六年级数学下册《数对变换与图形相似性探究-可爱的小猫》导学案

六年级数学下册《数对变换与图形相似性探究——可爱的小猫》导学案

一、基于课程标准的深度解读与教学定位

【基础·课标依据】本学案的设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》第二学段“图形与几何”及“综合与实践”领域的相关要求。课程标准明确指出，学生应能在方格纸上用数对表示位置，初步体会数形结合思想；并通过观察、操作、理解图形的平移、旋转、轴对称以及放大和缩小，能在方格纸上进行简单图形的放大与缩小，积累空间想象经验。【高频考点·核心素养】本课将“数对”这一表示位置的工具与“图形的缩放”这一动态变换联系起来，旨在考查学生以下核心素养：一是空间观念，即能够根据数对的变化想象出图形形状的改变；二是几何直观，即能够利用图形描述和分析问题；三是推理意识，即通过观察、比较、归纳，发现数对变化与图形相似性之间的内在逻辑。本课不是简单的描点作图课，而是一节融合了代数思想与几何变换的数学探究课，是学生从算术思维迈向代数思维、从静态观察走向动态分析的重要节点。

二、优化后的教学标题

六年级数学下册《数对变换与图形相似性探究——可爱的小猫》导学案

三、教学内容与学情分析

【难点·教学内容解构】本课以北师大版六年级下册“数学好玩”单元中的“可爱的小猫”为载體，核心内容并非单纯地描画小猫轮廓，而是通过对比“乐乐”、“天天”、“晶晶”、“欢欢”四只小猫的数对数据，探究数对中的数（即点的坐标）在经历不同变化（一个数乘2、另一个数不变；两个数同时乘2）后，所绘制出的图形与原图形之间的关系。其本质是在方格纸这一半抽象的坐标系中，初步渗透“相似变换”的数学思想。学生需要理解：只有当表示图形轮廓的所有关键点的数对，其列数和行数都按照相同的倍数发生变化时，变换后的图形才会与原图形形状相同，只是大小发生了改变（即几何学上的相似）。若只改变其中一个数，则图形会在单一维度上被拉伸或压缩，发生“变形”。

【基础·学情起点】六年级学生已经掌握了用数对表示具体情境中物体位置的方法，能够熟练地在方格纸上根据数对描点、连线构成简单图形。同时，学生在生活中对图形的放大与缩小（如照片、地图）有丰富的感性认识，但对其中蕴含的数学规律缺乏深入的理性思考。然而，学生容易陷入“图形变大就是像的”这一思维定势，难以自觉地从“对应点位置的倍数关系”这一代数角度去审视图形的相似性。因此，本课的关键在于引导学生经历“观察数据—提出猜想—操作验证—归纳规律—应用迁移”的完整探究过程，将生活经验升华为数学规律。

四、教学目标与核心素养指向

1.【知识与技能】通过在方格纸上描点、连线，能准确根据数对绘制图形；能通过对四组数对数据的对比观察，发现数对中数的变化规律（一个数变、两个数同时变）。

2.【过程与方法】经历“猜想哪只小猫最像”的冲突性思考，以及“动手绘制验证猜想”的实践过程，在小组合作与全班交流中，归纳出“数对的两个数都乘相同的数，图形形状不变”的规律。【非常重要】

3.【情感态度与价值观】在探究活动中感受数学的严谨性与规律美，体会代数方法在解决几何问题中的强大力量，激发探索数学奥秘的兴趣。

4.【核心素养指向】重点发展学生的空间观念（根据数对变化想象图形变化）和推理意识（归纳相似变换的条件），初步渗透函数思想（点的坐标变化引起图形变化）。

五、教学准备

教师准备：交互式电子白板（含几何画板或动态演示功能），预制的四张小猫轮廓描点学习单（每组一套），课件。

学生准备：铅笔、直尺、彩色水笔（不同颜色用于绘制不同小猫）、方格纸作业纸。

六、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，引发认知冲突——究竟哪只更像？

1.【基础·复习引入】教师利用电子白板出示方格图，并给出点A（1,2）、B（3,2）、C（2,4）。请一位学生上台描点并连线，大家快速说出这是个什么图形？（三角形）。复习数对（列，行）的规定，强调先列后行。

2.【热点·情境激趣】课件出示小猫“乐乐”的完整轮廓图（由A-J共10个关键点构成）。教师：“同学们看，这是小猫乐乐。现在乐乐想给自己拍一张照片，可相机不小心设置成了特效模式，一下子生成了另外三只小猫，它们分别叫天天、晶晶和欢欢。它们的轮廓点坐标都记录在了这张表格里。”【非常重要】

