第七章 空间向量与立体几何 单元测试（解析版）（7大考点+15大题型）-2026年新高考数学一轮复习（新高考专用）

第七章空间向量与立体几何单元测试

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小即答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷L无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

I.设江〃./是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）

A.若/〃，尸，mlla,则尸；

B.若/ua,/〃///?,则。_!_//；

C.若。（1尸=〃?，〃〃//,则a〃7,/〃/：

D.若a///?,Iua,mu。,则"/〃z；

【答案】A

【解析】因为〃所以平面。内必存在直线

又因为m_L〃，所以&_L〃，即故A正确；

根据题意虽然平面夕内有直线〃?'W阳平行，也有直线〃'与〃平行，

但",〃'不一定是相交直线，所以虽然有/J_/，/JL〃、也不能推出

所以也就不能推出aJ•尸，故B错误；

虽然〃?ua,/〃u〃，但仅由一条电线〃?/少，是不能推出a〃7,P"Y、故C错误；

虽然/ua,〃?u〃，但不能确定/，根是否在一个平面内，所以不能推出/〃〃?，故D错误；

故选：A.

2.已知｛茄,寸是空间的单位正交基底.若向量万在基底｛20-B）,反25-2｝下的坐标为则向量万

的大小为（）

A.3B.76

C.9D.6

【答案】A

【解析】因为向量/在基底｛2Q-力,反25-可下的坐标为(1,一2,1),

所以/；=1x2(a-b)-2xb+\x(2b-c)=2a-2b-c,

又因为｛4瓦才是空间的单位正交基底.所以同=忖=同=1/4=5弋=无域=0.

PP=(2。-2b-c)•(2a-2h-c)=4〃+4/j-+。一一8。•〃-4。♦e+4〃・c

=丽”+4时+同2=4+4+1=9,

即=9,|p|=3.

故选：A

3.如图，长方体ABCQ-AB7。。'中被截去一部分，其中E”〃A。'，FG//BC,则剩下的几何体是

()

A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱

【答案】C

【解析】依题意，AD//Ariy11EHIIFGIIBC,且AO=AD=E〃=尸G=8C,

又平面A4'EFB〃平面OD77GC,所以由棱柱的结构特征知，剩卜的几何体为五楂柱.

故选：C

4.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4

号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内

空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm,外径长3cm,筒高4cm,中部为棱长是3cm的正方体的一部

分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体枳为()

答案笫2页，共21页

【答案】A

计算正方体体积：3x3x3=27,

计算上下两个圆柱的体积：J31xl=2冗,

⑴4

再计算内空圆柱的体枳：7TX1?X4=4K，

最后可得组合体体积：27+苫兀-4兀=27-：Tr(cn?)

故选:A

5.已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为()

A.9兀B.167rC.12nD.16x/3n

【答案】C

【解析】如图，设该圆锥内切球的球心为〃，半径为「，

球P切该圆锥的母线A8于点尸，。为该圆锥底面圆的圆心，

则叩_LAB,AC1BC,因为/24/=30、所以AP=2尸产，又AC=6sin60=3后，

PC=PF=r,则AP+PC=3〃=3石，解得r=G，

故该圆锥的内切球的表面积为4兀产=127：.

故选：C

A

6.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,。在同一个平面内，如果四边形

ABC。是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是()

A.2256cm2B.1000Tacm2C.18006cm2D.900+20006cm2

【答案】C

【解析】由八面体的每一个面都是正三角形，且四边形是边长为30cm的正方形，

因此每个面的面枳为gx30x30xsin60=2256(cm2),

所以这个八面体的表面积S=8x225岔=1800石(cm2).

故选：C

7.在直三棱柱48。-486中，.43_/4。，AB=AC=6,A&=4,点M是CC；的中点，则直线AQ与

8M所成角的余弦值为()

22厂55

A.-B.——C.-D.——

4266

【答案】C

【解析】在直三棱柱ABC-AMG中，4A，平面A8C,

,.，ACu平面48C,A8u平面ABC,

AAA.1AC,AA1AB,且ABIAC

，如图建立空间直角坐标系A-x*,

答案第4页，共21页

.•・B（JIo.O）,C（0,V2,0）,q（0,71,4）,则M（O,0,2）,

贝IJ丽=卜6也2）,西=（0,也4）,

设直线AC1与3M所成角为6,

离_10_5

则cos。=|cos（八G，BM）=

叫网2&x3&6

故选：C.

