第21-22章（一元二次方程和二次函数）重点知识点单选 专项练-2025-2026学年人教版九年级数学上册期末复习

第21・22章（一元二次方程和二次函数）重点知识点单选

专题练2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习

1.下列函数属于二次函数的是（）

C4

A.y=—B.y=（x-2）2-x2C.y=A（X-1）D.y=-2x+\

X

2.某超市销售一种商品，每件成本为50元.销售人员经调查发现，该商品每月的俏售量y（单位:

件）与销售单价x（单位：元）之间满足函数关系式），=-5x+55O.若要求销售单价不得低于成本,

为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（）

A.90元B.85元C.80jtD.55元

3.已知抛物线），=，n?+几［（阳工0）与工轴交于A,B两点,顶点C的纵坐标为〃，则抛物线的对称

轴为直线（）

A.x=2B.x=4C.x=-4D.x=-2

4.己知点A（4,yJ,〃（3,），2）,C（—3,必）均在抛物线,一一/+2..1上，贝ij

A.B.心C.D.

5.二次函数），=〃/+法+c的部分图象如图所示，对称轴方程为工=-1,图象与x轴相交于点（10）,

)

C.x=\,x,="1D.X.=-1,x,=一

-3

6.将二次函数），=3（1-4尸+5的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为

)

A.y=3(x-10)2+5B.y=3(x+2)?+5

C.y=3(x—2)2+llD.)，=3(x—4)2—1

7.如图1,在菱形八BC。中，ZABC=60°,连接8。，点M从点4出发沿方向以Gcm/s的速度

运动至点。，点N同时从点8出发沿方向以2cm/s的速度运动至点。.设运动的时间为

心，的面积为am?.已知y与x之间的函数图象如图2所示，则"的值为（）

8.一次函数），=。*-）和二次函数），=。/+饭+。（〃，匕，c是常数，且。工0）在同一平面直角坐标

9.二次函数），=：/+3的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（）

A.抛物线开口向上B.抛物线经过点（3,6）

C.抛物线的顶点是（1,3）D.当x>0时，>随x的增大而增大

10.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（“+〃）”展

开式的系数规律.

(«+b)°=1

11(a+b?=a+b

121(a+b)2=a'+lab+b2

3

1331(a+6)3=/+3a++b

当代数式/一12丁+54/一1081+81的值为I时，则x的值为（）

A.2B.-4C.2或4D.2或T

II.已知aAc为常数，点p（a,c）在第二象限，则关于”的方程—十以+C-0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

⑵已知入”分别为方程f—2…=。的两个不相等的实数根，则『\看11正a昕b^’直为（＞

A.BC.2D.4

42

13.关于x的方程Y-2cx+/+从=0有两个相等的实数根，若a,b,c是VA3。的三边长，则这个三

角形一定是（）.

A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形

14.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是

知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是

一样的，根据“两天不练丢一半"，则每天”遗忘”的百分比约为（参考数据：夜。1.414）（）

A.20.3%B.25.2%C.29.3%D.50%

15.若x=2025是关于％的方程aP+/u+1=0的一个根，则关于x的方程。（X+2）一+bx-\-2b=-\必有

一个根为（）

A.2023B.2024C.2025D.2027

16.关于x的方程，+x『+2F+2x-3=0,则Y+x的值是（）

A.-3B.1C.一3或1D.3或一1

17.已知关于x的一元二次方程"2-（24-1卜+攵-2=0有两个不相等的实数根，则实数上的取值范

围是（）

C.左＞~!■月.kwOD.左＜,且4HO

44

18.等腰三角形的两边长分别是方程丁-10x+21=0的两个根，则这个三角形的周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

19.若关于x的一元二次方程/+2工+〃=0两根为3公,且'+'=3,则〃的值为（）

XiX2

।22

A.—B.!C.-D.—

2233

20.已知抛物线），=公?+法+c（a",c是常数）开口向下，过A（—1,0）,双机0）两点，且1＜〃?＜3.下

列四个结论:

①b>0

②若〃7=2时，贝ij2cz+c<0

③若方程辰?+辰+c]=l有四个根，且四个根和为一则0<s<4

④已知点,Q（3,»），均在抛物线y=cL\2+bx+c±.,其中2卬?+〃=0,若必>%>Y，

则〃的取值范围是0<〃

其中结论正确的结论有（）

A.①③B.①②C.③④D.(D@④

参考答案

题号12345678910

答案CCABCCCDCC

题号11121314151617181920

答案ABBCABCCDA

1.C

【分析】本题考查二次函数的定义.一般地，形如），=4一+云+。（a,b,C为常数，且4H0）的函

数是二次函数.据此对各选项的函数化简后进行判断即可.

