第二十四章《圆》同步练习-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章圆

24.1圆的有关性质

24.1.1圆

A分点训练

知识点一圆的基本概念

1.以已知点0为圆心，已知线段长a为半径作圆，可以作（）

A.I个B.2个C.3个D.兀数个

2.如图，以坐标原点0为圆心的圆与y轴交于点A、BEOA=1,则点B的坐标是（）JL

A.（O,1）B.（O,-1）-r一J-----T-

C.（LO）D.（-LO）

3.圆是一种常见的几何图形，在日常生活中有着广泛的应用，请你找出日常生活中与圆有关的实例：

（写出三个即可）

4.如图.OA、0B为。0的半径C、D分别为OA、0B的中点.求证:AD=BC.

5.如图线段AD过圆心0交OO于D、C两点NEOD=78o.AE交。O于氏且AB=OC.求NA的度数.

知识点二与圆有关的概念

6.下列结论正确的是（）

A.长度相等的两条弧是等弧

B.半圆是弧

C.半径是弦

D.弧是半圆

7.如图，点A、O、D以及13、O、C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（）

A.2B.3C.4D.5

p

'6O

第7题第9题

8.下列说法：①直径是弦；②半径不是弦；③过圆内一点有无数多条弦且直径是最长的弦；④半圆是弧，但既

不是优弧也不是劣弧.其中正确的有一（只需填写序号）.

9.如图所示,AB是。O的直径，小芳给出以下判断：①弧ACB是优弧；②弧CB是劣弧；③图中有四条弦；

④弦AC所对的弧是劣弧;⑤AB=20C.其中正确的有一（只需填写序号）.

B运用积累

10如图,AB是。0的直径.点C、D在。O上,且点C、D在AB的异侧.连接AD、OD、OC.若NAOC=70。,且A

口〃0（3,则/人0口的度数为（）

A.70°B,60°C.50°D,40°

C

第10题第11题

11如图所示，方格纸上一圆经过（2,6）、（22）、（2,-2）、（6,2）四点，则该圆圆心的坐标为（

A.(2,-l)B.(2,2)

C.(2,l)D.(3,l)

12试说明直径是圆内最长的弦.

13如图，AB、CD是。。的两条互相垂直的直径.

（1斌判断四边形ACBD是什么特殊四边形，并证明你的猜想；

（2诺。O的半径r=2cm,求四边形ACBD的周长

14设AB=3cm,画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.

(1升口点A、B的距离小于2cm的点的集合；

(2而点A的距离大于2cm,和点B的距离小于2cm的点的集合.

15.如图，小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳长共为2.5m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)，手臂肩部距地

面1.5m.当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图.

16如图，BD、CE是^ABC的高，M为BC的中点.试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上.

综合探究

17如图，AB是的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F,且AE=BF,请你找出线段0E与OF的数量

关系，并给予证明.

24.1.2垂直于弦的直径

A分点训练

知识点一圆的轴对称性

1.下列结论正确的是（）

A.经过圆心的直线是圆的对称轴

B.直径是圆的对称轴

C.与圆相交的直线是圆的对称轴

D.与直径相交的直线是圆的对称轴

知识点二垂径定理及推论

2.如图,。0的半径为10cm,弦AB=12cm则圆心至I」AB的距离为（）

A.2cmB.6cmC.8cmD.10cm

第3题

3.如图,AB是。O的直径弦CD1AB于点E,则下列结论一定正确的个数有（）

®CE=DE;®BE=OE;®CB=BD;@ZCAB=ZDAB;（§）AC=AD.

A.4个B.3个C.5个D.2个

4.如图,。0的弦AB=6,M是AB上任意一点，且OM最小值为4.则OO的半径为（）

5.（黑龙江中考）如图,AB为。O的直径弦CD±AB于点E.已知CD=6,EB=1厕。O的半径为

知识点三垂径定理的实际应用

6一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,其中有水部分水面宽0.8m,最深处水深0.2m,则此输水

管道的直径是()

A.0.4mB.O.5mC.O.8mD.1in

7.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m.圆弧所在圆的半径OA=10m则中间柱CD的

高度为—m

8.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（如图中的□力即□，点O是这段弧的圆心C是AB上一点、OC_LAB,垂足

为D.AB=3OOm,CD=50m,则这段弯路的半径是___in.

