第四章《图形的相似》练习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第四章图形的相似同步练习

一、单选题

1.已知2〃=%仅=0）,下列比例式中，正确的是（）

ab八ab…a3.a2

A.­=—B.—=—C.—=—D.—=—

32232bb3

2.如图，把VAO8放人后得到△COD,则VAO6与△CO。的相似比是（）

C.1:3D.1:4

3.如图，AB±HD,CD1BD,八8=3,CD=2tBD=7.点P在ED上移动,当以P,C,。为顶点的三角形

与A48尸相似时，则依的长为（）.

A.6或1或3.5B.1或3.5或4.2C.4.2或1或6D.6或4.2或3.5

段=2,则相等于（）

EF

C.12D.18

5.如图，在等边V/1BC中，。为8c边上一点，石为AC边上一点，且NAD£=60。，BD=4,CE=2则等边V"C

的边长为（）

A

A.6B.7C.8D.9

6.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比''问题：点G将一线段MN分为两

线段MG,GN,使得其中较长的一段是全长与较短的一段GN的比例中项，即MG?=MNxGN,把

点G称为线段的“黄金分害/点，如图，在VA8C中，已知A8=AC=3,BC=4,若。,E是边8c的两个“黄

金分割'.点，则VAOE的面积为（）

5-2^5

raD.20-8>/5

2

7.如图，四边形A3CO是正方形,E为边BC上一动点,F为边CD上一点,满足小F=45。，AE,A尸分别

交BD于P,Q,要想求尸。的长度，只要知道（）

A.BP+。。的值B.的长度C.8POQ的值D.二EFC的周长

8.在下面几组图形中，是相似图形的是（）

试卷第2页，共6页

9.如图是一块三角形钢材ABC,其中边8c=12cm,高AO=%m,把它加工成正方形零件，使正方形的一边

在8C上，其余两个顶点分别在48,AC上，则这个正方形零件的边长是（）

A.4B.4.8C.5.2D.6

10.如图，在等边VA8C中，D,E分别是边A8,8c上的动点，且BD=2CE.以OE为边作等边.£）所，使

点A与点尸在直线OE的同侧，。歹交AC于点G,EF交AC于点H.给出下面四个结论，其中不一定正确的

是（）

C.GCFS&EFCD.若CE:BE=12,则四边形以逆户是菱形

二、填空题

11.如图，V/WC和刀即是位似三角形，AC=2DF,贝”布：5/冰=.

D

12.如图，。，E分别是VA8C边/W,AC的中点，点尸是AE的中点，连接。石，BF交于点、G,若EG=5,

则£>G=.

A

F

Dh^

BC

13.如图，在平面直角坐标系中，正方形O43C与正方形OO"是位似图形，点。为位似中心，位似比为2:3,

点B,£在第一象限，若点A的坐标为（L0）,则点E的坐标是

E

CB

ODX

14.如图，在VABC中，AB=AC=5,BC=8,。是8C边上一点，且&）=A3,E是A5延长线上一点，连接

ED交AC于F,若NADE=/B,则所的面积为

15.如图，在RtZXABC中，乙4。8=90。,44=30。,8c=4,点。在边AC上运动，连接为AB的中点，点

E在线段8Z）上，连接。£律，且CD：=DE?BD,则所的最小值为.

三、解答题

16.已知在梯形ABC。中，ADwBCtZAEB+ZC=180°：

试卷第4页，共6页

(1)求证：AA£>£SA£)3C；

(2)连接七C,若CD^ADBC,求证：ZDCE=ZADB.

17.如图，在平面直角坐标系中，V/WC的三个顶点的坐标分别为A(4J),B(2,3),C(l,2),

(1)画出与VA4C关于)，轴对称的△A；

(2)以原点0为位似中心，在第三象限画一个△4与G，使它与VABC的相似比为2:1；

(3)求△48夕2的面积为.

18.在四边形A3CO中，点£、「分别是边A8、A力上的点，连接C区C”并延长，分别交胡、DA的延长线于

点G、H.

(1)如图1,若四边形A3CO是菱形，NECF.NBCD,求证：AC2=AGAHI

(2)如图2,若四边形A8CD是正方形，NEC尸=45。，BC=2,设AE=x,AG=yt求》与人的函数关系式：

(3)如图3,若四边形A3CD是矩形，AB:AD=\:2,NEC尸=45。,CG=CH,AH=1,求AG的长.

19,某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏.并调整到

合适的高度.如图，主光釉/垂直于凸透镜且经过凸透镜光心将长度为6厘米的发光物AB进行移动，

使物距OB为24厘米，光线AO,BO通过凸透镜后传播方向不变,移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像40,

此时测得像距OB'为9.6厘米.