8.已知宜四棱柱AACQ-A/GA的校长均为2,NA4C=I2O,设棱AR，AC的中点分别为W,N,若

菱形A8CO内（含边界）的动点P满足丽.丽=0,则点P的运动轨迹的长度为（）

A.—B.yj3C.----D.y/3+1

33

【答案】A

【解析】由丽•两=0,知NMPN=90,所以点P在以MN为直径的球与底面A8CO的交线上.

以3为坐标原点，平面A8C。内垂直于死方向，反7方向，B瓦方向分别为孙y,z轴建立空间直角坐

标系，

则N（OJO）,M（60,2）,故球的直径股N长为2&,

球心为MN的中点方利•

因为球心到底面ABC。的距离为I,

所以底面A8CD截球所得圆的半径为,=行『一]2=],圆心为奇口。，

\7

则P在以8。为直径的圆与菱形A13CD的交线上，

如图，由平面几何关系得，菱形八8a＞中45。=120。，«i]ZABD=ZBDC=ZI3CD=60°,

实际交线为劣弧£户和劣弧G〃，

易知aBV少和QME为等边三角形，劣弧EF和劣弧GH相等，

则"MF=/GMH=60,

故P的运动轨迹长为gx2"=g.

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，在正三楂柱48C—中，。为棱AC的中点，AB=BBf=2,则下列结论正确的是（）

A.BDLACB.直线AC'与面A8C所成角为45。

C.线段8。=6D.直线30〃面A'8'C

【答案】ABD

答案笫6页，共21页

【解析】对于A,因为在正三棱柱ABC-AaC'中，面ABC,而E)u面ABC,所以A4'_L8D，

因为底面ABC是正三角形，。为棱4c的中点，所以BO_LAC,

又;LA'A4C=AA4;ACu面AAfCC,所以即)_Z面AACC,

因为AC'u面AA'CC,所以80_LAC,故A正确；

对于B,因为在正三棱柱ABC—A&C中，CC_LiTA8C,所以NC4C为直线AC'与面A8C所成角，

因为ACu面48C,所以CC_LAC,又AB=BH=2,

所以AC=CC*=2,则NC4c=45、故B正确；

对于C,在正VA8C中，AB=BC=AC=2,则AO=，AC=1,

2

所以=5故C错误；

对于D,记AC的中点为E,连接如图，

因为2石是AC4U的中点，又易知四边形A4，CC是平行四边形，所以。E〃A4',O£=4V,

因为皿=,所以DE"RR：DE=R2.所以四边形是平行四边形，则Ea//DB,

又E£u面A'8'C,302面48'C,所以直线8。//面A'8'C,故D正确.

故选：ABD.

10.己知正方体ABC。—A8CQ,点用满足加=:属；2e(O,l),则()

A.当4时，8C1J.平面AQM

R.当4=g时，平面CBQ

C.当AAOM为直角三角形时，4

D.当AADM的面积最小时，2=1

【答案】ACD

【解析】由题可知，设正方体的棱长为1,如图以点。为坐标原点建立空间直角坐标系,

则A（i,o,o）,4（LO,i）,G（OJO）,Q（o,o/）,〃（o,。,0）,4（ijo）,c（o,i」）,8（1』」）,

所以苑=（T1T）,因为与7=尢同=（一九4一4）,所以M（，+l,Z-n+l）.

