2026年高考数学二轮复习专题11 椭圆及其应用（热点）（天津）（原卷版）

专题11椭圆及其应用内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：椭圆是天津卷解答题核心（18/19题，15分），近三年稳定考方程+离心率（第1问）与定点/定值/存在性/面积（第2问）；2026大概率保持题型、分值与核心考点稳定，难度中档偏稳，会强化几何直观与运算逻辑，偶以小题补位考查。近三年考情共性：必出15分解答题，第1问多为方程+离心率（a,b,c关系），第2问聚焦定点/定值/存在性/面积/证明，常与直线、向量、韦达定理综合，偶以小题考离心率、定义等基础点。预测2026年：结合天津高考数学的命题稳定性及2025年试卷评析的风格导向，2026年天津高考数学中题型与分值：解答题18/19题（15分）为主，可能以填空/选择（5分）补位考离心率、定义等；整体分值约15-20分，是圆锥曲线核心命题载体。核心考查方向：1.

基础：椭圆定义、标准方程，a,b,c关系与离心率（必考，第1问）。2.

核心：直线与椭圆综合，韦达定理处理交点，考弦长、面积、定点/定值。3.

热点：存在性探索（定点、参数范围），向量垂直/平行等条件转化，强化运算与逻辑。4.

创新：结合几何证明、对称、最值，或与圆、抛物线简单综合，突出直观想象。5.

补位：小题可能考离心率范围、焦点三角形、椭圆上点到直线距离最值等基础性质。题型01椭圆的定义及概念辨析解｜题｜策｜略在椭圆的定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段；②当时，其轨迹不存在．例1（2026·天津南开·月考）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．例2（2026·天津北辰·月考）已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【变式1】（2026·天津蓟州·月考）已知椭圆C：的焦距长为2，左，右顶点分别为，左，右焦点分别为，上顶点为D，过点的直线与椭圆相交于点A，B，且的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交于点Q，与直线相交于点P，与y轴相交于点M，且满足，求直线l的方程.【变式2】（2026·天津武清·月考）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则内切圆的半径为．题型02利用定义求距离和差最值解｜题｜策｜略利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：（1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；（2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值例1（2026·天津南开·月考）已知点为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则下列结论中错误的是（

）A．若，则的面积为2B．使为直角三角形的点有6个C．的最大值为D．若，则的最大值为例2（2026·天津·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（

）A． B． C． D．【变式1】（2025·天津北辰·模拟预测）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·天津和平·模拟预测）已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为题型03椭圆标准方程的求解解｜题｜策｜略1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；（2）定量：依据条件及确定的值；（3）写出标准方程；2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数。例1（2025·天津武清·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过椭圆左顶点A且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E且与（O为坐标原点）垂直的直线交直线于点M，且的面积为，求k的值．例2（2026·天津·月考）设椭圆的左右顶点分别为，，右焦点为，已知，.(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程.【变式1】（2026·天津南开·月考）已知椭圆的离心率为为椭圆的左顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆的左焦点，且的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线的倾斜角为，交该椭圆于两点，求弦长；(3)设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为坐标原点），且，求直线的斜率．【变式2】（2026·天津静海·月考）已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，直线过椭圆的右焦点分别交椭圆于两点，周长为(1)求椭圆的方程．(2)若弦长为，求直线的方程．(3)是否存在使为直径的圆过，若存在求出直线方程，若不存在，说明理由．题型04椭圆的焦点三角形问题解｜题｜策｜略一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF2，性质1：AF1+拓展：∆AF1∆ABF1性质2：4c例1（2025·天津宁河·模拟预测）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且.(1)求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率；(2)求的面积；例2（2025·天津东丽·模拟预测）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（

）A． B． C． D．【变式1】（2026·天津·月考）若、是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是.①椭圆C的离心率为；②存在点A使得；③若，则；④面积的最大值为（填序号）【变式2】（2025·天津蓟州·月考）已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则下列说法正确的个数是（）①

