高中物理必修二同步讲义和答案解析-小船渡河问题

第五章抛体运动

专题3小船渡河问题

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课程标准核心素养

1、物理观念：最短时间、最短位移。

1.能利用运动的合成与分解的知识，分析2、科学思维：运动的分解思想与合成思想在渡河问题中

小船渡河问题.应用。

2.会分析小船渡河问题的两个分运动，会3、科学探究：探究水速大于船速和水速小于船速渡河最

求最短时间和最短位移问题.小位移和最短时间问题。

3.建立小船渡河模型的一般思路和解法.4、科学态度与责任：能用小船渡河问题的解题思想解决

类似问题。

1.2.3.

般知识精讲

知识点01小船参与的两个分运动

(I)船对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同.

(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行.

【即学即练1】如图所示，水流方向自左向右，在河岸八点的小船要到达正对岸的3点,

则小船船头应沿哪个方向行驶才有可能()

B

水流方眄

b~

A

A.aB.bC.cD.d

【答案】B

【解析】小船要到达正对岸的4点，根据运动的合成可知船在静水中的速度和水流速度的

合速度应该垂直指向对岸的B点，故选

知识点02两类最值问题

（1）渡河时间最短问题

由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度.因

此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可.由图甲可知，/

,=红，此时船渡河的位移x=-j,位移方向满足tan。=器

。船sin〃。水

（2）渡河位移最短问题

情况一：♦水V。船

最短的位移为河宽d,此时渡河所用时间/=—^，船头与上游

。喏sinu

河岸夹角。满足。船cos&=u水,即cos。=也，如图乙所示.

V«i

情况二：VAi>Vft；（

合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如一

✓

图丙所示，以。水矢量的末端为圆心，以。朋的大小为半径画圆弧，叼\・一7^；

当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大（设为一64~~曲

丙

«）,此时航程最短.由图可知sin。=手，最短航程为x=-J=•d.此时船头指向应与

。水sina

上游河岸成沙角，且cos小=广.

【即学即练2】如图所示，一条小船渡河，河水流速匕=3m/s,船在静水中速度

v2=4m/s,船头方向与河岸垂直。关于小船的运动，下列说法正确的是（）

A.小船的实际运动轨迹与岸垂直

B.此时小船的渡河时间不是最短

C.小船相对于岸的速度大小为5m/s

D.小船相对于岸的速度大小为7m/s

【答案】C

【解析】B.由于船头方向与河岸垂直，可知此时小船的渡河时间最短，故B错误;

