第五、六章 概率和统计案例（原卷版）

第五、六章概率与统计案例

＞条件概率＞正态分布

＞全概率＞回归直线方程

＞随机变量分布列＞独立性检验问题

＞二项分布

一.条件概率（共6小题）

1.已知事件A,B,若AqB,且P（A）=0.4,P（B）=0.7,则下列结论正确的是（）

A.尸（A8）=0.28B.?（A|8）=0.4

C.P（B|A）=0.5D.P（B|A）=y

2.投掷3枚质地均匀的骰子，设事件4="这3枚骰子朝上的点数之和为奇数〃，事件8="恰有1枚骰子朝

上的点数为奇数〃，则尸（同4）=（）

A.；B.-C.-D.-

2448

3.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，

丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件有4名航天员在天和核心舱"，事件8="甲乙二人在天和

核心舱”，则尸（叫力=（）

3211

A.-B.-C.-D.—

55330

4.1多选）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机取两次，事件A表示

“第一次取出的球的数字是偶数〃，事件8表示“第二次取出的球的数字是奇数〃，事件。表示“两次取出的球

的数字之和是偶数''，则（）

A.A与8为互斥事件B.3与C相互独立

39

C.尸（4+B）=-D.P（C\B）=-

55

5.1多选）一个箱子中装有大小、形状均相同的8个小球，其中白球5个、黑球3个，现在两次不放回的从

箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用A,8表示

事件“第一次取出白球"，"第一次取出黑球〃；分别用C,。表示事件“第二次取出的两球都为黑球"，"第二

次取出的两球为一个白球一个黑球〃.则下列结论正确的是（）

13

A.P（C|Z?）=—B.P（D\A）=-

217

C.P（B）=|D.P（4C）=L

o36

6.（多选）盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个

正品1个次品.依次不放回取出两个球，记事件4="第，次取球，取到白球〃，事件用="第，次取球，取到

正品”，］.=1,2.则下列结论正确的是（）

17

A.P（BJ=5B.P（A|^）=-

31

c.P（即A）=：D.P（M）=3

二.全概率（共4小题）

7.若P（⑶A）=；,P（B|A）=|,P（A）=1,则p（8）=.

8.在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛.现有甲、乙、丙三名学

生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是〃，y,答对第二题的概率分别是（，y.已知甲

和丙都答对第一题的概率为g，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的.

⑴求甲进入决赛的概率；

（2）求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率.

9.现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内

装有两个红球，两个绿球；绿色盒了,内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒了•内随机抽取一个

球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块

月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事

件发生的概率

⑴求第二次抽到红的概率

(2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率

⑶小明获得4块月饼的概率

10.现有甲，乙两个箱子，两个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球若干.其中甲箱中有4个红球，3

个黑球，2个绿球；乙箱中有2个红球，2个黑球，5个绿球.

⑴若从甲箱中任取出两个球，求这两个球颜色不同的概率.

⑵若从乙箱中任取3个球，记取出的黑球的个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.

⑶若先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，求从乙箱取出的球是绿球的概

率.

三.随机变量分布列(共6小题)

11.为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、烹武术类三个体育

社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参

加的社团各不相同的概率为，记三位同学所参加的社团种类的个数为X,则E(x)=

12.随机变量J的分布列如下:

若E(4)=l,则。©=.

3

13.设随机变量X~8(16,：),则。(X)=______.

4

14.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成

绩，将数据分成五组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制成如图所示的频率分布直

方图:

⑴若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？

(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名

学生进行问卷调查，设X为其中达到9()分及以上的学生的人数，求X的概率分布及数学期望.

15.某公司有意在小明、小红、小强、小真这4人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试且采用积分

制，其中小明和小红通过初试的概率均为］3，小强和小真通过初试的概率均为2：，小明和小红通过复试的

43

概率均为g,小强和小真通过复试的概率均为通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，本次面试

满分为10分，且初试未通过者不能参加复试.

⑴若从这4人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率；

⑵若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为X,求X的分布列以及数学

期望E（X）.

16.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将

得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整埋得到如下数据

（单位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23：

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立

⑴估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

⑵设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望七（X）.