②直线l的斜率为③，，成等差数列

④的内切圆半径A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型05求椭圆的离心率与范围解｜题｜策｜略1、求椭圆离心率的3种方法（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．2、求椭圆离心率范围的2种方法（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系。例1（2026·天津北辰·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为.设为椭圆上一点，当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线（斜率存在）与椭圆有两个交点，.在轴上是否存在点使得为锐角?若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由.例2（2026·天津蓟州·月考）已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程.【变式1】（2026·天津·月考）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值.【变式2】（2026·天津滨海新·月考）设是椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则这两条曲线的离心率之积最小为，此时双曲线的渐近线的方程是.题型06椭圆的中点弦问题解｜题｜策｜略解决椭圆中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。证明：设、，则有，上式减下式得，∴，∴，∴。特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。[例1（2026·天津静海·月考）椭圆内有一点，以为圆心的圆与椭圆交于两点，若弦恰为圆的直径，则直线的斜率为（）A． B． C． D．例2（2026·天津河东·月考）已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（

）A． B． C． D．【变式1】（2025·天津静海·模拟预测）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为.【变式2】（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、．(1)求椭圆的方程；(2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率；(3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．题型07直线与椭圆相交弦长求解解｜题｜策｜略求弦长的两种方法：（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：[例1（2026·天津南开·月考）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上的动点，且面积的最大值为8.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于，两点，求（O为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线的方程；(3)是否存在常数使得过原点作以为圆心，以为半径的圆的两条切线和，当，的斜率存在时总有斜率的乘积为定值，若存在求出的值，并求出斜率乘积；若不存在说明理由.例2（2026·天津·月考）已知和为椭圆上两点．(1)求C的标准方程；(2)若过点A的直线l交C于另一点B，的面积为24，且的外接圆圆心在y轴上，求直线l的方程；【变式1】（2026·天津·模拟预测）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值.【变式2】（2026·天津河北·月考）已知椭圆，左焦点为，且(1)求M的方程；(2)若过点且斜率为的直线l与M交于A，B两点，求．题型08直线与椭圆综合问题解｜题｜策｜略1.

优先用几何法，减少计算量核心依据是圆心到直线的距离d与半径r的关系，判定位置关系：相切：d=r→直接求切线方程或参数；相交：d<r→弦长公式（优先用，比联立韦达定理快）；相离：d>r→常考圆上点到直线的距离最值。2.

代数法兜底，处理复杂综合题当几何特征不明显时，联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程：用判别式验证位置关系；用韦达定理求交点坐标的和与积，进而计算弦长、中点坐标等。3.

常用技巧与转化切线问题：过圆外一点的切线有两条，设切线斜率k列点到直线距离等于半径，注意斜率不存在的情况；弦中点问题：利用圆心与弦中点的连线垂直于弦，转化为斜率乘积为-1；最值问题：圆上点到定点的距离最值、到定直线的距离最值，都转化为圆心到定点/定直线的距离与半径的和差。4.

规范步骤①写出圆的标准方程（明确圆心和半径）；②分析几何特征，优先用几何法；③几何法行不通时，联立方程用代数法；④检验参数范围（如斜率存在性、直线与圆的位置是否符合题意）。例1（2026·天津·月考）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的上、下顶点，且．(1)求椭圆的方程；(2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点，若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程．例2（2026·天津河北·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于D，E两点，的周长为8，当直线垂直于轴时，(1)求椭圆的标准方程；(2)点为椭圆上不同于顶点的一点，椭圆右顶点为，若直线，与轴相交，交点分别为M，N，且，求点的横坐标.【变式1】（2026·天津南开·月考）已知椭圆的左顶点为，下顶点为，且过点(1)求点的坐标；(2)若直线上存在一点，上存在一点，使是以为直角顶点的等腰直角三角形，求实数的取值范围.【变式2】（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆的焦距为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程及的长.（建议用时：20分钟）1．（2025·天津静海·三模）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率.2．（2025·天津·一模）已知椭圆，过右焦点的直线交于A，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为AB，DE的中点.当轴时，，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：直线过定点，并求定点坐标；(3)设为直线与直线的交点，面积的为，求直线的方程.3．（2025·天津·一模）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，上顶点为的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点（M在之间），求的取值范围．4．（2025·天津·二模）椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12．(1)求椭圆的方程；(2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．