2026年高考数学二轮复习专题13 椭圆、双曲线与抛物线（复习讲义）（原卷版）

专题13椭圆、双曲线与抛物线目录01析·考情精解 202构·知能框架 303破·题型攻坚 4考点一椭圆 4真题动向必备知识知识1椭圆两个标准方程几何性质的比较知识2直线与椭圆的位置关系知识3直线与椭圆的相交弦命题预测题型1椭圆标准方程及离心率或取值范围题型2直线与椭圆的位置关系求参数及椭圆中的定值问题考点二双曲线与抛物线 10真题动向必备知识知识1双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征知识2求离心率范围的方法知识3抛物线性质与结论命题预测题型1双曲线的标准方程、离心率问题、参数问题及双曲线的渐近线题型2抛物线的标准方程、抛物线的定义、抛物线的焦点及准线及焦半径题型3圆锥曲线中涉及参数问题命题轨迹透视有关圆锥曲线的天津高考试题，平面解析几何中椭圆、双曲线、抛物线是中学数学的重要内容,也是考查考生学科素养的重要载体,高考对解析几何的考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主,注重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，主要考查椭圆标准方程；离心率或取值范围；直线与椭圆的位置关系求参数；椭圆中的定值问题；椭圆中的多边形，双曲线的标准方程；离心率问题；参数问题；双曲线的渐近线；抛物线的标准方程；抛物线的定义；抛物线的焦点、准线及焦半径及其综合问题,主要考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力,从近三年的高考试题来看，本专题考查内容覆盖直线、圆,突出考查考生理性思维、数学应用、数学探索等学科素养。考点频次总结考点2025年2024年2023年椭圆T18，15分T18，15分T18，15分双曲线与抛物线T9，5分T8，5分T12，5分T9，5分T12，5分2026命题预测预计在2026年高考中，分值与题型：约25分，2小1大（第9/12/18题），选填中低档、大题中偏难，梯度清晰。小题高频：椭圆：定义、标准方程、离心率、焦点/准线/对称性、与圆/向量结合。双曲线：定义、渐近线、离心率、与抛物线共焦点/准线综合（如2025第9题）。抛物线：定义（到焦点=到准线）、焦点弦、与圆/直线相切、参数方程简化计算。大题核心：椭圆为绝对主力，考直线与椭圆位置关系；设问依次为：求方程→定点/定值证明→范围/最值/面积/斜率关系，重视设而不求、韦达定理、非对称韦达。新情景考法：曲线间融合（双+抛、椭+圆、抛+圆），用定义转化条件减少运算。动态问题（动点轨迹、斜率和/积、弦长/面积最值），结合平面几何简化。跨模块：与向量、三角、导数、概率统计结合，强调建模与转化。考点一椭圆1．（2025·天津·高考真题，18，15分）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.2．（2024·天津·高考真题，18，15分）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．(1)求椭圆的方程．(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．3．（2023·天津·高考真题，18，15分）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．4．（2004·天津·高考真题，18，15分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若，求直线的方程．5．（2006·天津·高考真题，9，5分）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点F的准线方程为，则这个椭圆的方程是（