94

【详解】解：A、函数），二一不符合二次函数的形式，故不是二次函数；

x

B、函数y=化简为）,=_4X+4,不符合二次函数的一般形式，故不是二次函数；

C、函数y=x（x—l）化简为），=一・%,是二次函数；

D、函数），=-21+1不符合二次函数的形式，故不是二次函数.

故选：C

2.C

【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的

关键.根据题意，利润由销售量乘以每件利润得到建立利润关于售价的二次函数，利用顶点式求出最

大值对应的售价.

【详解】解：设每月利润为卬元，则卬=（K—5O）（—5r+SSO）,

展开得：卬=-5x2+800x-27500，

此为开口向下的抛物线，最大值出现在顶点处。顶点横坐标为：

b_800

80,

五一2x(-5)

因80250,符合条件，

故售价定为8（）兀时利润最大，

故选：C.

3.A

【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，解题关键是将函数表达式转化为顶点式.

先将函数表达式转化为顶点式，再根据顶点C的纵坐标为〃求解.

【详解】解:

・二抛物线的对称轴为直线X=-广，

2m

•・•顶点。的纵坐标为〃，

:.---=n，即fi=-4rn,

4ni

・•・抛物线的对称轴为直线工=-*=-==2,

2m2in

故选：A.

4.B

【分析】本题考查了二次函数的性质.结合题意，得抛物线的开口向下，且抛物线的对称轴为X=l,

根据二次函数的性质分析，即可得到答案.

【详解】解：•・•a=—1<0，

・•・抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为

-2

，当x>l时，y随着工的增大而减少，且当工=-3和x=5时，函数值均为力,

Vl<3<4<5,

:.乃>X>为，

故选:B.

5.C

【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与工轴交点的横坐标即为方程

ar+bx+c=O(aw0)的解是解题的关键.

根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为(1,0)且对称轴为直线汇=-1,得抛物线与x轴的另

一个交点为(-3,0),从得出答案.

【详解】解：•••抛物线与x轴的一个交点为(1,0),且对称轴为直线x=T,

则抛物线与工轴的另一个交点为(-3,0),

・,・方程加+云+c=0(〃w0)的解为％=1,9=-3,可得〃+狂]+。仕丫=o,

设'=/,可得cf*+初+a=0,

x

."=1,『2=一针

由上可得，方程eV+历：+〃=()的两个根为X]=I,X2=,

故选：C.

6.C

【分析】本题考查抛物线的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移规律：左加右减，上加下减.根

据抛物线平移规律即可得到答案.

【详解】解：将二次函数y=3(x-4)2+5的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数

解析式为y=3。-4+2>+5+6,即y=3(x-2)2+ll,

故选：C.

7.C

【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出8MN的面积表达

式是解决本题的关犍.

先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解

”的值.

【详解】解：四边形ABC。是菱形，ZABC=60°,

:.BC=CD,4CBD=/BDC=30。.

如图I,当点N在上运动时，BN=2xcm,BM=yj(2x)2-x2=V3.v(cm).

过点M作也万，盘？于点£.

ME=—BM=—xcm.

22

/.y=-BN-ME=-x2x^-x=^-x2.

2222

当点N在点。时，y=2>/L即走f=26.解得X=2(负值已舍).

BC=CD=4cm.

如图2,当点N在CD上运动时，BM=V3xcm,ON=(8—2x)cm.

过点N作M7_L8O于点”.

图2

在中，4HDN=30。,

.•.N”=goN=gx（8-2x）=47（cm）.

2

y=-BM-NH=-xx/3x-（4-x）=--x+2氐.

222

当）,=毡时，一显寸+2瓜=巫.

222

解得司=3,x2=l（不符合题意，舍去）.

:.a=3.

故选：C.

8.D

【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图

象，分别确定系数的符号，再作出判断.

对每个图象中的一次函数的图象确定。，〃的符号，再对照二次函数得出。，b的符号比较是否一致，

然后作出选择.

【详解】从选项A中的直线可知，avO,b<0,抛物线开口向下，所以错误；

从选项B中的直线可知，a<0,b<0,抛物线对称轴在>轴左侧，所以错误；

从选项C中的直线可知，b>0,抛物线开口向上，所以错误；

从选项D中的直线可知，。>0,/?<(),抛物线开口向上，对称轴在$轴右侧，所以正确.

故选：D.

9.C

【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴

及增减性，逐一验证各选项的正确性.

