广东省阳江市2024-2025学年上学期九年级11月月考数学试卷 （解析版）

2024-2025学年广东省阳江市教育集团九年级（上）月考

数学试卷

试卷满分120分，考试时间120分钟

一、选择题（共10题，每题3分，共30分）

1.一元二次方程』-3=2X的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.1,-2,-3B.1,-2,3C.1,2,3D.1,2,-3

【答案】A

【解析】

【分析】先将原方程化为一般形式，再求解即可.

本题考查了一元二次方程的一般形式：云+c=o（awo）,其中以2叫做二次项，。为二次项系数；加；叫

做一次项，。为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】解：将/—3=2x化为一般式为工2一2工一3二（），

・•・一元二次方程3=2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，一2,-3,

故选:A.

2.下列两个图形一定是相似图形的是（）

A.等边三角形B.矩形C.等腰三角形D.菱形

【答案】A

【解析】

【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形正行分析即可.

【详解】解：A、两个等边三角形的对应边的比相等，对应角相等，故两个等边三角形一定相似，此选项符

合题意；

B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故两个矩形不一定是相似图形，此选项不符合题意;

C、两个等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故两个等腰三角形不一定是相似图形，此

选项不符合题意；

D、两个菱形的对应角不一定相等，对应边的比相等，故两个菱形不一定是相似图形，此选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了相似图形，解题的关键是掌握相似图形的定义.

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3.一元一次方程/-x-12=。的解是()

A.x,=3,x2=4B.X1=-3,x2=4

C.%)=3,x2=-4D.X]=-3,x2=-4

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用囚式分解法求解方程即可

【详解】解：X2-X-12=0»

(x-4)(x+3)=0,

x-4=0,x+3=0,,

xt=-3,x2=4,

故选：B

4.己知OO的半径为5,点P在。。内，则。。的长可能是()

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断.

【详解】解：:。。的半径为5,点。在。。内，

:.OP<5.

故选:D.

5.在中，ZC=90°,NB、NC所对的边分别为。、b、c,下列等式成立的是()

A.b=a-cos5B.a=c-s\nBC.c=——D.a=b-cos)4

sinA

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握三角形的边角关系.根据锐角三角函数的定

义，逐一进行判断即可.

【详解】解：在。中，ZC=90°,/%、NB、/C所对的边分别为。、b、c,

・DaAb.b.a

・・cosB=—,cos4=—,sinB=—,siM=—,

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a=c-cosB,b=c•sinB,c------,b=c-cosJ,只有C•符合题怠，

sinA

故选：C.

6.如图。ABCD,F为BC中点，廷长AD至E,使QE：4。=1：3,连结EF交DC于点G,则S&DEG：S^CFG

【答案】D

【解析】

【分析】先设出DE=x,进而得出力O=3x,再用平行四边形的性质得出4C=3x,进而求出CF,最后

用相似三角形的性质即可得出结论.

【详解】解:设DE=x,

DE:AD=1:3,

AD=3x，

•••四边形ABCD是平行四边形，

AAD//BC,BC-AD=3x,

•・•点F是BC的中点，

：.CF=-BC=-xf

22

,/AD/IBC.

・•・ADEGsbCFG，

4

9

故选D.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题

的关键.

7.如图，/8是半圆O的直径，点C,。在半圆。上.若48C=50。，则450C的度数为（）

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c

D

AOB

A.90°B.100°C.130°D.140°

【答案】D

【解析】

【分析】由题意易得N/a?=90°,则有N4=40°,然后根据圆内接四边形的性质可求解.

【详解】解：:/IB是半圆。的直径，

AZJCB=90°,

V乙奶C=50。,

・・・4=40°,

•・•四边形48OC是圆内接四边形，

:.ZJ+ZZ）=180°,

・•・ZP=I40°；

故选D.

【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关

键.

8.如图，在中，力5=8,AC=6,。为V4BC的内心.若△480的面积为20,则△力CO的面

积为（）

A.20B.15C.18D.12

【答案】B

【解析】

【分析】由角平分线的性质可得，点。到45,BC,力。的距离相等，则V4O8、BOC、△4OC面积

的比实际为BC,4c三边的比.

【详解】解：・・・0为V/8C的内心，

・••点。是三条角平分线的交点，

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・•・点O到/C的距离相等，

・•・VAOB、△/。。面积的比=48:40=8:6=4:3.

