第二十五章 锐角的三角比（讲义）-沪教版九年级数学上册（原卷版）

第二十五章锐角的三角比（举一反三讲义）全章题型归纳

【沪教版】

■题型归纳

【培优篇】.......................................................................................4

【题型1设参数法求锐角三角比值】..............................................................4

【题型2网格中求锐角三角比值】................................................................5

【题型3灵活运用已知条件解直角三角形】........................................................6

【题型4解双直角三角形】.......................................................................7

【题型5在四边形中解直接三角形】..............................................................8

【拔尖篇】.......................................................................................9

【题型6构造直角三角形求锐角三角比值】........................................................9

【题型7等角转换法求锐角三角比值】............................................................10

【题型8巧设未知数解直角三角形】.............................................................11

【题型9构造直角三角形进行线段或角的计算】...................................................12

【题型10解直角三角形的应用】..................................................................13

举一反三

知识点1锐角的三角比

1.正弦、余弦、正切、余切的定义

如图所示，在中2C=90。,我们把锐角A的近边与斜边的比叫做NA的正弦，记作sinA即sin4=?

把锐角4的邻边与斜边的比叫做/A的余弦,记作cos4即cos/=

把锐角A的对边与邻边的比叫做，A的正切,记作tan4即tan力=

b

把锐角A的邻边与对边的比叫做/A的余切，记作tanA即cotA=

2.晚角A的正切、余切、正弦、余弦都是锐角A的三角比.

3.由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有0Vsin4V1且0<cos4<1,tanA>0.

知识点2特殊角的三角比的值

1.根据锐角的三角比的定义和直角三角形的性质可得下表:

30°45°60°

1V2V3

sina

2TT

V31

cosa四

TT2

V3

tana1V3

T

V3

cotaV31

T

知识点3锐角的三角比间的关系

在中，ZC=90°,Z4,LB,乙C的对边分别为a,b,c.由勾股定理可得M+匕2=c?.

(1)同角三角比间的关系：siMA+cos2A=©)2+©)2=亨=1.

(2)tan7^sin4cosA间的关系：列"=m=f=tanA

cosA-b

知识点4解直角三角形的概念

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的己知元素,

求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

知识点5解直角三角形的依据

在RtZk/lBC中，ZC=90°,Z/1,乙氏乙。的对边分别为小b,c.

(1)三边之间的关系：。2+与=/(勾股定理)；

(2)两锐角之间的关系：+乙8=90。(两角互余)；

(3)边角之间的关系：sin/l=cosA=tanA=7.

£cb

知识点6解直角三角形的基本类型及解法

解直角三角形有四种基本类型：①己知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④已知

一直角边和一锐角.其解法步骤列表如下：

已知类型已知条件解法步骤图示

(l)b=y/c2-a2；

斜边C、一直

(2)由sin/=求乙4；

C

角边（如a）

(3)乙B=90°-Z/1

两边

(1)c=Va2+炉；

两直角边RtzMBC中，zC=90°,

(2)由tanA=£求乙4；

b

（a,b）4力，LB,4c的对边分别为

(3)AB=90°-Z-A

a,b,c,如图所示：

(1)乙B=90°-Z-A：

斜边C、一锐

(2)由sin/=2，得a=c・sin/l；

c

角（如N。）

AhC

(3)由cos4=g得b=c・cos/l

一边

一角(1)Z-B=90。一44；

一直角边、

(2)由得人=，一；

一锐角（如btan4

4、乙4）(3)由sin力=2,得c=，一

csin4

知识点7解直角三角形在实际问题中的应用

1.利用解直角二角形解决实际问题的步骤：

（1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；

（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角比等解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4；得到实际问题的答案.

2.常见类型

（1）仰角、俯角

当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰鱼：当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的

角叫做俯角.

如图（1）所示，0C为水平线，。。为铅垂线，CM,0B为视线，我们把乙40C称为仰角，Z80C称为俯角.

图（1）图(2)

（2）方位角

正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90。的角叫做方位角.

如图（2）所示，QA所表示的方位角是北偏东关。，OB所表示的方位角是南偏东生。，。。所表示的方位角

是南偏西ZQ。，。。所表示的方位角是北偏西四。.

（3）坡度、坡角

坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作人即i=%坡度通常写成九：1的形式.

坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作a,于是有i=tana.

【培优篇】

【题型1设参数法求锐角三角比值】

［f^ij1）（2425九年级上•甘肃天水•期末）如图，在菱形/BCD中，DE_L/18交/IB于点E,连接BO,若BE二例氏

【变式11］（2025•河南平顶山•三模）如图，在矩形4BCD中，AB=3,A。=5,点E在DC上,将矩形4BCD沿

4E折叠，点D恰好落在BC边上的点尸处，那么tan/E"=

【变式12］如图，在等边△48C中，CDLAB,垂足为。，以40,0D为邻边作矩形4DCE,连接BE交CD边

于点F，则COSNCOZ7的值为（）

A.三5B.c.D.;怎

147147

【变式13］（2025•四川南充•一模）如图,把矩形48CD沿对角线"翻折,点8落在点8,处，AB咬CD于点E,

若言=?则siMD/lE的值为（）

【题型2网格中求锐角三角比值】

【例2】如图，网格中的点4、B、C、。都在小正方形顶点上，连接/8、CD交于点P,则乙80。的正切值是

()

【变式21］如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长为1,点A,B,C均在格点上，。是A8与网格线

的交点，则s出竿的值是.

