基本不等式及其应用（七类核心）-2026年高考数学一轮复习考点讲义

专题1.5基本不等式及其应用

目录

目录......................................................1

一、5年高考•真题感悟.....................................2

二、课程标准・考情分析....................................4

【课程标准】......................................................4

【考情分析】......................................................4

【2026考向预测】..................................................5

三、知识点•逐点夯实......................................5

知识点1、基本不等式（或均值不等式）..............................5

知识点2、基本不等式的变形或拓展..................................5

知识点3、基本不等式的常考的最值模型..............................6

四、重点难点・分类突破....................................7

考点1基本不等式及其应用........................................7

考点2“直接法”求最值..........................................10

考点3“配凑法”求最值..........................................12

考点4“1”的代换求最值.........................................14

考点5齐次化求最值..............................................16

考点6与。+匕、平方和、出?有关问题的最值...........................20

考点7其它综合问题...............................................23

五、分层训练.............................................27

A、基础保分........................................................27

B、综合提升........................................................34

一、5年高考•真题感悟

1.（2024•北京•高考真题）已知（N，y）,（公,加）是函数y=2'的图象上两个不同的点，则（）

（罚+占c1)1+)'，N+X,

A.B.log,>-4-^

222

y)2

C.log,'^<x,+x2D.log,>大+,

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】基本不等式求和的最小值、指数式与对数式的互化、比较对数式的大小

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设为<七，因为函数），=2、是增函数，所以0<2演<2"，即。<乂<力，

乃+>2----------+即V

对于选项AB：可得±二±->也千2=2,即2v1+1包>22>0,

22

根据函数y=log?x是增函数，所以Iog2”^>log22空=七七，故B正确，A错误；

对于选项D：例如X=0,42=।，则y=L必=2,

可得10g2互产=10g?1e（°，1），即1。82丐"<1=王+"2,故D错误；

对于选项C：例如玉=-1,七=一2,则）,1=3，%=（，

log：=log2^=iog23-3e（-2,-1）,即log?>一3=%+%，故C错误，

2o2

故选：B.

2.（2022•全国甲卷•高考真题）已知9m=10,。=1/-138—9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>（）D.b>0>a

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】对数函数单调性的应用、由基本不等式证明不等关系、比较指数累的大小

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，〃=1Og910>l，再利用基本不等式，换底公式

可得log89>m,然后由指数函数的单调性即可解出.

【详解】［方法一］:（指对数函数性质）

由9"'=10可得〃?=1。8910=瞿>1，而Ig91gllvpg9+lgll、I/衅〕<1=(吆叫所以瞿,黑，

ig，2J\2Jig，igiu

即加>lgll,所以a=l(r—U>ia“_ll=O.

又lg81gl0v，g8；lgl°］=(等<(怆9)2,所以瞿〉鬻,即喝9>〃?，

\,乙)\,乙)sw

所以〃=8"'—9<8味9一9=0.综上，a>0>b.

［方法二］:【最优解】(构造函数)

由9=10,可得m=log910w(l,L5).

根据a，b的形式构造函数/(幻=/7-心>1),则八X)=M"-1,

令f'(x)=0,解得i=,/,由m=log910w(l,L5)知/e(0,l).

f(.r)在(l,+oo)上单调递增，步以/(10)>/(8),即a>b,

又因为/(9)=9⑹。-10=0,所以。>0>6.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用。力的形式构造函数/(x)=x'"-x-l(x>l),根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解.

3.(2021•全国乙卷•高考真题)下列函数中最小值为4的是()

A.y=x2+2x+4B.丁=忖间+1」

/|sinx|

4

C.y=2、+22TDy=lnA+——

\nx

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】求指数型复合函数的值域、求对数型复合函数的值域、由正弦(型)函数的值域(最值)求参

数、基本不等式求和的最小值

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等"，即可得出

用D不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,当且仅当x=-l时取等号，所以其最小值为3,A不符合

题意;

对于B,因为Ov|sinx|«l,），=卜inx|+总j22/=4,当且仅当卜inx|=2时取等号，等号取不到，所以其

1^111人I

最小值不为4,B不符合题意；

4L

对于C,因为函数定义域为R,而2\0，y=2r+22-t=2t+—>2^=4,当且仅当2、=2,即x=l时取

等号，所以其最小值为4,C符合题意；

4y

对于D,y=lnx+——，函数定义域为（O,l）U（l,~），而InxwR且InxwO,如当Inx=—1,y=-5,D不符

Inx

合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等"的意义，再结合有关函数的性

质即可解出.