ACD.小船相对于岸的速度大小为

v=1寸+.=>/32+42m/s=5m/s

设合速度与河岸的夹角为0,则有

tane=二=±

v.3

解得

6=53。

可知小船的实际运动轨迹与岸不垂直，故C正确，AD错误。

故选C。

Q能力拓展

考法01小船参与的两个分运动

【典例1】小船过河过程中，船头始终垂直对岸。已知小船的划行速度恒定，河水流速处

处相同且恒定不变。在下图中以虚线表示小船过河的轨迹示意图，可能正确的是（）

〃〃///〃〃,〃//〃夕〃〃〃/4/〃

///

a/&/扇/裕

水流/向

7777777777777777777777777777777T

A.①B.②C.③D.（4）

【答案】C

【解析】小船沿垂直河岸方向做匀速宜线运动，沿河水方向也做匀速直线运动，可知合运

动还是匀速直线运动，则小船的运动筑迹为③所示。

故选Co

考法02两类最值问题

【典例2】

如图所示，小船以大小为】，/、方向与上游河岸成。角的速度（在静水中的速度）从A处过

河，经过/时间正好到达正对岸的B处。现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达

正对岸/3处，在水流速度不变的情况下，不可采取下列方法中的哪一种（）

B

........L........a水流

上游…上、上......->

和4

A.只要增大力大小，不必改变〃角

B.只要增大。角，不必改变刃大小

C.在增大力的同时，也必须适当增大。角

D.在增大力的同时，也必须适当减小0角

【答案】ABD

【解析】由题意可知，水流的速度和河岸的宽度为

v2=vtcos0,d=vis\nO-t

现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下,

应满足（[和夕是变化后的速度和夹角）

vfsinO'>V]sin0,v；cosO'=v（cos0

可见当y；>甘时，则

o>0

可见要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸8处，在水流速度不变的情况

下，可■采取的方法在增大的同时，也必须适当增大〃角。

本题选不可采取的方法，故选ABD,

力分层提分

题组A基础过关练

1.在某次抗洪救灾中，救援人员发现一被困在车顶的人员，车不动但周围的水在流动，水

流方向与安全区域平行，如图所示，已知车离安全区域最近的距离d=20m,救援人员乘皮

筏从安全区域边缘去救援，皮筏相对静水的速度大小水流速度大小R=2m/s,

皮筏和车均视为质点，求：

（1）皮筏运动到车旁的最短时间

（2）在（1）中皮筏运动的位移大小

车

安全区域

【答案】（1）20s：（2）2075m/s

【解析】（1）皮筏船头垂直安全区域时，时间最短

d

t=­

匕

解得

u20s

（2）由题意知皮筏垂直水流方向的位移大小

y=J=20m

沿水流方向的位移大小

X=V2t

解得

.¥=40m

由几何关系知

s=\jx2+.v2=>/402+202m-2O\/5m

2.一小船在静水中的速度为5m/s,它在一条河宽为200m,水流速度为4m/s的河流中渡

河，则该小船（）

A.不能到达正对岸

B.渡河最短时间是50s

C.以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小是200m

D.以最短位移渡河时，位移大小是200m

【答案】D

【解析】AD.小船在静水中的速度大于水流的速度，当合速度与河岸垂直时，小船到达正

对岸。渡河位移最短为200m,A错误；D正确；