3.【难点·制造冲突】呈现包含“乐乐”及“天天”、“晶晶”、“欢欢”数对数据的表格（其中部分数据空缺，需要学生根据规律填写）。教师引导：“请大家仔细观察这张表格，先不用着急画，仅仅观察这些数对数据，你们猜一猜，在这三只小猫（天天、晶晶、欢欢）中，哪一只长得最像它的妈妈‘乐乐’？并说说你的初步理由。”

学生可能会凭直觉回答：“欢欢最像，因为它好像变大了。”或者“天天不像，它可能被压扁了。”教师不急于评判，而是将学生的各种猜想板书在黑板上，如“欢欢最像”、“晶晶可能变瘦了”等。【高频考点·思维起点】这个环节至关重要，旨在引导学生从纯粹的视觉观察转向对数据本身的关注，将“像与不像”这一感性问题转化为“数据如何变化”的理性问题，激发起强烈的探究欲望。

（二）合作探究，发现数对变化规律

1.【基础·数对意义再巩固】活动一：补全乐乐轮廓。

教师引导学生回顾，要确定一只小猫的模样，必须先确定组成它轮廓的“关键点”。学生在学习单上，根据乐乐轮廓图，将表格中乐乐一列空缺的点E（,）、F（,）等的数对补充完整。这一过程既是对前序知识的复习，也为后续对比奠定数据基础。师生共同核对，确保每个学生都能准确根据点位写出数对。

2.【非常重要·规律初探】活动二：观察对比，发现变化。

以小组（4人一组）为单位，聚焦表格中天天、晶晶、欢欢的数对。教师提出核心探究任务：“请大家以乐乐的数对为‘标准’，仔细观察另外三只小猫的数对，它们分别发生了什么变化？你能用一句话概括出每组数对的变化规律吗？”

小组展开热烈讨论，教师巡视指导，引导学生用数学语言描述。例如：“天天这一列，每个数对的第一个数都乘了2，第二个数没变。”在学生充分交流的基础上，请小组代表上台，利用白板笔在表格旁标注出变化规律：

乐乐（x,y）→天天（2x,y）（【重要】列乘2，行不变）

乐乐（x,y）→晶晶（x,2y）（【重要】列不变，行乘2）

乐乐（x,y）→欢欢（2x,2y）（【非常重要】列乘2，行也乘2）

【热点·归纳总结】教师进一步追问：“为什么晶晶和欢欢的变化都是乘2，但你们感觉它们的结果可能不一样？这个‘2’在晶晶和欢欢身上作用的位置有什么不同？”引导学生明确：这个“相同的倍数”作用在“列”和“行”两个维度上，会产生截然不同的效果。当倍数同时作用于两个维度时，图形才可能在所有方向上都均匀放大。

（三）动手操作，验证猜想揭示本质

1.【难点突破·实践出真知】活动三：描点连线，验证猜想。

教师：“刚才我们只是从数据上进行的推测，数学讲究证据确凿。现在，就请大家化身为‘数学侦探’，拿出彩笔，在方格纸上根据表格中完整的数对，分别画出天天、晶晶和欢欢的轮廓。”

小组分工合作：为了节省时间并方便对比，建议小组内四人分工，每人重点绘制一只小猫（含乐乐作为参照），或者两人合作绘制一只。教师强调绘制要求：为了便于区分，建议用不同颜色的笔进行连线；描点时要仔细，避免因点位的偏差导致图形失真。

2.【核心环节·比较分析】在全体学生完成绘图后，教师利用实物投影仪展示具有代表性的小组作品（选择绘制清晰，颜色区分明显的作品）。将四幅图并列展示。

教师引导学生从两个层面进行对比分析：

第一层：直观对比。将天天与乐乐对比，你发现了什么？（学生发现：天天变“胖”了，横向被拉宽了）。将晶晶与乐乐对比呢？（学生发现：晶晶变“长”了，纵向被拉长了）。将欢欢与乐乐对比呢？（学生发现：欢欢变大了，但看起来和乐乐的形状一模一样，只是整体放大了）。

第二层：数据回溯。教师指着天天变宽的图形，引导学生回头看数据：“为什么天天会变宽？它的数据是怎么变的？”（因为列数乘2，行数没变，所以点的位置都向右移动了，导致图形变宽）。同理分析晶晶变长。最后聚焦欢欢：“欢欢的数据是列和行都乘2，这意味着每一个点都同时向右和向上移动了相同的倍数，整个图形的‘骨架’被均匀地撑开了，所以它的形状没变，只是等比例放大了。”【非常重要】