4.（2021・新高考全国团卷・高考真题）已知£,人是椭圆5：+?=1的两个焦点,点"在。上,则眼斗眼用

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】基本不等式求积的最大值、椭圆定义及辨析

【分析】本题通过利用椭圆定义得到|M£|+|ME|=2a=6,借助基本不等式用/讣阿巴|曲史幽）即

可得到答案.

【详解】由题,/=94=4,则阿国+|M周=加二6,

所以周幽士幽］=9（当且仅当|“用=|M周=3时，等号成立）.

I2,

故选：C.

【点睛】

二、课程标准・考情分析

【课程标准】

1.了解基本不等式的推导以及证明过程；

2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

3.理解基本不等式在实际问题中的应用.

15年考情分析】

5年考情分析

考题示例考点分析难易程度（简单、一般、较难、很难）

2022年新n卷，12题，5分基本不等式较难

2021年乙卷，8题，5分基本不等式一般

2020年天津卷，14题，5分基本不等式很难

【2026考向预测】

高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不

等式大小判断、求最值和求取值范围的问题，特别注意基本不笔式与其它板块知识结合考查。

三、知识点•逐点夯实

知识点1、【基本不等式（或）均值不等式】

2

如果a>0">0,那么疝4竺也，当且仅当。时，等号成立.其中，叫作a"的算术平均

22

数，依叫作a"的几何平均数.即正数a,力的算术平均数不小于它们的几何平均数.

基本不等式1：若a,bwR,则"+）注2他，当且仅当〃斗时取等号；

基本不等式2：若则竺^2疝（或“+人之2疯），当且仅当〃二b时取等号.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正〃”二定〃“三相等〃；其中“一正〃指正数，“二定”指求最值时和或积为

定值，“三相等"指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

知识点2、【基本不等式的变形与拓展】

1.（1）若,则+b2>2ab；⑵若a,beR,则ab<"”（当且仅当a=b时取"=”）.

2

2.（1）若。>0,/?>0,则生辿之而；（2）若。>0力>0,则〃+/?221出？（当且仅当。=;?时取"="）；

2

⑶若a>O,b>0,则ab4（等j（当且仅当a=b时取

3.若x>0,则（当且仅当x=l时取"=〃）；若x<0,则工+,工一2（当且仅当戈=-1时取"="）；

XX

若xw（）,则X+L22,即尤+,22或冗+』0一2（当且仅当。=。时取"=〃）.

XXX

a+-b之2,即幺+222或0+2工一2

4.若加?>0,则0+(当且仅当。二8时取"=〃)；若加?工0,则

ba~~bbaba

(当且仅当〃=/?时取"=〃).

5.一个重要的不等式链：了21<疝<色称

--1--

ab

6.函数/(x)=ar+1(a>0,b>0)图象及性质

Xr

⑴、函数/(x)=ar+2(q、〃>0)图象如右图所示:

⑵'函数/(x)=ar+2(〃、〃>0)性质:

x

①值域：(-co,-2，^]u[2、茄,十8卜

知识点3、【基本不等式常考的最值模型】

模型一：nvc+->2\[mn{tn>0,//>0),当且仅当x=小二时等号成立；

n

模型二：〃zi+――=rn(x-«)++ma>2\/mn+ma(m>0,A?>0),当且仅当工一。=R时等号成立；

x-ax-a\ni

xiir~

模型三：-^-r—=------;(〃>0,c>0),当且仅当x=j£时等号成立；

ar+云+c"2y/ac+b7a

x

模型四：M〃-尔)=曲〃一面).(侬*〃一如)2=工(心。，心。,。。<口，当且仅当x=2时等号成

mm24mm2m

立.

四、重点难点・分类突破

考点1基本不等式及其应用

例L（2025高三上•内蒙古兴安盟•阶段练习）数学里有一种证明方法叫Proofswithoutwords,也称为无字

证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题.由于这种证明方法的特殊性，无

字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如图，在等腰直角VA8C中，。为斜边AB的中点，D

是斜边A3上异于A、3的一个动点，设=80=人则该图形可以完成的无字证明是（）

2ab

B.<yfcib

a+b

D.32而

2

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】基本不等式的内容及辨析

【分析】根据等腰三角形的性质得AC=8C=鬻，。。=早且CDNCO.即可得答案.