四.二项分布（共6小题）

17.已知随机变量则力（若+l）=（）

A.21B.20C.11D.10

18.如果随机变量彳~8（〃,〃），且仪34）=12,。偌）=：,则〃=（）

A1gAQ—D—

A.463J2U-3

19.已知随机变量J服从正态分布N（3,2）,?7服从二项分布则（）

3）

A.D（<）=>/2B.。（加2

C.P（^=1）=P（7=5）,D.P（g>2）+P（JN4）=1

20.（多选）下列说法正确的有（）

A.若随机变量XN0,4），P（X<-2）=0.25,则。（X<4）=0.75

B.若随机变量X〜'10,：）,则方差D（3X+1）=21

C.在含有3件次品的10件产品中任取2件，X表示取出的次品数，则P（X=1）=三

D.已知随机变量X的分布列为尸（*=，）=忒yy（i=l,2,3）,则实数a=g

21.（多选）已知〃>2,且〃cN“，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（）

12

A.若XBg）,ll!iJE（2X-l）=-n+l

14

B.若X8（〃二），则。（2X+l）=-〃

39

C.若X8（〃」），则尸（X=l）=尸（X=〃-l）

3

D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布

22.为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已

知某单位有N名员工，其中（是男性，1是女性.

（1）当N=10时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；

（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考

虑，从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作A,在二

（2、

项分布中，即男性员工的人数XB3,-男性员工恰有2人的概率记作l那么当N至少为多少时，我们

可以在误差不超过0.001（即6-巴《0.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布（参考数据:

>/578«24.04)

五.正态分布（共8小题）

23.（多选）下列说法正确的是（）

A.样本数据20.19,17.16,22,24,26的下四分位数是17

B.在比例分配的分层随机抽详中，若第一层的样本量为10,平均值为9,第二层的样本量为20,平

均值为12,则所抽样本的平均值为11

C.若随机变量X则P（X=2）=白

D.若随机变量X~N（4,/）（b>0）,若P（xN2）=0.8,贝ijP（x>6）=0.2

24.（多选）若随机变量X~N（MCT2）,从X的取值中随机抽取K（KeN：KN2）个数据，记这K个数据的

平均值为丫，则随机变量Y~N卜，景.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15亳米，标准差为2亳

米的正态分布.在该店随机挑选16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条项链.设这16颗珍珠的直径平均值为

y,则（）

(已知：P(/Z-O-<<//+O-)=0.6827,-2(7<<//+2<7)=0.9545,P(/Z-3<T<//<//+30-)=0.9973)

A.随机变量y的标准差为上B.随机变量卜~入'(15，!、

16

c.<16^=0.9759

D.0(y<14)=0.0455

25.(多选)已知变量X服从正态分布X~N(0Q2),当。变大时，则()

A.P(-g<X<g)变小B.P(-g<X<g)变大

C.正态分布曲线的最高点下移D.正态分布曲线的最高点上移

26.若随机变量看一N0Q2）,且P《<3）=0.74,l/lij<-1）=.

27.设X~N（O,〃），P（X>2）=0.3,贝lJP（X>-2）=.

28.为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国团卷，为测试学生对新高

考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10300名学生

参加考试.根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布

⑴已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于（97.5,130.5］区间内的学生共有4772人.甲市学生

4的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次；

⑵在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量丫为本次考试数学成绩在

（以-笫,150］之外的人数，求的概率及随机变量丫的数学期望.

附：参考数据：0.9987须。0.5218,0.99874992so.5225

参考公式：若X~N（〃Q2）,有p（〃一x<//+CT）=0.6826,P（/z-2a<X<//+2（T）=0.9544,

一3。<X<〃+3b）=0.9974.

29.近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了

解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学

成绩，将他们的成绩分成以下6组：[40.50）,[50.60）,[60,70）,L,[90,100],统计结果如下面的频数

⑵高一学生的这次化学成绩Z（单位：分）近似地服从正态分布N（“,〃），其中〃近似为样木平均数工，

。近似为样本的标准差s,并已求得s=14.31.且这次测试恰有2万名学生参加.