3.【高频考点·规律精炼】师生共同总结并板书核心结论：“只有数对的两个数都扩大（或缩小）相同的倍数，形成的图形才与原来的图形形状相同，我们称这样的图形是‘相似’的。如果只改变其中一个数，图形就会在相应的方向上发生拉伸或压缩，从而‘变形’。”

（四）应用迁移，深化理解相似性

1.【基础·模仿练习】课件出示一个简单的几何图形——房子（由三角形和正方形组成）。给出其轮廓的关键点数对。请学生独立完成两项任务：

任务A：设计一只“胖房子”，让它的宽度变成原来的2倍，高度不变。

任务B：设计一只“等比例放大的房子”，让它变成原来的2倍大。

学生在作业纸上完成后，同桌互相检查数对变化是否符合规律，并观察画出的图形是否达到了预期的“胖”或“等比例放大”的效果。这个环节旨在检验学生是否真正掌握了“控制变量”的思想。

2.【热点·开放设计】活动四：我是“变形”设计师。

教师：“数学规律不仅可以模仿，更可以用来创造。现在请大家观察教材第57页的字母‘M’的轮廓点。请你当一回设计师，利用今天学到的本领，对它进行变形设计。”【非常重要】

要求：（1）先写出字母M各个关键点的原始数对。（2）在下面写出你设计的“变形方案”，例如“我将数对的第一个数乘3，第二个数不变”或“我将数对的第一个数乘2，第二个数也乘2”等。（3）根据你的方案，在方格纸上描点、连线，画出你设计的“新M”。

学生创作过程中，教师巡视，挑选具有代表性的作品（如横向拉伸的宽M、纵向拉伸的长M、等比例放大的大M，甚至是缩小的M）准备展示。展示环节请小设计师上台，先介绍自己的“变形方案”（即数对变化规则），再展示作品，让其他同学根据作品猜测他的方案是什么。这一环节将课堂气氛推向高潮，学生在创作与欣赏中，深刻体会到数学变换带来的美感与秩序感。

（五）回顾反思，构建知识体系

1.【总结提升】教师引导学生回顾整节课的探究历程：“我们一开始看到数据只是猜想，后来通过动手画图验证，最后总结出了规律。大家回忆一下，我们是怎样一步步发现这个秘密的？”引导学生梳理出“观察数据—发现规律—提出猜想—操作验证—得出结论”的数学探究方法。

2.【知识内化】请学生闭眼回想：“如果我想让一个图形变得又宽又扁，我应该怎么改变它的数对？如果我想让一个图形等比例缩小一半，又该怎么改？”通过这种“冥想”式回顾，强化空间想象。

3.【跨学科链接】简单介绍在计算机图形学、3D建模、以及大家熟悉的照片处理软件中，正是通过改变关键点的坐标数据来实现图像的拉伸、压缩和等比缩放的。将抽象的数学知识与前沿科技联系起来，激发学生学好数学的动力。

七、板书设计

六年级数学下册《数对变换与图形相似性探究——可爱的小猫》

乐乐（x，y）标准图

天天（2x，y）变宽（横向拉伸）→不像

晶晶（x，2y）变长（纵向拉伸）→不像

欢欢（2x，2y）变大（等比例放大）→像（相似）

【核心结论】

数对的两个数都乘相同的数（0除外），图形形状不变，大小改变。→图形相似

只改变其中一个数，图形会在该方向变形。

八、作业设计

1.【基础性作业】完成课本“练一练”中的方格纸作图题，将给定的三角形按2:1放大。

2.【拓展性作业】请你选择一个简单的日常物品（如茶杯、铅笔、小椅子），在方格纸上画出它的轮廓，并用今天学习的数对变换方法，设计出它的“变形三连拍”（一个横向拉长版，一个纵向拉长版，一个等比例放大版），并简要写出你的变换方案。

九、教学评价与反思设计

【重要·评价前置】本课采用过程性评价与结果性评价相结合的方式。过程性评价重点关注学生在小组探究活动中的参与度、观察的敏锐性、表达的逻辑性以及操作的规范性。教师通过巡视、倾听小组讨论、查看学生描点情况，及时给予反馈和指导。结果性评价则通过学生最终完成的“字母M变形设计”作品以及课后作业来体现，重点评价学生能否准确运用数对变换规律进行创意设计和规范作图。

【反思预设】课后，教师应从以下几个方面进行反思：一是情境创设是否有效激发了学生的探究欲望，“猜想”环节是否