【详解】由题设48=〃+匕，且。。=人。=8。=等，

其中ODUAQ—AORa—WRii，或。。03。—8O|=|〃—*|二|占|,

2222

且CD=:。力2+8。=片）2+（学）2飞^^,

由图知82CO,即

故选:A

例2.甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油"，而乙则说“师傅

帮我把油箱加满"，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次

与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（）

A.甲更合算B.乙更合算

C.甲乙同样合算D.无法判断谁更合算

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】由基本不等式比较大小

【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解.

【详解】设两次的单价分别是爸）（—），）元/升，

600_2

甲加两次油的平均单价为30030。二匚1,单位：元/升，

xyxy

乙每次加油。升，加两次油的平均单价为丝誉^手，单位：元/升，

2a2

因为x>o，y>o,x/y,

/..\,i~~;2x+y

所以［—+—（x+y）=2+-+—>2+2---=4,H|J112,

㈠y）yxSx/亍

即甲的平均单价低，甲更合算.

故选：A

【变式训练11.（2025面一上•广东江门•月考）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）

成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，

也称之为无字证明，如图所示的图形中，在A8上取一点C,使得AC=a,BC=b,过点。作CO_LA8交

以A3为直径的半圆弧于/）,连结。力,作CE_L8,垂足为E,由CD2DE可以直接证明的不等式是（).

B.a2+b2>\/ah(a>0,b>0)

D.'fab>(a>0,/?>0)

a+b

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】由基本不等式证明不等关系、图形的性质

【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD2OE即可得到答案..

【详解】

ABa+b

连接08,因为A8是圆0的直径，所以44。3=90"，所以在RIA4O3中，中线0。

22

由射影定理可得C£)2=4CC8=M，所以。。=痴.

CD2_ab_2ab

在RtADC。中，由射影定理可得CZ)2=OE-OD,即万万二宗»二H，

F

由CD2DE得瓢之空~,

a+b

故选：A

【变式训练21.(2024高三上•新疆•期末)(多选题)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数

问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这•原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实

现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段A氏上的点，且AC=a,BC=b,。为AB的中

点，以A8为直径作半圆，过点C作A8的垂线交半圆于。，连接O。、AD.BD,过点。作。。的垂线，

垂足为£.则该图形可以完成的所有的无字证明为()

A.4ab(a>0,Z>>0)B.a2+b2>3ab(a>0,Z?>0)

(2

4ib>(tf>0,b>0)ca2+b2a+h

L•11D.--------->-------(。>0力>0)

-------1-------22

ab

【答案】AC

【雄度】0.65

【知识点】基本不等式的内容及辨析

【分析】先明确学、，万的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例

式，结合不等关系，即可证明AC选项；由于标+/在该图中没有相应的线段与之对■应，可判断BD选项.

【详解】由题意可知AA=AC+8C=a+〃，OA=OB=OD=乎,

因为ZCBD=90'-ZCAD=ZADC,ZACD=ZDCB=90'，

「A「

J)RtAAC£)sRtaOC3,所以，——=——.I*CD2=AC-BC=ab>

oCCZ9

所以CO=，石:

在RL^OCT）中，OD>CD,即012>向（〃>0,力>0）

当8_1,人4时，。、C点重合，“=〃，此时=而（〃>0力>0）,

则誓之而（4>。力>（））,所以A正确；

对于（:选项，在RlZsOCD中，CELOD,则NOCE=90-NCOE=NOOC，

又因为NOEC=NOCO=90,所以，RUDECRtADCO,

nrnrCD?ablab2

TZRD匕）LL.、IDE=----=-=----=--

可得力;二、；，n即i1CD?=。?。£），所以OD4+匕a+bI1»

2ab

ry、1

由于CD>OE,所以"">T-r,

—+—

ab

j-j-__J_

当a=〃时，CD=DE,此时011,

一+一

ab

2

综上，I_1v。所以C止确；

ah

由于/+从在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明,

故选：AC.

考点2“直接法”求最值

例3.口知两个正数”，〃的几何平均值为1,则标十/的最小值为.

【答案】2

【分析】由几何平均值的定义得到而二1,利用基本不等式求解即可.