V^ABO的面积为20,

•••△4C。的面积为15.

故选B.

【点睛】此题主要考查三角形的内心的性质，掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解本题

的美键.

9.如图，。。是正五边形力的内切圆，分别切CO于点河，M尸是优弧A//W二的一点，则

NMPN的度数为（）

A.60°B.75°C.48°D,72°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是掌握多边形内角和公式.据

正五边形的性质求出NA-NC7D8。，再根据切线的性质得出NOMA-NQVC-90。，由五边形的内角和求

出乙WON=144。，由圆周角定理即可得出答案.

【详解】解：:。。是正五边形9CD七的内切圆，分别切43,CD于点、M,N,

连接OM,ON,

・•・乙OMB=40NC=90。,

•・•五边形ABCDE是正五边形,

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・•・AMON=(5-2)xl800-90°-90°-1()8。-108°=144°,

・•・4MPN=-4MoN=72°.

2

故选：D.

10.如图，一艘军舰在A处测得小岛户位于南偏东60。方向，向正东航行4()海里后到达8处，此时测得小

岛P位于南偏西75。方向，则小岛P离观测点A的距离是()海里

-八

AB

P

A.20V2B.2073-20C.2073D.2073-20>/2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用•方向角问题，含30。角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的

关键.过点8作BH上4P，交方尸的延长线于H,由题意可知/笈"/=90。-60。=30。，由含30。的直

角三角形的性质可得出8〃=，力3=20海里，再通过角度的计算得出/尸8〃=60。-15。=45。，通过等

2

角对等边可得出PH=BH=20海里，根据余弦的定义求出AH,最后根据线段的和差关系可得出答案.

【详解】解：如图，过点、8作BH上4P，交4P的延长线于“，

则4H8=90。,

由题意可知：ZBAH=900-60c=30°,力8=40海里,

・•・43=20海里，ZJi?H=90o-30o=60o，

2

V乙43尸=90。-75。=15。,

・•・ZPBH=60°-15°=45°，

・•・Z.HPB=45°,

•••PH=BH=20海里,

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VcosZBAH=—=—=—，

AB402

・•・.4H=20耳海里,

AAP=AH-PH=（20V3-20）海里,

故选:B.

二、填空题（共5题，每题3分，共15分）

11.通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为.

3

【答案】4

【解析】

【分析】本题主要考查用频率估计概率，牢记随机事件的频率与概率的关系（可以通过大量的重复试验，

用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键.根据随机事件通过大量重复试验发生的频率

与概率的关系求解即可.

【详解】解：•・•钉尖朝上的频率稳定在（）.75附近，

3

・•・估计钉尖朝上的概率为一.

4

12.如图，48、C是。。上的三点，点4是劣弧力。的中点，/049=72。，则//。。的度数等于.

C

【答案】72。##72度

【解析】

【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。

由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出//。3=36。，再由圆心角、弧、弦的关系求出

4B0C=4OB=36。,即可求解.

【详解】解：・••

・•・AOBA=ZOAB=72°,

・•・乙4OB=180°-AOBA-AOAB=36°,

•・•点B是劣弧4c的中点,

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；・R二凝,

:.乙BOC=4AOB=3&,

・•・/AOC=ZAOB-¥ZBOC=72°.

故答案为：72。

13.在V48C中，己知N8是锐角，若卜an4一百|+（2sin8-0『=O,则/。的度数为.

【答案】75。##75度

【解析】

【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的三角函数值.根据绝对值和偶次方的非负性可得：

tanJ-V3=0，2sin8-&=0，从而可得lan4二百，sinZ?=^,进而可得N4=60°,NB=45。,

然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答.

【详解】解：:|an/l-V5|+（2sinB-&）=0,

/.tanJ-\/3=0»2sinE-亚=0，

二.tan/=G，sinB=乌，

.•./4=60。，NB=45。,

ZC=180°-Z/f-Z^=75°,

故答案为：75。.

14.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练」外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识

和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，

根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为.（参考数据：72«1.414）

【答案】29.3%

【解析】

【分析】本题通过设每天“遗忘”的百分比为x,依据“两天不冻丢一半”这一条件建立一元二次方程，求

解方程并结合实际意义确定x的值.本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据等量关

系列•元二次方程并求解是解题的关键.

