第二十五章 概率初步（一）同步练习-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十五章概率初步

25.1随机事件与概率

25.1.1随机事件

A分点训练

知识点一确定性事件的概念

1.“a是实数,|a|<0"这一事件是（）

A.必然事件B.不确定事件

C.不可能事件D.随机事件

2.掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，如图.观察向上的一面的点数，下列属必

然事件的是（）

A.出现的点数是7B.出现的点数不会是0

C.出现的点数是2D.出现的点数为奇数

3.下列事件是必然事件的为（）

A.明天太阳从西方升起

B.掷一枚硬币，正面朝上

C.打开电视机，正在播放“河池新闻”

D.任意一个三角形，它的内角和等于180。

4.下列事件属于必然事件的是（）

A.在1个标准大气压下，水加热到10<）℃,水会沸腾

B明天我市最高气温为36℃

C.中秋节晚上能看到月亮

D.下雨后有彩虹

知识点二随机事件的概念

5.（淄博中考）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（）

A.水能载舟，亦能覆舟

B.只手遮天，偷天换日

C.瓜熟蒂落，水到渠成

D.心想事成，万事如意

6.邮局有5个投递窗口A、B、C、D、E,方程去邮局寄信，他会到A窗口寄信，这是一个—事件.

知识点二事件发生可能性大小

7.•明天下雨的概率为80%”这句话指的是()

A.明天一定下雨

B.明天80%的地区下雨，20%的地区不下雨

C明天下雨的可能性是80%

D.明天80%的时间下雨,20%的时间不下雨

8.掷一枚均匀的骰子，前5次朝上的点数恰好是1~5,则第6次朝上的点数()

A.一定是6

B.一定不是6

C.是6的可能性大于是1~5中的任意一个数的可能性

D.是6的可能性等于是1~5中的任意一个数的可能性

9.一张写有密码的纸片被随意地埋在如图所示的矩形区域内，图中的四个正方形大小一样，则纸片埋在几号区

域的可能性最大?为什么？

13

1()如图所示是某商场搞促销活动的一个大转盘，购物满3000元以上者可免费转动转盘一次，指针指向哪个格

子，则顾客可免费获得其中标示的物品.

(I族得哪种物品的可能性最大？

(2激得哪种物品的可能性最小？

色拉油

香皂

B运用积累

II.下列事件是必然事件的是（）

A.中国男篮12名队员及主教练之中，有两个人是同一个月出生的

B.抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上

C.明天会下雨

D.经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯

12.下列说法正确的是（）

A.可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生

B.可能性很小的事件在一次实验中一定发生

C.可能性很小的事件在一次实验中有可能发生

D.不可能事件在一次实验中也可能发生

13.（襄阳中考）下列语句所描述的事件是随机事件的是（）

A.任意画一个四边形，其内角和为180°

B.经过任意两点画一条直线

C.任意画一个菱形，是中心对称图形

D.过平面内任意三点画一个圆

14.如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小

石子，则投一次就正好投到圆圈内是（）

A.必然事件B.不可能事件1

C.确定事件D.随机事件

6（宿迁中考）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取I根或2根，最后取完者获胜。

若由小明先取，且小明获胜是必然事件，则小明第一次应该取走火柴棒的根数是一.

16一个街头艺人，用一个盒子装了4张卡片，上面分别写有4个整数，他说：、、随便摸出一张，再加上卡片上

的数字，若得奇数，你就可得100元；若得偶数，你只需给他2元钱。“请你分析一下，如果你是观众，你会去参

加这个游戏吗？为什么？你能想出他卡片上的数字吗？

C综合探究

17.用力旋转如图所示的甲转盘和乙转盘的指针，如果指针停在蓝色区域就称为成功。

A同学说：“乙转盘大，相应的蓝色部分的面积也大，所以选乙转盘成功的机会比较大。”