(1)求像49的长度.

(2)已知光线AP平行于主光轴/,经过凸透镜MN折射后通过主光轴上的点尸，求。尸的长.

20.如图，在VA8C中，AB=AC,过点A作AOI8C于点。，8c=8,AO=2.点尸为边8c上一动点，连

结4尸，以4。为边作直角三角形4PQ,使4/2=90。，且AP=2PQ,点Q与点3在直线A尸的两侧.

(1)求证：△APQS/\CD4；

(2)当时，的长为；

(3)当点Q落在边4c上时，求//的长；

(4)连结C。，当AQ所在直线将的面枳分成1：3两部分时，直接写出8P的长.

试卷第6页，共6页

参考答案

题号12345678910

答案ACCACABCBC

I.A

【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解.

由已知等式2a=外直接利用比例的基本性质推导.

【详解】解：・・・加=劝,

.ab

32

，选项A正确，

故选:A.

2.C

【分析】木题考查了求两个位似图形的相似比，根据题意把VAO2放大后得到△COD,则

VA08与△COQ位似，从而得到VAO8与△（%%＞的相似比等于对应点到位似中心线段的比,

即08:07）=2:6=1:3,从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比

例关系是解题的关键.

【详解】解：〈VAOB放大后得到△C8,

••・VA08与△COO位似，

・•・NAOB与MOD的相似比为03：OD-2:6-1:3,

故选：C.

3.C

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据对应点进行分类讨论是解题关键.

设=则川=7-4，以P,C,D为顶点的三角形与A48P相似，有两种可能性，分

别为AABPsACOP和AABPsAPQC,可得甯=需或非=2，分别代入求出工即可•

【详解】解：设尸B=x,则勿=7—才,

当AABPSACOP时,

ABBP

则nil而R

代入得,I=占

解得，x=4.2；

答案第1页，共20页

当AABPSAPQC时,

ABBP

则nl一=—,

PDDC

代入得，3="

(-x2

解得，x=l或工=6,

故选：C.

4.A

Afinr

【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，由题意得正二百，即可求解;

【详解】解：由题意得：普=坐=2,

BCEF

•・•BC=3,

/.AB=6,

故选：A

5.C

【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性

质与判定是解题的关键.

根据等边三角形的性质可得N3=NC=60。，进而求得NEDC=N&\。，根据

/。)石+/力吹'=120。和/。。石+44。8=120。，求得NBDA=/CED,进而证得

△ABDSADCE,根据相似三角形的性质得宅=当，设48=8C=x,列方程，求解即

BDAR

可.

【详解】解：在等边V4BC中，Zfi=ZC=60°

•・•ZADC=ZB+ZBAD

ZADE+ZEDC=ZB+ABAD

•・•ZADE=ZB=60°,

/.NEDC=/BAD

NCDE+NDEC=180°—60。=120°

ZCDE+AADB=180°-60。=120°

:.ABDA=Z.CED

:./\ABD^/\DCE

答案第2页，共20页

CECD

设AB=BC=x,BD=4,CE=2

2x-4

—=------

4x

解得x=8

A5c的边长为8,

故选：C.

6.A

【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，解一元二次方程，黄金分割，过点4

作A/工8c于立由三线合一定理和勾股定理可求出4•的长，由“黄金分割'’点定义可得

能二匕，即「一二一，解方程可求出的长，同理可求出CE的长，据此求出OE的

CDBC4-x4

长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点4作囚尸于人

设加-X,贝I]CD=4—X,

VAB=AC=3,BC=4,

・•・BF=CF=-BC=2

2t

AF7AB2-BF?=石;

丁点D是边BC的“黄金分割”点，

.BDCD

"~CD=~BC，

.x4-x

..----=----，

4-x4

解得x=6-2石（经检验，符合题意）或x=6+2石（舍去）,

同理可得CE=6-26,

JDE=BC-BD-CE=4君一8,

答案第3页，共20页

SAD£=-AFZ）F=-X75X（4^-8）=10-4X/5,

22

故选：A.

7.B

【分析】本题考查相似三角形的判定和正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解

题的关键.

通过利用正方形的性质得到角度和边长关系，再结合角的运算证明多组三角形相似，最终推

导出线段的比例关系.

【详解】解：如图，连接AC,

力k____________

•・•四边形A8CO正方形，

/.ZACE=ZADQ=Z.CAD=45°.

：.AC=42AD^

・・•NE4产=45。，

/.ZEAF=ZCAD.

s.AEAF-ZCAF=ZC4D-ZC4F.

ZEAC=ZQAD.