运用积累

9.（安顺中考）已知。O的直径CD=1（）cm,AB是。O的弦,AB_LCD,垂足为M,gAB=8cm,则AC的长为（）

A.2BA\^cm

C.2或4>/5cmD.2v5c2或4>/3cw

10（张家界中考）如图,AB是。O的直径.弦CD±AB于点E,OC=5cm,CD=8cm.则AE=（）

11.（枣庄中考）如图.AB是。O的直径弦CD交AB于点P,AP=2.BP=6,/APO30。,则CD的长为（）

A.V\5B.2质C.2不D.8

12.（乐山中考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法

体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长

一尺，问径几何?”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1

寸），锯道长1R（AB=I尺=10寸），问这块圆形木材的直径是多少？，如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的

直径AC是（）

A.I3寸B.20寸C.26寸

y

13.(海南中考)如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20,0)，点B的坐标是(16,0),点C、D在以OA

为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为一.

14如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，试判断AC与BD的大小关

系，并说明理由.

15如图，在。O中，AB、CD为两条弦，且AB〃CD,直径MN经过AB中点E,交CD于F,试问：点F是

CD的中点吗?

16银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道。如图所示,污水水面宽度为60c

m,水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道?

综合探究

17.杲地有一座圆弧形的拱桥，拱桥下水面的宽度为7.2m,拱皎高出水面2.4m。现有一只宽3m,船舱J页部为

正方形并高出水面2m的货船经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由.

24.1.3弧、弦、圆心角

A分点训练

知识点一圆心角概念与计算

1.如图,MN为。0的弦,NM=50。,则NMON等于（）

A.50°B.55°

2.在如图所示的图形中，圆心角（不记180。的角）的个数是（）

A.I0个B.9个C.8个D.7个

3.（绍兴模拟）如图.已知点A（0』）,B。一1）,以点A为圆心,AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点（2,则/8人（2等

于一度.

第4题

4.一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数为

知识点二圆心角、弧、弦、弦心距的关系

5.在同圆或等圆中，如果,葩=①那么弦AB与CD的关系是（）

A.AB>CDB.AB=CD

C.AB<CDD.AB=2CD

6.如图,AB是。O的直径,C、D是匚8£上的三等分点，NAOE=60。,则NCOE是)

A.40°B.60°C.80°D.120°

第6题第7题

7.(厦门月考)如图，在。0中，功=充,匚4=30，则NB=()

A.150°B.75°C.60°D.15°

8.如图,AB、CD是OO的两条弦,M、N分别为AB、CD的中点且NAMN=NCNM.AB=6,则CD=

9.在半径为R的圆中有一条长度为V3R的弦，则该弦所对的圆心角的度数是.

10如图，在。O中,AC=BC^E分别为半径OA、OB的中点，你认为CD和CE有何关系?为什么?

B运用积累

11如图，在。O中,AB=2CD,那么()

A.AB>2CD

B.AB<2CD

CAB=2CD

。解与2C。的大小关系无法比较

12如图、在。O中,弦AB二AC=5cm.BC=8cm,则。O的半径等于cm.

13如图,AB是。O的直径，点C、D在。O上,NBOC=1l()o,AD〃OC厕.所对圆心角的度数为

14如图,AB是。O的直径,AB=AC,BC交(DO于点D,AC交。O于点E,NBAC=45。.给出下列五个结论:①NEBC

=22.5。:②BD二DC:③AE=2EC:④劣弧AE是劣弧DE的2倍:⑤AE=BC.其中TF确结论的序号是.

15如图，OO的两条弦AB、CD互相垂直且交于点P,OEJ_AB,OF_LCD,垂足分别为E、F,且疣=瓦).试探究

四边形EOFP的形状，并说明理由.

16如图,AB、BC、AC都是。0的弦,且NAOB=NBOC.求证:

(1)ZBAC=ZBCA;

(2)ZABO=ZCBO.

17如图,P为直径AB上一点,EF、CD为过点P的两条弦，且求证:

(1)CD=EF;

&CE=DF.

川\B

P

D

C综合探究

18如图，在。0中,AB为直径，半径OC_LAB,弦EF经过CO的中点D.EF〃AB.

(1)求证:比=2以；

(2诺圆的半径为R.求EF的长.

19如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是匚4N的中点，P是直径MN上一动点，。。的半径为I,则AP

十BP的最小值为多少?

