2026年高考数学二轮复习专题13 抛物线及其应用（热点）（天津）（解析版）

专题13抛物线及其应用内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：抛物线是天津卷小题高频考点，多在单选/填空8-12题（5分），偶与圆、双曲线综合；解答题中极少单独命题，常作为圆锥曲线综合题的配角出现，侧重定义、焦点弦、准线性质，难度中档偏基础。近三年共性：分值稳定为5分，题型以小题为主；核心围绕定义、焦点、准线、焦点弦四大核心考点；常与圆、双曲线进行小综合，不考复杂联立运算，注重几何性质的灵活应用。预测2026年：题型与分值：大概率保持单选/填空5分的考法，解答题单独命题概率极低，可能作为椭圆/双曲线综合题的辅助条件出现。核心考查方向：1.

定义优先：抛物线上点到焦点与准线的距离转化，求距离、长度、最值等（必考）。2.

焦点弦性质：焦点弦的长度计算、焦点弦中点坐标、焦点弦与坐标轴夹角相关的面积问题。3.

小综合考法：与圆（相切、相交求弦长）、双曲线（焦点重合、渐近线与抛物线交点）结合，考查多曲线性质关联。4.

参数范围：抛物线上动点到定点距离的最值，或直线与抛物线相交时的参数取值范围。题型01抛物线的定义及概念辨析解｜题｜策｜略1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2).例1（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点的坐标，结合向量共线的坐标表示求出点的坐标，再利用抛物线定义求出比值.【详解】抛物线的焦点，准线，，由对称性，不妨令点在第一象限，设，则，由B在线段AD上，得，整理得，而，则，由P，B，F共线，得，整理得，解得，于是，过作于，所以.

故选：B例2（2025·天津·二模）已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点（异于坐标原点），点到抛物线焦点的距离是到轴距离的3倍，过双曲线的左､右顶点作双曲线同一条渐近线的垂线，垂足分别为，则双曲线的实轴长为（

）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】D【分析】由抛物线定义及点在抛物线上求得，结合双曲线渐近线性质及，列方程求得关系，即可得的值.【详解】设与抛物线相交的渐近线为，则设，则，解得，所以点的坐标为，代入抛物线方程得，解得，设渐近线的倾斜角为，则，又，解得，所以，故，所以，解得，所以双曲线的实轴长为.故选：D.

【变式1】（2025·天津河西·一模）已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为．【答案】4【分析】首先利用抛物线定义确定P点坐标，进而可得以的中点为圆心，长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长.【详解】抛物线的焦点，准线为，由题意得，结合抛物线定义知P点到准线的距离为6，

则，代入横坐标可得，即，所以的中点坐标为或，，所以以的中点为圆心，长度为直径的圆的方程为或，圆心到轴距离为，所以与截得的弦长为，故答案为：4.【变式2】（2025·天津滨海新·三模）已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点的坐标，进而求出即可求解作答.【详解】抛物线：的焦点为，准线为：，令交于点，即有，

由，直线的倾斜角为，得，则，，又，则为正三角形，，因此点，双曲线：过点的渐近线为，于是，解得，所以双曲线的离心率.故选：B题型02利用定义求距离和差最值解｜题｜策｜略与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．例1（2026·天津北辰·月考）已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知到准线的距离等于点到焦点的距离，进而问题转化为求点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当三点共线时到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点的距离减去圆的半径.【详解】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径，根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，

由图知，当三点共线时，到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，且最小值为.故选：D例2（2025·天津·调研）设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，已知点，则的最小值为.【答案】9【分析】由抛物线的定义可得等于点P到准线的距离，所以的最小值为点A到准线的距离，即为9.【详解】如图，过点A做准线的垂线，垂足为，交抛物线于点，由抛物线的定义可知，故，即当P、、A三点共线时，距离之和最小为9.故答案为：9.【变式1】（2025·天津和平·月考）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到该抛物线焦点F的距离之和的最小值为（

）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】根据抛物线的定义确定抛物线上点到定点距离与到焦点距离之和的最小值即可.【详解】由，如下图示，若准线于，则，所以，当且仅当共线时取等号，所以最小的.故选：C【变式2】（2026·天津东丽·月考）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为.【答案】【分析】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，由抛物线的定义可得，分析可知，当且仅当、、三点共线时，取最小值，即可得解.【详解】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，如下图所示：

