2026年高考数学二轮复习专题14 立体几何外接球（内）归类（题型）（天津）（原卷版）

专题14立体几何内外接球归类目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01正方体、长方体模型题型02正四面体模型题型03对棱相等模型题型04直棱柱外接球题型05直棱锥外接球题型06内切球问题第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01正方体、长方体模型【例1-1】（2025·天津红桥·模拟预测）一个正方体的棱长为，若一个球内切于该正方体，此球的体积是，则.【例1-2】（2025·天津·模拟预测）已知棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3．补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4【变式1-1】（2024·天津南开·一模）在长方体中，，，其外接球体积为，则其外接球被平面截得图形面积为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2025·天津河西·一模）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，，则球的表面积为．【变式1-3】（2025·天津静海·月考）已知长方体中，，，若与平面所成的角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为.题型02正四面体模型【例2-1】（2026·天津和平·调研）已知正四面体（四个面都是正三角形）的体积为，若能装下它的最小正方体的体积为，设正四面体的内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（

）A． B． C． D．【例2-2】（2025·天津河北·二模）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（

）A． B．2 C．3 D．4如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．【变式2-1】（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2025·天津·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为.

【变式2-3】半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.已知，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为.题型03对棱相等模型【例3-1】（2025·天津红桥·模拟预测）四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，，，，则其外接球的表面积为；过BD的中点作直线与球O相交的最短弦长为．【例3-2】（2025·天津武清·模拟预测）蹴鞠（如图所示），类似今日的足球运动，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．已知某鞠表面上的四个点A，B，C，D满足cm，cm，cm，则该鞠的表面积为（

）A．cm2 B．371πcm2 C．742πcm2 D．cm2四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．【变式3-1】（2025·天津·二模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（2025·天津南开·模拟预测）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2025·天津河北·模拟预测）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．题型04直棱柱外接球【例4-1】（2026·天津红桥·调研）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积为（

）A．10π B．12π C．16π D．20π【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱的底面边长为4，侧棱长为2，点是棱的中点，为上底面内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把该正四棱柱截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2025·天津·调研）所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为.【变式4-3】（2025·天津·一模）一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．题型05直棱锥外接球【例5-1】（2026·天津和平·月考）已知三棱锥中，平面ABC，是边长为3的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为，那么三棱锥的体积为.【例5-2】（2026·天津滨海新·调研）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的体积为；三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为．如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【变式5-1】（2026·天津滨海新·月考）已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是.【变式5-2】（2025·天津·模拟预测）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（

）A． B． C． D．题型06内切球问题【例6-1】（2025·天津·模拟预测）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【例6-2】（2024·天津和平·二模）如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（

）A． B． C． D．锥体内切球方法：等体积法，即棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形【变式6-1】（2025·天津·调研）阿基米德（Archimedes，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为.【变式6-2】（2025·天津·模拟预测）已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为；此三棱锥的内切球的表面积为.【变式6-3】（2025·天津·模拟预测）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为V1，它的内切球的体积为V2，则（

）

A． B． C． D．1．（2025·天津武清·模拟预测）如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（

）A． B． C． D．2．（2025·天津·二模）图①是底面边长为的正三棱柱，直线经过上下底面的中心，将图①中三棱柱的上底面绕直线逆时针旋转得到图②，若为正三角形，则图②所示几何体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2025·天津·一模）已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．4．（2024·天津武清·模拟预测）四棱锥的底面为正方形，，动点在线段上，则下列结论正确的是（

）A．四棱锥的体积为B．四棱锥的表面积为C．在中，当时，D．四棱锥的外接球表面积为5．（2024·天津·二模）天津包子是一道古老的传统面食小吃，是经济实惠的大众化食品，在中国北方，在全国，乃至世界许多国家都享有极高的声誉.某天津包子铺商家为了将天津包子销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让天津包子走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为的圆柱体和球缺（球的一部分）组成的单独包装盒，球缺的体积（为球缺所在球的半径，为球缺的高）.若，球心与圆柱下底面圆心重合，则包装盒的体积为（

）A． B． C． D．6．（2024·天津红桥·二模）如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（

）

A． B． C． D．7．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则下列说法不正确的是（

）A．若在线段上，则的最小值为B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为8．（2024·天津·二模）已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（

）．A． B． C． D．9．（2024·天津滨海新·二模）如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之比（

）A．， B．， C．， D．，10．（2024·天津河北·一模）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的体积为（

）A．18 B．27 C．36 D．5411．（2024·天津·一模）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于（

）A． B． C． D．12．（2024·天津红桥·一模）已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．13．（2024·天津和平·一模）若三棱台的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为的球的表面上，，则三棱台的高为（

）A． B．8 C．6或8 D．或614．（2023·天津津南·模拟预测）《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，现提供一中计算“牟合方盖”体积的方法，显然，正方体的内切球