24.1.4圆周角

A分点训练

知识点一圆周角的概念

知识点二圆周角定理

3.（衢州中考）如图点A、B、C在OO上,NACB=35。,则NAOB的度数是（）

A.75°B.70°C.65°D.35°

4.（威海中考）如图，00的半径为5,AB为弦，点C为口48的中点若NABO30。,则弦AB的长为（）

5.（凉山州中考）如图.AB是。O的直径，弦CD1AB于E,若CD=8,ZD=6OOJIJ0O的半径为

知识点三圆周角定理的推论

6.如图,AB为。0的直径，点C在。0上,NB=50。,则NA等于（）

C.50。D.40。

第7题

7.如图，AB是半圆0的直径，C、D是半圆上两点，匚BAC=20{5=仍,，则NBAD的度数是（）

A.35°B.45°C.550D.70°

8.（吉林中考）如图,A、B、C、D是。0上的四个点，口48=二8。,若NAOB=58。,则.NBDC=_度.

知识点四圆内接多边形

9.四边形ABCD内接于圆,NA:NB:NCND=5:m:4:n,则：m、n满足的条件是（）

A.5m=4nB.4m=5n

C.m+n=9D.m+n=l80°

10（邵阳中考）如图，四边形ABCD为。O的内接四边形./BCD=120。,则NBOD的大小是（）

11（曲靖中考）如图、四边形ABCD内接于。O,E为BC延长线上一点，若□/=〃”则NDCE=_。.

12（南京模拟）如图,四边形ABCD是。O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.

（l）Sffi：ZA=ZAEB.

（2涟接OE,交CD于点F,OE_LCD.求证:△ABE是等边三角形.

B运用积累

13（盘锦中考）如图，在。O中，OA_LBC,NAOC=50。,则NADB的度数为（）

A.I5°B.25°

C.30°D.50°

14.（阜新中考）AB是。O的直径，点C在圆上，/ABC=65。,那么NOCA的度数是（）

A.250B.35。C.I50D.200

第15题

15.（济宁中考）如图，点B、C、D在。O上，若/BCD=130。,则/BOD的度数是（）

A.50°B.60°C.80°D.100°

16如图，在。O中，弦AB与CD相交于点M.

⑴若AD=CB,求证:△ADM^ACBM.

⑵若AB=CD,AADM与4CBM是否全等，为什么?

17如图，AB是。O的直径，弦CD_LAB于P,已知CD=8cm,/B=30。.求00的半径

18.(杭州期末)如图,在^ABC中，NA=45。,以BC为直径的。0与AB、AC交于E、F.

(I)当AB=AC时,求证:EO_LFO;

(2)如果ABKAC,那么EO1FO是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.

综合探究

19船在航行过程中,船长通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经

过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，ZACB就是“危险角、当船与两个灯塔的夹角大于“危

险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁.

⑴当船与两个灯塔的夹角a大于，危险角”时，船位于哪个区域？为什么？

(2)当船与两个灯塔的夹角a小于危险角”时，船位于哪个区域？为什么？

24.2点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.1点和圆的彳立置关系

A分点训练

知识点一点与圆的位置关系

1.若。。的半径为5cm,点A到圆心()的距离为4cm,那么点A与。0的位置关系是()

A.点A在圆外B.点A在圆上

C.点A在圆内D.不能确定

2.（兰州模拟）在数轴上，点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,0A的半径为2.下列说法中不正确

的是（）

A.当a<5时，点B在。A内

B.当1<2<5日寸,点8在。人内

C.当@<1日寸,点8在。人外

D.当a>5时点B在。A外

3.已知。0的半径为4,点P与圆心0的距离为d,且方程x2-4x+d=0有实数根，则点P与。0的位置关系为一

4.如图，已知△ABC,AC=3,BC=4,/C=90。以点C为圆心作。C,半径为r.

（1）当「取什么值时,点人、B在。C外？

（2）当r在什么范围时，点A在OC内点B在。C外？

知识点二过已知点作圆

5.下列命题不正确的是（）

A.过一点有无数个圆

B.过两点有无数个圆

C.弦是圆的一部分

D.过同一直线上三点不能画圆

6.在同一平面内，过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为（）

A.0个B.1个

C.2个D.0个或I个

知俱点三三角形的外接圆与外心

7.（宁夏模拟）如图,在RtAABC中.NO9（AAC=3cm,BC=4cm,则它的外心与顶点C的距离为（）

A.2cmB.2.5cm

8.（凉山州中考）如图，△ABC外接圆的圆心坐标是___

9.如图，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C,小明想建一个圆形花坛，使三棵树都

在花坛的边上.