易知，抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义可得，所以，，当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，且最小值为.故答案为：.题型03抛物线标准方程的求解解｜题｜策｜略1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．2、待定系数法（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．例1（2025·天津·二模）已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数表示出各点坐标，代入求得参数的值.【详解】如图所示，设双曲线线的另一个顶点为，依题意，可知，，可知，，不妨设A在第一象限，则在双曲线上，所以，解得，故选：A．例2（2025·天津和平·三模）已知抛物线过点；其焦点为，以为直径作圆，圆与圆相交于，两点，则直线的方程为．【答案】【分析】先代入P点求出抛物线方程，则焦点坐标可求，进而可得圆的方程，与圆相减即可得相交弦AB的直线方程.【详解】将P点代入抛物线方程可得，解得，即抛物线方程为，所以抛物线的焦点坐标，PF的中点坐标为，,所以圆的圆心为，半径为2，所以圆，因为，所以圆与圆相交，圆与圆方程相减可得：，即，故答案为：.【变式1】（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为．【答案】【分析】首先求出抛物线方程及直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，再由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长.【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，则抛物线，直线的方程为，由，则，显然，所以，故，所以以为直径的圆的圆心的纵坐标为，半径为，故以为直径的圆被轴截得的弦长为.故答案为：【变式2】（2025·天津·二模）过点且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，已知直线经过抛物线的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为.【答案】【分析】根据已知条件先求得直线和抛物线的方程，联立求得交点坐标，然后求得圆心和半径，进而写出标准方程.【详解】已知直线过点且斜率为1，因此其方程为.抛物线的方程为（），其焦点坐标为.由于直线经过抛物线的焦点，代入焦点坐标得到，解得，因此抛物线的方程为，焦点为.将直线方程代入抛物线方程得到：,展开并整理得：,解得，对应的值为，因此交点和的坐标分别为和.以线段为直径的圆的圆心为的中点，坐标为：,,,半径为，因此圆的标准方程为：,故答案为：.题型04抛物线的中点弦问题解｜题｜策｜略设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为，代入抛物线方程，，，将两式相减，可得，整理可得：例1（2026·天津滨海新·月考）若直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，且，则的中点横坐标为.【答案】【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式求解.【详解】记为焦点到准线的距离，则，，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，直线经过抛物线焦点，且与抛物线相交于两点，根据抛物线的定义得到，设，，，，，，，，的中点横坐标为，故答案为：.例2（2025·天津宁河·月考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为1，则等于.【答案】3【分析】根据抛物线的定义与焦点弦的弦长计算方法，利用线段AB中点的横坐标求得的值．【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，如图所示：过点作直线交抛物线于两点，的中点为，则点的横坐标为1，分别过作准线的垂线，垂足为，则有，由梯形的中位线有，由抛物线定义可知．故答案为：3【变式1】（2025·天津·月考）已知抛物线过点，且P到抛物线焦点的距离为2直线过点，且与抛物线相交于A，B两点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若点Q恰为线段AB的中点，求直线的方程；（Ⅲ）过点作直线MA，MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线？若能，求出直线的斜率；若不能，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）能，.【分析】（Ⅰ）根据题意，结合抛物线的性质，即可求出抛物线的方程为．（Ⅱ）设，，设而不求利用点差法求出直线AB的斜率，再利用点斜式即可求出直线的方程．（Ⅲ）设，，，，且.联立直线与抛物线方程，得到联立方程，再利用韦达定理以及M，A，C三点共线得出的数量关系，假设C，D，Q三点共线，构造关于的等式，转化为的等式，进行求解即可得出结论．【详解】（Ⅰ）由题意有，及，解得.故抛物线的方程为.

（Ⅱ）设，，则，

，两式相减得，即.于是，，（注：利用直线与抛物线方程联立，求得，同样得4分）故直线l的方程为，即；（Ⅲ）设，，，，且.由，得，则，，由M，A，C三点共线，可得，化简得，即.同理可得，，假设C，D，Q三点共线，则有，化简得，进一步可得，，即，解得.因此，当直线l的斜率时，C，D，Q三点共线.【变式2】（2026·天津·开学考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．（2026·天津静海·调研）若点是抛物线的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为，则【答案】【分析】求出直线方程，代入抛物线方程，利用是中点，即可求得结论．【详解】解：过点且斜率为的直线方程为，代入抛物线，可得，即，，，故答案为：．题型05抛物线的弦长问题解｜题｜策｜略1、一般弦长：设为抛物线的弦，，，（为直线的斜率，且）.2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，根据抛物线的定义有，，故.又因为是梯形的中位线，所以，从而有下列结论；（1）以为直径的圆必与准线相切.（2）(焦点弦长与中点关系)（3）.（4）若直线的倾斜角为，则.（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.（6）为定值.例1（2025·天津·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F作斜率为正数的直线n交抛物线的准线l于点P，交抛物线于A，B（A在线段PF上），，则以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为【答案】【分析】设，，联立抛物线并应用韦达定理，结合得、，进而得到，应用抛物线定义求、中点为的横坐标，最后应用几何法求弦长即可.【详解】由题意，可得如下示意图，，令，，

