人教版初中数学九年级下册《图形的相似》单元教案

人教版初中数学九年级下册《图形的相似》单元教案

一、课标依据与核心素养指向分析

（一）课标要求解读

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“图形与几何”领域的阐述，本单元属于“图形的变化”主题中的重要内容。课标明确要求：

1.理解相似图形的概念，了解相似多边形和相似比的意义。

2.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

3.掌握相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。

4.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

5.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题，并在这一过程中发展几何直观和推理能力。

（二）核心素养培养指向

本单元教学是培养学生数学核心素养的关键载体，具体指向如下：

1.抽象能力：从形状相同、大小不同的具体实物中，抽象出相似图形的数学本质，理解相似是图形之间的一种变换关系。

2.几何直观：通过观察、操作、画图等活动，直观感知相似图形的特征，运用图形描述和分析相似问题，建立形与数的联系。

3.推理能力：经历相似三角形判定定理和性质定理的探索、证明和应用过程，发展合情推理和演绎推理能力，形成严谨的逻辑思维习惯。

4.应用意识：理解相似知识在测量、绘图、影像技术、工程设计等领域的广泛应用，能主动运用相似模型解决现实世界和跨学科中的问题。

二、教材与单元整体分析

（一）教材地位与作用

《图形的相似》是人教版九年级下册第二十七章的内容，是初中阶段“图形与几何”领域的收官与升华部分。它上承全等三角形（特殊的相似，相似比为1），下启锐角三角函数（在直角三角形相似背景下定义），同时与图形变换（位似）、投影与视图等知识紧密相连，是联系几何、代数、测量等多领域知识的桥梁。本单元的学习，不仅是对前期几何知识的综合运用与深化，更是为学生高中学习平面向量、立体几何及解析几何中的比例关系奠定坚实的思维基础。

（二）单元内容结构

本章内容按知识发展逻辑可分为三大板块：

1.相似图形基础（27.1）：建立相似图形、相似多边形的概念，引入相似比，为后续学习提供概念框架。

2.相似三角形核心（27.2-27.3）：

1.3.判定：三条判定定理（AA，SAS，SSS）的探索、证明与应用。

2.4.性质：对应角相等、对应边成比例、对应高/中线/角平分线之比等于相似比、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方。

5.相似应用与拓展（27.4-27.5）：

1.6.应用举例：利用相似解决测量高度、宽度、盲区等实际问题。

2.7.位似变换：作为一种特殊的相似变换，介绍位似图形的概念、性质及在坐标下的规律。

（三）跨学科联系

1.物理学：光学中的小孔成像、透镜成像原理本质是相似变换；力学中的杠杆原理图示涉及比例线段。

2.地理与测绘学：地图绘制、卫星照片解读、比例尺计算的核心数学原理是相似。

3.艺术与建筑：黄金分割、绘画中的透视原理、建筑图纸与实物的比例关系均蕴含相似思想。

4.信息技术：数字图像的缩放、计算机图形学中的建模与渲染大量应用相似与位似变换。

三、学情分析

（一）认知基础

1.知识储备：学生已熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、多边形的基本性质，具备一定的几何证明和计算能力。