又.ZACE=ZADQf

:./^EAC^>^QAD.

工生=也=也=6

QDAQAD

同理可得：ZBAP=ZCAF,ZABP=ZACF=45°,

.-.ZVIBP^AACF.

，空“s

APAB

，空=牝=&

AQAP

又•.NEAF=NQAP,

..AAPQ^AAFE.

答案第4页，共20页

PQAP1

FEAFa

/.PQ=^EF.

故选：B.

8.C

【分析】本题主要考查相似图形的定义以及判断，根据定义(相似图形的形状相同，大小可

以不同)进行解答.

【详解】解：A.选项：两个图形形状不同，不符合题意；

B.选项：两个图形形状不同，不符合题意；

C选项：两个图形形状相同，大小不同，符合题意；

D.选项：两个图形形状不同，不符合题意；

故选C.

9.B

【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质设

EF=EG=a,E尸平行于8C,进而得到AK=AD—KD=(8—a)cm,证明4AMj/BC得

到比例，代入求解.

【详解】四边形EH7G是正方形，

:设EF=EG=a,EF平行于8C,

在0ABe中,边8A=12cm,高4)=8cm,

ADIBC,

:.ADVEF,

根据平行线间的距离处处相等得：KD=EG=a,

AK=AD-KD=(S-a)cm,

Q平行于BC,

.^AEF^ABC,

.EFAK

~BC~~AD"

a_8-a

••~，

128

解得〃=4.8,

h?=«=4.8cm,

答案第5页，共20页

即这个正方形零件的边长是4.8cm.

故选：B.

10.C

【分析】本题主要考查了用似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，综合运用相

关知识是解题的关键.

A.利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可；B.证明初应s/XM,可得结

论；C.已知缺乏条件证明&GCrs△比c；D.证明四边形四条边相等即可.

【详解】解：:ABC,‘。瓦'都是等边三角形，

，ZACB=ZDEF=60°,

•IABEF=ZBED+/DEF，/BEF=ZACB+ZCHE,

・••NBED=NCHE,

*.•ZAHF=NCHE,

:・/BED=ZAHF,

故A正确，该选项不符合题意；

V.ABC,二。所都是等边三角形，

・••/B=ABAC=4EDF=60°,

；・NBDE+/BED=120°,

ZBDEA-ZADG=\2O0,

JZBED=ZADG,

:.EDBs：[yjA,

即AZ>OE=8E・ZX7,

DGAD

■:DE=DF,

，AI>DF=BE・DG；

故B正确，该选项不符合题意；

由已知缺乏条件证明，GC/SaEpc,

故C不一定正确，该选项符合题意：

•:CE:BE=1;2,

/.BE=2CE,

,?BD=2CE,

答案第6页，共20页

・・BD=BE,

VNB=60。，

••・加坦是等边三角形，

又二DEF是等边三角形,

，BE=BD=DE=EF=DF,

，四边形08律是菱形.

故D正确，该选项不符合题意.

故选：C.

11.4:1

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的面积之比等于位似比的平方，据此可

得答案.

【详解】解：•・•VA3。和二。田厂是位似三角形，AC=2DF

2222

,S/■.I.M..-.:S«-*£>«=AC:DF\=（2/DF）:DF=4:I,

故答案为:4:1.

12.2.5

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意可得。石〃4C,证明FGEs，FBC

得出8c的长，进而根据口位线的性质得出m=7.5,即可求解.

【详解】解：:。，石分别是VABC边A4,AC的中点，

ADE//13C,DE=LBC,AFGES^FBC,/\ADE^/\ABC

2

.GEEFAEDE\

••前―7E'~AC~~BC~2

二点户是AE的中点,

I

Ac

\EF=-AE4-

2

,GEEFI

'~BC~~FC~3

：EG=5,

•・BC=\5

\DE=、BC=75,

2

••DG=DE-GE=2.5，

故答案为：2.5.

答案第7页，共20页

【分析】本题考杳的是位似变换的概念、相似三角形的性质、正方形的性质，掌握位似变换

的两个图形相似是解题的关键.

根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可.

【详解】解：•・•点A的坐标为(1,0),四边形O4BC为正方形,

OA=OC=1,

•・•正方形OA8C与正方形ODEE是位似图形，点。为位似中心，位似比为2:3,

OA0。2i12

---=---=-,即pm---=---=-,

ODOF3ODOF3

解得：OD=j3,OF=j3,

则点E的坐标为

3、

故答案为：.

I，乙)

16

14.