⑴请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

（2）§AABC中AB=8m,AC=6m,ZBAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.

B运用积累

10已知O为八ABC的外心,NA=50。.则NBOC的度数是（）

A.30。B.120。C.90°D.60°

11下列四个命题中，正确的个数是（）

①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆,而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定

有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等.

A.4个B.3个C.2个D.1个

12如图,。。是等边△ABC的外接圆QO的半径为2,则等边△ABC的边长为（）

13（南宁中考）如图、△ABC内接于。0,NBA0120o,AB=A04,BD为。O的直径，则BD=

14在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,现以点A为圆心作圆，使B、C、D三点至少有一个在圆内，至少有一

个在圆外，则。A的半径r的取值范围是—.

15.如图，在A地往北60m的B处有一幢民房，西80m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有一古建筑.因

施工需要必须在A处进行一次爆破,为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在

什么范围内？

16如图4口是^ABC的外角/EAC的平分线.AD与三角形的外接圆交于点D,连接BD,交AC于点P,求证:

DB=DC.

C综合探究

17某公司临街面的外墙上有一块三角形的墙面发生破损现象（如图所示△ABC即是）,公司领导让工人师傅做

一个圆形广告牌，将破损面全部覆盖住，工人师傅量得NB=45o,NC=30\BC=4m.为使所做广告牌最小，工人师傅

给出两种方案：

方案一：作△ABC的外接圆；

方案二：以BC为直径作圆.

问：哪个方案中的圆面积最小？是多少？

A

B

24.2.2直线和圆的位置关系

第I课时直线和圆的位置关系

A分点训练

知识点直线与圆的位置关系

1.如图，直线1与。0的位置关系为（）

A.相交B.相切

C.唱离D.内含

2.已知。0的半径为5,圆心0到直线I的距离为3,则反映直线1与。0的位置关系的图形是（)

e◎，包

ABCD

3.已知。。的半径是5,直线1是。。的切线，在点O到直线1的距离是（）

A.2.5B.3C.5D.IO

4.00的半径为R,直线1和。0有公共点,若圆心到直线1的距离是d,则d与R的大小关系是（）

A.d>RB.d<R

C.d>RD.d<R

5.如图.在RtAABC中,NC=9（）o,/A=60o,B04cm,以点C为圆心，以3cin长为半径作圆,则©C与AB的位

置关系是

6.已知圆的直径为13cm,圆心到直线1的距离为6cm,那么直线1和这个圆的公共点的个数为一

7.在边长为6的正△ABC中若以A为圆心，以8为半径作。A,则。A与边BC的交点的个数为一

8.如图所示,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点O.过。作EF〃AB,交BC于E,交AD于F,则以点B

为圆心，加长为半径的圆与直线AC、EF、CD的位置关系分别是多少？

9.已知。0的半径为5cm，点0到直线1的距离OP为7cm,如图所示.

（1）怎样平移直线1,才能使1与。O相切？

（2度使直线I与。0相交，应把直线I向上平移多少厘米？

10如图，在ABC+>,ZC=90°,ZA=30°,AO=x,。。的半径为I,问：当x在什么范围内取值时，AC与。O

相离、相切、相交?

B运用积累

11.已知0O的面积为971cm2、若点0到直线1的距离为兀cm,则直线1与。0的位置关系是（）

A相交B.相切

C.唱离D.无法确定

12.若。O的半径为R,点0到直线I的距离为d,且d与R是方程./-4.什小=0的两根，且直线1与。0相切，

则m的值为（）

A.IB.2C.3D.4

13.（大庆中考）已知直线丫=1<小须经过点（12,-5）,将直线向上平移m（m>0）个单位，若平移后得到的直线与半

径为6的0O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为;

14如图在直角梯形ABCD中,AD〃BC,NADO135QC=8式,，以D为圆心，以8为半径作QD,试判定。D

与BC有几个交点？

At--------①

B

15如图,在菱形ABCD中,NA=60。,对角线AC、BD相交于点O,边长AB=16,以点O为圆心，半径为多长时

所作的圆才能与菱形四条边都相切?