B.当静水中的速度与河岸垂直时，渡河时间最短，为

B错误；

C.以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小

x=匕｝Jmin=4x40m=160m

C错误。

故选Do

3.如图所示，河宽为d,汽艇在静水中航行速度大小为,/,水流速度大小为1%若汽艇始

终向着与河岸垂直的方向航行，则汽艇渡河的最短时间是（）

【答案】C

【解析】当船头垂直河岸过河时，船过河时间最短，即

故选C。

4.一小船渡河，河宽60m,河水的流速匕与船离河岸的距离d变化的关系如图所示，船在

静水中的速度-2=3m/s,若要使船以最短的时间渡河，则（）

60d/m

A.船运动的轨迹是直线B.船渡河的最短时间是12s

C.船在河水中的加速度大小为0.4m/s2D.船在河水中的最大速度是7m/s

【答案】C

【解析】A.由于水流速度变化，船头始终与河岸垂直，所以合速度方向变化，运动的轨

迹不可能是直线，故A错误；

B.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即

故B错误；

C.在d=0到d=30m之间时，由图可知，船沿河岸方向的速度

4,

v.=——a

'30

船垂直河岸方向的速度K=3m/s,则

由匕、匕的表达式知，船的合加速度

=—m/s=0.4in/s

10

同理可知，在d=50m到d=100m之间/=-0.4m/s2,划船在河水中的加速度大小为

0.4m/s2,故C正确；

D.船在河水中的最大速度

22

vm=v3+4nVs=5m/s

故D错误。

故选Co

5.洪涝灾害常常给我们国家带来巨大的经济损失，如图所示某救援队利用摩托艇将人员进

行转移。己知水的流速恒为9,水流的方向平行于河岸，摩托艇的速度恒为办，河宽为

d.该救援队由河岸的尸点出发，将被困人员转移到河对岸，PQ连线与河岸垂直。则下列

说法正确的是（）

Q

P

A.如果匕>岭，摩托艇可能到达Q

B.摩托艇运动到河对岸时的速度一定大于匕

C.摩托艇渡河的最短时旧为？

D.若摩托艇能到达。，则渡河时间为，

【答案】C

【解析】A.如果摩托艇的合速度方向不可能垂直于河岸，所以摩托艇不可能到达

Q，故A错误：

B.若满足彩>匕，则摩托艇的合速度方向可以垂直于河岸，当摩托艇以垂直河岸的合速度

方向到达对岸时，摩托艇的合速度大小为

2=5/一一片<V2

故B错误；

C.当摩托艇分速度匕垂直于河岸时，渡河时间最短，则有

d

fm\n~一

V2

故C正确；

D.若摩托艇能到达0,则摩托艇的合速度方向垂直于河岸，此时合速度大小为

渡河时间为

ddd

t=—=/>—

%v2

故D错误。

故选Co

6.如图所示，一艘小船要从。点渡过一条两岸平行、宽度为d=100m的河流，已知河水

流速为q=4m/s,小船在静水中的速度为%=2m/s,8点距正对岸的A点％=173m,下面

关于该船渡河的判断，其中正确的是（）

A.小船过河的最短时间为50s

B.小船过河的最短航程为100m

C.小船以最短时间过河将在A、8两点间靠岸

D.小船可以在对岸A、8两点间任意一点靠岸

【答案】A

【解析】A.小船过河的最短时间为

d100m

'min=—=---------------=5()S

minc/

v22m/s

故A正确;

B.因为水流速度大于船在静水中的速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可

能到达正对岸，渡河航程一定大于河宽100m,故B错误;