（i）试估计这些学生这次化学成绩在区间（56.19,99.12]内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表）；

（ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如

下：

方案1：每人均赠送25小时学习视频；

方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在（56.19,84.81]内

的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平

台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明.

参考数据：则尸（〃一<7）^0.6827,尸（〃一2b<X<〃+2b）u0.9545.

30.某校机器人社团为了解市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行

问卷调查，问卷调查的成绩《近似服从正态分布N（77,/），且尸（774J480）=0.3.

⑴估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数；

⑵若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会〃的关注度较高，现从市内随机抽取3名市

民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X,求X的分饰列和数学期望.

六.回归直线方程（共5小题）

31.下列四个命题中，真命题的序号为（）.

①甲乙两组数据分别为：甲：28,31,39,42,46,55,57,58,66；乙：29,34,35,44,46,48,

53,55,55,67.则甲乙的中位数分别为46和45.

②相关系数r=-0.99,表明两个变量的相关程度较弱.

③若由一个2x2列联表中的数据计算得/的值约为7.866,那么有99%的把握认为这两个变量有关.

④用最小二乘法求出•组数据（4•,〃）的回归直线方程$，=加后要进行残差分析，相应于数

据（冷凹）,（，=1,・,,〃）的残差是指&=y响+可.

0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.①③B.①③④C.①②③D.③④

32.（多选）下列说法正确的是（）

A.若样本数据2,a/,c,d,e的平均数为7,方差为6,则样本数据瓦c,d,e的方差为1.2

B.一组样本数据a，yj（i=123,4,5,6）的线性回归方程为方=2x+3,若心=60,则次％=123

/=1r=1

C.已知随机变量X服从正态分布N（3,〃），若尸（0WXV3）=0.45,则尸（X>6）=0.1

D.统计样本数据后，绘制的频率分布直方图为"单峰不对称”，且在左边"拖尾"，则平均数小于中位数

33.（多选）下列结论不正确的是（）

A.两个变量KN的线性相关系数「决定两变量相关程度的强弱，且相关系数上|越小，相关性越强

B.若两个变量为丁的线性相关系数l=0,则X与歹之间不具有线性相关性

C.在一组样本数据（4y）1=1,2,3,…）中，先剔除部分异常数据，再根据最小二乘法求得线性回归方程

^jy=bx+a,这样相关系数「变大

D.在一组样本数据的散点图中，若所有样本点a，y）（i=123,…）都在直线y=0.8x+l±,则这组样

本数据的样本相关系数为0.8

34.（多选）下列说法正确的是（）

A.对于单峰的频率分布直方图，单峰不对称且在右边“拖尾〃，则平均数大于中位数

B.在做回归分析时:残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好

C.以模型、=8网去拟合一组数据时,为了求出同归方程，设z=lny,求得线性【可归方程为

z=03x+4,^ctA的值分别是4和0.3

D.某人在10次答题中，答对题数为X,X4（10,0.7）,则答对7题的概率最大.

35.（多选）以卜几种说法正确的是（）

A.对于相关系数「，卜|越接近1,相关程度越大，卜|越接近0,相关程度越小

B.若随机变量机〃满足〃=24+1,则。（〃）=2。⑷+1

C.根据分类变量X与V的成对样本数据•，计算得到/=4.712.依据二=0.05的独立性检验

（与心=3.841），可判断X与丫有关且犯错误的概率不超过0.05

D.某人在〃次射击中，击中目标的次数为X,射击中靶的概率为P,若E（X）=30,Q（X）=20,则

2

36.（多选）下列说法正确的是（）

A.利用简单随机抽样从61名同学中抽取5人，则每位同学玻抽到的概率为

61

B.标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差越大，数据的离散程度越大

C.用相关系数「判断线性相关强度，卜|越接近于1,变量的线性相关程度越强

D.样本数据12,46,38,11,51,24,33,35的75%分位数是38

37.下列说法中，正确的有（填序号）.