16如图公路MN与公路PQ在点P处交汇，且NQPN=3()。,点A处有一所中学,AP=160m,假设拖拉机行驶时，

周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响?说明理

由；如果受影响，且知拖拉机的速度为I8km/h,那么学校受影响的时间是多少秒？

综合探究

17.某工厂将地处A、B两地的两个小工厂合成一个大厂，为了方便A、B两地职工的联系，企业准备在相距2

km的A、B两地之间修一条笔直的公路(即图中的线段AB),经测量，在A地的北偏东60。方向，B地的西偏北4

5。方向的C处有一半径为0.7km的公园，则修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么？

AB

第2课时切线的性质和判定

分点训练

知识点一切线的判定

1.平面内，下列命题为真命题的是（）

A.经过半径外端点的直线是圆的切线

B.经过半径的直线是圆的切线

C.垂直于半径的直线是圆的切线

D.圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线

2.若证明m是。0的切线，已判定AB±m,还需要添加的条件是（）

A.AB经过圆心O

B.AB是直径

C.AB是直径,B是切点

D.AB是直线,B是切点

3.（邵阳中考）如图，AB是。0的直径，点C为。0上一点，过点B作BDJ_CD,垂足为点D,连接BC,BC平分N

ABD.求证:CD为。O的切线.

知识点二切线的性质

4.如图.AB与。0切于点B,A0=6cm,AB=4cm.则。0的半径为（）

A.4cmB.2x/^cm

C.2y/\3cmD.vTSc.'n

第4题第5题

5.（眉山中考）如图.AB是。0的直径,PA切（DO于点A.线段P0交。0于点C连接BC.若NP=36。,则/B等于

（）

A.27°B.32。C.36。D.54°

6.如图.AB是。0的弦,AC是（DO的切线.A为切点BC经过圆心若NB=20。则NC的大小等于（）

A.20°B.25°C.40°D.50°

第6题第7题

7.（连云港中考）如图,AB是。O的弦，点C在过点B的切线上且OC_LOA,OC交AB于点P.已知匚048=2

2测NOCB=.

8.如图.在△ABC中.AB=AC以AC为直径的。0交AB于点M.交BC于点N,连接AN,过点C的切线交AB的

延长线于点P.求证:NBCP=ZBAN.

R运用积累

9.如图,AB为。0的直径PD切。。于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD,则NPCA=（）

1。如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm,弦AB与小圆相切于点C,则AB的长为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

11.（重庆中考）如图，已知AB是OO的直径，点P在BA的延长线上，PD与。O相切于点D,过点B作PD的垂

线交PD的延长线于点C.若。0的半径为4,BC=6厕PA的长为（）

A.45.2v5C.3D.2.5

12.（泸州中考）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆,，点P在直线尸4什2西上运动，过点P

作该园的一条切线，切点为A,则PA的最小值为（）

A.3B.2C.V3D.V2

13（潍坊中考）如图,BD为bABC外接圆。0的直径，且NBAE=/C.

（1）求证:AE与。0相切于点A;

（©2）若AE\BC,BC=2//C=2v5,求AD的长.

14.（黄石中考）如图，已知A、B、C、D、E是。0上五点，的直径,B£=2V5,二4CZ>12O,A为□“的中点.

延长BA到点P,使BA=AP,连接PE.

（1）求线段BD的长；

⑵求证:直线PE是。。的切线.

4

C综合探究

15.已知△ABC内接于。O,过点A作直线EF.

⑴如图1所示者AB为。。的直径.要使EF成为。。的切线，还需要添加的一个条件是（要求写出两种情况）：

或者__________.

（2）如图2所示，如果AB是不过圆心0的弦,且NCAE=NB.那么EF是。0的切线吗？试证明你的判定.

图1图2

第3课时切线长定理和三角形的内切圆

分点训练

知识点一切线长定理

1.如图,PB为。0的切线,B为切点，连接PO交。。于点A,PA=2,PO=5厕PB的长度为（）

C.2V60.4v5

第2题

2.如图,PA切。。于ATB切。。于B,连接OP.若NAPO=3（r,OA=2,则BP=（）

A-B.V3C.4D2的

3.如图,PA切。O于A,PB切。。于B,OP交。。于C,下列结论中，错误的是（）

A.Z1=Z2B.PA=PB

C.AB1OPD.PA=PC+PO

4.如图,PA、PB切。O于点A、B,直线FG切。O于点E,交PA于F,交PB于点G.若PA=8cmJISPFG的周长

是（）

A.8cmB.12cmC.16cmD.20cm

知识点二三角形的内切圆

5.如图,。0内切于△ABC,切点为D、E、F,若/8=50。,/060。,连接》£、DF.则NEDF等于（）

A.45°B.55°C.65°D.70°

A

A

6.（湖州中考）如图，已知△ABC的内切圆。0与BC边相切于点D,连接OB、OD.若NABC=40°则NBOD的度

数是一•

7.如图,。。是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为.

