广东省深圳市某校2025-2026学年高二年级上册期中考试数学试题（解析版）

广东省深圳市某校2025-2026学年高二上学期

期中考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若直线的倾斜角为120。，则直线的斜率为（）

A.V3B.-V3C.旦D.一且

33

【答案】B

【解析】^=tan120°=-5/3.

故选：B.

2.已知圆C的方程Y+）2+2。），=0（/?工0）,则圆C的圆心坐标和半径分别为（）

A.（0,〃），bB.（0,-Z?）,b1

C.（0,-Z?）,\b\D.（0,/?）,\b\

【答案】C

【解析】由/+），2+2勿,=o且o化为标准形式/+⑶+初2=b2,

故圆心为（。,-力），半径为IM.

故选：C.

3.原点关于直线8x+6.y=25的对称点坐标为（）

（3、12525、

A，［?2jB•黑母

C.（3,4）D,（4,3）

【答案】D

【解析】设原点关于直线8X+6），=25的对称点坐标为4（“〃），

4

直线8.r+6），=25的斜率&=一一，

3

因为直线Q4与已知直线垂直，.•.必八二一二一，即〃①

4a

且线段A。的中点“在已知直线上

/f\

将8代入直线8x-6y=25得：4。+3b=25②

122）

联立①②解得：。=4力=3

.♦.A的坐标为(4,3).

故选：D.

4.过抛物线)，2=4x的焦点作直线/交抛物线于A、B两点,若线段A8中点的横坐标为

3,则|A8|等于

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】由题设知知线段48的中点到准线的距离为4,

设A,8两点到准线的距离分别为力，山，

由抛物线的定义知：

\AB\=\AF\+\BF\=di+^=2x4=8.

故选C.

5.已知直线4：4x—3y+6=0和直线&:x=-l,抛物线y2=©上一动点〃到直线4和

育线的距离之和的最小值是

।[37

A.2B.3C.—D.—

516

【答案】A

【解析】直线12：X=-1为抛物线y2=4x的准线.由抛物线的定义知，P到12的距离等于

P到抛物线的焦点F(1,O)的距离，故本题转化为在抛物线y2=4x上找一个点P,使得P到

点F(l,0)和直线L的距离之和最小，最小值为F(l,0)到直线h：4x-3y+6=0的距离，即

6.双曲线乂一二二1(〃>0,〃:>0)一条渐近线的斜率为石，一个焦点在抛物线

a-b-

)户=24/的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为()

A.—B.2C.35/3D.6

2

【答案】A

2=6

【解析】由题设“且/+〃=,2,可得。=3,

c=—=6

所以双曲线一个顶点为（3,0）,一条渐近线为5-），=0,

Ix/3x3-()|3百

则顶点到渐近线的距高为

、+i~2~

故选：A.

7.已知椭圆Cmx2+ny2=\,过椭圆C的焦点尸（6,0）的直线/与椭圆C相交于《，

'9.*/3、

八两点，设线段《鸟的中点为P.若尸—,一——,则加+〃=（）

\7

A.-B.；C.1D.9

32

【答案】B

【解析】已知椭圆C掰/+江=1的焦点网、万,（）），故椭圆焦点在x轴上，标准形式

为

xy,,।,

11»其中=一力~=—，且C?="—=3,得方程-----=3(1),

mninn

mn

o/o）h

设直线，与椭圆C相交于1（X［，X）,《（々，为），中点为「一T，一一1

则x+/=$，y+K=-乎，直线/过尸（6，o）和尸.

其斜率为4二2,将R,代代入椭圆方程并相减.得:

机（玉2_/2）+〃（）2—乃2）=（）,因式分解后除以％一与，得:

+々）+〃（乂+必）左=°，代入玉+々、y+%、上的值:

1673

m------+n・2=0,化简得:16m-8#)几=0，

9

11

即2〃?=〃(2),联立(1)(2),将〃=2相代入(1)：=3,

m2m

所以—=3,即加=1，MHn=2m=-,故/〃+〃=［+!=」.

2m63632

故选：B.

尸

8.如果方程一十•二1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是

-P

（）

x2y2

A.------+—=

2p+qp2q+pp

万/y2

------+J=1

2p+qq2q+Pq

【答案】A

【解析】若〃>0国>0,则方程］一］二1表示焦点为仪,±/西）的双曲线,

此时选项A和选项B中的方程表示的曲线不存在，

选项C和选项D中的方程表示焦点在x轴的椭圆，所以〃>0,q>0不合题意，

若P<O,”O,则方程5-\=1表示焦点为心历耳,0）的双曲线,

此时选项C和选项D中的方程表示的曲线不存在，

22______

又广+上=1表示焦点为（土1一〃一以。）的椭圆,符合题意，

-2p-q-p'f

—+上一二1表示焦点为（±J百,（））的椭圆，不合题意，

-2q-p-p'/

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

22.