B同学说「转盘上只有两种颜色，指针不是停在红色上就是停在蓝色上，因此两个转盘成功的机会都是5

0%。”

你同意两人的说法吗？如果不同意，请你预言旋转两个转盘成功的机会有多大？

25.1.2概率

分点训练

知识点一概率的意义

1.下列关于概率知识的说法中，正确的是（）

A「明天要降雨的概率是90%”表示：明天有90%的时间都在下雨

B."抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是一表示：每抛掷两次，就有一次正面朝上

C“彩票中奖的概率是1%”表示：每买100张彩票就肯定有一张会中奖

D.“抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是1的概率是六表示：随着抛掷次数的增加，“抛出朝上点

0

数是1”这一事件的频率是:

O

2.（衡阳中考）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为J下列说法错误的是（）

A.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上

B.连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上

C.大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次

D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的

知识点二求简单事件的概率

3.（株洲中考）从述,-1,02兀这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为（）

A]B】C.；D]

4.（宜昌中考）在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为（）

AqB.*ClD.l

5.（温州中考）在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球.

从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）

A，B.；C.lD.1

知识点三确定事件、随机事件的概率

6.下列说法错误的是（）

A.必然事件发生的概率为I

B.不可能发生的事件概率为0

C.不确定事件发生的概率为0

D.随机事件发生的概率介于（）和I之间

7.下列事件发生的概率为。的是（）

A.小明的爸爸买体彩中了大奖

B.小强的体重只有25千克

C.将来的某年会有368天

D.未来三天必有强降雨

知识点四与几何图形有关的概率

8.（金华中考）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60。,90。，210。.让转盘自由转

动，指针停止后落在黄色区域的概率是（）

9.（盘锦中考）如图，正六边形内接于。O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是一.

B运用积累

10如图，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清前面哪条路通往外婆家，那么他能一次选对路的概率

是()

A-2

C.7D.O

H某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学

解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（）

A.OB.；C.-D.1

4141

12.（柳州中考）现有四张扑克牌：黑桃A、红桃A、梅花A和方块A,将这四张牌洗匀后正面朝下放在桌面

上，再从中任意抽取一张牌，则抽到红桃A的概率为（）

13.如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形，投掷该正四

面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（）

A』B.iC；D*

14.（湘西州中考）农历五月初五为端午节,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.小明妈妈买了3个红豆粽、2

个碱水粽、5个腊肉粽，粽子除了内部馅料不同外其他均相同.小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率为一.

15.（哈尔滨中考）一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，张兵同学掷一次骰

子，骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是—.

16如图.四边形ABCD是菱形,E、F、G、H分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD内掷一粒米，则米粒落

到阴影区域内的概率是一.

17甲班56人，其中身高在160cm以上的男同学10人,身高在160cm以上的女同学3人:乙班80人，其中身

高在160cm以上的男同学20人，身高在160cm以上的女同学8人如果想在两个班的160cm以上的女生中抽出

一个作为旗手，在哪个班成功的机会大?为什么?

18—个桶里有60个弹珠，一些是红色的，一些是蓝色的，一些是白色的.拿出红色弹珠的概率是35%,拿出

蓝色弹珠的概率是25%.桶里每种颜色的弹珠各有多少?

综合探究

19如图，用两个相同的转盘（每个圆都平均分成六个扇形）玩配紫色游戏（一个转盘转出“红”，另一个转盘转出

“蓝”，则为配成紫色）.在所给转盘中的扇形里，分别填上''红"或“蓝”，使得到紫色的概率是:

O

25.2用列举法求概率

第1课时用列表法求概率

分点训练

知识点一通过实验结果求概率

1.如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形

()

4

5

2.如图,A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C,恰好能使4ABC的

面积为1的概率是（）

A-B—C—D—

儿5025U25

2

3.SmD6mD9的“□”中任意填上或号，所得的代数式为完全平方式的概率为

4.如图，有四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有字母A、B、C、D和一个不同的算式，将这四

张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张卡片，这两张卡片上的算式只有一个正确的概率是一.

