黑龙江省哈尔滨三中2026届高一下数学期末联考模拟试题含解析

黑龙江省哈尔滨三中2026届高一下数学期末联考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若数列的前n项的和，那么这个数列的通项公式为()A． B．C． D．2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（）．A．1 B．2019 C． D．3．已知数列的前项和为，且，若，，则的值为（）A．15 B．16 C．17 D．184．已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查。若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为（）A．30 B．40 C．70 D．905．已知平面向量满足：，，，若，则的值为（）A． B． C．1 D．-16．下列不等式中正确的是()A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则7．已知、是球的球面上的两点，，点为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为()A． B． C． D．8．函数y=2cosx-1A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－19．设集合，则元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．若，均为锐角，且，，则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则的最小值为_______．12．已知，，两圆和只有一条公切线，则的最小值为________13．如图，在中，，，点D为BC的中点，设，.的值为___________.14．中,三边所对的角分别为,若,则角______.15．已知x、y、z∈R,且，则的最小值为.16．在等比数列中，，公比，若，则的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．正方体的棱长为点分别是棱的中点（1）证明：四边形是一个梯形：（2）求几何体的表面积和体积18．如图，在中，，，，.（Ⅰ）求AB；（Ⅱ）求AD.19．（1）任意向轴上这一区间内投掷一个点，则该点落在区间内的概率是多少？（2）已知向量，，若，分别表示一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率.20．在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．21．自变量在什么范围取值时，函数的值等于0?大于0呢?小于0呢?

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】试题分析：根据前n项和与其通项公式的关系式，an=当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（3n-2）-（3n-1-2）=2•3n-1．当n=1时，a1=1，不满足上式；所以an=，故答案为an=，选D.考点：本题主要考查数列的求和公式，解题时要根据实际情况注意公式的灵活运用，属于中档题点评：解决该试题的关键是借助公式an=，将前n项和与其通项公式联系起来得到其通项公式的值．2、A【解析】

计算部分数值，归纳得到，计算得到答案.【详解】；；；…归纳总结：故故选：【点睛】本题考查了数列的归纳推理，意在考查学生的推理能力.3、B【解析】

推导出数列是等差数列，由解得，由此利用能求出的值.【详解】数列的前项和为，且数列是等差数列解得解得故选：【点睛】本题考查等差数列的判定和基本量的求解，属于基础题.4、C【解析】

根据高中抽取的人数和高中总人数计算可得抽样比；利用小学和初中总人数乘以抽样比即可得到结果.【详解】由题意可得，抽样比为：则小学和初中共抽取：人本题正确选项：【点睛】本题考查分层抽样中样本数量的求解，关键是能够明确分层抽样原则，准确求解出抽样比，属于基础题.5、C【解析】

将代入，化简得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.6、D【解析】

根据不等式的性质逐一判断即可得解.【详解】解：对于选项A，若，，不妨取，则，即A错误；对于选项B，若，当时，则，即B错误；对于选项C，若，不妨取，则，即C错误；对于选项D，若，则，即，，即D正确，故选：D.【点睛】本题考查了不等式的性质，属基础题.7、A【解析】

当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥体积的最大值为，求出半径，即可求出球的表面积．【详解】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，.因此，球的表面积为.故选：A.【点睛】本题考查球的半径与表面积的计算，确定点的位置是关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、B【解析】

根据余弦函数有界性确定最值.【详解】因为-1≤cosx≤1，所以【点睛】本题考查余弦函数有界性以及函数最值，考查基本求解能力，属基本题.9、B【解析】

计算圆心到直线的距离，可知直线与圆相交，可得结果.【详解】由，圆心为，半径为1所以可知圆心到直线的距离为所以直线与圆相交，故可知元素个数为2故选：B【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系判断，属基础题.10、B【解析】

先利用两角和的余弦公式求出，通过条件可求得，进而可得.【详解】解：，因为，则，故，故选：B.【点睛】本题考查两角和的正切公式，注意角的范围的确定，是基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

运用基本不等式求出结果.【详解】因为，所以，，所以，所以最小值为【点睛】本题考查了基本不等式的运用求最小值，需要满足一正二定三相等.12、9【解析】

两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出的最小值.【详解】，圆心为，半径为2；，圆心为，半径为1.因为两圆只有一条公切线，所以两圆是内切关系，即，于是有（当且仅当取等号），因此的最小值为9.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.13、【解析】

在和在中,根据正弦定理,分别表示出.由可得等式,代入已知条件化简即可得解.【详解】在中,由正弦定理可得,则在中,由正弦定理可得,则点D为BC的中点,则所以因为,,由诱导公式可知代入上述两式可得所以故答案为:【点睛】本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题.14、【解析】

利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.【详解】由得，由于，所以.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.15、【解析】试题分析：由柯西不等式，，因为.所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.考点：柯西不等式16、1【解析】

因为，，故答案为1．考点：等比数列的通项公式．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）表面积为，体积为【解析】

（1）在正方体中，根据分别是棱的中点，由中位线得到且，又由，根据公理4平行关系的传递性得证.（2）几何体的表面积，上下底是直角三角形，三个侧面，有两个是全等的直角梯形，另一个是等腰梯形求解，体积按照棱台体积公式求解.【详解】（1）如图所示：在正方体中，因为分别是棱的中点，所以且，又因为，所以且，所以四边形是一个梯形.（2）几何体的表面积为：.体积为：.【点睛】本题主要考查几何体中的截面问题，还考查了空间想象，抽象概括，推理论证的能力，属于中档题.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用余弦定理，解得的长；（Ⅱ）利用正弦定理得，计算得，，再利用为直角三角形，进而可计算的长.【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理有，即，解得或（舍），所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，在中，由正弦定理有，得，，所以，，又，则为直角三角形，所以，即，故.【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的简单应用，属于基础题.19、（1）（2）【解析】

（1）几何概型的计算公式求解即可；（2）求出该骰子先后抛掷两次的基本事件总数，根据数量积公式得出满足包含的基本事件个数，由古典概型概率公式求解即可.【详解】解：（1）由题意可知，任意向这一区间内掷一点，该点落在内哪个位置是等可能的.令，则由几何概型的计算公式可知：.（2）将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有个基本事件.由，得满足包含的基本事件为，，，，，共6种情形，故.【点睛】本题主要考查了利用几何概型概率公式以及古典概型概率公式计算概率，属于中档题.20、(1)；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值，即可求出B的度数；（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，将b，c及cosA的值代入即可求出值．【详解】(1),由正弦定理得，所以，因为