9.已知双曲线M：三一匕=1过点（3,a），则下列结论正确的是（）

3mV7

A.M的焦距为4

B.M的渐近线方程为y=±gx

CM的离心率为G

D.直线x-石y-l=0与M有两个公共点

【答案】AB

r22「

详析】由双曲线C:二一上v-二1过点（3,&）,可得m=1,

3m

2

则双曲线M的标准方程为：--/=1：

3

所以a=出力=l,c=JJ仔=2,因为双曲线M的焦距为2。=4,所以选项A正

确；

因为双曲线用的渐近线方程为），=±#x，所以选项B正确；

因为双曲线例的离心率为£=2=2叵，所以选项c不正确；

QG3

22r1

将直线x-6），-1二0与双曲线土-y2=i联立消）,可得：__一一=1,

333

化简可得x=2,此时），二立，所以直线21一6），-1二0与双曲线M只有一个公共点

,3

（2,乎），所以选项D不正确；

故选：AB.

10.已知点/>在圆（工一5）2+（>一5）2=16上，点A（4,0）、8（0,2）,则（）

A.点〃到直线A8的距离小于10

B.点p到直线A5的距离大于2

C当/尸84最小时，|Pq=3五

D.当NP84最大时，|P闿二3五

【答案】ACD

【解析】圆（/一5丫+（."5）2=16的圆心为M（5,5）,半径为4,

直线A3的方程为:+]=1，即x+2y-4=。，

圆心M到直线AB的距离为B：2x5-4=H=>4,

Vl2+22旧5

所以，点。到直线48的距离的最小值为小叵-4<2,最大值为凶+4<10,A选项

55

正确，B选项错误;

如下图所示:

当NP8A最大或最小时，相与圆M相切，连接MP、8M,可知PMLPB，

\BM\=^/（0-5）2+（2-5）2=x/34,|阴=4,由勾股定理可得

\BP\=^|w|2-|M/f=372，CD选项正确.

故选：ACD.

11.已知抛物线。：9=2/»（〃>0）,过抛物线C的焦点”的直线/与抛物线C交于4,

8两点，4（%,y）,8（々,%），过A，8两点作抛物线。的准线的垂线，垂足分别为M,

M则下列结论正确的是（）

A.XX=9B.OAOB=-p2

}24

C.ZMFN=-D.8,。，M三点共线

2

【答案】ACD

[解析】设过抛物线C:y2=21Mp>0）的焦点/的直线为x二吁々,

代入抛物线方程得y?-2p冲-p2=0,且入（牛凶）,8天,％），

2

则Ji+y2=2pm,y{y2=-p，

所以王々二+"|,卜）'2+"!）=机%必++）'2）+£-=/-，A正确;

所以OA-OB=%毛+y\y2—£—p~——二>B错误；

由|AF|=|AM],忸耳=|RV|，则ZAFM=ZAMF/BFN=4BNF,

又ZMAF+ZAFM+ZAMF=ZNBF+ZBFN+/BNF=180。，

/l\4AF+/NBF=180。,

所以AAFM+ZAMF+4BFN+4BNF=180。，则ZAMF+4BNF=90°,

由ZAMN+/BNM=ZAMF+/BNF+/NMF+/MNF=180。，

故NWb+NMV/=90。，

所以/MRV=180O—(NMWU/MV/)=90。，C正确;

k二%二%二2〃

由M(-§，X),则心M二-一—,而x221y2，且凶)?=-/，

P2P

k=2〃_2)1

所以°Bp°M,即&o,M三点共线,D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知“BC的三个顶点分别是A(l,3),5(3,1),。(一1,0),则"BC的面积为

【答案】5

【解析】由题知43—U(3-1尸+(1-3)1=2、/，边43所在直线的方程为口=二,

I—3i-I

1-1+0^5

即x+y—4=0,所以点C(—1,0)到直线48的距离d=，4叶：=方，

因此S“8C=；X2&X志=5.

13.已知点A(3,2)和8(-1,4),直线y=at+l与线段AB有公共点，则实数a的取值范围

【答案】(F,-3]jg,+8)

2-114-1

【解析】由y=ar+l过定点C(0,D,则上“•=——=->k=-----=-3,如下图,

⑶3-03HC-1-0

由图，要使直线y="+l与线段A3有公共点，则。£（—8,-31U写,+8）.