对干A,当石;时，川生鼻，则丽+生，3西=(；；「3西

________11__________11

因为AMBG=5+o-3=O,OMBC,=--+o+-=o,

所以AM

又因为OMAAM=M,OM.AMu平面AOM，

所以8Gl平面AQM,故A正确；

对于B,当之=；时，丽=《,「£)，C8；=(l,0,-l),£)C=(0,l,l)

设平面C8Q的法向最为m=(x,yz),

th-CBy=0fx-z=0

=故可取诩=

//z-D,C=O[y+z=O

_______]1I1

因为=；—]二—所以拉M〃平面。片仅不正确，故B错误;

对rc,当AADM为直角三角形时,

丽=(一441_4,丽=(—芍,西=(1,0,-1),

当MD1M4,时,，

^A?DA7=-/l(l-A)+22+(-/l)(l-2)=0,解得4=：或义=0(舍去),

当OA_LM4,时，小二4贬=一4-1+4=-1工。，显然这种情况不存在；

当以_LM。时，D<MZ5=1-4+2=1H0,显然这种情况不存在，

答案笫8页，共21页

2

因此当AA。”为直角三角形时，2=5,故c正确：

对于D,Z)M=，(1-4+宏+，2=，3分-24+1，

AM=JA2+A2+(1-A)2=43储-2/1+1,

所以。M=MR,因此AADM是等腰三角形，底边人。=彳乔=血，

设M到。A的距离为h则公=3万-22+!=31'/1-2)+:，

(2J2、3J6

因乙4。/"的面积S=gxAOxk=¥&,

则AAQM的面积最小时，k的值最小，此时2=:，故D正确.

故选：ACD

11.如图，已知正方体八BCD-A4GA的棱长为2,点尸是侧面"CGM上的一个动点(含边界)，且

8户=/185+〃比(0工/15,04〃41),瓦尸分别是棱AVGC的中点，则()

A.平面AE尸截该正方体所得的截面图形是正五边形

B.平面平面B7)。用

C.若〃=。，则|尸耳+|町的最小值为所

D.若则点尸的轨迹长度为T

【答案】BD

【解析】对A：作出过D|E尸的截面如下图:

延长DiE和DA的延长线交于点M,延长。尸和DC交于点N,

因为石为AA中点，所以人为加中点，同理C为。N中点.

则A8=；DN.AB//DN,即44为4MDN的中位线，

连接MN,则MN过点4,连接BE,即"则四边形。।瓦沛为过点A，E,产的截面,

所以平面。出产截该正方体所得的截面是四边形，故A错误;

对B：连接AC,BD,如卜图：

因为ABCO-A4GA为正方体，Eb分别为A4,CG中点，所以叮〃AC.

又AC/KO,AC1BB{,BD,%u平面BDD£,所以4c_L平面BORg.

所以防_L平面B。。圈，又所u平面。£尸，所以平面仆卢尸•！平面片.故B正确;

对C：当〃=0时，B户=2BB；(0W/IW1),所以点尸在线段A4上，

所以|尸耳N|AB|=2,4=g时取等号；\PD\>\BD\=242,2=()时取等号.

所以|用+|PQ|>2+2夜〉J万，故C错误；

对D：因为,外=|人用2+忸叶，所以5=4+忸叶=忸日=1,

所以P点轨迹是以B为圆心，1为半径的圆周的;.

所以尸点轨迹长度为：：x2兀=5，故D正确.

答案第10页，共21页

故选：BD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知圆台。02,其上底面圆。"勺直径为2,下底面圆。"勺直径为8,母线长为5,则该圆台的体积

为•

【答案】28兀

【解析】由题意得〃="52—（4—lf=4,所以兀+16」+J兀16兀）=287r.

故答案为：287r.

13.己知空间向量力_!_方，blc^且W=W=|4=1，则＞+5+目=.

【答案】&

【解析】'：a±b〃_Lc，/?±c»,'.«-/?=0，a・c=0,bc=O'

,.,|o|=|5|=|c|=1,/.|«+6+?|2=|s|2+|^|2+|c|2+2ab+2a-c+2b'C=3,

.•巾+石+4="

故答案为：6.

14.如图，已知正四棱锥尸-/WCQ,PA=2,44P4=18°,点S为侧棱布的中点.则在此棱锥侧面上，从点S

出发绕其一圈到点8的路径中，最短路径的长度为.

【答案】亚

【解析】如图，将楂锥的侧面展开到一个平面内.

