2026年高考数学二轮复习专题09 数列的递推求通项归类7大考向（重难）（天津）（解析版）

重难点09：数列的递推求通项归类内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：近三年共性规律：必考，解答题第1问+小题组合，5-11分；高频递推模型：Sn型、线性递推（一阶/二阶）、差比型；核心要求：转化为等差/等比、n=1验证、多解取舍。预测2026年：命题形式：解答题第19题（1）（5-6分）+5分小题（选择/填空，5-7题），载体为等差/等比衍生数列，递推以一阶线性+Sn型为主。考查侧重：基础型：Sn与an互化（保分题），重点n=1验证。中档型：累加法/累乘法+构造法融合。新情景：结合实际建模（如增长率/折旧）、函数耦合（an与f(n)联动）、含绝对值/分段递推，强化分类讨论与临界值验证。难度与陷阱：难度中档；陷阱在n=1漏验、构造后首项错误、多解未取舍（结合单调性/有界性排除）。考向1：观察法求通项已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．1．（2026·天津和平·月考）数列的一个通项公式是.【答案】【分析】根据已知数列可知，数列中每项分子以递增，分母以递增，且正负相间.【详解】由题意，数列可化为，所以数列的通项公式为：.故答案为：.2．（2025·天津河西·模拟预测）数列的一个通项公式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用给定条件归纳得到通项公式即可.【详解】因为数列，所以其奇数项符号为负，偶数项符号为正，而分母可归纳为，分子可归纳为，故数列的一个通项公式是，故B正确.故选：B3．（2026·天津·月考）数列的一个通项公式可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.【详解】因为所以该数列的一个通项公式可以是对于选项B：，故B错误；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D错误.故选：A.4．（2025·天津静海·月考）求通项公式(1)已知数列、、、、求通项公式；(2)在数列中，，且点在直线上，求数列的通项公式；(3)数列的首项为，且前项和满足，求数列的通项公式；(4)数列满足，，求数列的通项公式；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用观察法可得出数列的通项公式；（2）分析可知，数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（3）推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得的表达式，再由可求得数列的通项公式；（4）求出的值，分析可知，数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列，对分奇数和偶数两种情况讨论，综合可得出数列的通项公式.【详解】（1）因为，，，，由观察法可得.（2）在数列中，，且点在直线上，则，所以，，所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，所以，.（3）数列的首项为，且前项和满足，即，由题意可知，对任意的，则，则当时，，所以，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，，则，故当时，，且且满足，故对任意的，.（4）因为数列满足，，则，可得，当时，，，上述两个等式作差可得，所以，数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列，当为奇数时，设，可得，则；当为偶数时，设，可得，则.故对任意的，.5．（2025·天津河西·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察得到中的奇数项都是数列中的项，即，其为公比为4的等比数列，求出，得到答案.【详解】数列中的项为，观察得到中的奇数项都是数列中的项，即可以写成的形式，其为公比为4的等比数列，故，故.故选：D考向2：由Sn与an关系求通项若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．1．（2025·天津河北·月考）已知数列的前项和，则的前12项和为．【答案】80【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前12项的和即可.【详解】因为，当时，；当时，满足上式；所以，令，解得；令，解得；所以．故答案为：80.2．（2026·天津和平·月考）已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是．【答案】【分析】根据进行求解，得到答案.【详解】当时，，当时，，当时，，故，故答案为：3．（2026·天津·月考）已知数列的前n项和，则=．【答案】【分析】根据数列的递推关系中与的关系求解，要注意验证.【详解】当时，；当时，.又也满足，所以.故答案为：.4．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知数列，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，．(1)求与的通项公式；(2)数列的前n项和，求及的最小值和最大值；(3)设，求．【答案】(1)，(2)，最小值为，最大值为(3)【分析】（1）借助与的关系结合等比数列定义可得的通项公式，再由等差数列性质可得的通项公式；（2）借助等比数列求和公式可得，再分奇偶讨论可得的最小值和最大值；（3）由题意计算可得，再借助错位相减法计算即可得解.【详解】（1）由，则，故，即，当时，，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故；，则数列的公差为，故；（2），则，当为偶数时，，随的增大而增大，当为奇数时，，随的增大而减小，故当时，有最小值，当时，有最大值；（3）由，则，则，则，故，则.5．（2026·天津滨海新·月考）（1）在等差数列中，，求通项及数列的前项和；（2）数列的前项和为，且.求数列的通项公式；【答案】（1），，（2），.【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列式求出，进而得到通项公式；（2）根据与的关系求出通项.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，即，解得，所以，故，由，可得，故，所以，所以，所以数列的通项公式为，前项和，（2）当时，，当时，,当时，依然成立，所以数列的通项公式是，.考向3：累加法求通项适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解1．（2026·天津滨海新·月考）已知数列满足，则的最小值为.【答案】【分析】本题主要考查累加法在求数列通项公式中的应用及单调性在求数列的最小项中的应用.先由题设，然后利用累加法求得，进而求得，再利用单调性求得其最小值.【详解】，将以上式子相加，可得：，即，又当时，有也适合上式，，易知：当时，单调递减；当时，单调递增，又的最小值为.故答案为：2．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（

