广东省惠州市2025-2026学年高二年级上册12月联考数学试题+答案

广东省惠州市2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知G=(2,—l,3),d=(3,5,-l),则2d一6等于()

A.(1,-7,-1)B.(1,-7,7)C.(7,3,5)D.(7,—3,—5)

2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线9-y2=1的渐近线的距离为()

A.-B.—C.-D.—

5555

3.若经过4(m,2),两点的直线的倾斜角为45。，则旭=()

A.-4B.-2C.-4D.2

4.若育线k：2x-y+l=0与直线。：心:+¥-2=0(46阳平行，那么这两条直线之⑶的

距离为()

A.。B.Ac.越D.三

5555

5.已知圆C:Q—3)2+0-2)2=1,直线/过点(1,3)且倾斜角为。，则“直线/与圆C相切”

是“a=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.下列说法正确的是()

A.若:•!<(),则V>是钝角;

B.直线/的方向向量==(0,1,-1),平面a的法向量五=(1,一1,一1),则EJLQ

C.直线:经过点4(2,3,1),8(0,1,0),则P(,3,2)到［的距离为向

D.若{五石，可是空间的一组基底，贝lJ{G+E范+己才+不也是空间的一组基底

7.用、Fz是椭圆C：5+，=l(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且就1场.

若APF/Z的面积为16,则b=()

A.2B.3C.4D.8

8.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近

似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆

所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0),半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y='加与半圆

D.乳或+1)

二、多选题

9.已知圆。：工2+y2=4和圆M：%2+y2+4%一2y+4=0,下列说法正确的是()

A.两圆的公共弦所在的直线方程为y=2%+2

B.圆。上有2个点到直线％+y+2=0的距离为企

C.两圆有两条公切线

D.点E在圆。上，点尸在圆M上，|EF|的最大值为遥+3

10.如图所示，在棱长为1的正方体中，。为BD的中点，直线41c交平面

)

B.aCJ_平面GBO

C.直线力1Q与平面/BQ。］所成的角为！D.当到平面G8。的距离为《

62

11.下列说法正确的是()

A.直线xcosO+V3y+2=0的倾斜角的范围是［o,,U售豆)

B.方程收+4产+产-R(x-4/+*=6表示的曲线是双曲线的右支

C.已知向量G=(9,4,-4),5=(1,2,2),则d在B方向上的投影向量为(1,一2,2)

试卷第2页，共4页

D.直线(3+rri)x+4y-3+3m=0(meR)恒过定点(-3,-3)

三、填空题

12.双曲线《一。二1的离心率为_______.

24

13.当点尸在圆/+y2=1上运动时，连接点p与定点Q(3,o),则线段PQ的中点M的轨迹

方程为.

14.平行六面体A8CD-力道传也的底面4BCD是边长为2的正方形，且乙/1遇0=乙&48=

60°,AAt=3,M为4劣久的交点，则线段BM的长为.

四、解答题

15.已知力(-2,0,2),8(—1,1,2),。(-3,0,4),a=AB,b=AC.

⑴求cos〈d,B)；

(2)若々6I族与麻23互相垂宜，求实数A的值；

(3)若同=3,c\\BCf求［的坐标.

16.已知圆C的圆心在x轴上，且经过4(3,0),B(l,2)两点，

(1)求圆。的方程；

(2)过点尸(0,2)的直线，与圆C相交于M,N两点，且|MN|=2g,求直线，的方程.

17.已知椭圆C：撩+'=l(a＞方＞0)的离心率为点焦距为2.

⑴求椭圆的标准方程；

(2)若直线I：y=-％+m(mWR)与椭圆C相交于A,8两点，且岫弁•七夕=：.求弦长|力8|.

O

18.如图1,正三角形力BC的边长为4,CD是AB边上的高，E,『分别是力C和8c边的中点,

现将△48C沿翻折成直二面角4一。。一8,如图2.