2-3=12X(—3)=—6

AB

~（-3>=6-6=3

CD

知识点二用列表法求概率

5.（聊城中考）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（）

A*B.|C.|D.l

6.（武汉中考）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4.随机抽取一

张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（）

A.-B，C<

4246

7.（湖州中考）某居委会组织两个检查组，分别对',垃圾分类”和“违规停车叩勺情况进行抽查.各组随机抽取辖区内

某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）

A.gB.!C.|D.

9633

8.（新疆中考）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶

杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是一.

9.傣州中考）泰州具有丰富的旅游资源，小明利用周日来泰州游玩,上午从A、B两个景点中任意选择一个游

玩，下午从C、D、E三个景点中任意选择一个游玩.用列表法列出所有等可能的结果，并求小明怡好选中景点B

和C的概率.

B运用积累

10（贵阳中考）如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两

个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（）

AnB*C*

11（淮安中考）一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字I、-2、3,搅匀后

先从中任意摸出一个小球（不放回），记卜数字作为点A的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记

下数字作为点A的纵坐标.

（1）用列表法列出所有可能出现的结果；

（2成点A落在第四象限的概率.

12（长春中考）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡

片，其中两张卡片的正面图案为••金鱼、另外一张卡片的正面图案为・'蝴蝶,卡片除正面剪纸图案不同外，其余均

相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用列

表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼''的概率.（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2,图案为

“蝴蝶''的卡片记为B）

13如图，管中放置着三根同样绳子4小、BBi、CQ.

（IXh明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子力小的概率是多少？

（2M'明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A】、B］、G三个绳头中随机选两个

打一个结，求这三根绳子连接成一根长绳的概率.

C-T--------»C.

综合探究

14（陕西中考）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数

字力”的扇形的圆心角为120。,转动转盘,待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转

出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针

指向一个扇形的内部为止）.

（1酷动转盘一次，求转出的数字是-2的概率；

（2筋动转盘两次，用列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率.

第2课时用树状图法求概率

A分点训练

知识点用树状图法求概率

1.（广州中考）甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2；乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1

和2.从两个口袋中各随机取出I个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（）

心B*C.1屋

2.（临沂中考）2018年某市初中学业水平实验操作考试要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一

科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（）

心B*C,lD.1

3.（包头中考）从一2,—1,1,2四个数中，随机抽取两个数相乘，积大于-4小于2的概率是一.

4.（宿迁中考）有2部不同的电影A、B,甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看.

⑴求甲选择A部电影的概率；

（2球甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果%

5.（沈阳中考）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转.假设这三种可能性相同，现有小明和小亮

两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率.

18运用积累

6.（河南中考）现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是一',1张卡片正面上的图案是“

们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（）

74D,1

7.（盐城中考）端午节是我国传统佳节.小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其他均相同），其中有两个肉馅粽

子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦.

⑴用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；

（2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.

8.在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”（用，表示）或“淘

汰”（用x表示）的评定结果，节目组规定：每位选手至少获得两位评委的''通过”才能晋级.

（I请用树状图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果；

⑵求选手A晋级的概率.

9.有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和-2；乙袋中有三个完全相同

的小球，分别标有数字-1、0和2.小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机

取出一个小球,记录下小球上的数字为y,设点P的坐标为(x,y).

(1)请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；

(2求点P在一次函数y=x+1图象上的概率.

10小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛，游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有

除数字外完全相同的4个小球,上面分别标有数字2,3,4,5•一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中

剩下的3个小球中随机摸出一个小球若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则小丽去参赛；否则小华去参赛.

(1)用列表法或画树状图法，求小丽参赛的概率.

(2你认为这个游戏公平吗?请说明理由.

综合探究

11(遵义中考)某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活

动共有两种方式.方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠，指针指向其他区域无优

惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向区域的字母相同，所购买物品享受8折优惠，其

他情况无优惠.在每个转盘中,指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线，则重新转动转盘).

