高中数学一轮复习 第十章 限时跟踪检测（六十六）古典概型（含解析）

限时跟踪检测（六十六）古典概型

一、单项选择题

1.为了强化安全意识，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练,

则选择的2天恰好是连续2天的概率是（）

A2B・1

八,5

C包D・1

J10

2.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的

概率等于（）

1

A—B,

108

1

C.D.|

6

3.《易经》是中国传统文化中的精髓.如图是易经先天八卦图，每一卦山三根线组成

（“一”表示一根阳线，‘-一"表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目

相同的概率为（）

A±R1CADA

A.147J14u,28

4.在二行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动散子（相对面上分别标有1点和6点,

2点和5点，3点和4点）,开始时，骰子如图1那样摆放，朝上的点数是2,最后翻动到如

5.我国数学家陈景涧在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想

是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如30=7+23.在不超过30的素数中，随

机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）

A-12B-14C«15D-18

6.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发

现220和284具有如下性质：220的所有真因数（不包括本身的因数）之和恰好等于284,同

时284的所有真因数之和也等于220,他把具有这种性质的两个整数叫作一对“亲和数”，“亲

和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284,1184和1210,2924和2

620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284

在同一组的概率为（）

1271

八・755C・记5

7.（2024・河南新乡高三模拟）连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x,力2,那么点

尸（修y,z）到原点O的距高不超过3的概率为（）

A±R^_rllnl

、，27D,21672u,6

8.2020年II月5日一II月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博

览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人们生活息息相关的科技专区.现从“高档家用

电器”“智能家居消费电子”“服务机器人人工智能及软件技术'下个专区中选择两个专区

参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（）

人1「3〃2n3

A-U）B-K）C-5D-5

9.（2024•福建南安侨光中学第一次阶段考）如图所示的图形中，每个三角形上各有一个

数字，若六个三角形上的数字之和为21,则称该图形是“和谐图形已知其中四个三角形

上的数字之和为14,现从123,4,5这五个数中任取两个数标在另外两个三角形上，见恰好

使该图形为''和谐图形''的概率为（）

A•春B-5

C&D&

1020

二、多项选择题

10.（2024.山东师大附中模拟）济南市组织2023年度高中校园足球比赛，共有10支球队

报名参赛.比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2022年度

冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组.已知这8支球队

中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件M「乙队分在第一小组”为事件此「甲、

乙两队分在同一小组”为事件M一则（)

A.P(MI)=2

3

B.P(A/3)=7

C.P(MI)+P(M2)=P(M3)

D.事件M与事件航相互独立

H.（2024.山东泰安模拟）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下

图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……上面一粘珠子

（简称上珠）代表5,卜.面一粒珠子（简称卜.珠）代表1,五粒卜.珠的大小等于同组一粒上珠的大

小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、

十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A=”表示的四位数能被3整除”,

8="表示的四位数能被5整除“，则（）

3

A.P⑷

O

C.P(AUB)=]1

三、填空题与解答题

12.如图，从4（1。0）,A2（2,0,0）,Bi（0,1,0）,历（0,2,0）,G（0,0/），G（0,0,2）这6个点

中随机选取3个点，则这3个点与原点。共面的概率为.

13.（2024.北京海淀区模拟）现有7名数理化成绩优秀者，分别用4,4,小，Bi,%,

G,C2表示，其中A,A,小的数学成绩优秀，Bi,9的物理成绩优秀，Ci,C?的化学成

绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛,

则Ai和Bi不全被选中的概率为.

14.近几年来，首都经济社会发展取得新成就.2014年以来，北京城乡居民收入稳步增

长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升

级，城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图如图所示.（例如2014年北京城镇居民收入实

际增速为7.3%,农村居民收入实际增速为8.2%）

城镇居民收入农村居民收入

实际增速—实际增速

⑴从2014〜2018这五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；

（2）从2014〜2018这五年中任选两年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超

过7%的概率；

（3）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（不需证明）

高分推荐题

15.（多选）（2024.江苏常州模拟）在棱长为1的正方体出GG中，以8个顶点中

的任意3个顶点作为顶点的三角形叫作K一三角形,12条棱中的任意2条叫作棱对，则（）

A.一个K一三角形在它是直角三角形的条件已乂是等腰直角三角形的概率为:

B.一个K一三角形在它是等腰三角形的条件下，又是等边三角形的概率为！

C.一组棱对中2条棱所在的直线在互相平行的条件下，它们的距离为也的概率为《

D.一组棱对中2条棱所在的直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为:

解析版

一、单项选择题

1•为了强化安全意识，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练,

则选择的2天恰好是连续2天的概率是（）

解析：由题意，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，可得样

本点的总数为〃=R=10,其中选择的2天恰好为连续2天包含的样本点个数为m=4,所

HI42

以选择的2天恰好是连续2天的概率是.故选A.