(I)试判断直线48与平面DE尸的位置关系，并说明理由；

(2)求二面角E-DF-C的余弦值；

(3)在线段BC上是否存在一点P,使APJLOE?如果存在，求出装的值；如果不存在，请说明

理由.

19.二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线，举例

如卜.：二次函数y=x2+1的图象可以由y=M的图象沿向量元=(0,1)平移得到；抛物线

y=x2,即/=y的焦点坐标为(o3),准线方程为y=—；；故二次函数y=/十1的焦点

坐标为(03),准线方程为y=：.

⑴求二次函数y=；/_%+1的焦点坐标和准线方程；

(2)求二次函数y=ax2+以+c(aH0)的焦点坐标和准线方程：

(3)设过4(4,1)的直线与抛物线y=-％+1的另一-个交点为8,直线48与直线y=x-4

交于点P,过点P作％轴的垂线交抛物线y=+i于点N,是否存在定点G,使得8,N,G

三点共线？若存在，请求出定点G的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

《广东省惠州市2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BDCDBDCBBCDABC

题号11

答案AB

1.B

【分析】根据空间向量坐标运算法则计算可得.

【详解】因为2=(2,-1,3),5=(3,5,-1),

所以2五-5=2(2,-1,3)-(3,5,-1)=(1,-77).

故选：B

2.D

【分析】先求出焦点坐标(1,0)和渐近线方程为工±2y=0,再利用点到直线的距离公式即可

求出结果.

【详解】因为抛物线必=4%的焦点(1,0),又双曲线?一步=1的渐近线方程为％±2y=0,

所以焦点到双曲线渐近线的距离为d=?===^.

故选：D.

3.C

【分析】根据过两点的直线的斜率公式列方程求解.

【详解】因为经过4(m,2),—两点的直线的倾斜角为45。，

所以该直线的斜率以B=tan45。，即筌?=1，解得m=

故选：C.

4.D

【分析［根据两直线平行可得参数K进而确定平行线间距离.

【详解】々已知直线，i：2x-y+1=0与直线G：kx+y-2=0(kGR)平行，

则2x1—(-l)/=0,即左=一2,

此时直线，1：2x-y+l=0与直线%：-2工+y-2=0,即％：2x-y+2=0满足平行，

则两直线间距离d=-j===£，

故选：D.

5.B

答案第1页，共11页

【分析】先化简“直线/与圆C相切”得到a=0或者tana=再利用充分条件必要条件的

定义判断得解.

【详解】当直线/没有斜率时，a=90。,与圆不相切.

当直线I有斜率时，设直线方程为y-3=A(x-1),kx-y-k+3=0,

由题得13k百?3|=需=1忆=o或者忆=_i

V/c2+l叱+13

所以a=0或者tana=-9

所以“直线/与圆。相即喊立，贝广a=0”不一定成立；“a=0”成立，则“直线/与圆C相切”

成立.

所以“直线/与圆。相切”是"a=0”的必要不充分条件.

故选：B

6.D

【分析】对于A,由五不＜0,得到是钝角或平角判断；对于B,由G与元是否共线

判断；对于C,易得而•而=0,从而|而|即为所求；对于D,假设&+E石+6王+G三个

向量共面，由&+B=x(b+c)4-y0+五)是否成立判断.

【详解】对于A,若GivO,则是钝角或平角，故A错误；

对于B,因为直线I的方向向量五=(0,1,-1),平面a的法向量五=(1,-1,-1),

则一中5#3，故五与元不共线，即1_1_戊不成立，故B错误；

对于C,因为4(2,3,1),8(0,1,0),P(|，3,2),

则荏=(一2,—2,—1),AP=.•.通.而=0,

故P信3,2)到/的距离为国=J(-02+O2+l2=孚，故C错误；

对于D,假设G+氏族+己,+&三个向量共面，贝皈+B=x(B+丹+y(F+G),

所以G+B=yd+/+(x+y)c,又｛2A3｝是空间的一组基底，

(7=1

所以x=1,无解，即6+另行+己5+后不共面，

lx+y=0

所以｛G+汇族+己下+4也是空间的一组基底，故D正确；

故选：D

7.C

答案第2页，共11页

2

【分析】由丽1丽得|P0|2+\PF2\=4c2,EtuPF/2的面积为16得前吊|仍尸=16,

再加上定义|PF/+|PFzl=2a,即可联立得4a2=4c2+64,即可由喧=Q2-c?求b.