8.如图，有一块三角形材料（△ABC）,请你画出一个圆，使其与^ABC的各边都相切.（保留痕迹，不写作法）B

B运用积累

9.如图为公ABC的内切圆点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为。1的切线，若△ABC的周长为21,B

C边的长为6,则△ADE的周长为（）

C.7.5D.7

第10题

10（台湾中考）如图J点为△ABC的内心,D点在BC上,且ID_LBC.若/B=44）NC=56。,则NAID的度数为（）

A.I74°B.1760C.178°D.1800

H如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油

中心。到三条支路的距离相等来连接管道，则。到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）

A.2mB.3mC.6mD.9m

12.（深圳中考）如图，一把直尺、60。的直角三角板和光盘如图摆放，A为60。角与直尺交点，AB=3,则光盘的

直径是

8.3招

13如图，已知△ABC的周长为2P在AB、AC上分别取点M和N.使MN〃BC,且乂＞1与4ABC的内切圆相切.

则MN的最大值为一.

14如图，在R（AABC中,NACB=90。以BC为直径的圆交AB于点D,过点D作。O的切线EF交AC于点E.求

证:AE=DE.

15如图，一个圆球放置在V形架中，如图是它的平面示意图，CA和CB都是。O的切线,切点分别是A、B.

如果。0的半径为：2百”〃，且AB=6cm,求NACB的度数.

C综合探究

16.阅读材料：如图1,△ABC的周长为I,内切圆。的半径为r.连接OA、OB、OC,AABC被划分为三个小

三角形，用SAABC表示△ABC的面积.

S48C=SQBc+SOCA，

sgcA.CAr,

匚SABC=\ABr+\1CAr

=;/二（可作为三角形内切圆半径公式）

D

图1图2

（1）理解与应用：利用公式计算边长分别为5、12、13的三角形的内切圆半径；

（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图2）且面积为S,各边长分别为a、b、

c、d，试推导四边形的内切圆半径公式（不需说明理由）.

小专题（五）切线的判定

类型一有切点型切线证明

1.如图，在^ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0交BC于点D,过点D作DE1AC于点E。直线DE与

OO有怎样的位置关系？为什么？

2.如图，在RtAAFD中，NF=90。，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C,连接AC,

将仆AFC沿AC翻折得△AEC,且点E恰好落在直径AB上。判断：直线FC与半圆0的位置关系是______并证

明你的结论。

3.如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆0于点E,F为垂足，交AC于点C,使NBED

=ZCO请判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论。

知识点二无切点型切线证明

4.如图，△ABC是等边三角形，AO1BC,垂足为点O,。。与AC相切于点D,BE_LAB交AC的延长线于

点E,与。O相交于G、F两点。求证：AB与。O相切。

5.在RtAABC中，AC=BC=24,90和边BC相切于点D。

⑴如图，NC的平分线交边AB于点O,求证：AC与。0相切；

(2)当。O经过点A时，设点E、F分别为OO与边AC、AB的另一个交点，连接EF,若点E正好为AC的三

等分点，求线段EF的长。

小专题(六彻线的性质和判定的综合应用

类型一切线的性质和判定的综合应用

1.已知直线I与。o,AB是。0的直径，AD_L1于点D.

(1)如图1,当直线1与。O相切于点C时，若/DAC=35。，求NBAC的大小；

(2)如图2,当直线I与。O相交于点E、F时，求证：ZDAE=ZBAF.

2.(宿迁中考)如图，AB、AC分别是。0的直径和弦，0D_LAC于点D.过点A作。0的切线与0D的延长线交

于点P,PC、AB的延长线交于点F.

(1)求证：PC是。0的切线；

(2)若NABO60。，AB=10,求线段CF的长.

3.如图，在直角坐标系中，已知A(—8,0),B(0,6)，点M在线段AB上.

⑴如图1,如果点M是线段AB的中点，且。M的

半径为4,试判断直线0B与。M的位置关系，并说明理由；

⑵如图2,0M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标.