）A．239 B．225 C．211 D．261【答案】C【分析】根据题可得，即可利用累加法求解通项得解.【详解】由可得，故累加可得，故，故选：C13．（2025·天津南开·月考）瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案如下图，分别记为曲线，，，，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作等边三角形，再去掉底边．记为曲线所围成图形的面积，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知即在基础上多出个面积为的正三角形，整理可得，利用累加法可得结果.【详解】因为，可知即在基础上多出个面积为的正三角形，则，即，所以.故选：C.4．（2025·天津滨海新·月考）在数列中，，则.【答案】【分析】由裂项法即可求解.【详解】.故答案为：.5．（2025·天津·模拟预测）已知数列{}满足则数列{}的通项公式=，若数列{}对任意的恒成立，则实数k的最小值为【答案】/【分析】运用累和法，结合等比数列的前项和公式，再利用参变量分离法、构造新数列、差比法判断新数列的单调性，最后根据数列的单调性进行求解即可.【详解】，当时，；，设，，当时，，，当时，，因此是数列的最大项要想数列{}对任意的恒成立，只需，故答案为：；考向4：三项递推法求通项适用于形如型的递推式用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型1．（2025·天津·模拟预测）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为（

）A．27 B．28 C．29 D．30【答案】C【分析】根据“速增数列”的定义，结合累加法建立不等式并求解即得.【详解】当时，，由数列为“速增数列”，则，又，则、、、，则，即，当时，，当时，，故正整数的最大值为.故选：C.2．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列中，，，，则等于（

）A． B． C．4 D．5【答案】A【分析】用递推公式，代入逐个计算即可.【详解】数列中，，，，则，则.故选：A.3．已知数列，，．(1)证明：数列，为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据已知条件得到，，即可证明答案.（2）根据题意得到，再解方程组即可.（3）利用分组求和的方法求解即可.【详解】（1）因为，，所以，.而，，所以，，.所以数列是以首项，公比为的等比数列.数列是以首项，公比为的等比数列.（2）由（1）知：，.（3）因为，所以.4．（2025·天津蓟州·月考）（1）在数列中，，，且满足，求数列的通项公式；（2）在数列中，，，求数列的通项公式；（3）若数列是正项数列，且，求数列的通项公式【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）分析可知，数列为等差数列，求出该数列的公差，可求得数列的通项公式；（2）推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（3）令可求得的值，令，由可得出，两式作差可得出在时的表达式，然后对是否满足在时的表达式进行检验，即可得解；【详解】解：（1）∵，，∴，，∴数列为等差数列，，，∴.（2）∵，∴，又，∴是以首项为，公差为的等差数列，∴∴.（3）∵，∴，，两式相减可得：，，又时，也满足上式，∴，，∴.5．数列的首项，且对任意，恒成立，则．【答案】【分析】根据题意先求得，再将原条件转化为，再由递推关系可推导出是为等差数列，从而求得求得其通项公式，进而求解即可．【详解】依题意可得，得，又，则，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，所以．故答案为：．考向5：累乘法求通项适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq\f(an＋1,an)＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解1．（2026·天津·月考）已知数列的首项且满足.(1)证明：是等比数列；(2)数列满足，，求数列的通项公式；(3)记，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据递推关系可得，由等比数列定义可得结论；（2）利用累乘法可求得；（3）由等比数列通项公式求法可求得，由此可得，利用错位相减法可求得.【详解】（1）由得：，，，，数列是以为首项，为公比的等比数列.（2），，当时，；当时，满足；综上所述：.（3）由（1）得：，，又，；，，，.2．（2025·天津·二模）从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列.(1)求，的值；(2)求；(3)证明：.【答案】(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）依题意对恒成立，代入计算可得；（2）依题意可得，，再利用累乘法求出，再结合，计算可得；（3）由（2）知，则，利用裂项相消法计算可得.【详解】（1）由题意知，，是公比为的等比数列，对恒成立，又，，，，又，所以；（2）因为对恒成立，所以，，，当时也成立，，又，；（3）由（2）知，故，当时，；当时，；综上可得.3．（2025·天津南开·模拟预测）已知等差数列和等比数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，且.设为数列的前项和，集合，求A（用列举法表示）；(3)求.【答案】(1)，；(2)(3)【分析】（1）求出，从而得到公差，求出的通项公式，并根据求出的通项公式；（2）在（1）基础上，得到，累乘法得到，裂项相消法求和得到，需要能整除12，又，故，得到答案；（3）在（1）基础上得到，先求当为偶数时，表达出和，式子①+②，并化简得到，若为奇数，利用求和，从而得到答案.【详解】（1），又为等差数列，，设公差为，则，故的通项公式为，又，故，即的通项公式为；（2），其中，，故，要想，则需要能整除12，又，故，此时，故；（3）因为，，所以，故，若为偶数，则①，②，式子①+②得，所以，若为奇数，则，所以.4．（2025·天津滨海新·月考）已知数列的项满足，而，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用累乘法可数列的通项公式.【详解】由已知，即则时，，，，，，，等式左右分别相乘可得，又，适合上式，所以，故选：B.5．（2025·天津·月考）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是【答案】【分析】由题意可构造数列，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解.【详解】由，则，即，又，则，故数列是以为首项，为公差的等差数列，即，则有，，，，且，故，即，显然均满足.故答案为：.考向6：构造法求通项1、形如（其中均为常数且）型设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．2、形如型（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列；（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：。1．（2025·天津·模拟预测）已知数列满足，，数列满足.(1)求和的通项公式；(2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）.【答案】(1)，(2)【分析】（1）构造等比数列可求，利用通项与和的关系可求；（2）根据新数列的特点，分析前100项的构成，分别求和可得答案.【详解】（1）对于数列，由可得，又，所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，故，得.对于数列，设，则当时，，得，时验证成立，故.（2）新数列结构为：后插1项，后插3项，后插项，到为止总项数为.当时，到共项，和为，插入的到和为，故.第92到100项为后插的前9项，即到，和为，故.2．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（