联立，则，显然，则，，联立，则，可得，结合，则，即，所以，可得，又，故圆的半径为4，若中点为，则，所以以线段AB为直径的圆被y轴截得弦长为.故答案为：例2（2025·天津红桥·二模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离作出图形，结合图形得到解出从而确定的长度，再利用三角形面积和之间的关系求出即可.【详解】设抛物线的准线为，过作于，过作于点，过作于，设，因为，所以，所以，所以，在中，，所以，因为，所以，又，所以，又由，可得，所以，所以，所以，所以.故选：B.【变式1】（2025·天津·二模）已知双曲线的离心率为2，抛物线的焦点为，过过直线交抛物线于两点，若与双曲线的一条渐近线平行，则（

）A．16 B． C．8 D．【答案】D【分析】现根据双曲线的离心率，求出渐近线的斜率，继而根据点斜式求得直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦公式，即可求解.【详解】解：由题意得，故双曲线的渐近线方程为，又与双曲线的一条渐近线平行，不妨设直线的斜率为，又，故的直线方程为：，联立直线方程和抛物线方程得：，所以，所以.故选：D.【变式2】（2025·天津红桥·三模）已知抛物线：，直线：与抛物线交于，两点，点为平面内一点，且满足点到直线的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知，在以为直径的圆周上，所以到直线的最大值为．联立直线与抛物线解出，，进而得解．【详解】解：由题意可知，因为，所以在以为直径的圆周上，所以到直线的最大值为．联立直线：与抛物线：并化简得：，解出，，所以所以．故选：B．题型06直线与抛物线综合应用解｜题｜策｜略求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．例1（2025·天津和平·二模）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可知，，从而可得直线方程，再联立抛物线方程求出的横坐标，再根据导数的几何意义及直线平行的性质，求出渐近线（其中一条）的斜率，即可得解．【详解】抛物线：的焦点为，依题意可得，直线方程为，即，联立，可得，解得或，又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为，由，所以，在点处的切线斜率为，又在点处的切线平行于的一条渐近线，双曲线的一条渐近线的斜率为，双曲线的渐近线方程为．故选：D．例2（2025·天津和平·三模）双曲线与抛物线交于，两点，若抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，（点，均异于原点），且与分别过，的焦点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设双曲线的两个焦点分别为，抛物线的焦点为，设，，在双曲线上可得，联立渐近线与抛物线方程可得进而可得，代入可得，可求的值.【详解】设双曲线的两个焦点分别为，抛物线的焦点为，由过的焦点，可设，，又在双曲线上，可得，由，解得由过的焦点，可得，即有，代入，可得，解得，则.故选：C.【变式1】（2025·天津·一模）已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量关系可得，进而可得，，利用三角形相似可得，将其代入抛物线方程即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，抛物线的准线过双曲线的焦点，，又到的距离，即，，，，则，，得，过作轴，则，故，因此由于在抛物线上，所以即，，故，故．故选：C．【变式2】（2025·天津·一模）直线l与双曲线的一条渐近线平行，且l过抛物线的焦点，交C于A，B两点，若，则E的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由题意，根据双曲线的渐近线方程，求得直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，得到，再根据抛物线的定义得到弦长，求得，即可求解双曲线的离心率.【详解】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，设直线的方程为，又由抛物线的焦点，则，即，所以直线的方程为；设，联立，得，所以，根据抛物线的定义可知，即，即，又由，所以，所以，故选：B.（建议用时：40分钟）1．（2025·天津·二模）以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则.【答案】【分析】根据题意写出圆心，再根据圆心与圆上一点的距离为半径写出圆的方程，根据圆截直线的弦长求解即可.【详解】抛物线的焦点为，即圆心为，且圆过点，则，所以圆的方程为.圆心到直线的距离，圆截直线的弦长为.故答案为：.2．（2025·天津和平·一模）已知直线经过抛物线的焦点，直线与圆相交于、两点，且，则实数的值等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据直线过抛物线的焦点求出的值，利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可.【详解】易知抛物线的焦点为，且直线经过点，则，可得，所以，直线的方程为，即，圆的圆心为，半径为，由题意可知，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，即，解得或.故选：C.3．（2025·天津南开·一模）已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为．【答案】【分析】根据已知可得，进而有、，写出，求圆心到直线距离，再应用圆中弦长的几何求法求直线被圆截得的弦长.【详解】由题设，抛物线准线为，则，故，由准线与圆相切且圆心，易知，所以，即，故到的距离，所以直线被圆截得的弦长为.故答案为：4．