高三数学一轮复习学案：平面向量中的综合问题

§5.4平面向量中的综合问题

【重点解读】平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识

的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系

数的范围等.

题型一平面向量在几何中的应用

例1⑴设尸是aA8c所在平面内一点，若而•（而+后?）=2而•而，旦而2=而22说.而，则点?是4

48c的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

⑵△A8C的外心O满足耐+而+、反沅=0,|而|二VL则△ABC的面积为（）

思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤

设向量计算还原

平面几何问题-----"向量问题一解决向量问题一解决几何问题.

跟踪训练1⑴在若R?.而=砺.况二元.次，则点。是△48。的（）

A.内心B.外心

C.垂心D.重心

（2）如弱所示，在矩形A8C。中，AB=V3,BC=3,BE±AC,垂足为E,则石。的长为.

题型二和向量有关的最值问题

命题点1与平面向量基本定理有关的最值问题

例2已知次f,而是两个夹角为120。的单位向量，如图所示,点C在以。为圆心的油上运动.若

~OC=xOA+yOB,其中x,）WR,贝Jx+y的最大值是（）

A

A.V2B.2C.V3D.3

命题点2与数量积有关的最值问题

例3在△ABC中，AO3,8c=4,NC=90。/为△ABC所在平面内的动点，且PGI,则万•丽的取值

范围是（）

A.[5,3]B.[3,5]

C.[6,4]D.[4,6j

命题点3与模有关的最值问题

例4已知纵力是单位向量，。功二0,且向量。满足|CQ"=1,则|c|的取值范围是（）

A.[V21,V2+1]B.[V21,V2]

C.[V2,V2+I]D.[2V2,2+\/2]

思维升华向量求最值（范围）的常用方法

（1）利用三角函数求最值（范围）.

（2）利用基本不等式求最值（范围）.

（3）建立坐标系，设变量构造函数求最值（范围）.

（4）数形结合，应用图形的几何性质求最值.

跟踪训练2⑴（2024•铜川模拟）在8c中，。是人8边上的点，满足AO=2O3,E在线段CO上（不含

端点），且屈而+）K?（x,y£R）,则3的最小值为（）

xy

A.3+2V2B.4+2V3

C.8+4V3D.8

（2）（2025・韶关模拟）已知平面向量％b,c均为单位向量，且|a+〃|=l,则向量。与〃的夹角

为，（。+5）。c）的最小值为.

（3）（2024•会宁模拟）已知单位向量％b满足13a4加二〃z,则实数〃?的取值范围是.

■微拓展

四心问题

一、引理（“奔驰”定理）

如图I,。是△A8C内一点，ABOC,^AOC,AAOI3的面积分别为SA,SB,Sc,则SM?+SBOB+ScOC=0.

图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故该引理又称为“奔驰”定理.

证明如图，延长AO与8C相交于点。，

BD一_SAB。。_SAB。。_SAABO-SAB。。_Sc

'SB'

DCS&ACDS&COD-SAC。。SAACD-SACOD

记界;2,则前二万？,^OD-OB=A(OC-OD),

所以_(1+XiOD+OB+WC=0,

又丽:-鬻德二-^-OAt

I。川SB+SC

所以一^-(1+红)耐+砺+①赤=0,

SB+Sc'SBJSB

从而S,由+SBOB+ScVC=0.

推论若。是内的一点且工函+丽+赤=0,则

△ABC，.vzSA-SB-SC=X：y：Z.

二、三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征

1.重心

⑴定义：三角形三条中线的交点.

⑵几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.

(3)向量特征：

定理IG是△ABC的重心=耐+而+元=0.

证明由引理得G是△ABC的重心=、义=SB=SC^>GA+G5+G?=0.

推论1P是△ABC所在平面内任意一点，丽=*丽+而+定)=G是△A8C的重心.

证明G是△48C的重心=乱+荏+元=0=西一闲+而一而+无一同=0=方="而+而+无).

2.外心

(I)定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心.

(2)几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等.

(3)向量特征：

定理2O是锐角△A8C的外心u>a?sin2A+砺sin2B+0Csin2c=0.