【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为X,由题意得

（if」.

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解得阳々=[2（%2>1,不符合题意，舍去）.

■:*0.293=29.3%，

2

・•・每天“遗忘”的百分比约为29.3%.

故答案为：29.3%.

15.如图，已知，40是V月6C的中线，£是40的中点，则.4/：/。=

【解析】

rr\CHAFAF

【分析】过点。作交力。于〃，根据平行线分线段成比例定理得到——=—,——二——

DBHFFHED

根据线段中点的性质得到8Q=Z）C,4E=E。，得到=AF=FH,计算即可.

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

【详解】解：过点。作8尸交/C于〃，

…CDCHAFAE

则---=---->----=----

DBHFFHED

•.•4。是V4BC的中线，£是4。的中点,

/.BD—DC,AE-ED,

:.CH=HF,AF=FH

AF:FC=\:2.

故答案为：1:2.

三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分）

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tan450

16.计算:4sin230°

cos300-cos60°

【答案】

【解析】

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案.

tan45°

【详解】解:4sin230°

cos30°-cos60°

一葭，1

5旷工

22

-V3-1

=1-(V3+1)

=-y/3•

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角三角函数值.

3

17.如图，在aABC中，ZA=30°,tan8=—，AC=673?求AB的长.

【答案】AB=9+4百.

【解析】

【分析】作CD_LAB于D,据含3()度的直角三角形三边的关系得到CD=3百，AD=9,再在Rt^BCD中

根据正切的定义可计算出BD,然后把AD与BD相加即可.

【详解】解：如图，过点C作CD_LAB于点D.

ACD=AC*sin3O0=3V3,AD=AC<cos300=9,

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3

VtERtACDB中，tanB=-

4

CD_/T3（-

・•・BD=--------=343+—=4百.

tan84

・・・AB=AD+DB=9+46.

【点睛】本题考查了解直角三角形.解题时，通过作CD_LAB于D构建Rl^ACD、RtZXBCD是解题关键.

18.有甲、乙、丙三张完全相同的卡片，小明在其正面各写上一个方程，如图，然后将这三张W片背面朝上

洗匀.

（1）从中随机抽取一张，求抽到方程没有实数根的概率；

（2）从中随机抽取一张，记下方程后放回，再随机抽取一张，请用列表或面树状图的方法，求抽到的方程

都有实数根的概率.

ZX

甲

x123+1=0

K____________z

/--------------------X

乙

x2+x=O

\____________Z

ZX

丙

x2+2x+1=0

I1

14

【答案】（1）—;（2）—.

39

【解析】

【分析】（1）根据根的判别式分别判断三个方程根的情况，再运用概率公式求解即可；

（2）画出树状图展示所有9种等可能的结果，找出恰好抽到两个方程都有实数根的结果数，然后根据概率

公式求解.

【详解】解：（1）方程有实数根，贝IJA=〃—4QCN0>

甲方程：/+1=0

A=02-4xlxl=-4<0

・•・甲方程没有实数根；

乙方程：x2+x=0

A=l2-4xlx0=l>0

・••乙方程有实数根

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丙方程：x2+2x+l=0

A=22-4xlxl=4-4=0

・••丙方程有实数根

所以，抽到方程没有实数根的概率?;

(2)画树状图:

共有9种等可能的结果，其中恰好抽到两个方程都有实数根的结果数为4,

4

所以恰好抽到两个方程都有实数根的概率=八.

9

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:

概率=所求情况数与总情况数之比.

四、解答题(二)(共3题，每题9分，共27分)

19.如图，OA=OB,48交。。于点C,D,。£是半径，且O£_L48于点E

(1)求证：AC-BD.

⑵若OF=2EF,CD=S,求OO直径的长.

【答案】(1)见解析(2)的直径是生5

5

【解析】

【分析】本题考查垂径定理和勾股定理..熟练掌握垂径定理是解题的关键.

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(1)根据垂径定理，得到。下=。产，等腰三角形三线合一/产=8F,即可得出结论;

(2)连接OC,设。。的半径是尸，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可.