2

【详解广••丽工丽,△PF/2的面积为16,・・，上吊|伊丹|=16,|P&|2+\PF2\=|吊尸2/=

4c2,又|PFJ+\PF2\=2a,

22222

则(|PFil+\PF2\)=IP川2+|PF2|+2|PFJ•\PF2\=4a=4c+64,即有/=a-

c2=^=16».*.b=4.

故选：C.

8.B

【分析】先根据题意得到半圆的方程和半椭圆的方程，从而求得点A和点8的坐标，即可求

得|45|,进而即可求得△A8F的面枳.

【详解】由撅意知，半圆的方程为/+丫2=9(%<0),

设半椭圆的方程为5+^=l(a>/?>0,x>0),

则b=c=3,所以a?=b2+c2=18,

故半椭圆的方程为1+4=1(%>0),

loV

设4(%I，|V5),则好+(|&)=9,所以与=_|企，

设B(&1巧,则粤>=1,所以%2=3,

故|物=3+1V2,S&ABF=I-MB|.1V2=j(V2+l).

故选：B.

9.BCD

【分析】先判断两圆的位置关系，得出公切线条数，由此判断C；两圆作差得公共线直线方

程，由此判断A；求出圆心到直线48的距离，从而得到R-dvVL进而判断B；但尸|的

最大值为|0M|加上两圆半径，由此判断D.

【详解】对于C,因为圆0:/+y2=4,所以圆心。(0,0),半径为R=2,

因为圆M:/+y24-4x-2y+4=0,可化为(％+2)2+(y-l)2=1,

所以圆心M(-2,l),半径为r=l,

则2-1V|0M|=6V2+1,所以两圆相交，

则两圆有两条公切线，故C正确：

答案第3页，共II页

对于A,两圆作差得4x-2y+4=-4,即y=2x+4,

所以公共弦所在的直线方程为y=2%+4,故A错误；

对于B,圆心。(0,0)到直线“+y+2=0的距离为d=焉=企,

则R—d=2-衣Va,

所以圆。上有2个点到直线x+y+2=0的距离为鱼，故B正确;

对于D,|£7qmax=|0M|十2+1=遥十3,故D正确.

故选：BCD.

10.ABC

【分析】首先建立空间直角坐标系，利用向量法证明位置关系，以及利用向量法求线面角,

和点到平面的距离.

【详解】如图，建立空间直角坐标系,U(l,0,l),1(0,1,0)，(0,1,1),D(0,0,0),

以1,1,0)，

A^C=(-1,1,-1),C^D=(0,-1,-1),砧•亭=0,即故A正确;

砺=(1,1,0),卡•丽=-1+1=0,则4C1D8,月.

OBnGQ=O,DB，G。u平面C/D,所以4C1平面G8D,故B正确;

4(100),G(0,l,l),5(001),8(1,1,0),4(1,0,1),

AB=(0,1,0),彳瓦'==(-1,1,0)

设平面月3。1。1的法向量为沆=Q,y,z),

(^B^m=y=0,令"i,则z=i,

{AD1-m=—%+z=0

所以平面ABC1。1的法向量为沅=(1,0,1),

设直线4G与平面48Gs的夹角为仇

则sing=|cos(4iG，沅)|=所以8=%故C正确；

由B诜项可知，4iC_L平而G80,A^C=(-14,-1)

答案第4页，共11页

所以平面GBD的法向量为卡=

当(1,1,1),8(1,1,0),庭=(0,0，-1),

点当到平面GB。的距离d=|零答卜专=今故D错误.