证明由O是锐角△ABC的外心，^\OA\=\OB\=\OC\,

贝|JN4O8=2NAC8,ZBOC=2ZBAC,ZCOA=2ZABC,

于是SA-SH-Sc=sin2A:sin2B：sin2C,

根据引理，得到了5sin2A+而sin28+泥sin2c=0.

反之亦然（证明略）.

推论2P是锐角△?18c所在平面内任意一点，

对sin24+而sin28+定sin2c

P0==。是锐角△ABC的外心.

sin24+sir）2B+sin2c

推论2可仿照推论1进行证明.

3.内心

⑴定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心.

⑵几何性质：三角形的内心到三边的距离相等.

（3）向量特征：

定理3。是△4BC的内心="m+Z?而+c而=0.（其中a,b,c分别是△48C的三个内角A,B,C所对的

边长）

证明设△人〃。的内切圆半径为r,。是的内心，则SA：SB：Sc=y:y：

根据引理得，。是△A8C的内心=/砺+（友=0.

推论3P是△4BC所在平面内任意一点，。是△ABC的内心=可=亚血塔空.

a+b+c

推论3可仿照推论1进行证明.

4.垂心

⑴定义：三角形三条高所在直线的交点.

（2）几何性质：三角形的垂心分每条高线所得的两条线段长的乘积相等.

（3）向量特征：

定理4。是△AAC（非直角三角形）的垂心O3XtanA+而tanB+3?tanC=0.

证明。是△A8C（非直角三角形）的垂心

<^OAOB=OBOC=OCOA

<=>|07|-|0jB|cos（n—C）=|0S|-|0C|cos（7r—A）=|OC|-|OX|COS（TU—B）

11

,■,•，，一,.

<=>\0A\*\0B\|OC|=cosA:cosB:cosC

OSA:SB：Sc=tanA：tan8：【anC,

由引理得，0是△A8C（非直角三角形）的垂心=函tanA+赤tan8+沆tanC=0.

推论4尸是△ABC（非直角三角形）所在平面内任意一点，。是△ABC（非直角三角形）的垂心=丽=

而tan"而tan8+定tanC

tanA+tanB+tanC

推论4可仿照推论1进行证明.

典例奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内

一点，ABMC,△AMC,/XAMB的面积分别为SA，SR,SC，贝U8•拓5+S*而+Sc•就=0.以下命题错误的是

）

A.若丛：S®：Sc=l：1：1,则M为△A8C的重心

B.若W为△A8C的内心，贝ijBCM?+AC•丽+88流=0

C.若NBAC=45。，ZA5C=60°,A1为△ABC的外心，则SA：S&：SC=V3：2：1

D.若M为△ABC的垂心，3拓5+4而+5耐=0,则cosNAM8=一区

6

答案精析

例1（1）A［由希.（而+S5）

=2ABCP,

得私而+刀2而尸。，

即而［（丽丽）+（乙?加）］二（）,

所以布•（而+而）=0.

设。为人区的中点，

^\AB-2PD=0,

故而而二0.

由而2=照22元.而，

得（前十福•（荏硝

=2BCAP,

即（而+祀2彳万）.方:0.

设E为8C的中点，

则（2而2明.而二0,

贝ij2PECB=0,故而•而=0.

所以P为A8与8。的垂直平分线的交点，

所以P是△ABC的外心.]

（2）B[设A8的中点为。，

贝IJa+砺+V^?=0可彳匕为20D+V20C=0,

即陷近说,

：.OtDtC三点共线且CD1.AB,

•••△A/JC为等腰三角形，

|丽2二曲F+|初2,

设△ABC外接圆的半径为R,

则川争囹，

解得R=1,CZ>l+y,

**•S；.ABO=^AB\\CD\=^Xy/2X（1+

跟踪训练i（i）c「・•万5砺二砺•沆，

：.OB（OAOC）=0,

：.OBCA=0,

・・・O8_LCA,

即OB为AABC边CA上的高所在的直线.