（2024·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为.（写出一个即可）【答案】（或）【分析】利用抛物线的性质得到，利用圆和圆的位置关系确定圆心坐标，再利用直线与圆相切建立方程，求解即可.【详解】由题意得，因为圆与直线相切，且与圆相切于点，所以将代入中，得到，解得，所以圆方程为，化为标准方程得到，所以圆心为，半径为1，所以圆的圆心在轴上，而圆与圆相切，当圆与圆内切时，设半径为，此时圆心为，设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，此时，解得(负根舍去)，所以此时圆的方程为，当圆与圆外切时，设半径为，此时圆心为，设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，此时，解得(负根舍去)，所以此时圆的方程为.故答案为：（或）5．（2024·天津河北·二模）已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为.【答案】【分析】依题设点，，由求出的值，即可求得圆的方程.【详解】设点，则，若抛物线的顶点为,焦点为，依题意，,即，解得，，则圆的圆心为，半径为,故这个圆的方程为：.故答案为：.6．（2025·天津北辰·三模）过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为.【答案】4【分析】由抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系求解．【详解】如图，过抛物线的焦点F作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，又△FMN为等边三角形，则在直角三角形MCF中，，，又C(2,0)，，又，则，即，则p＝4．故答案为：4．7．（2025·天津滨海新·三模）已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为．【答案】【分析】根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，根据对称关系求出圆心坐标，根据垂径定理求出圆的半径即可得到答案.【详解】依题意可知抛物线的焦点为，圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，∴圆心坐标为，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则，又∵，∴则圆的标准方程为．故答案为：．8．（2025·天津·模拟预测）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线与抛物线C及其准线的交点从上到下依次为P、N、M，若，则以F为圆心，半径的圆F方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由长度的比例关系可求得点纵坐标，由此可确定直线方程，进而求得点坐标，利用两点间距离公式可求得所求圆的半径，进而确定圆的方程.【详解】由抛物线方程知：，准线，不妨假设过点的直线斜率为负，则作轴于点，设准线与轴交于，如下图所示：，，又，，点纵坐标为，，直线方程为：，，，由抛物线对称性可知，当直线斜率为正时，，所求圆的方程为：.故选：A.9．（2025·天津·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且与抛物线（）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】依题意，得到，代入渐近线方程，进而求出，再根据求出离心率.【详解】由题意知，抛物线的准线方程为，又因为，则点，又因为点在双曲线的渐近线上，所以，所以双曲线的离心率，故选：D.10．（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为6，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，过点向双曲线的渐近线作垂线，垂足为，则与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（

）．A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】利用抛物线的定义及焦半径公式先求，再由双曲线的性质，基本不等式计算即可.【详解】设双曲线右焦点，易知，，即，而双曲线的一条渐近线为，易知，所以，由双曲线的性质可知，由基本不等式可知，当且仅当时取得等号.故选：A11．（2025·天津·一模）以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（

）A．或4 B． C．或4 D．4【答案】A【分析】先求出双曲线的顶点坐标，焦点坐标及渐近线方程，进而可求得圆的方程，根据圆与抛物线都关于轴对称，则两点关于轴对称，从而可求得点的坐标，代入抛物线方程即可得解.【详解】双曲线的右顶点坐标为，焦点为，渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离为，所以题中圆的方程为，因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，所以两点关于轴对称，不妨设点在第一象限，设，则，则，所以，因为点在圆上，所以，解得或，所以或，当，则，解得，当，则，解得，综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为或4.

故选：A.12．（2025·天津红桥·一模）已知双曲线与抛物线的一个交点为为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为．【答案】【分析】设，根据条件，利用抛物线的定义得到，进而得到，代入双曲线方程中，可得，即可求出结果.【详解】因为抛物线的准线方程为，设，因为，所以，得到，所