【小问1详解】

证明：•・・OE_L43,且0E过圆心。

・•・CF=DF,

*/OA=OB,OEA.AB,

AAF=BF，

:・AF-CF=BF-DF,

AC=BD；

【小问2详解】

,?OF=2EF,OF+EF=OE=r,

・•・OF=-r,

3

,:CD=8,

：.CF=-CD=4,

2

•・•在RtZXOCR中，CO2=CF2+OF2

・•・』+国，

Ar=12V5^r=_12V5（舍去），

55

・•・OO的直径是生5.

5

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20.在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：

“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，山南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木.问

邑方几何.”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K位于

EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C,再向西行1775步到B处，正好看到A处的树

木（即点D在直线AB上），求小城的边长.

【答案】小城的边长为250步.

【解析】

AITDH

【分析】设小城的边长为X步，利用RtZ\AHDsRtZ\ACB可得比例关系——=—,代入相关数据即可

ACBC

计算.

【详解】设小城的边长为x步，根据题意，RtAAHD-RtAACB,

因为有空=丝，即^^—=察，去分母并整理，得x2+34x・71000=0,

ACBC20+14+x1775

解得xi=250,X2二284（不合题意，舍去）,

故小城的边长为250步.

【点睛】木题考杳相似三角形的实际运用.

21.如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2）,制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三

角形材料，其中43=4。，力。上8c将扇形£4尸围成圆锥时，力小力广恰好重合，已知这种加工材料的

顶角NB4C=900.

图I图2图3

（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线力。长的比值;

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（2）若圆锥底面圆的直径EO为5cm,求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积.（结果保留兀）

【答案】(1)1：2(2)(100-25^)cm2

【解析】

【分析】（1）根据弧EE的两种求法，可得结论.

⑵根据S阴影—S扇形求解即可.

【小问1详解】

由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得:

cln兀•AD

71-DE=----------.

180

.八厂90〃.力。

180

ADE=-AD,E。与母线力。长之比为1:2

2

【小问2详解】

•・•，4O=2QE=10(cm)

,,$牌=T'BC.4D一S血形白尸

-殁券=0。。-25g

答：加工材料剩余部分的面积为（10（）-25乃）cm2

【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

五、解答题（三）（共2题，27分）

22.在△力8c中，N/C8=90。，是4C边上的中线，点。在射线8c上.

图1图2

CDI

（1）如图1,点。在8c边上，一=-,4力与8E相交于点尸，过点彳作力产〃8C,交8E的延长线

BD2

AP

于点R易得——的值.请你写出求解过程.

PD

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CDiAp

（2）如图2,点。在8C的延长线.匕力。与力C边上的中线4:•的延长线交于点求一的

BC2PD

值.

3

【答案】（1）一,过程见解析

2

⑵2.

3

【解析】

【分析】本题主要考有了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平

行线构造全等三角形是解题的关键.

先证/EF%CEB,则有设CO=%,则。8=2〃，AF=BC=3k,由4/〃3。可

得MPFs^DPB,然后根据相似三角形的性质求解即可；

CD1

（2）如图：过点力作//〃7）8，交的延长线于点儿设DC=k,由［得BC=24，

BC2

DB=DC+BC=3k.易证AAEFGACEB,则有=AF=BC=2k.易证AAPFS^DPB,

然后根据相似三角形的性质求解即可.

【小问1详解】

VAF//BC,

・•・ZF=4EBC,

,:8上是4C边上的中线，

AE=EC»

•・•AAEF=/BEC,

・•・"EF%CEB（AAS）,

/.AF=BC,

设CD=k,则DB-2k,AF=BC—3k,

VAF//BC,

：.AAPFS4DPB,

,PAAF3

・・--=----=-；

PDBD2

【小问2详解】

解：如图：过点力作交8f的延长线于点立

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FA

£

DCB

CD1

设DC=k,由一=一得BC：:2k,DB=DC+BC=3k.

BC2

•・•£是力C中点，

:.AE=CE.

VAF//DB，

・•・乙F=4PBD，

在和中，

/F=/PRC

</AEF=/BEC,

AE=CE

：."EF知CEB(AAS),

AF=BC=2k,

VAF//BC,

&APFsqPB，

•PAAF2k2

'PD~BD~3k~3'

23.如图，48是。O的直径，Al是04的中点，弦。。_L46于点过点。作。E_LC4交。的延

长线于点E.

E

FB

(1)连接O。，求的度数;

(2)求证：。后与。。相切；

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（3）点尸在弧上，^CDF=45°,DF交AB于