2.活动经验：经历过观察、猜想、操作、验证等探究性学习过程，具备初步的合作探究能力。

（二）潜在困难与障碍

1.概念理解：从“全等”（形状大小皆同）到“相似”（仅形状相同），需要实现认知上的跨越，学生易受“大小不同即不同”的日常观念干扰。

2.判定选择：面对复杂图形时，如何快速、准确地识别或构造相似三角形，选择合适的判定定理，是学生应用中的主要难点。

3.性质综合：相似三角形性质涉及线段比、周长比、面积比等多个维度，且比例关系层次多，学生容易混淆。

4.模型抽象：将实际问题（如测量）抽象为几何相似模型，需要较强的空间想象力和数学建模能力，这是素养提升的瓶颈。

（三）教学策略预设

针对以上学情，本单元教学将采取以下策略：

1.情境驱动，具象到抽象：通过大量生活、科技、艺术中的实例，直观感知“形状相同”，自然引出相似概念。

2.类比迁移，构建网络：紧密联系全等三角形，通过类比（全等是相似的特例）建立知识联系网，降低认知负荷。

3.探究主导，发现生成：将判定定理的发现权交给学生，通过画图、测量、猜想、几何画板验证、逻辑证明的完整过程，深化理解。

4.模型渗透，问题解决：设计层层递进的实际问题，引导学生经历“实际问题→几何模型→数学求解→解释实际”的完整建模过程。

四、单元教学目标

（一）知识与技能

1.理解相似图形、相似多边形的概念，明确相似比的意义。

2.掌握相似三角形的三个判定定理和主要性质定理，并能进行证明。

3.能熟练运用相似三角形的判定与性质进行推理证明和计算。

4.了解位似图形的概念和性质，能利用位似放大或缩小图形。

5.能综合运用相似知识解决测量等实际问题。

（二）过程与方法

1.经历相似概念的形成和判定定理的探索过程，体会从特殊到一般、类比、归纳等数学思想方法。

2.在运用相似知识解决问题的过程中，发展识图、构图能力，提高分析问题和综合运用知识的能力。

3.通过小组合作探究实际问题，初步掌握数学建模的基本思路与方法。

（三）情感态度与价值观

1.感受相似图形与现实世界的广泛联系，体会数学的实用价值和美学价值。

2.在探究活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

3.形成严谨求实的科学态度和理性精神。

五、教学重点与难点

1.教学重点：

1.2.相似三角形的判定定理（AA）和性质定理。

2.3.相似三角形判定与性质的综合应用。

4.教学难点：

1.5.相似多边形概念的深刻理解及性质的探究。

2.6.灵活添加辅助线构造相似三角形解决复杂问题。

3.7.从实际问题中抽象出相似数学模型。

六、教学准备与资源

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（含丰富的图片、动画、几何画板动态演示文件）。

2.3.教学设计案、分层导学案、课堂及课后练习题库。

3.4.实物教具：不同比例的中国地图、放大镜、可调节角度的模型架、测量尺规。

5.学生准备：

1.6.复习平行线分线段成比例定理及全等三角形知识。

2.7.准备直尺、圆规、量角器等作图工具。

3.8.预习课本第27章引言及27.1节内容。

9.环境准备：具备多媒体投影和小组讨论条件的教室。

七、单元整体教学规划（共12课时）

1.第1-2课时：27.1图形的相似（概念建立）

2.第3-5课时：27.2.1相似三角形的判定（AA、SAS、SSS定理的探索与证明）

3.第6课时：27.2.2相似三角形的判定综合应用

4.第7-8课时：27.2.3相似三角形的性质及应用

5.第9课时：专题：相似三角形中的基本图形（A型、X型、母子型等）

6.第10课时：27.3位似

7.第11课时：单元专题复习与思想方法提炼

8.第12课时：单元质量检测与讲评

八、教学实施过程详案（重点课时示例）

第1课时：27.1图形的相似（一）——概念的建构

（一）创设情境，感知“形同”

1.视觉冲击：PPT播放一组图片：大小不同的中华人民共和国国旗、同一建筑的不同比例模型、不同尺寸的同一品牌汽车标志、放大镜下的指纹、电影《黑客帝国》中的“子弹时间”特效序列帧。

2.问题链引导：

1.3.这些图片中的图形，给你最直接的共同感受是什么？（形状看起来一样）

2.4.它们完全相同吗？有什么区别？（大小不同，位置可能不同，颜色材质等非几何属性可能不同）

3.5.在数学上，我们如何精准地描述这种“形状相同，大小不一定相同”的关系？

6.活动：动手“创造”相似（小组合作）：

1.7.任务：请用你手中的格点纸，画出三个与老师给出的简单图形（如一个直角三角形）形状相同但大小不同的图形。

2.8.交流：你是如何确保“形状相同”的？你的方法和其他同学一样吗？

（二）操作探究，归纳定义

1.从特殊到一般——相似多边形：

1.2.展示学生画出的各种图形，聚焦于多边形。

2.3.探究活动：给出两个五边形ABCDE和A'B'C'D'E'（满足对应角相等，对应边成比例）。请学生用量角器和刻度尺测量、计算、填写表格。

对应角

∠A与∠A‘

∠B与∠B’

...