故选：ABC

11.AB

［分析］根据直线的斜率定义结合三角函数的范围计算得到直线的倾斜范围；根据双曲线定

义判断曲线形状；利用投影向量的定义计算即可：根据直线方程解得恒过的定点.

【详解】对于A,直线的斜率k=-geos。6卜今斗

・••直线的倾斜角的范围是底］U售IT),故A正确；

对于B：设P(x,y),71(-4,0),8(4,0),则方程等价为|PA|-|PB|=6V|45|=8,

则根据双曲线的定义可知,P的轨迹是以4、B为焦点的双曲线的右支,故B正确:

对于C,，在3方向上的投影向量为熟高=%■；)＞就治=(122),故C不正确;

对于D,直线方程整理为：m(x+3)4-(3x+4y-3)=0,

由13%：：；=3°=0,解得故该直线恒过定点(一3,3),故D错误；

故选：AB.

12.V3

【分析】由双曲线的标准方程和离心率的计算方法直接计算即可.

【详解】由双曲线标准方程知小=2,炉=4,c?=a?+/=6,则e=(=*=百.

故答案为：V3.

13.(x-1)2+/=i

【分析】设点M(x,y),利用相关点法求点的轨迹方程.

【详解】设点M(%y),因M是线段PQ的中点，则点P(2x—3,2y),

可得(2%-3)2+(2y)2=1,即卜一习+y2=；,

所以点M的轨迹方程为。•一|)2+/=；.

故答案为：［一习2+丫2=：

14.V11

答案第5页，共11页

【分析】由丽=丽+3而-3而平方即可求解.

【详解】由题意可知：丽=西+(瓦苏=西+^(7万一无瓦)=初+;而一:肉,

22

贝丽2=(丽+|A5-9了=AA^+^AD+浑2+丽＞.而_可.而一逆.AD

=9+l+l+3x2x1-3x2x1-0=ll,

所以|百祈］=VTT.

故答案为：VT1

15.(1)--.

'，10

(2)k=一^或k=2.

(3圮=(-2,-1,2)或2=(2,1,-2).

【分析】(1)首先求出向量乩3的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可：

(2)首先求出AG+族与媪-2族的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可；

(3)根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可.

【详解】(1)因为4(-2。2),5(-1,1,2),a=AB,b=AC,

所以G=(l,l,0),£=(-1,0,2),

则3偏方)=翻=品=一噂.

(2)因为W=(1,1,0),S=(-1,0,2),

所以kd+石二伏-1,k,2),ka-2b=Ck+2,k,-4).

又k&+B与kd-25垂直,

所以(kd+b)-{ka-2b)=(k-l)(k+2)+/c2-8=0,

解得k=一|或k=2.

(3)由题可知，~BC=(-2,-1,2),

由冽丽，知存在实数m,使得王二m近，即1=(一2m,-m,2m).

因为用=3,所以(一2m)2+(-m)2+(2m)2=32,解得m=±1,

所以,二(-2,—1,2)或,=(2,1,-2).

16.(l)(x-I)24-y2=4

(2)x=0或3%+4y-8=0.

【分析】(1)设出圆。的标准方程(％—Q)2+y2=r2,由圆。经过点4(3.0),F(1,2),代入圆

答案第6页，共11页

的方程，建立关于a和r的方程组，求得。和r,即可得圆的方程；

(2)由直线/被圆C截得的弦长，求出C到侑勺距离，对直线I的斜率分是否存在两种情况讨论，

由弦心距列方程即可得答案.

【详解】(1)因为圆C的圆心在％轴上，所以设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(r>0),

因为圆C经过4(3,0),8(1,2)两点，

所以中「弋解得｛"]

((1-ay+22=r2<r=2

所以圆C的方程为(％-I)2+*=%

(2)由(x-l)2+y2=4,可得圆心C(l,0),半径为r=2,

因为直线，与圆C相交于M,N两点，且|MN|=2V3,

所以圆心C到直线I的距离为d=卜一(等?=],

当直线，的斜率不存在时，直线I为％=0,满足题意；

当直线，的斜率存在时，设直线I的方程为y=kx+2,即kx—y+2=0,

则黑=1,解得k=

V1+/C24

所以直线，的方程为y=-：%+2,UP3x+4y-8=0,

综上直线I的方程为x=0或3x+4y-8=0.