答案：A

2.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的

概率等于（）

A，B1

A.I。>8

C，6D,5

解析：在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有

31

对边的4个顶点（例如A8与。E）,共有3种，，所求概率为*=亍

答案：D

3.《易经》是中国传统文化中的精髓.如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成

”表示一根阳线，“-一”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目

相同的概率为（）

A.七B.C

7-UD・i

解析：从八卦中任取两卦，样本点总数〃=C&=28,这两卦的阳线数目相同的样本点有

6种，分别为（兑，巽），（兑，离），（巽，离），（坎，艮），（艮，震），（坎，震），・•・这两卦的阳

线数目相同的概率为叫触得

答案：C

4.在二行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动俄子（相对面上分别标有1点和6点,

2点和5点，3点和4点）,开始时，骰子如图I那样摆放，朝上的点数是2,最后翻动到如

图2所示位置.现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为1的概率为（）

解析：翻转的路径有4种：①右一右一右一下，最后朝上的是4；②右一右T下T右,

最后朝上的是1；③右一下一右一右，最后朝上的是3;④下一右一右一右，最后朝上的是

1.故最后骰子朝上的点数为1的概率为今

答案：D

5.我国数学家陈景涧在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想

是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.在不超过30的素数中，随

机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）

1cle1rl

A,V2B,M0•百D,五

解析:不超过30的素数有2,3,5,7,H,13,17,19,23,29,共10个，随机选取两个不同的数,

共有C*o=45（种）方法，因为7+23=11+19=13+17=30,所以随机选取两个不同的数，其

31

和等于30的有3种方法，故所求概率为病=正.故选C.

答案：C

6.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发

现220和284具有如下性质：220的所有真因数（不包括本身的因数）之和恰好等于284,同

时284的所有真因数之和也等于220,他把具有这种性质的两个整数叫作一对“亲和数”，“亲

和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮,已知220和284,1184和1210,2924和2

620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284

在同一组的概率为（）

1271

A.T7B.5C.D.T

1U1J

解析：由题意可得一共有CW种分组方法，若要满足22。和284在同一组，则分两种情

况讨论；①220和284在2个数这一组中，有C3种分组方法，②220和284在4个数这一组

中，有G种分组方法.

C?+Ci7

故所求概率p=一百一=记.

答案：C

7.（2024•河南新乡高三模拟）连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x,y,z,那么点

尸（x,y,z）到原点O的距离不超过3的概率为（）

4c7-11、।

A,27B,216C,72D,6

解析：点P(X,y,Z)到原点。的距离不超过3,贝|J^/X2+/4-Z2<3,即x2+y2+z209,

连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有6x6x6=216(个),其中(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),

(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)满足条件,

7

则点尸(%,y,z)到原点。的距离不超过3的概率为p=示.故选B.

答案：B

8.2020年11月5日—11月10口，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博

览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人们生活息息相关的科技专区.现从“高档家用

电器”“智能家居”“消费电子”“服务机器人”“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区

参观，则选择的两个专区中包括',人工智能及软件技术''专区的概率是()

A,ToB,ToC,5D,5

解析：分别记“高档家用电器”“智能家居消费电子"・'服务机器人”“人工智能及软件技术”

五个专区为A,B,C,D,E;从这五个专区中选择两个专区参观，所包含的基本事件有.44,

AC,ADtAEfBC,BD,BE,CDtCE,DE,共10个基本事件；选择的两个专区中包括“人

工智能及软件技术”专区(即E专区)，所对应的基本事件有AE,BE,CEfDEf共4个基本

42

事件.因此，选择的两个专区中包括''人工智能及软件技术”专区的概率是。=m=亍

答案：C

9.(2024.福建南安侨光中学第一次阶段考)如图所示的图形中，每个三角形上各有一个

数字，若六个三角形上的数字之和为21,则称该图形是“和谐图形二已知其中四个三角形

上的数字之和为14,现从123,4,5这五个数中任取两个数标在另外两个三角形上，则恰好

解析：由条件可知，要使该图形为“和谐图形”，则从123,4,5这五个数中任取两个数,

这两个数的和是7.这五个数中任选两个数包含(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5),

共有10种情况，其中和为7的有(2,5),(3,4)两种情况，所以恰好使该图形为“和谐图形”的

2I

概率—

答案：B

二、多项选择题

10.(2024•山东师大附中模拟)济南市组织2023年度高中校园足球比赛，共有10支球队

报名参赛.比赛开始前将这1。支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2022年度

冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组.已知这8支球队

中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件Mi,“乙队分在第一小组'为事件加2」甲、

乙两队分在同一小组”为事件加3,则()