①同归直线），=公+/；恒过点（元”，且至少过一个样本点；

②根据2x2列联表中的数据计算得出/次635,而之6.635卜0.01,则有99%的杷握认为两个分类

变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；

③/是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当/的值很小时可以推断两类变量不相关；

④某项测量结果J服从正态分布则P（"5）=0.81,MP（^<-3）=0.19.

38.全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018-2023年全球新能源汽车的销售量情况统计.

年份201820192020202120222023

年份编号X123456

销售量）'值万辆2.022.213.136.7010.8014.14

若『与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：

⑴求变显）'与x的样本相关系数〃（结果精确到0.01）;

（2）求）'关于x的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销传曷.

£（七一五）（》一方一两

附：线性回归方程），=法+〃，其中~二三，a=y-bx^

£（西-村之咛-，沅2

r=lr=1

2（菁-三）（1-y）£七丫-师

样本相关系数r=廿==下---------=I”"I”---------.

参考数据：£x..y,.=181.30,=380.231,«75亡4.2,V126.7311.2.

—*=|

39.水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2024年

1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示:

月份1月2月3月4月5月6月

时间代码X123456

销售额）'

2.04.05.26.16.87.4

（单位：万元）

⑴根据题目信息，$=4+人•与$，="Alnx哪一个更适合作为销售额y关于时间/的回归方程类型？（给

出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果，求出销售额》关于时间上的回归方程.（注：数据保留整数）；

⑶为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析、X表示取到的3个月中每月销

售额不低于S万元的月份个数，求随机变量X的分布列和数学期望.

参考公式与数据：>g。6.6,»41.1,2L（lnx.）2«9.4,-y.=128.4,=21,

r=1i=li=li=l/=i

工乂=31.5

f=1

样本数据（4y）（i=l,2,,〃）的线性回归方程卞=4+/；x的斜率和截距的最小二乘法估计分别为

za-可（y-刃-阿

in=7，a-y-bx.

£（七-才东*

r=l；=1

40.某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取

一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：

售出水量X（单位：箱）76656

收益》（单位：元）165142148125150

⑴求收益y关于售出水量X的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？

£七'一，冲55

附：3=-4--------,a=y-/；x,J=6,y=146,£弋$=4420,£x/=l82

之七2-疝2/=,/=,

/=1

⑵期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生

考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~50Q名，获二等奖学金300元；考入年级501

名以后的特困生不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为（2，获二等奖学金的概率均为1:，

JJ

4

不获得奖学金的概率均为

①在学生甲获得奖学金的条件卜，求他获得一等奖学金的概率；

②已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的

分布列及数学期望.

七.独立性检验问题（共5小题）

41.某研究中心对治疗哮喘的两种药物的疗效是否有差异进行实验，并运用2x2列联表进行检验，零假设

明：两种药物的疗效无差异，计算出/。5.389,根据下面的小概率值。的独立性检验表，认为“两种药

物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过（）

a0.10.050.010.0050.001

儿2.7063.8416.6357.87910.828

A.5%B.1%C.().5%D.0.1%

42."一带一路〃是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共嬴之路.为了了解我国与某国在"一带一路"合

作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量(单位：亿元人民币/天)，整理数据

得下表：

出口贸易量

进口贸易量

[0,50](5(),KX)](100,15()]

[0,50]32184

(50,100]6812

(100.150]3710

⑴用频率估计概率，试估计事件"我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿元

人民币”的概率.

⑵根据所给数据，完成下面的2x2列联表.

出口贸易量

进口贸易量

[0,100](100,150]

[0,100]

(KX1150]

⑶依据=的独立性检验，能否认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关？

>n(ad-bc\

附：/■=7__—7------r---T7-.--：»n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

Xc3.8416.63510.828

43.为了调查某校学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如

下的2x2列联表：

喜欢跑步不喜欢跑步合计

女生a90120

男生b55k

合计m145200

⑴计算〃也〃?次的值，并依据小概率值。=0.100的/独立性检验，判断性别与喜欢跑步是否有关？

(2)从上述的200名学生中按性别比例用分层抽样的方法抽取10名学生，再在这10人中抽取3人调查其是

否喜欢跑步，用X表示3人中女生