结论

测量值

都相等

对应边

AB与A‘B’

BC与B‘C’

...

结论

长度及比值

AB=,A‘B’=,比值=__

...

...

比值都相等

3.4.引导学生用数学语言描述发现：角分别相等，边成比例。

4.5.给出定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。

6.概念辨析与深化：

1.7.追问1：所有的正方形都相似吗？所有的矩形都相似吗？为什么？（正方形角恒为90°，边比恒为1；矩形角相等，但边比不一定相等）

2.8.追问2：相似比k的取值范围？k=1时是什么情况？（k>0；k=1时即为全等，强调全等是相似的特例）

3.9.追问3：相似多边形具有“传递性”吗？即若A∽B，B∽C，则A∽C吗？（引导学生用定义验证，理解相似是一种等价关系）

（三）初步应用，巩固概念

1.例题精讲（课本例题改编）：

四边形ABCD与四边形EFGH相似，已知∠A=80°，∠B=75°，∠C=115°，AB=15，EF=18，EH=12。求∠F和AD的长度。

1.2.分析：利用相似多边形定义，由角相等求∠F，由边成比例建立方程求AD。

2.3.板书：强调解题规范：设AD=x，由AB/EF=AD/EH得15/18=x/12，解得x=10。

3.4.变式：若已知条件改为周长比，如何求某一边长？

5.课堂练习（分层）：

1.6.基础组：判断给定的两组图形是否相似，并说明理由。

2.7.提升组：一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6，另一个与它相似的多边形的最长边为24，求后者的周长。

（四）课堂小结与思维导图建构

1.引导学生自主总结本节课的核心：什么是相似多边形？如何用数学语言（角、边）精确定义？相似比是什么？

2.师生共同构建本节课的思维导图雏形（中心词：图形的相似），为单元知识网络构建开篇。

（五）布置作业

1.必做：课本课后练习，整理相似多边形定义及性质。

2.选做：寻找生活中3个相似图形的实例，并尝试估算它们的相似比。

3.预习：思考：对于最简化的多边形——三角形，要判定它们相似，是否需要像多边形那样，同时满足“角等”和“边成比例”六个条件？能否减少条件？

第4课时：27.2.1相似三角形的判定（二）——判定定理的发现与证明（AA）

（一）温故知新，提出问题

1.复习提问：

1.2.相似多边形的定义是什么？（角等，边成比例）

2.3.根据定义，要判定两个三角形相似，需要几组条件？（三组角相等，三组边成比例，共六个条件）

4.提出核心问题：判定三角形相似，能否像判定三角形全等（SSS,SAS,ASA,AAS）那样，寻找更简化的条件？我们能否从最少的条件出发进行探索？

（二）合作探究，猜想定理

1.实验与发现（小组活动）：

1.2.工具：几何画板（教师主机控制）、量角器、直尺。

2.3.任务一：在几何画板中，固定△ABC。拖动点构造△A'B'C'，使得∠A'=∠A，∠B'=∠B。观察△A'B'C'与△ABC的第三组角、三组边的比值有何关系？移动点，改变△A'B'C'的大小，这个关系始终成立吗？