【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因〃=；>。，故开口向上，A正确，不符合题

思；

B、将x=3代入函数，W.y=1(3)2+3=3+3=6,故抛物线经过点(3,6),B正确，符合题意；

C、函数为y=；/+3,属于标准形式)，=ad+3顶点坐标为(0,3),而非(1,3),C错误，符合题意；

D、因开口向上，对称轴为y轴（x=0）,当K>（）时，>随X增大而递增，D正确，不符合题意.

故选：C.

10.C

【分析】由规律可得：（。+6）4=〃4+4。％+6。％2+4出/十力4,令。=3〃=一3,可得（x-3）4=l,再

解方程即可.

【详解】解：由规律可得：（4+〃）4="+4a%+6。2/+4凉/+//,

令〃=%,b=-3,

A（X-3）4=X4-12X3+54x2-108x+81,

,:x4-12/+54/-108^+81=1,

A（x-3）4=1,

x—3=±1,

••.V=4X—2>

故选：C.

【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键.

II.A

【分析】本题考查了点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式.热练掌握点坐标的特

征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键.

由点P（〃，c）在第二象限，可得a<0,c>0,则由G:2+〃X+C=O,可得△=//一4ac>0,然

后判断作答即可.

【详解】解：丁点P（a，c）在第二象限，

；・a<0,c>0>

/.-4ac>0，

丁ax2+Z?.r+c=O>

•••△=/-4ac>0，

・••方程有两个不相等的实数根，

故选：A.

12.B

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由根与系数

的关系得到a+〃=2,再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求

解即可.

【详解】解公•・•“，〃分别为方程f—2K—c—0的两个不相等的实数札3

*•a+b=2,

(\\yab

>

I。b)(4一〃)~+4aZ>

_a+bab

ab(a+b)’

1

a+b

1

=5，

故选:B.

13.B

【分析】由关于x的方程W-%+/+从=0有两个相等的实数根，可得A=(_2CF—4(/+//)=0,整

理得寸=解+//，根据勾股定理逆定理判断VA4C的形状即可.

【详解】解：•・•关于x的方程F-2d+"+从=0有两个相等的实数根，

2222

・•.A=(-2c)—4(/+从)=0,整理得c=a+b,

・•・V/WC是直角三角形，

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理.解题的关键在于对知识的熟练掌握

与灵活运用.

14.C

【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程.

设每天遗忘的百分比为工，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可.

【详解】解：设每天遗忘的百分比为心

则(l—*)2=g,

解得：x、29.3%.

故选：C.

15.A

【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程a/+辰+1=()有一个根为2025,

可得出关于(x+2)的一元二次方程〃(X+2『+历:+2〃=-1有一个根为2025,解之可得出x的值，此题

得解.

【详解】解；•・・关于X的一元二次方程♦+6+1-0有一个根为2025,

，关于(1+2)的一元二次方程a(x+2>+Z?(x+2)+l=0即“x+zf+bx+2b=-\有一个根为2025,

即x+2=2025,

解得：x=2023,

故选：A.

16.B

【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键.设则此方程

可化为J+2f-3=0,然后用因式分解法求解即可.

【详解】解：设Y+x=/，则比方程可化为『+233=0，

(r-l)(/+3)=0,

••・1=0或f+3=0,

解得4=1,々=-3,

:.x2+x的值是1或-3.

当寸+工=_3时，x2+x+3=0,

VA=l-12=-ll<0,

・•・此方程无解，

:.X2+X的值是I.

故选：B.

17.C

【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数后0；由方程有两个不相等的实数根，得H-A>0”，解

这两个不等式即可得到k的取值范围.

皿0

【详解】解：由题可得：\.八，

-4k(&-2)>0

解得：火>一：且b0；

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键

是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式(组)的解集等,

本题对学生的计算能力有一定的要求.

18.C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得芯=3,

9=7,根据二角形的二边关系可得等腰二角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出二角形的周

长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程x2-10x+21=0得，*=3,%=7,

V3+3＜7,

・••等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

・••这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：C.

19.D

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握关于x的一元二次方程班+c=O（aHO）

bc

的两个根满足4+乂=-332二上是解题的关键.

a-a

利用一元二次方程根与系数的关系（即两根之和与两根之积），结合给定的倒数之和条件，直接求解

出P的值.

【详解】解：:方程f+2x+〃=0的两根为不与，

XX

X}+X2=-2,（2=p,

11c

又•••一+—=3,

Xx2

X+Xc

即--7-=3,

—

A—=3,

p

2

解得P=、.

J

故选：D.

20.A

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，通过A（-1,0）,8（