B

【变式22】（2025•浙江宁波•模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点

称为格点，已知菱形的一个角乙108=60。，点48,C都在格点上，则COSNABC的值是.

【变式23】（2025•江苏无锡•二模）如图，在4x3的网格图中，点4、B、C、。都在小正方形的顶点上，AB.

CO相交于点£，贝ijsin乙的值是.

【题型3灵活运用已知条件解直角三角形】

【例3】（2425九年级上•吉林长春・期末）如I图，在中，4c=45。，Z/1=60°,AD=1.按以下步骤

作图：①分别以点B和点C为圆心、大丁38c的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN交力C

于点D,则CO的长为（）

【变式31］（2425九年级下•陕西西安•期中）如图，在AABC中，AB=5,tan乙4二：,tanzF=1,

则BC的长为（）

c

B

A.2V5B.3C.2D.V10

【变式32］（2025•黑龙江大庆•中考真题）如图，RS43C中,LABC=90°,Z.BAC=60°,AB=2.在和

AC上分别截取AM,AN,使AM=AN.分别以M,N为圆心、以大于gMN的长为半径作弧，两弧在/8/1C内

交于点”.作射线4〃交8C于点/九则点。到AC的距离为.

【变式33］（2025•陕西咸阳・模拟预测）如图，在△ABC中，乙8=45。,8c=3,tanC=a则中线的长为

（）

【题型4解双直角三角形】

【例4】（2425九年级上•山东青院•期中）如图，将三角尺43C和三角尺。“叠放在一-起，直角边AC与DE完

全重合，已知4B长为16cm,若三角尺。沿CB方向移动，此时测得。8长是6cm,则移动距离CD是（）

A.2cmB.5V3cmC.（55/3—3）cmD.（8V3—5）cm

【变式41】（2425九年级上•陕西西安•期末）如图，在RtAABC中，^ACB=90°,AB的垂直平分线交工C与

点E,若tan"E4=*BC=6,贝ij"的长为.

【变式42］（2025•山东青岛•中考真题）如图，在三角形纸片A8C中，=57。，LC=38°,将纸片沿着过

点A的直线折叠，使点8落在/C边上的点E处，折痕4。交BC于点O；再将纸片沿着过点E的直线折叠，使点

C落在8c边上的点G处，折痕EF交BC于点F.下列结论成立的是（）

A.DG=EGB.GE1AE

C.Z.DAE=42°D.DE=2GF

【变式43］（2025♦安徽宣城•一模》如图，在中，AB=AC=12,BC=10,点。为BC中点，点P以每

秒1个单位的速度从8出发沿8TA—C运动.当△PCD为等腰三角形时，t的值为（）

A.京或18B.§或18或19

C.个或18或19或詈D.g或18或19或20

【题型5在四边形中解直接三角形】

【例5】（2025•湖南娄底•三模）如图，在矩形4BCD中，4。=2AB=8,&F分别为4。,8。边上的点，且BF=3,

将矩形ABCD沿直线EF折检，得到四边形EFNM,点4B的对应点分别为点M,N（点M落在力。上方），连接

CN,当C,N,M三点共线时，4E的长为（）

【变式511（2025•山东聊城•三模）如图，在四边形48CD中,4E=BE,DF=FB,DF1CE,AF\\DC,tan^ABD=

EF=2,则BC的长为（）

4

A.3\/2B.4鱼C.2V5D.4%

【变式52】（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）如图，四边形48CD为边长为4的正方形，点E为4。的中点，

连接8E并延长至点凡连接4F，连接尸。并延长交8c延长线于点G,若tan匕凡=：时，则CG的长为

O

【变式53】（2025•河南商丘•二模）已知：如图，在△48C中，N8/C=90。,0为线段AC上一点，［4B=4D,E

为线段BC的中点，连接BD、ED,延长84到点F,使得A/=B4连接D尸，过点B作。F的平行线交DA的延

⑴四边形8D/G是正方形吗？请说明理由；

（2）若tan2B&4=1,CD=2,求线段DE的长度.

【拔尖篇】

【题型6构造直角三角形求锐角三角比值】

【例6】（2025•黑龙江绥化•模拟预测）在平行四边形H8C0中，尸是AD的中点，点上在射线BC上，且"=

连接EF.若A8=4,4。=6/B=60。，则tandEC的值为.