同理雨•旌。,OCAB=0,

：.OA±BC,OC1,AB,

故。是△ABC的垂心.]

⑵手

解析以4为坐标原点，A。，A〃所在直线分别为人•轴、了轴建立平面直角坐标系，则40,0),

8(0,V3),C(3,V3),0(3,0),AC=(3,V5),

设荏=2前，

则E的坐标为(3"V3A),

故雇:(3"V3；.x/3).

因为BE1AC,所以丽・荏=0,

即92+323=0,解得A=-,

4

所以E(的分

故丽=(/一手)，的考.

即ED=—.

2

例2B|由题意，以。为原点，方的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设C(cos

0,sin0,0WW120。，

可得A(1,0),B(-1,y),

由沈二x(l,0)+)(一》?)

=(cos0,sin0),

得g)=c°s0,^y=sin0,

/.|y=V3sin0,

・・.x+)=G-1y)+1y

=cosO+x^sin牝2sin(夕+30°),

,・・O°W0W12O0,・・・30°W什3O°W15O°,

・•・当月60。时，%+)•的最大值为2，此时C为脑的中点，・・・x+y的最大值是2.]

例3D[方法一(坐标法)

以。为坐标原点，CA,C8所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3,0),8(0,4).

设P(x,y),则r+y2=\,~PA=(3x,y),PB=(x,4y),

所以西•丽=f3x+V4)，

山-沪S哼

2

又(x-|)+G，2)2表示圆f+/1上一点到点%2)距离的平方,圆心(0,0)到点(|,2)的距离为3,所以

即同方的取值范围是[4,6|.

方法二(极化恒等式法)

设A8的中点为M,而与丽的夹角为0,

由题意知A8=5,CM=1

由极化恒等式得福•丽

=PM2-AB2=(CMCP)2-

44

二桥+而22福而彳

苧158s衅=15cos6,

因为cosO£[l,I],

所以瓦(中方的取值范围是[4,6].1

例4A[a,b是单位向量，。力=),设a=(\,0),b=(0,1),c=(x,y),

|ca力|二|(xl,yl)|二J(x-1)2+(y—))2=1,.,・(11)2+°,[)2=],..依表示以。，1)为圆心，1为半，圣的圆上的点

到原点的距离，故A/#+MiW|c|W，12+#+1，，或1W|C|WA+1.]

跟踪训练2⑴B[*：JE=xAB+yAC(x,y^R),

AD=2DB,：.AE=^-AD+)^AC,

又E在线段CO上(不含端点)，

,且<>0,y>0,

・x+2y_l|2

xyyx

二(鸿)得+y)

二4自空24+275,

2yx

当且仅当券?，即产等，产与时，等号成立一•.等的最小值为4+2⑸

噌|

解析由题意知，同二步|=闷=1,

ft\a+bf=a2+2ab+b2=1,

得ab=^,

ab

所以cos{a,b)

同向2

又<a,b)e[0,7t],所以〈a,bl=y

即〃与力的夹角为

•J

(a+b)(hc)

=ah+b2(a+h)c

=||«+Z>||c|cos(a+b,c〉

=^cos(a+b,c),

又COS〈。+力，c〉£[1,1],

所以121cos〈a+b,c〉若,

当且仅当。+〃与c同向时，右侧等号成立.

所以(a+5)・(〃c)的最小值为点

⑶[1，7]

解析设。，力的夹角为伏。引0,兀]),

因为|3〃4"2=9。224a彷+16/=9|aF24MW|cos0+\6\b\2,

又a为单位向量，

则//r=9+1624cos6>=2524COS0,

又cosO£[l,1],则1W//W49,

所以IWmW7.

微拓展

典例C［对于A,取8c的中点。，连接M。，如图，

由SA：SB：Sc=\：1：1,则豆5+而+砒=0,

所以2MD=MB+MC=MA,

所以A,M,。三点共线，

^__.・・A・・・M・・♦=2^.A...D..•,

设E,产分别为AB,AC的中点，同理可得而乏荏，的3前，所以M为△A8C的重心，故A正确；