A.P(/Wi)=1

3

B.P(M0=亍

C.P(M0+P(M2)=P(M3)

D.事件M与事件Mi相互独立

解析：对于A,因为甲队分在第一小组和第二小组的概率相等，且两种情况等可能，所

以故正确;对于B,8支球队抽签分组共有CQ70(种)不同方法，中、乙两队分在

3()3

同一小组共有QxA3=3O(种)不同方法，所以甲、乙两队分在同一小蛆的概率。(加3)=而=亍，

故正确；对于C,因为P(M)=P(M2)=；,所以P(M)+P(M?)=1泮(%),故错误；对于D,

7IQQ

因为夕(〃幽3)=消=币尸(如/也3)=污=力所以P(MIM3)=P(M>P(M3),所以事件

跖与事件％相互独立，故正确.故选ABD.

答案：ABD

II.(2024.山东泰安模拟)算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下

图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……上面一对珠子

(简称上珠)代表5,下面一粒珠子(简称下珠)代表I,五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大

小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、

十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A=”表示的四位数能被3整除”,

8="表示的四位数能被5整除"，贝lj()

?l卜珠

3I

A.P(A)=gB.P(B)=q

C.尸(AUB)=]1D.?(AB)4

解析：只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5,四位数的个数是2。=16,能被

3整除的四位数中数字1和5各出现2次，因此满足条件的四位数的个数是C3=6,所以尸(A)

=尚=].能被5整除的四位数的个数为下=8,P(B)=W，能被5整除且能被3整除的四

3

位数的个位是5,因此满足这个条件的四位数的个数是Cl=3,概率为尸(A8)=市P(AUB)

31311-

=P(A)+P(B)-P(A4)=豆+5一记=而•故选ACD.

答案：ACD

三、填空题与解答题

12.如图，从Ai(lOO),A2(2,0,0),&(0,2,0),Ci(0,0,l),Q(0,0,2)这6个点

中随机选取3个点，则这3个点与原点。共面的概率为.

解析：从6个点中随机选取3个点，共有&=20(种)，在平面。冲上有Ci=4(种)情况

与原点。共面，在平面0次上有CW=4(种)情况与原点。共面，在平面。广上有CJ=4(种)

情况与原点O共面，所以这3个点与原点。共面的共有4+4+4=12(种)情况，所以这3个

123

点与原点。共面的概率为五=?

答案：f3

13.(2024•北京海淀区模拟)现有7名数理化成绩优秀者,分别用4,4,4,&,

G,C2表示，其中4,4,A.的数学成绩优秀，Bi,&的物理成绩优秀，G,C2的化学成

绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛,

则4和Bi不全被选中的概率为.

解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各I名，所有可能的结果组成的

12个基本事件为(4,Bi,G),(Ai,Bi,C2),(Ai,&,G),(4,&,C2),(A2fBi,G),

(Az,B\,C2),(A?,9,C.),(A2fth,C2),(A3,BI,Ci),(4,Bi,C2),(4,Ci),

(4,Ih,Ci).

设“Ai和Bi不全被选中”为事件N,则其对立事件R表示“4和Bi全被选中"，由于N=

{(4,Bi,Ci),(Ai,Bi,C2)},

一?1

所以P(N)=工=不

由对立事件的概率计算公式，得

—15

P(N)=1-P(川)=1一不=不

答案:京

14.近几年来，首都经济社会发展取得新成就.2014年以来，北京城乡居民收入稳步增

长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升

级，城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图如图所示.(例如2014年北京城镇居民收入实

际增速为7.3%,农村居民收入实际增速为8.2%)

城镇居民收入农村居民收入

一一实际增速—实际增速

(1)从2014〜2018这五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；

(2)从2014〜2018这五年中任选两年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超

过7%的概率；

(3)由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？(不需证明)

解：(1)设“城镇居民收入实际增速大于7%”为事件A,由题图可知，

这五年中2014,2015,2016这三年城镇居民收入实际增速大于7%,所以P(A)=/

⑵设“至少有一年农村和城镇居民收