AD_DE_AE

【分析】先证明,列出比例式,再利用勾股定理求得、

4ADES[\DBE~BD~~BE~~DE4G

4力，将已知数据代入比例式求得AE、DE,然后证明，得出4/=4八4?,

求得4斤，再利用勾股定理求得即可利用三角形面积公式求解.

【详解】解：・・・/4£花=/3,ZE=NE,

・••AADESADBE,

.ADDEAE

.ADDEAE

J\B+AE~~DE'

VAB=AC=5,BD=AB,

.ADDE_AE

5+AE~~DEf

过点A作人G_L4C于点G,

答案第8页，共20页

E

：.GD=BD-BG=5-4=I，

••AG=>/AB2—BG2=>/52-42=3，

•*-AD=y]AG2+DG2=V32+12=V10»

.Vio_DE_AE

••亏-5+AE~~DE'

.V10_AEDEAE

''~T=~DE，~5TAE~~DE

由孚嚏,得诙用E,

..M八、、DEAE

将，二a社代入？7瓦~DE

—DE

得DE5____

5+叵DEDE

5

解得：。£=处，

3

.y/io5V1010

••AE=----x--------=—

533

AB=AC,

，NB=NC,

，ZC=ZADE,

又乙DAF=/DAC,

：..AFD^^ADC,

.ADAFDF

DC

・••AD2=AFAC,

・•・（屈了=5AF,

，4尸=2,

答案第9页，共20页

2DF

‘布=灰，

又DC=BC-BD=8-5=3,

2DF

>—=---,

VIO3

解得：DF二巫,

5

.nr八夕5M3亚16r-

3515

过点A作A〃_LOE于点H,

则从/2—/772=从£；2—七”2,

J22-FH2=^y

-(EF-FH)2,

/.22-FH2=得）-借此M'

:.△AEF的面积为1石/人"=13>/13刈^=3,

221555

故答案为:y.

【点睛】本题考查了等边对等角，三线合1等腰三角形的性质和判定，用勾股定理解三角

形，相似三角形的判定与性质综合，二次根式的运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点

并能熟练运用求解.

15.2右-2

【分析】先通过线段比例和公共角证明三角形相似，得出垂直关系，从而确定点E的轨迹为

以8c为直径的圆；再利用中位线定理求出。尸的长度；最后根据三角形三边关系求出£户的

最小值.

【详解】解：如图，取8c的中点。连接OE、OF,

答案第10页，共20页

A

在RjABC中，NAC3=90,NA=30，BC=4,

・•・AB=2BC=8,

•••AC=ylAB2-BC2=4^，

*/CD2=DE-BD,

.CDDE

••—9

BDCD

又：NCDE=NBDC,

・•・KDESABDC,

/.NCED=NBCD=%，即CE_L8O,

OE=-BC=2.

2

•••尸是人A中点，。是BC中点，

/.O尸是，48C的中位线，

・•・OF=-AC=2y/3.

2

根据三角形三边关系W20/-OE,

・•・律的最小值为26-2.

故答案为：26-2.

【点睛】本题主耍考查了用似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理

以及三角形三边关系，熟练掌握相似三角形的判定和三角形三边关系是解题的关键.

16.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判

定与性质.

(1)由A。8c可得ZAD£=/D8C,再由平角可得NA1归+N/止。=1X0°,由此可得

答案第II页，共20页

ZAED=/C,再根据相似三角形的判定定理证明即可；

「/)DR

(2)先由边成比例得=即可得J=——，可证明即可证

DECD

明.

【详解】(I)证明：・.・4。BC,

，ZADE=/DBC,

,/ZAE^+ZC=18(尸，Z4EB+ZAED=180°,

,ZAED=NC,

在入ADE与ADBC中,

ZDE=NDBC

'ZAED=ZC

：,£\ADEs4DBC；

(2)证明:如图，

由(1)知，MDEsADBC,

・二空=空，^DEDB=ADBC,

DBBC

'：CDr=ADBC>

Clf=DEDB,

即怨=票且NCDE=/BDC,

DliCD

:・&CDES-BDC,

••・NDCE=NDBC,

ZADE=NDBC,

：.ADCE=ZADB.

17.⑴见解析

(2)见解析

(3)8

答案第12页，共20页

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一轴对称、位似变换，根据题意正确作图是解题的

关键.

（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A、4、C,的坐标,然后描点连线即可得到△A4G；

（2）把4、B、C的横纵坐标都乘以-2依次得到&、%、G的坐标，然后描点连线即可得

到△4区G；

（3）利用割补法即可求出△4&G的面积.

【详解】（1）解：如图所示，4G即为所求：

(3)解：MBC的面积=6x4-；x4x4-；x2x2-gx2x6=8,

故答案为：8.