3.4.学生现象描述：∠C'总是等于∠C；对应边的比值总是相等的。

4.5.初步猜想：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

6.理性思考，深化理解：

1.7.追问：为什么两个角相等就够了？第三个角呢？（三角形内角和180°，两角等则第三角必等，保证了“角等”的条件）

2.8.追问：那“边成比例”是如何自动满足的呢？这需要严格的证明。

（三）逻辑证明，形成定理

1.教师引导学生分析证明思路：

1.2.目标：已知∠A=∠A‘，∠B=∠B’，需证明AB/A‘B’=BC/B‘C’=CA/C‘A’。

2.3.关键：如何建立边的联系？联想已学知识——平行线分线段成比例定理。

3.4.策略：在△ABC的边AB、AC上“截取”等于△A‘B’C‘对应边的线段，构造平行线。

5.师生共同完成证明的书写（板书）：

1.6.已知：在△ABC和△A‘B’C‘中，∠A=∠A‘，∠B=∠B’。

2.7.求证：△ABC∽△A‘B’C‘。

3.8.证明：在AB上截取AD=A‘B’，过D作DE∥BC，交AC于E。

则∠ADE=∠B。又∠B=∠B‘，∴∠ADE=∠B‘。

在△ADE和△A‘B’C‘中，

∠A=∠A‘，AD=A‘B’，∠ADE=∠B‘，

∴△ADE≌△A‘B’C‘（ASA）。

又∵DE∥BC，∴AD/AB=AE/AC=DE/BC。

即A‘B’/AB=A‘C’/AC=B‘C’/BC。

∴AB/A‘B’=AC/A‘C’=BC/B‘C’。

又∠A=∠A‘，∠B=∠B‘，∠C=∠C’，

∴△ABC∽△A‘B’C‘。

9.形成定理：两角分别相等的两个三角形相似。（简称“AA”或“角角”）

（四）定理应用，掌握技法

1.基本识别（口答）：

1.2.如图，DE∥BC，图中有几对相似三角形？依据是什么？

2.3.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，图中有几对相似三角形？

（引出“平行线型A/X”和“双垂直”基本相似模型）

4.例题精讲：

1.5.例1：如图所示，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到一点C，测得AC=30m，在AC的延长线上找到一点D，测得DC=10m。过点D作DE∥AB，交BC的延长线于E，测得DE=20m。求池塘的宽AB。

1.2.6.建模引导：将实际问题转化为几何图形。AB和DE的位置关系？→由DE∥AB可推出什么？→需要证明哪两个三角形相似？→如何利用相似比列方程？

2.3.7.板书解题过程，强调“∵DE∥AB∴∠B=∠E，∠BAC=∠D∴△ABC∽△DEC”的逻辑链条。

4.8.例2：已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。若AD=2cm，BD=8cm，求CD的长。

1.5.9.分析：此图为“双垂直”模型，有△ACD∽△CBD∽△ABC。利用△ACD∽△CBD，可得比例式AD/CD=CD/BD，即CD²=AD·BD。此结论（射影定理雏形）非常重要。

10.课堂巩固练习（分层）：

1.11.基础组：直接应用AA定理判断并写出相似三角形。

2.12.提升组：综合运用AA定理和方程思想求线段长度。

3.13.挑战组：在复杂图形中，通过多次相似或结合勾股定理进行综合计算。

（五）归纳反思，提升认识

1.本节课我们是如何发现并证明AA判定定理的？（实验观察→提出猜想→逻辑证明）

2.AA定理的本质是什么？（由于三角形内角和固定，两角相等即意味着三角对应相等，从而形状锁定，大小可缩放。）

3.应用AA定理的关键是什么？（在图形中快速识别出两对角相等，常见途径：公共角、对顶角、平行线产生的同位角/内错角、直角等。）

（六）布置作业与预习

1.必做：完成练习册对应AA定理的基础与中档题。

2.探究：既然有两角相等即可相似，那么“两边成比例且夹角相等”（SAS）和“三边成比例”（SSS）能否也成为判定三角形相似的条件呢？请仿照今天的探究过程，先画图感受，再进行理性思考。

3.预习：阅读课本关于SAS和SSS判定的部分。

第9课时：专题课——相似三角形中的基本图形模型

（一）教学目标聚焦

1.归纳总结相似三角形中常见的几种基本图形（模型），掌握其特征与结论。

2.能快速从复杂图形中识别或构造出基本模型，化繁为简，打通解题思路。

3.通过模型教学，提升几何直观能力和综合解题策略。

（二）教学过程

1.模型梳理与建构（采用“图形+特征+结论”表格形式，师生共同完成）：

模型名称

基本图形示意（描述）

核心特征

得出的主要比例关系

平行线型（A型/X型）

一直线平行于三角形一边，与其他两边（或延长线）相交

DE∥BC

AD/AB=AE/AC=DE/BC(A型)；OA/OC=OB/OD(X型)