【变式61］（2425九年级上•山东淄博•期末）如图，在△A3C中，^ACB=90°,AC=BC=6,CD是

AB边上的中线，则cos乙4DC的值是（）

A-?B.亨C.1D.警

【变式62］（2425九年级上•四川资阳期末）如图,在平面直角坐标系中，四边形。力8C的边。。在X轴上，0A

在y轴上且48||0C,线段0/1,的长分别是方程/一9%+20=0的两个根（。/1<AB）,P.0分别为04、

。。上两点，0Q=5,将aPOQ翻折，使点。落在边力B上的点。处，则tan乙PQO=.

【变式63】（2025,江苏南通,模拟预测）如图，正方形/BCD中，将边BC绕点8逆时针旋转至连接CE,

DE,若乙CED=90。，则sin/ECD的值是（）

D.在

【题型7等角转换法求锐角三角比值】

【例7】（2025•四川乐山•一模）如图，点E是矩形4BCD中CD边上的一点，△BCE沿BE折叠为△8FE,点尸落

在皿上.若皿E的大小为a,且满足黑黑--看贝加“EC的值为—.

【变式71】（2025•山西吕梁•三模）如图，在四边形ABCD中，AB=BC,AC1C。，8。平分ZAOC,AC与8。相

交千点E,若CD=3,71C=4,则线段BE的长为

【变式72］如图，在RtAABC中，4。43=90。,48=；4。，点。为斜边8c上一点，且8D=3CD,将△力8。沿

直线40翻折，点B的对应点为夕，则sin乙C8'D=.

【变式73】（2025・湖南岳阳•一模）如图，已知点C是直线矽卜一定点，4B是直线I上的动线段，AB=5,连

接力C、BC,S-8c=15.求当4C+8C取最小值时sin/CBA的值.小聪在解题过程中发现：“借助物理学科

的相对运动思维，若将48看作静线段，则点C在平行于直线，的直线上运动”.请你参考小聪的思路求当4C+

8C取最小值时siniCB/1=.

C

【题型8巧设未知数解直角三角形】

【例8】（2025•广东深圳•模拟预测）在等腰△48（7中，AB=AC,。是5C1上一点，过点。作OE_L40交AC延

长线于点E,若tanz_B4C=§,啜则2的值为______.

7A35CE

A

【变式XI】（2025•四川广元•中考真题）四边形力比〃中，AC•与BD交于点O,。是4C的中点，50=2〃。,

已知48=4,AD=2,tan乙4CD=当，则/C的长为.

r

【变式82］（2425八年级下•北京•期末）如图1,在△力中，^BCA=90%AB=5,将其分割成团、团、0

三部分，然后再拼成如图2的菱形PQMN（不重叠、无缝隙），若NH—PG=L则QH的长为.

【变式83】（2425九年级下•贵州员阳•期中）如图，在菱形ABCD中，过顶点。作DEl/B,DF1BC,垂

足分别为E，F,连结EE若cos4=g,△BE尸的面积为4,则菱形48co的面积为.

【题型9构造直角三角形进行线段或角的计算】

【例9】（2425九年级上•重庆・期中）如图，点。是△48c外一点,DB=DCMB与CD相交于点E/BDC=Z-BAC,

连接D4若AC=4,DA=V13,tanzD54=p则D8=.

【变式91］如图，在△48。中，AB=AC=4,cosB=；,80是中线，将△4BC沿直线8。翻折后，点4落在

4

点、E,那么CE的长为.

A

【变式92］如图，在RMABC中，LABC=90°,AB=3,AC=5,〃"和乙4cB的平分线相交于点D,过点

D作DE〃/IC交BC于点E,那么DE的长为.

【变式93】如图.在（3ABC中，0ACB=6O°,AC=1,D是边AB的中点，E是边BC上一点.若DE平分（3ABC的

周长，则DE的长是—.

【例10】（2025・重庆•中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情

况.如图，A,B,C,。在同一平面内.A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千

米的月处，乙无人机位于A的南偏西30。方向20千米的。处.两无人机同时飞往C1处巡视，口位于C的正

西方向上，4位于。的北偏西30。方向上.（参考数据：V2«1.41,75*1.73,V5«2.24,V7«2.65）

⑵甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC往C处进行巡视,乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当

两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可

以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？

【变式101]（2025•河南•模拟预测）举高灭火机器人是一种可代替消防救援人员进入危险区域进行灭火作业

的特种机器人.如图1是一款举高灭火机器人的实物图，图2是其工作示意图，机器人底座可看作矩形4BCD,

AB=lm,伸缩臂£?=f6=301,点。和点£在同一铅垂线上（即6£1/1。），ZF=110°,伸缩臂G”的最

大长度为9m,图中的点均在同一竖直平面内，GH||EF.当伸缩臂G”达到最大长度时，求举高灭火机器人

的最高点”到地面的距离.（参考数据：sin35°«0.57,cos35°«0.82,tan35°«0.70）

图2

【变式102]（2025・上海长宁•一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小