(1)若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为一;

(2)若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率.

25.3用频率估计瞬

A分点训练

知识点用频率估计概率

1.某人在做掷硬币实验时，投掷m次，正面朝上有n次（即正面朝上的频率是p=2）.则下列说法中正确的是

（）

A.P一定等于;

B.P一定不等于;

C.多投一次，P更接近g

D投掷次数逐渐增加，P稳定在婀近

2.在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记

下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4,由此可估计袋中红球的个数约

为（）

A.4R6C.8D」2

3.（呼和浩特中考）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统

计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）

A袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个,取到红球

B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子,向上的面的点数是偶数

C.先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面

D.先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9

4.一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，

采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀.不断重

复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为：04（）/0201,02根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有一

一个黑球.

5.（武汉中考）下表记录了某种幼梃在一定条件下移植成活情况：

移植总数n4001500350()7000900014000

成活数m325133632036335807312628

成活的频率

0.8130.8910.9150.9050.8970.902

（精确至1」0.01）

由比估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是—（精确到0.1）.

6.一粒木质中国象棋子“兵、它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是磨平的.将它从一定高度下掷，落地反弹后

可能是，兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小

组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：

实验次数20406080100120140160

“兵”字面朝上的频数14384752667888

相应频率0.70.450.630.590.520.560.55

（I请将数据补充完整；

（2）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是

多少?

B运用积累

7.（玉林中考）某小组做・,用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一

结果的试验可能是（）

0.3

0.2

0.1

0100200300次数

A.抽一枚硬币，出现正面朝上

B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上

C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

D.从一个装有2个红球I个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

8.(永州中考)在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其他都没有区别,其中含有3个红球，每

次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中.通过大量重复试验，发现摸到红

球的频率稳定在0.03,那么可以推算出n的值大约是—.

9.(郴州中考)某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示：

抽取盗祷数n1(10300400600100020003()00

合格品数m9628238257094919062850

合格品频率m0.960<0.9400.9550.9500.949((1.9530.950

则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是一(精确到).

10.4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.

⑴从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；

(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；

(3应这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取I件进行检测，然后放回，多次重复这个试

验.通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少？

综合探究

11研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量?操作

方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实睑，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一

个球，放回盒中，再继续.活动结果：摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表，推测计算：由上述的摸球实

验可推算：

(I)盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？

(2)盒中有红球多少个?

无记号有记号

球的般色

红色黄色红色黄色

摸到的次数182822

小结与思考

类型一判断事件类型

1.下列事件中是必然事件的是（）

A.从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球

B.小丹的自行车轮胎被钉子才评

C.小红期末考试数学成绩一定得满分

D.将豆油滴入水中,豆油会浮在水面上

2.同时投掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.下列事件中是不可能事件的

是（）

A.点数之和为12

B.点数之和小于3

C点数之和大于4且小于8

D.点数之和为13

3.（沈阳中考）下列事件中,是必然事件的是（）

A.任意买一张电影票，座位号是2的倍数

B.13个人中至少有两个人生肖相同

C.车辆随机到达一个路口，遇到红灯

D.明天一定会下雨

类型二求事件的概率

4.如图，随机闭合开关冷，K2,K3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（）

7B*C,iD*

第4题第6题

5.已知粉笔盒里只有2支黄色粉笔和3支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同现从中任取一支粉笔，则取出

黄色粉笔的概率是（）

I932

A-5BJC.-D.-

6.如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子.若每边每条

绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为（）

3B*C,1D,1

7.（苏州中考）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游

戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（）

8.（黄冈中考）在-4、-2、1、2四个数中随机取两个数分别作为函数严渡+瓜+1中a、b的值，则该二次函数图

象恰好经过第一、二、四象限的概率为

9.（苏州中考）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字

I、2、3.

（1加明转动转盘一次