双垂直（射影）型

直角三角形斜边上的高

∠ACB=90°,CD⊥AB

1)△ACD∽△ABC∽△CBD

2)CD²=AD·BD,AC²=AD·AB,BC²=BD·AB

共角共边型（母子型）

有一个公共角，且夹此公共角的两边对应成比例

∠A公共，AB/AC=AC/AD

△ABC∽△ACD，进而有AC²=AB·AD

旋转相似型

将一个三角形绕公共顶点旋转一定角度，并缩放

∠BAC=∠DAE，AB/AD=AC/AE

△ABC∽△ADE，且连接BD、CE，常可证△ABD∽△ACE

2.模型识别大练兵（快速抢答）：

展示一系列包含或隐含上述基本图形的复杂几何图形，要求学生快速指出其中包含的基本相似模型。

3.模型应用与突破（典例精析）：

1.4.例题1（平行线型构造）：在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，且∠BED=∠BAC。求证：AB²=AD·AE。

1.2.5.分析：结论是等积式，通常化为比例式AB/AD=AE/AB。比例线段位于△ABD和△AEB中，但这两三角形不相似。由∠BED=∠BAC，可发现若连接BE，需证△ABD∽△AEB。已有公共角∠BAD，还需一角等。利用∠BED=∠BAC及对顶角，可证∠ABE=∠ADB。关键点：识别“共角共边型”的变式。

3.6.例题2（双垂直模型综合）：矩形ABCD中，AB=8，BC=6。将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF（E在BC上，F在AD上）。求折痕EF的长。

1.4.7.分析：连接BD，EF垂直平分BD。设EF与BD交于O点。易知EF∥AB。问题转化为求Rt△OED中斜边EF。利用△DOE∽△DAB（双垂直模型），由对应边成比例可求OE，从而得EF。关键点：在折叠背景下识别出直角三角形及其斜边上的高，应用双垂直模型。

8.综合挑战（小组协作）：

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC=∠ACD。求证：AC²=AB·AD+BC·CD。

1.9.策略引导：这是线段和的等积式，困难。常见思路是“截长补短”构造相似。由AC平分∠BAD和∠ABC=∠ACD，易证△ABC∽△ACD（AA），得AC²=AB·AD。但多了一项BC·CD。观察BC·CD，可尝试在AD上截取AE=BC，连接CE，证明△CDE∽△ADC，得到CD²=DE·AD。将两式相加即可。此题为竞赛难度，旨在训练高阶思维和模型综合构造能力。

10.课堂总结与升华：

1.11.基本模型是解决相似问题的“工具箱”，熟练识别能快速找到解题入口。

2.12.复杂问题往往是多个基本模型的叠加或变式，需要灵活拆解与重构。

3.13.模型是工具，理解其原理（如何由条件推导出结论）比记忆结论更重要。

（三）分层作业设计

1.巩固层：完成针对A型、双垂直型、共角共边型基本模型的专项练习。

2.拓展层：完成1-2道需要识别双重模型或简单构造辅助线的综合题。

3.探究层：尝试研究“一线三等角”（K型图）相似模型，总结其成立的条件与结论。

九、板书设计规划（以核心课时为例）

第4课时板书设计

27.2.1相似三角形的判定（AA）

一、提出问题

定义判定：6个条件→能否简化？

二、探究与猜想

实验：两角对应相等→三角等，三边成比例？

猜想：两角分别相等→两三角形相似。

三、证明定理

已知：∠A=∠A‘,∠B=∠B’

求证：△ABC∽△A‘B’C’

【证明过程】（详细书写，突出“截取”、“作平行线”、“利用平行线分线段成比例”等关键步骤）

→定理：两角分别相等的两个三角形相似。(AA)

四、应用举例

例1：（测量问题）

∵DE∥AB

∴∠B=∠E,∠BAC=∠D

∴△ABC∽△DEC(AA)

∴AB/DE=AC/DC

∴AB=...=60m

例2：（双垂直模型）

∵CD⊥AB

∴∠ADC=∠CDB=90°

又∠ACB=90°

∴△ACD∽△CBD(AA)

∴AD/CD=CD/BD

∴CD²=AD·BD=16

∴CD=4cm

五、基本图形（模型）