18.（1）见解析

c8-4.r

(2)y=-----

x

(3)372+5

【分析】本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判

定和性质等知识点，正确添辅助线构造相似三角形是解题的关键.

答案第13页，共20页

ApAG

⑴通过证明，ACG„C可得而=而,进而证明结论,

AC*AG

⑵通过证明"CGs^c可得而二束’可得‘'A"/'通过证明-""S'EBC

AFAH,7v

可得病=记,即,=匚？即可求，与x的函数关系式;

（3）取8C中点M,过点M作MN〃BG交AD于点、P,交CG于点N,连接CP,可证四边

形SAW是正方形，由（2）可知.CPNS//PC,由相似三角形的性质可得P“=2CP=25/L/，

PN=-CP=—a,可求AG的长.

22

【详解】（1）证明：•・•四边形A3CD是菱形,

：.ZACD=^ACB=-ZBCD,AD〃BC,CD〃AB,

2

/.4G=4DCG,4=/BCH,

•••ZECF=-ZBCD,

2

/.ZACD=ZACB=NECF,

/.NDCG=ZACH,/BCE=ZACG,

AZG=ZACH,ZW=ZACG,

・••ACGs4AHC,

.ACAG

AHAC

，AC2=AHAG.

(2)解：如图：连接AC,

•・•四边形A8CO是正方形，

・•・ZACD=NACB=-NBCD=45°,AD〃BC、CD〃AB,

2

/.ZG=ZDCG,ZH=zLBCH,

NECF=45。,NBCD,

2

，ZACD=ZACB=ZECf,

答案第14页，共20页

/DCG=ZACH,4BCE=ZACG,

NG=ZAC〃，Z/7=ZACG,

ACGs.AHC,

ACAG

AH-AC'

AC2=AHAG.

BC=AB=2,/6=90°,

AC=2夜，

2a二y8

即Hlly=——

~AH~242AH

BC//AD,

EAHs^EBC,

AEAHAAH...2A

——=——,即n--n-----=——,gniJlAH=--------,

BEBC2-x22-x

888-4.r

y=---------=---------=----

AH2xx.

(3)解：如图：取BC中点M,过点M作MN〃8G交AD于点P,交CG于点N,连接CP,

:MN〃BG,

.CMCNMN

'~CB~~CG~~BG'

・，M是BC中点，

.CMCNMN1

*~CB~~CG~~BG~2,

\BC=2CM,CG=2CN,BG=2MN,

:CG=CH,

•・CG=CH=2CN,

:CD〃BA、MN〃BG,

3〃MN〃BG,

答案第15页，共20页

.MCDP,

•.---=-----=I,

MBPA

ADP=PA,

VAB:AD=1:2,

・••设AA=a=CO,AD=2a=BC,

:・CM=a=CD,

又YBC〃AD,ID907,

J四边形CDPM是正方形，

:.CP=Wi，

丁四边形是正方形，且NGC”=45。，

・••由（2）可得式:PNS&HPC,

.PHCPCH）

CPPNCN

:•PH=2CP=2叵a，PN=-CP=-a,

22

:・MN=a+旦a，AH=PH-PA=2&a-a，

2

VAH=1,

••7=—a，解得：ci=2^2+1，

・・・加姑=2及+1+4（2血+1）=5，+6,A8=2拉+1

BG=2MN=5丘+6,

AG=4G-/W=5夜+6-（2忘+l）=3夜+5.

19.（1）2.4厘米

（2）j48厘米

【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

（1）证明△AQBszvr。*,根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即

可；

（2）证明△/9sA/V-根据相似三角形的性质列出比例式，把己知数据代入计算得到

答案.

【详解】（1）解：由题意得：AB//A

/.AAOBSAKOB',

答案第161/1,共20页

.ABOB日.624

SB'OB'A99.6

解得：=2.4,

答：像A9的长度为2.4厘米；

(2)由题意得：OP//SB'.八BOQ为矩形，

:、NFO^MFB、OP=AB=6厘米，

.OPOF6OF

■•---=---,即niI---=-------,

A'B'BT2.49.6-OF

解得：。尸=^，

答：。尸的长为48;厘米.

20.⑴见解析

(2)3

呜

4

(4)§或4>/(1-8

【分析】(I)利用对应边成比例且夹角相等即可证明；

(2)证明AQPsCDA,得空=2,求得P。，即可求得8尸；

PDAD

(3)由△APQS/^COA,得NPAQ=NC,进而有Q4=PC,PD=A-PC,在RL.APD中

利川勾股定理建立方程求得PC的长，即可求解；

（4）分两种情况：S△PQE:S.QE=1:3