1p£

由题意可知%=依=2,PS=^-PA=\,ZSPB=5xl8=90,

2

故员短路径为S8=X/『+22=石，

即所求最短路径的长度为行.

故答案为：J5

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

如图所示圆锥P-O中，CO为底面的直径.A3分别为母线/>£>与PC的中点，点七是底面圆周上一

点，若NDCE=3()。，|A8|二C,圆锥的高为而

⑴求圆锥的侧面积S；

(2)求证：A£与PC是异面直线，并求其所成角的大小

【解析】(I)设圆锥底面半径为，，母线长为八

因为C。为直径，八B是△PCO的中位线，

所以r=AB=5/2>

1=卜”0h='2+14=4,

所以侧面枳S=兀”=4及兀.

答案第12页，共21页

(2)因为ARC在平面PC。且不共线，E在平面PC。外所以AE与PC是异面直线,

连接47,EO,由A,。分别为尸的中点，得AO//PC,

所以：NE40为异面直线人石与PC所成的角或其补角，

在八4。石中，OA=gpC=2,=

取。。中点为尸，连接

AE=&

22

在A4O石中，cosZE4O=5+4-^=^==—,

2.2-x/54V520

所以异面直线AE与PC所成角的大小为arccos^.

20

16.（15分）

在平行六面体ABCQ-A/CQI中，AB=AD=AA]=\t幺A8=幺八。=/84。=6。。.

(1)若空间有一点P满足：AP=AB+2AD+2AA^,求|A户|；

⑵求平面BDD固与平面BCC画所成夹角的余弦值.

【解析】(1)由48=AO=A4]=1,幺八8=/44力=/而。=60。可知,

ABAb=ABAA^=AbAA^=-

因为Q=M+2/U5+2M•，

~AP~=(而+2AD+2A4iJ=南+4府+4讶+4ABAD+4被AA1

+8AD-AAj=l+4+4+4x^4-4x—+8x—=17,

所以|Q|=M.

（2）连接A。，AB,AG，AC,

设ACn3D=O，

o

由A8=AO=A/\=1,AAyAB=ZAyAD=^BAD=（）0,可得人。=入8=BQ=1,

所以三棱锥A-八8。为正四面体，

所以顶点A在底面438上的射影落在直线AC上，且垂足为AABD的外心〃，

则人〃=2。人==,AyHA-,p[B]ABCD,

3323

所以4〃=^八吊一人〃2=.一（乎）2=当,A”18O,

由菱形/WCO知，AC1BD,

因为4〃口入。=，，AH、4Cu平面A4CG，

所以40/平面AACG,

乂Qu平面A4CD,

所以平面A|ACG_L平面ABCD,

故以。为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（等,0,0）,A（去。半），仇0，/0），。（。，-；，0），

所以丽=（0,-1,0）,网=丽=（一亭0,今，ffC=AD=（~,­,O）,

m-BD--y=0,

设平面的法向量为/=（%,%zj,则｛_8瓜

历一号为+于马=0,

令马=1,得$=（五,0,1）,

万.冠=一年53%=0,

设平面BCC.B,的法向量为“=“2，”，Z2），则•

--百L,r-_

n•BB[=----X-,H-----z,=0n,

3•3•

令Z2=l,得万=("-#,1),

答案第14页，共21页

设平面曲蜴与平面3CCA所成夹角为氏则四八文小磊^焉邛

所以平面BDD.B,与平面BCC.B,所成夹角的余弦值为g.

17.（15分）

如图，在几何体A8C。所中：底面八3c。为平行四边形，OEJ.平面A8CD,平面8DE_L平面&C.

(1)证明:四边形A8C。为菱形；

(2)若AF//DE,且C£)=O石=2A歹，ADLCD,求平面瓦万与平面以C的夹角的正弦值.

【解析】(1)设47(18。=。，连接O£,过。向。£作垂线，垂足为〃，

因为平面8OEL平面E4C,平面8OEC平面£4C=OE,DH10E,D”u平面3DE,

所以£>〃_L平面EAC,

因为ACu平面E4C,所以O”_LAC,

因为OE_L平面八BCDACu平面A8CO,所以OE1AC,

因为石。,。〃,。石1平面8DE，所以AC_L平面BDE,所以AC/8。，

因为A4CO为平行四边形，所以A3CO为菱形.