）A．3059 B．2056 C．1033 D．520【答案】C【分析】根据已知可得，构造法得到是首项、公比均为的等比数列，写出通项公式即可求项.【详解】由题设，则，所以，则又，则，所以是首项、公比均为的等比数列，则，所以，则.故选：C3．（2025·天津西青·模拟预测）已知数列，下列结论不正确的是（）A．若为等比数列，则数列是等差数列B．若，，则C．若，，则D．若为等差数列，则数列是等比数列【答案】A【分析】对于A，当是负数构成的等比数列时，此时没有意义；对于B，构造等比数列即可求解数列的通项；对于C，用累加法求解即可；对于D，根据等比数列的定义证明即可.【详解】对于A，若是负数构成的等比数列，此时没有意义，故A错误；对于B，等价于，数列是以为首项，公比为2的等比数列，，故B正确；对于C，，，故C正确；对于D，若为等差数列，可设，（常数）数列是等比数列，故D正确.故选：A.4．（2025·天津·模拟预测）某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（

）（参考数据：，，，）A．1240 B．1260 C．1280 D．1290【答案】B【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项公式，代入计算即可.【详解】依题意，当时，，则，于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列，则，即，所以.故选：B．5．（2025·天津和平·模拟预测）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（

）A．9 B．21 C．45 D．93【答案】C【分析】利用将条件转化为关于数列的递推式，然后构造等比数列求出数列的通项公式，进而可得的值.【详解】由得，整理得，又得，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即所以.故选：C.考向7：倒数法求通项形如an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)，可变形为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要点：①若p＝r，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq\f(q,p)，可用公式求通项；②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解1．（2025·天津南开·模拟预测）已知数列满足，，则的值为.【答案】【分析】将两边取倒数，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出的通项公式，即可得解.【详解】因为，所以，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，所以.故答案为：2．已知数列满足，则数列的通项公式.【答案】【分析】先取倒数，再得出是等差数列结合等差数列通项公式计算即可.【详解】由题意易得，，即，可得，又，即有数列是首项为1，公差为1的等差数列，可得，即.故答案为：.3．已知各项均不为0的数列满足，且，则．【答案】/【分析】将取倒数化简可得，即判断为等差数列，即可求得的通项公式，即可得答案.【详解】由题意知数列满足，即，即，即为首项是，公差为1的等差数列，故，故，故答案为：4．（2025·天津红桥·模拟预测）在数列中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据递推公式直接计算得到答案.【详解】，，则，，，.故选：A.5．已知数列中，且，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将已知式化简得出，即可根据构造法求出数列通项，再代入数值求解即可.【详解】，，即，两边同时除以得：，即，令，则，则是首项为，公差为的等差数列，则，即，则，则.故选：D（建议用时：60分钟）1．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】集合A中有1个奇数和4个偶数，因此每次选择奇数的概率为，选择偶数的概率为，利用马尔科夫链可以建立起的递推公式，即可得到答案.【详解】中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为，取到偶数的概率为，的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性.设，，有；考虑递推关系：代入，，，当时，，为奇数的概率为，故.所以是以为首项，为公比的等比数列；所以，当时，，当时，.故选：A2．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（