4.已知等边△ABC,边长为4•点D从点A出发，沿AB运动到点B,到点B停止运动，点E从A出发，沿A

C的方向在直线AC上运动，点D的速度为每秒1个单位，点E的速度为每秒2个单位，它们同时出发，同时停

止。以点E为圆心，DE长为半径作圆。设E点的运动时间为ts,

⑴如图1,判断0E与AB的位置关系，并证明你的结论；

⑵如图2,当。E与BC切于点F时，求t的值.

24.3正多边形和圆

分点训练

知识点一正多边形与圆

1.下列说法中，正确的个数有（）

①每个角都相等的圆内接多边形是正多边形；

②各边相等的圆外切多边形是正多边形；

③各角相等的圆外切多边形是正多边形.

A.0个B.I个C.2个D.3个

2.如图,。0的内接△ABC中,AB=AC,弦BD、CE分别平分/ABC、NACB,且BE=BC,求证:五边形AEBCD是

正五边形.

知识点二正多边形与圆的相关计算

3.边长为a的正六边形的内切圆的半径为（）

A.2aB.aC.gaD.1

4.如图，正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是（）

5.如图，正六边形ABCDEF内接于。0,半径为4,则这个正六边形的边心距0M的长为（）

A.2反2V5C.A/3D.4V5

6.（呼和浩特中考）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为—.

7.如图点G、H分别是正六边形ABCDEF的边BC、CD上的点且BG=CH,AG交BH于点P.

(1)求证:△ABG^ABCH;

(2)求NAPH的度数.

A

B

知识点三正多边形的作法

8.高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图，正十七边形的一边所对的外接圆的圆心角/AOB的度数近似

于（）

A.ll0B.17°C.21°D.25°

9.已知半径为R的。O,用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形.（至少4种方法）

B运用积累

1（）如图，在半径为1的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方

形，依比类推，第6个内切圆的面积是（）

11（贵阳中考）如图点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点且AM=BN,点O是正五边形的中

心，则/MON的度数是一度.

13如图1,图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心

O处.

图1图2

⑴求图I中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；

⑵图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比为

14如图，已知正三角形的边长为2a.

⑴求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；

(2升艮据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？

(3力等条件中的、、正三角形，'改为''正方形"正六边形“你能得出怎样的结论；

(4)已知正n边形的边长为2a,请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.

综合探究

15某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；

乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图1,△ABC是正三角形,匚力。=口"石=匚。尸,证明六边开乡

ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；

丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想…，边数是7时，它可能也是正多边形.

(1请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；

(2请你证明,各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图2)是正七边形：(不必写已知，求证)

(3根据以上探索过程，提出你的猜想.(不必证明)

A]ID

£T

-*/

图1图2

24.4弧长和扇形面积

第1课时弧长和扇形面积

A分点训练

知识点一弧长公式

1.已知扇形的圆心角为45。，半径长为12,则该扇形的弧长为（）

A.MB.2nC.3nD.127t

2.如果一个扇形的半径是1,弧长居乃，那么此扇形的圆心角的大小为（）

3

A.30。B.45°C.60°D.90°

3.（黄石中考）如图.AB是。0的直径，点D为。0上一点且/ABD=3（r.BO=4,则应）的长为（）

4.如图,在4x4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形.0、A、B分别是小正方形

的顶点,则扇形0AB的弧长等于一.

5.（湖州中考）如图.已知AB是。0的直径C、D是。0上的点.0C〃BD,交AD于点E,连接BC.

（1求证:AE二ED;

（2席AB=10,NCBD=36。,^^的长.

知识点二扇形及扇形面积

6.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形二则半径为2的“等边扇形”的面积为（）

A.zB.lC.2UD’3-

7.（抚顺中考）如图,AB是OO的直径CD是弦,，BCD=30c,OA=2则阴影部分的面积是（）

A.z/3B.2兀3C.7tD.2兀

第7题第9题

8.圆心角是60。且半径为2的扇形面积为（结果保留it）.

9.（香坊区中考攻口图点A、B、C是。O上的点且NACB=40。，阴影部分的面积为2兀，则此扇形的半径为

10如图，已知菱形ABCD的边长为1.5cm,B、C两点在扇形AEF的EF上，求扇形ABC的面积.

B运用积累

1L（宁波中考）如图在△ABC中,/人d3=90。,/人=30。小8=4以点B为圆心,BC长为半径画弧，交边AB于点D,

则（