2026年高考数学二轮复习专题08 等差数列与等比数列（热点）（天津）（原卷版）

专题08等差数列与等比数列内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：近三年天津高考中，等差、等比数列是必考核心模块，以小题+解答题为主，解答题稳定15分，整体难度中档偏上，侧重基本量运算、通项与求和、综合应用。共性规律：1.

题型结构：小题偶尔出现，以基本量运算为主；解答题稳定15分，必出等差+等比综合。2.

核心考查：基本量（a₁,d/q）、通项公式、前n项和（错位相减、裂项相消高频）、性质应用（如m+n=p+q则aₘ+aₙ=aₚ+aq）。3.

难度梯度：第一问基础（求通项），第二问中档（求和/性质），第三问拔高（与不等式、函数结合）。4.

能力要求：强调运算求解与逻辑推理，注重递推关系转化、分类讨论、函数思想的应用。预测2026年：1.

题型与分值：大概率延续1小题（5分）+1解答题（15分），解答题仍是数列模块核心载体。2.

考点预测小题：聚焦等比数列基本量或等差性质，如片段和、中项性质，难度基础偏易。解答题：①第一问：定义法证明等差/等比，求通项；②第二问：错位相减、裂项相消或分组求和；③第三问：与不等式恒成立、函数最值、新定义结合，考查综合能力。3.

命题新动向跨模块融合：与函数（单调性、最值）、不等式（放缩法）结合，增强综合性。递推创新：以递推关系为入口，转化为等差/等比数列求解通项。实际应用：融入数学文化、实际背景，考查建模能力．题型01等差数列的基本量计算解｜题｜策｜略1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．例1（2026·天津武清·月考）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且，，成等比数列，若，则．例2（2026·天津南开·月考）已知为等差数列，，．为等比数列，且，．(1)求与的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【变式1】（2026·天津蓟州·月考）已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（

）个.A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（2026·天津蓟州·月考）已知等差数列、的前项和分别为、，若，则＝（

）A． B． C． D．题型02等差数列性质的应用解｜题｜策｜略1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq\f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.例1（2026·天津南开·月考）已知为等差数列，为它的前项和，若，则．例2（2026·天津·月考）等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（

）A．4052 B．4051 C．4050 D．4049【变式1】（2026·天津红桥·月考）等差数列的前项和分别为，且，则．【变式2】（2026·天津·月考）在等差数列中，，则的值为.题型03等差数列的单调性及应用解｜题｜策｜略当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．例1（2025·天津·模拟预测）已知等差数列，其前项和为，若，，则下列结论正确的是（）（1）

（2）使的的最大值为16（3）当时最大（4）数列（）中的最大项为第8项A．（1）（2） B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4）例2（2025·天津·模拟预测）已知是等差数列的前项和，且，，则（

）A．数列为递增数列 B．C．的最大值为 D．【变式1】（2025·天津·模拟预测）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（

）A．数列是递增数列 B．C．当取得最大值时， D．题型04等差数列前n项和性质应用解｜题｜策｜略1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列．3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).例1（2026·天津河东·月考）已知等差数列的前项和分别为，若，则（

）A． B． C． D．例2（2026·天津河东·月考）已知数列，均为等差数列，其前n项和分别为，，且则.【变式1】（2026·天津滨海新·模拟预测）设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（

）A． B．C． D．时，的最小值为14【变式2】（2025·天津南开·模拟预测）在前项和为的等差数列中，，，则.题型05等比数列的基本量计算解｜题｜策｜略等比数列的运算技巧1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。例1（2026·天津南开·月考）等差数列中，已知(1)求数列的通项公式及前项和；(2)若分别为等比数列的第项和第项，且，求数列的通项公式．例2（2026·天津南开·月考）已知是等比数列，，，则公比．【变式1】（2026·天津南开·月考）已知是各项为正数的等比数列，，且与的等差中项为4，则等于（

）A．2 B． C．4 D．8【变式2】（2026·天津北辰·月考）若数列满足，则称数列为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（

）A．4 B．8 C．16 D．32题型06等比数列性质的应用解｜题｜策｜略1、等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2、应用等比数列性质解题时的2个注意点（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．例1（2026·天津北辰·月考）已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则．例2（2026·天津·月考）设各项均为正数的等比数列满足，则等于.【变式1】（2025·天津滨海新·模拟预测）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是【变式2】（2026·天津·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（

）A． B． C． D．题型07等比数列单调性及应用解｜题｜策｜略等比数列前n项和的函数特征1、与的关系（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。2、与的关系当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。例1（2026·天津滨海新·月考）已知是公比大于0的等比数列，是单调递增数列；是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件例2（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，.(1)当数列为等差数列时，求的通项公式及；(2)当在单调递增时，设，求的值；(3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值.【变式1】（2025·天津南开·月考）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（2025·天津北辰·模拟预测）已知为等差数列，为等比数列，．(1)求和的通项公式；(2)令，求数列的前n项和；(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．题型08等比数列前n项和性质应用解｜题｜策｜略等比数列前项和的性质（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；（2）对，有；（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）例1（2026·天津北辰·月考）已知为等比数列的前n项和，若，，则（

）A．96 B．144 C．324 D．768例2（2025·天津西青·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式1】（2026·天津红桥·月考）各项均为实数的等比数列{}的前n项和记为，若则（

）A．30或 B． C．30 D．40【变式2】（2025·天津·模拟预测）已知为等比数列的前项和，，，则（

）A．3 B． C． D．（建议用时：20分钟）1．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍．(1)求数列，的通项公式；(2)若数列满足，，且当，.（i）求证：；（ii）求数列的前项的和．2．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．3．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（

）．A．， B．，C．， D．，4．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.(1)求数列，的通项公式；(2)设，为的前n项和，求.5．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（

）A．27 B．30 C．33 D．366．（2025·天津·三模）已知数列和的满足，(1)（i）求的值；（ii）求的值.(2)若数列满足对于，求证：，使得．7．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（

）A．15 B．35 C．45 D．558．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项