）A．27 B．30 C．33 D．36【答案】A【分析】当时，可得，当时，利用作差法可得到，即当时，数列是公差为3的等差数列，从而可得，进而可得，由，可求解，的值，再利用等差数列的通项公式即可求解【详解】当时，，可得，因①，可知时，②，用①-②得：，等式两边同乘，得到，即，即当时，数列是公差为3的等差数列，所以，又，所以，又因为，则整理得，即，因为数列是正项数列，所以，所以，所以故选：A3．（2025·天津·三模）已知数列和的满足，(1)（i）求的值；（ii）求的值.(2)若数列满足对于，求证：，使得．【答案】(1)（i）;（ii）(2)证明见解析【分析】（1）（i）通过将两递推式相加找到与的关系，进而求出；（ii）通过两递推式相减找到与的关系，再结合平方差公式求出；（2）根据得到的范围，再利用放缩法证明不等式.【详解】（1）（i）已知，，将两式相加可得：，又，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.根据等比数列通项公式可得.所以.（ii）将与两式相减可得：即，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.所以.由平方差公式，则设①则②①-②得：所以则.（2）因为，所以.由，，可得，.则.设③则④③-④得：所以.则.当足够大时，会大于2025，所以，使得4．（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（

）．A．1350 B．1352 C．2025 D．2026【答案】B【分析】由数列的递推公式可得数列可以看作以为一个周期的数列，然后代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，，所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列，则.故选：B5．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则.【答案】【分析】通过题给条件逐项计算发现规律，即可写出的值.【详解】由题知，即，因为，解得，时，，即，因为，解得，时，，即，即，因为，解得，同理可得，.故答案为：.6．（2024·天津河北·二模）在数列中，若对任意的都满足（其中为常数），则称数列为等差比数列.已知等差比数列中，，则等于（

）A．5 B．9 C．15 D．105【答案】D【分析】根据等差比数列的定义求解即可.【详解】因为为等差比数列，所以，所以，解得，由，解得：故选：D7．（2024·天津河西·三模）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据新定义可证得数列是等比数列，从而可利用等比数列通项求解问题.【详解】因为正项数列为“对奇数列”，所以，则，即数列是公比为2的等比数列，又因为，所以，故选：C.8．（2024·天津河西·模拟预测）已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去.(1)求操作1次后桶中的水量；(2)求操作次后桶中的水量；(3)至少操作多少次，桶中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，）【答案】(1)(2)(3)5次【分析】（1）根据题意列式计算；（2）根据题意，得到，，然后用数列知识求解；（3）由（2）可得，列式运算得解.【详解】（1）记桶中的水量为，桶中的水量为，，所以.（2）根据题意可得：，，所以，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，，所以.（3），，令，得，两边取对数，得，所以至少经过5次操作，才能使桶中的水量与桶中的水量之差小于.9．（2025·天津·模拟预测）数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据定义列方程组，判断是否有实数解，结合周期性逐一验证判断即可.【详解】由题知，，又，所以，是周期为3的周期数列.对于A，若，，则，则或若，则，得，又，由周期性可知，当时，满足，A不满足题意；对于B，若，，则，即，又，消元整理得，即，无实数解，故B满足题意；对于C，若，，则，解得，显然恒成立，C不满足题意；对于D，若，，则，解得，显然此时恒成立，D不满足题意.故选：B10．（2025·天津·二模）在数列中，若（），则的值为（

）A．1 B．3 C．9 D．27【答案】D【分析】由数列的递推式，分别求出的值即可得出结果.【详解】当时，，当时，，所以，当时，，所以.故选：D.11．（2025·天津滨海新·二模）已知数列满足，其中.(1)若，求数列的前n项的和；(2)若，且数列满足：，证明：.(3)当，时，令，判断对任意，，是否为正整数，请说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)对任意，，是正整数.理由见解析【分析】（1）分和两种情况讨论，利用求和公式可得答案；（2）先求，利用裂项相消法求和可证结论；（3）先根据得出，，再根据递推式得出进而可以判断.【详解】（1）因为，，所以当时，，时，，即为奇数时，；为偶数时，.记数列的前n项的和为，当为偶数时，，当为奇数时，，综上，其中.当时，，时，，此时是等比数列，当时，；当时，，故.（2）由（1）知，，时，，，（3）对任意，，是正整数.理由如下：当，时，，此时；，此时；由，平方可得，，又，所以，整理可得，当时，，所以，所以，由，所以，以此类推，可知对任意，，是正整数.12．（2025·天津河西·一模）已知各