17.⑴*=1

(2咛

【分析】(1)利用椭圆的离心率和焦距求出c、Q,再通过a、氏c的关系求得出进而得到

椭圆的标准方程.

(2)联立直线与椭圆方程得到一元二次方程，借助韦达定理结合斜率乘积的条件求出m,

再利用弦长公式计算弦长

【详解】(I)•・•椭圆C：9+卷=l(Q>b>0)的离心率为:，故：=

又焦距为2,故2c=2,即有c=l,a=2,=Va2-c2=V3,

・••椭圆C的方程为[+：=1；

43

(至匕_

(2)联立43一，消去y整理得7/—8mx+47九2-12=0,

y=-x+m

答案第7页，共11页

由小=(-8m)2—4x7(47n2—12)>0,则TH?<7,

设力(％1/1)，8(&/2)，则％1+%2=等，

故％为=(一无1+m)(一切+m)=%1无2-m(Xl+x2)+加2="”'J2,

UAz

XiX24m-128

化简得m?=1,即m=±l,满足m2V7,

2

故|/W|=yjl+(-1)-VUl+X2y-4x^2=y.

18.⑴AB||平面DEF,理由见解析；

(2呼

(3)存在,黄=也

【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可求解；

(2)建立空间直角坐标系，求平面CDF和平面DEF的法向量，即可求解；

(3)设P(s,t,0),根据而•丽=0,丽〃无求出点P的坐标，即可得前=：丽.

【详解】(1)在△ABC中,

IMl分别是>C,BC中点,

：,EF//AB.又ABU平面DEF,

EFu平面OEF,

，48//平面OEF.

(2)因为二面角4-DC-8为直二面角，即平面4DC1平面BDC,

且AZ)1DC,平面为DCC平面BDC=DC,

所以4D1平面BDC.

如图，以点。为坐标原点，以直线0B,0&ZM分别为％粕I、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,

则4(002),8(200),6(0,273.0),E(0,V3,l),尸(1,点,0),

答案第8页，共11页

所以而=(1,百,0),屁=(0,我,1),石5=(0,0,2).

易知平面CDF的法向量方彳=(0,0,2).

设平面尸的法向量五=(x,y,z),

则砰•荏=0,卜+岛=。

l，

lDS-n=0.(V3y+z=0

取x=3,则n=(3,—g,3),

所以8他洞=编哼

所以二面角E—DF—C的余弦值为*|上

(3)存在.设P(s",0),有方=(s,£,-2),则万•丽=V5t-2=0,

.・・£=2

3

又丽=(s-2,£,0),PC=(-S,2A/3-t,0),BPWPC,

(s-2)(^2V3-t)=—st9

:•6s+t=2>/3.

把亡=畔代入上式得s=1,

DJ

：.BP=^BC,在线段BC上存在点P,使4PJ.0E,此时，费二(

19.(1)焦点坐标为r(2,1),准线方程为y=-l.

(2)焦点坐标为(-/,若产方准线方程为、=若产・

(3)存在，6(4,2)

【分析】(1)根据函数平移得出焦点户的坐标和准线方程：

(2)首先配成顶点式，再根据向量平移得到焦点坐标与准线方程；

(3)先考虑过4(2,1)的直线与抛物线y=：工2的另一个交点为夕，直线4夕与直线y=x-2

交于点P',过点P'作x轴的垂线交抛物线y=［产于点讨论是否存在定点O,使得BIHG，

三点共线；设设01巧,?)，表示出直线HZT的方程，即可求出行,，从而求出N，的坐标，表

答案第9页，共11页

示出直线*”的方程，求出定点坐标，即可得解.

【详解】(1)二次函数y=7X2-x+1=7(x2-4x+4)=-(x-2)2,