CD.当合速度的方向与相对水的速度的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最大，渡

河航程最小；根据几何关系，则有

—上

dv2

因此最短的航程是

5min=-^J=200m

V2

沿河岸的最小位移为

%面=-/=100Gm>173m

故CD错误。

故选Ao

题组B能力提升练

7.（多选）如图所示，某•段河流的两岸相互平行，各处的水流速度相同且平稳，小船以

大小为q=5m/s（在静水中的速度）、方向与上游河岸成角。=53、的速度从A处渡河，经过

一段时间/=60s正好到达正对岸的4处，则下列说法中正确的是（）

B

A.河中水流速度为3m/sB.由已知条件可知河宽为240m

C.小船渡河的最短时间为60sD.小船以最短的时间渡河的位移是

d=240m

【答案】AB

【解析】A.小船垂直渡河，由平行四边形定则

匕｝:=v,cos0-3m/s

A正确：

B.由小船在垂直河岸方向做匀速直线运动可知，河宽为

d=匕sin0/=240m

B正确；

（:.小船船头指向正对岸时，渡河时间最短，最短时间为

U=~=48s

C错误；

D.小船以最短的时间渡河的位移为

s=%=赤+-,f=48属m

D错误。

故选ABo

8.（多选）如图所示，一条两岸平直宽为乙=120m的小河，河水流速的大小处处相等，一

人驾驶小船由渡口A驶向渡口从船头始终朝向河对岸，已知船在静水中航速恒定，且船

在静水中的速度与河水的流速之比为2：1,若该船到达对岸需要60s。若以地面为参考

系，则下列说法正确的是（）

A.河水流速为2m/s

B.船的速度为石m/s

C.船在渡河时轨迹是一条直线，且与水平方向所成夹角为60°

D.船在渡河时轨迹是一-条直线，且与水平方向所成夹角大于60。

【答案】BD

【解析】AB.船在静水中的速度

—=2m/s

河水流速为

vzk=2V»=lm/s

船的速度为

%=J嗓+%=J5m/s

A错误，B正确；

CD.船在渡河时轨迹是一条直线，与水平方向所成夹角为仇有

tan6>=-^-=2>ian600=V3

煤

C错误，D正确。

故选BD：；

9.（多选）运动员在河面1：做划船运动训练，河水流动的速度u大小不变，方向沿河岸向

下游方向，运动员划船的速度方向沿船头方向，大小不变。如图所示，为五幅描述船过河

的航线图，图中虚线表示船运动的实际航线。下列说法正确的是（）

河岸河岸河岸河岸河岸

NANN

:%

b

A现,

0.必

,U

•,

一

ZS.克V

nzUV

河岸M河岸M河岸M河岸M河岸M

甲乙丙丁戊

A.甲、乙、丙、「四幅图描绘的航线都可能是符合实际的船过河的航线

B.甲图所绘航线是符合实际的，船头保持甲图所示方向航行，船过河时间最短

C.丙图所绘航线是符合实际的，船头保持丙图所示方向航行，船过河位移最小

D.乙图和戊图所绘航线都是符合实际的，船头保持图示方向航行，船过河位移都可能最

小

【答案】BD

【解析】船在河面航行过程中同时参与了水流的运动和划船的运动，实际运动是两个运动

的合运动，在五幅图中做出速度合成的矢量图如图所示。

河岸

河岸M

乙丙丁戊

AC.由图可见甲、乙、戊三幅图描绘的航线都是符合实际的，故A、C错误：

B.甲图航线过河时，船在垂直于河岸方向的速度最大，所以过河时间最短，故B正确；

D.船沿乙图航线航行，唏,也船垂直于河岸过河，位移大小等于河宽，最小；船沿戊图

所示航线航行，"〈乙当划船速度/方向与合速度飞方向垂直时，航线与河岸M的夹

角最大，过河位移最小，故D正确。

故选BDo

10.（多选）五一假期，张勇戴着OPPOEncoW51耳机和。PP。手环在河边听音乐，看见

河中央处有一漂流物A（可视为质点）顺流而下，有人在岸上用长竹竿打捞，张勇发现

后，立即在8点跳入河中，刚好在8点正前方的。处拦截到漂流物，如图所示，河宽d=60

机，水流速度力=4m/s,8。连线垂直河岸，AC平行河岸且距离L=40〃?。此过程中张勇相

对于水的速度恒定。则下列说法中正确的是（）

*I

B

A.游泳时，人划水身体就能往前游，是因为力的作用是相互的。

B.此过程中张勇相对岸的速度人小一定是3m/s

C.若水流速度加倍，要在C点拦截成功，则张勇相对水的速度大小为10m/s

D.若水流速度加倍，无论如何不可能在C的拦截

【答案】ABC

【解析】A.游泳时，人划水身体就能往前游,，是因为力的作用是相互的，符合牛顿第三

定律，故A正确；

B.要刚好在C点完成拦截，漂流物到达C点的时间

L

/=—=10s

4

张勇相对岸的速度方向必须是沿BC方向，因而

d

v=——=3m/s

2t

故B正确；

C.水流速度加倍，到C点时间减半，张勇相对岸的速度变为6m/s,由勾股定律得相对水

的速度为lUm/s,故C正确；

D.水流速度加倍，改变相对水的速度大小和方向，可以在C点拦截，故D错误。

故选ABCo

题组C培优拔尖练

11.如图所示，一条小船位于d=200m宽的河正中A点处，从这里向下游lOoVJm处有一

危险区，当时水流速度为v/=5m/So

(1)若小船在静水中速度为力=4m/s,小船到岸的最短时间是多少？

(2)若小船在静水中速度为也=4m/s,小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及

所用时间？

(3)为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是？

X

[100>/3m危

险

•

区

【答案】(1)25s；(2)41.7s；(3)2.5m/s

【解析】(1)当船头方向垂直河岸时，则渡河时间最短，则最短时间为

/=—=25s

2V2

(2)水速大于船速，小船不能垂直过河，设船航行的速度方向与下游河岸夹角为6则航

桂

d

x-----

2sinp

则尸角越大，航程越短，当外角最大时，航程最短，船头指向如图所示

y

/

sin/?=-^-=—

v,5

则

/?=53°

则船头的方向与上游河岸成37。角，此时，航行的位移为

船航行的速度

%=Vvi2-v2=3m/s

所用时间为

t=—=41.7s

%

（3）小船避开危险区沿直线到达对岸，合速度与水流速度的夹角为a,即有

100

tana=-------产

100V3

则

a=30°

小船在河水中运动时，当小船在静水中的速度与合速度垂直时，小船在静水中的速度最小

为