故答案为：（一8,-3儿［g，+8）.

22

14.过双曲线二一与=1（。>0,>0）的一个焦点尸作一条渐近线的垂线/,垂足为点

a2b2

A,垂线/与另一条渐近线相交于点及若A是线段/力的中点,则双曲线的离心率为.

【答案】2

【解析】设F（c,0）,另一个焦点为巴,

设/与旷=2不垂直，垂足为点A,与），二一2%交于点B,

aa

因为A是线段网的中点，/与y=gx垂直，

所以OF=08,因此三角形。阳是等腰三角形，因此NAOF=NAO8,

由双曲线和渐近线的对称性可知：ZAOF=ZAOB=ZBOF.,

JI〃7T/J2「之_rT

所以有DAOF=—,因此一=tan—=>—=3=>------=3^>—=4=>e=2,

3〃3a2a2a2

故答案为：2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知点?（2,1）和圆0:炉+己=1

（1）判断点P与圆。的位置关系：

（2）过点P作圆。：/+：/=1的切线/,求切线/的方程.

解：（I）因为22+『=5>1，所以点尸在圆外.

（2）当切线斜率不存在时，则切线为尤=2,显然不与圆相切;

当切线斜率存在时，设切线/的斜率为七则切线/的方程为>一1=%（工-2）,

y-]=攵(1_2)

因为直线/与圆相切，联立

x2+y2=1

消元，得（公+1卜2+（24-4公卜+4/一奴=（^,

因为方程①只有一个解，所以A=4k2（1一2女）2-16女代+1）（女-1）=（），

4

解得攵二0或一,

3

所以，所求切线/的方程为丁=1或4/一3y一5=0.

16.某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船

露出水面上的部分高为0.75米.

（1）如图，取拱顶为原点，拱桥的对称轴为），轴，建立平面直角坐标系，求在该坐标系下

拱桥的抛物线方程：

（2）当水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船不能通行？

解：（1）设所求抛物线方程为（〃>0）,

由已知，该抛物线过点（4,一5）,则=解得〃=1.6,

所以，所求抛物线方程为3.2），.

（2）因为当木船与抛物线拱接触时，木船开始不能通行，

因为木船宽4米，设吕（2力），如下图，

则一3.2〃=4,解得方=一1.25,因此〃=|。”|=网+0.75=1.25+0比5=2米,

所以，当水面上涨到与抛物线拱顶相距2米及以下时，木船不能通行.

17.如图，圆9+），2=8内有一点4（一1,2）,48为过点外且倾斜角为。的弦.

（1）当a=135。时，求AB的长；

（2）是否存在弦A3被点不平分？若存在，写出直线A8的方程；若不存在，请说明理

由.

解：(1)依题意，直线AB的斜率为一1，又直线AB过点4(-1,2),

所以直线48的方程为：y-2=-(x+l),

圆心。(0,0)到直线AB的距离为d=叵

2

所以|4同=同.

(2)当弦A3被点/平分时，4△与。兄垂直,

因为卜用二一2,所以kAB--,

直线AB的点斜式方程为y=-(x+l)+2

即x-2y+5=0.

18.已知双曲线C：--21=1(,72＞0).

m3

(1)若双曲线的离心率e=2,求实数〃?的值；

(2)若双曲线的离心率c的取值范围为ee[6,6],求实数〃，的取值范围；

(3)直线y=x+l与双曲线C相交于互异两点，设正数上为双曲线一条渐近线的斜率，求

实数&的取值范围.

解.：(1)由已知e=2,可得Jl+2=2,

Vm

解得根=1.

(2)由已知〈行，可得解得

不上=[

(3)«m3，消去y,得(3-〃一2〃ir-4m=0

y=工+1

m>0

双曲线。与直线)，=X+I用交于互异两点，等价于不等式组3-机工0

4/w2+16皿（3。>0

解得0＜相＜3或3＜根＜4,依题意：k二苧.

当0<〃?<3时，左>1；当3<相<4时，—<%<1；

2

日/J(l,+8).

所以A的取值范围是

19.设椭圆]+3=1（〃>6>0）的离心率为乎，上、下顶点分别为A、B,|AB|=4.

过点E（O,1）,且斜率为&的直线/与x轴相交于点尸，与椭圆相交于C,。两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若FC=DE，求Z的值；

（3）是否存在实数女，使直线AC平行于直线BD?请证明你结论.

cG

e~a~3&

（1）解：由题可得（28=4=>{2