(2)因为结合(1)可知底面为正方形,

以。为原点，ZHDGQE所在直线分别为x，，z轴，建立空间直角坐标系,

设CD=DE=2AF=2,则4(2,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2),5(2,2,0),F(2,0,l)；

7C=(-2,2,0),AE=(-2,0,2).BF=(0-2,l),re=(-2,0J);

li-AC=-2x+2y=0

设平面EAC的一个法向量为＞t=(x,z)，则

”-AE=-2x+2z=0

令x=l得，＞f=(l,1,1).

m-BF=_2y°+z=0

设平面8£厂的一个法向量为而=(%,%,入),则〈0

rfi-FE=-2x0+z0=0

令z0=2得，所=(1,1,2).

设平面的"与平面0C的夹角为内则cos*舐=用£=半'

如图，在四棱锥P-A8C。中，侧面尸八。_L平面A8C。，424。是边长为2的等边三角形，底面

AB±AD,AB=BC=\.

(1)取线段24中点用，连接证明：BM〃平面PCD;

(2)求直线A3与平面PC。所成角的正弦值;

答案第16页，共21页

（3）线段PD上是否存在一点E,使得平面E4C与平面ZMC夹角的余弦值为叵？若存在，求出纵的

5PD

值；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）在四棱锥P-ABCO中，取尸。中点M连接MN,

由M为1的中点，且4）=2,BC=\,

得MNHAD//BC,MN=；AD=1=BC,

则四边形8cMW为平行四边形，所以BM//CN,

l（IJCNu平面PCD,BM不在平面PCZ）内，

所以8“〃平面PCD.

（2）取4。的中点0,连接P0,0C,

由△以/）为等边三角形，得P0J_A。，

而平面PADX.平面A4C。，平面PADr＞平面ABCD=AD,POu平面PAD,

则POJ_平面ABCO.

由A0=8C=l,AO//BC,得四边形48co是平行四边形，

于是OC〃AB,而/W_LAD,则OCJ.4。，直线OCQROP两两垂直，

以o为坐标原点，直线OCOROP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图,

则A(0,-l,0),O(OJO),Ci；l,0,0),8(1,TO),P(0,0,V3),

则丽=0,0,0),CP=(-l,0,x/3),6=(—1,1,0),

设平面PCD的法向量为n=（A,y,z）,

n-CP=-x+\[3z=0(rr\

则｛一，取z=l,得万=6,6,1,

n-CD=-x+y=()17

设直线AA与平面PC。所成凭为e,

则sin0=cos(而矶=[丝j]=母,

所以直线A"与平面"2)所成角的正弦值为叵.

7

(3)令屋=4而=(0,>,-&),Ze[0,lL

l^=AP+PE=(0,i,x/3)+(0,A,->/3A)=(0J+A,>/3->/3A),AC=(1,1,0),

设平面EAC的法向量为加=(<7,Z?,c),

m-AC=a+b=0

贝l]<.9

、[丽石_(1+4)〃+(石一四)c—0

取人=6(2—1),^w=(x/3(l-/l),>/3(2-l)a+l),

平面DAC的法向量为历=仅，0,,

而同—73(2+1)

于是cos户，初)卜

研制存“方-1CU+7~5~

1pp1

化简得3万_]("+3=()，又九日0,1],解得4=：,即记=；，

所以线段P。上存在点E,使得平面率C与平面DAC夹角的余弦值为巫，

5*D3

19.(17分)

如图，在四棱锥尸一A8CD中，PA±AB,AB//CD,ABLBC,七为AP的中点,

PA=AB=BC=2,C£)=CE=3,点尸在线段CD上.

(1)证明：尸AJ_平面A38；

(2)已知£AB,C四点均在球。的球面上.

答案第18页，共21页

(i)证明：CE。三点共线；

(ii)若直线。尸与平面P8。所成角的正弦值为生且，求DF.

85

【解析】(1)如图，连接3E,因为24_LA6