）A． B．C． D．6．（2004·天津·高考真题，18，15分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若，求直线的方程；(3)设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．知识1椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．知识2直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点，若点在椭圆上，则有；若点在椭圆内，则有；若点在椭圆外，则有．直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为．①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．知识3直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点，两点，则同理可得这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：离心率的值及取值范围求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.【易错提醒】圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意.题型1椭圆标准方程及离心率或取值范围1．（2025·天津静海·三模）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率.2．（2025·天津·一模）已知椭圆，过右焦点的直线交于A，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为AB，DE的中点.当轴时，，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：直线过定点，并求定点坐标；(3)设为直线与直线的交点，面积的为，求直线的方程.3．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、．(1)求椭圆的方程；(2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率；(3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2025·天津·一模）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，上顶点为的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点（M在之间），求的取值范围．5．（2025·天津·二模）椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12．(1)求椭圆的方程；(2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．6．（2025·天津北辰·三模）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由.7．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆C：（）上一动点D到原点O距离的最小值为，最大值为2．(1)求椭圆C方程．(2)设椭圆C的左右焦点分别为，，过作直线l交椭圆于两点，点E满足，线段，OP交于点A，设与的面积分别为，，求的取值范围．8．（2025·天津·二模）已知椭圆的离心率为，点P为椭圆上的动点，过点P作椭圆的切线，与圆交于A，B两点，线段AB长度的最小值为2.(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线OA，OB斜率乘积为定值（其中O为坐标原点）.题型2直线与椭圆的位置关系求参数及椭圆中的定值问题9．（2025·天津和平·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为．(1)求椭圆离心率；(2)已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长．10．（2025·天津滨海新·三模）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点．（i）求面积的取值范围；（ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由．11．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线分别交于点，线段的中点为.是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.12．（2025·天津南开·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值．13．（2025·天津红桥·二模）已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧).(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程.14．（2025·天津河北·二模）已知椭圆的上、下顶点与一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点，且点在椭圆上．(1)求椭圆C的离心率及标准方程；(2)过点且斜率存在的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考点二双曲线与抛物线1．（2025·天津·高考真题，9，5分）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（

）A．2 B．5 C． D．2．（2003·全国·高考真题，9，5分）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（

）A． B．C． D．3．（2024·天津·高考真题，9，5分）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．4．（2023·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．5．（2008·天津·高考真题，18，15分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．(1)求双曲线的方程；(2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．6．（2005·天津·高考真题，9，5分）设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（

）A． B． C． D．7．（2022·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．8．（2021·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．39．（2020·天津·高考真题，9，5分）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．10．（2019·天津·高考真题，9，5分）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．11．（2015·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A． B． C． D．12．（2024·天津·高考真题，12，5分）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为．13．（2017·天津·高考真题，12，5分）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为.14．（2017·天津·高考真题，18，15分）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.15．（2016·天津·高考真题，12，5分）设抛物线（）的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为．16．（2011·天津·高考真题）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为A．2 B．2 C．4 D．417．（2013·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=A．1 B． C．2 D．318．（2012·天津·高考真题，12，5分）已知抛物线的参数方程为（t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为.过抛物线上一点M作的垂线，垂足为E.若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=.19．（2013·天津·高考真题，12，5分）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.知识1双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．双曲线，如图：（1）实轴长，虚轴长，焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来．（5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系．直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，1、当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切．弦长公式若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．知识2求离心率范围的方法建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．3、利用角度长度的大小建立不等关系．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．知识3抛物线性质与结论1、点与抛物线的关系（1）在抛物线内（含焦点）．（2）在抛物线上．（3）在抛物线外．2、焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．3、的几何意义：为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．4、焦点弦若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：（1）．（2）．（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则（1）弦长公式：（2）（3）直线AB的方程为（4）线段AB的垂直平分线方程为6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）（1）焦点为，准线为（2）焦点为，准线为如，即，焦点为，准线方程为7、参数方程的参数方程为（参数）8、切线方程和切点弦方程抛物线的切线方程为，为切点切点弦方程为，点在抛物线外与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．9、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：11、焦点弦的常考性质已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2），（3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上【易错提醒】①求最值问题时一般转化为函数最值问题，自变量范围一般容易忽略判别式的前提（判别式也存在隐含自变量的范围）②直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明题型1双曲线的标准方程、离心率问题、参数问题及双曲线的渐近线1．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．2．（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．3．（2025·天津·二模）已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为.4．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（

）A． B． C． D．5．（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．6．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．7．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（

）A． B． C． D．8．（2025·天津河西·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．9．（2025·天津·二模）双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．10．（2025·天津·二模）若直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．题型2抛物线的标准方程、抛物线的定义、抛物线的焦点及准线及焦半径11．（2025·天津·一模）已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为．12．（2025·天津·二模）已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（

）A． B． C． D．13．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则．14．（2025·天津河西·模拟