此时数列单调递增，故，则数列单调递增，又当数列单调递增时，所以，综上，是的充要条件．故选：A．例2（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，.(1)当数列为等差数列时，求的通项公式及；(2)当在单调递增时，设，求的值；(3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值.【答案】(1)，.(2)(3)最大值为1，最小值为.【分析】（1）根据等差数列定义列方程组解得首项和公差即可求得结果；（2）经分析可知只有当时，在单调递增，满足题意，再利用裂项求和可得结果；（3）由（2）可知当时为等比数列且为摆动数列时，对表达式化简分析可求的结果.【详解】（1）假设等差数列的公差为，由题意得，所以，所以，.（2）当数列为等差数列时，由（1）知，显然在不单调；当数列为等比数列时，假设公比为，，解得或，当时，，易知在单调递增；当时，，易知在不单调，所以，所以，.（3）当数列为等比数列时，由（2）知或，又为摆动数列，所以，，所以，当为奇数时，单调递减，，当时取得最大值1，当为偶数时，单调递增，，当时取得最小值，所以的最大值为1，最小值为.【变式1】（2025·天津南开·月考）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由等比数列的通项公式可得，，当且时，则，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足；当是递减数列，可得或，故必要性不满足；所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.故选：A【变式2】（2025·天津北辰·模拟预测）已知为等差数列，为等比数列，．(1)求和的通项公式；(2)令，求数列的前n项和；(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)，(2)(3)见解析【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式，结合题设求基本量，进而写出和的通项公式；（2）由（1）得，应用错位相减法求前项和；（3）由（1）得，要使题设不等式恒成立即在上恒成立，讨论的奇偶性，判断是否存在使之成立.【详解】（1）若的公差为，结合题设可得：，又，故，∴，若的公比为且，结合题设可得：，又，故，∴.（2）由（1）知：，∴，∴，以上两式相减，得：，∴.（3）由题设，，要使任意恒有，∴，则恒成立当为奇数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；当为偶数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；综上，存在实数，使得对任意的，恒有.题型08等比数列前n项和性质应用解｜题｜策｜略等比数列前项和的性质（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；（2）对，有；（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）例1（2026·天津北辰·月考）已知为等比数列的前n项和，若，，则（

）A．96 B．144 C．324 D．768【答案】C【分析】由题意可得成等比数列，根据等比数列的通项公式及即可求解.【详解】因为为等比数列的前n项和，所以成等比数列，设其公比为，因为，，所以，所以，所以，所以.故选：C.例2（2025·天津西青·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】数列为等比数列的前项和为满足，，成等比数列，结合的值即可求.【详解】∵等比数列中，成等比数列又，∴，解得.故选：A.【变式1】（2026·天津红桥·月考）各项均为实数的等比数列{}的前n项和记为，若则（

）A．30或 B． C．30 D．40【答案】A【分析】设等比数列的公比为，由题意易知，则成等比数列，代入求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由题意易知，则成等比数列，所以，所以或.故选：A【变式2】（2025·天津·模拟预测）已知为等比数列的前项和，，，则（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根据等比数列前n项和的性质，结合等比中项的应用计算即可求解.【详解】由题意知，为等比数列的前n项和，则成等比数列，由等比中项，得，即，解得或（舍去）.故选：C（建议用时：20分钟）1．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍．(1)求数列，的通项公式；(2)若数列满足，，且当，.（i）求证：；（ii）求数列的前项的和．【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式直接构造方程组求解即可；（2）（i）根据已知得到，结合等比数列求和公式可化简得到，采用作差法即可证得结论；（ii）分别求出，当时，，结合等比数列求和公式整理，验证即可得到最终结论.【详解】（1）设等差数列的公差为，则等比数列的公比为，，，，，解得：，，，，.（2）（i）由（1）得：，，，，令，又，，则，即，.（ii）记，则，；当时，，；经检验：，满足，综上所述：.2．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求等差数列的公差和等比数列的公比即可求解；（2）令，利用裂项相消法即可求解；（3）利用错位相减法先求，由有，令，研究数列的单调性即可求解.【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则有，所以，所以，又，所以，所以，所以；（2）令，所以；（3）由已知有，所以①，②，所以①②有：，解得，由有，即，令，所以，所以当时，，即，所以当时，数列单调递减，又，所以，所以.3．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】集合A中有1个奇数和4个偶数，因此每次选择奇数的概率为，选择偶数的概率为，利用马尔科夫链可以建立起的递推公式，即可得到答案.【详解】中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为，取到偶数的概率为，的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性.设，，有；考虑递推关系：代入，，，当时，，为奇数的概率为，故.所以是以为首项，为公比的等比数列；所以，当时，，当时，.故选：A4．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.(1)求数列，的通项公式；(2)设，为的前n项和，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意可得，即可求出，再根据两边同除以，可得，即可求出（2）根据分组求和、裂项求和及错位相减法，即可求出答案.【详解】（1），，，，又，，，，由两边同除以，得，从而数列为首项，公差的等差数列，，从而数列的通项公式为（2）由（1）知，，，设，则，两式相减得，整理得，.5．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（

）A．27 B．30 C．33 D．36【答案】A【分析】当时，可得，当时，利用作差法可得到，即当时，数列是公差为3的等差数列，从而可得，进而可得，由，可求解，的值，再利用等差数列的通项公式即可求解【详解】当时，，可得，因①，可知时，②，用①-②得：，等式两边同乘，得到，即，即当时，数列是公差为3的等差数列，所以，又，所以，又因为，则整理得，即，因为数列是正项数列，所以，所以，所以故选：A6．（2025·天津·三模）已知数列和的满足，(1)（i）求的值；（ii）求的值.(2)若数列满足对于，求证：，使得．【答案】(1)（i）;（ii）(2)证明见解析【分析】（1）（i）通过将两递推式相加找到与的关系，进而求出；（ii）通过两递推式相减找到与的关系，再结合平方差公式求出；（2）根据得到的范围，再利用放缩法证明不等式.【详解】（1）（i）已知，，将两式相加可得：，又，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.根据等比数列通项公式可得.所以.（ii）将与两式相减可得：即，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.所以.由平方差公式，则设①则②①-②得：所以则.（2）因为，所以.由，，可得，.则.设③则④③-④得：所以.则.当足够大时，会大于2025，所以，使得7．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（

）A．15 B．35 C．45 D．55【答案】C【分析】利用数列是等比数列求出，再求出，进而可求解.【详解】等比数列的首项为1，公比为，，，，，且，是首项为，公差为的等差数列，数列的前10项和为.故选：C.8．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则