【详解】由题意得而=1，即而=1,故C/+〃22"=2,当且仅当〃=。=1时，等号成立,

故答案为：2

例4.（2024•河北唐山•二模）已知长方体的一条棱长为2,体积为16,则其外接球表面积的最小值为（）

A.5兀B.1271C.20兀D.807r

【答案】C

【分析】由长方体的体积求出a〃=8,再由基本不等式可求出凡讪=石，再由球的表面积公式计算得到答

案.

【详解】设长方体的长、宽、高分别为。力，2,

所以长方体的体枳为V=2必=16,解得：必=8,

设长方体的外接球的半径为R,

所以2R=\la2+b2+4，UP4/e2=fl2+/r+4>2ab+4=20,

即R之百，当且仅当4=2=2加时取等，

所以

所以其外接球表面枳的最小值为5=4%昭'=2（加.

故选：C.

【变式训练3】.（2025•河北•三噗）已知。>0力>0,2。+〃=1,则L+f的最小值为（）

ab

7

A.2B.-C.4D.9

2

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1〃的妙用求最值

【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值.

・HA力«/口1a2a+ba八ba、“

【洋解】由幼+。=1,得一+：=--------+—=2+—+—>4,

ababab

当且仅当。=b=；时取等号得出最小值4,

故选：C.

【变式训练4】.（2024•陕西西安•模拟预测）（多选题）已知。>0力>0,〃+〃=1,则下列不等式正确的是

（）

|,,111lL

A.ab<-B.a~+h~>—C.—1-->2D.\[a+\/b<1

42ab+\

【答案】ABC

【难度】0.65

【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】由条件结合基本不等式证明帅工，，由此可判断ABD,由条件，+上=：（，+工'（°+〃+1）,

4ab+\21ab+\/

展开结合基本不等式求其范围判断C..

【详解】因为〃>0活>。，由基本不等式可得。+力22而，当且仅当。=〃时等号成立，

又。+〃=I,

所以当且仅当。=〃=g时等号成立，A正确；

所以/+从=（a+〃）2—2a》zi—2x」=?，当且仅当a=〃='时等号成立，B正确;

（6+防丫=a+0+2j^Wl+2x；=2,当且仅当〃=/?=；时等号成立，

所以y[a+yfb<5/2,D错误;

因为a+〃=l,a>0,b>0,所以Ovavl,O<Z?<1,

所以5++汽）（""1）=；（修答+3+1]>12+2，）=2,C正确..

故选：ABC.

考点3“配凑法”求最值

4

例5.已知xe（O,~H»）,则y=24-；；——的最小值为（）

2x+l

A.3B.4C.3夜D.6

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.

【详解】由，ie（O,*0）,得21+1>1,

44/4

y=2x+=2x+l+------l>2J(2x+l)-------i=3

2x+\2x+\V2x+\

41

当且仅当"+|=有’即时取等号，

4

所以尸2»有的最小值为3.

故选：A

Q

例6.（2025•四川德阳•二模）若x>l,则函数y=2x+—；的最小值为（）

X1

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式可得答案.

【详解】若x>l,则x—1>0,

所以函数,，=2（%一1）+喂+22252（工一1）2+2=10,

当且仅当2（X-1）=一、即x=3时等号成立.

X—1

故选：C.

12

【变式训练51.（2024•山西临汾•三模）若Ovx<l,则上+J-的最小值是（）

x\-x

A.1B.4C.2+2应D.3+272

【答案】D

【分析】根据基本不等式及“1〃的妙用计算即可.

【详解】因为Ovxvl,所以1-工>0,

则，+=-+—=-V[x+（l-x）]=3+-!—^-+-^->3+2\/2,

x1-x\-xJXl-x

当且仅当上三=3，即1=夜-1时，等号成立，取得最小值3+2拉，

X\-x

故选：D

【变式训练6】.（2025•广东•二模）若x>O,y>。，且工+丁=9,则」7+工；•的最小值为（）

x-Iy-1

9

A.2B.2拒C.3D.-

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】条件等式求最值

【分析】由条件可得（工-1）（）」1）=1,然后由基本不等式代入计算，即可得到结果.

【详解】因为冲，即个7-丁+1=1,即（x-l）（y-1）=1,

且1>0,y>0,则x>l,y>l,

贝告之2—!......-=2I-----------------=2y/2

-V-1y-iy-iV(xT)(y-i)

当且仅当」时，即x=l+也,），=1+立时，等号成立，

x-1y-\2

12

所以3'+不、■的最小值为2&-

故选:B

考点4“1”的代换求最值

14

例7.（2025・河南•三模）若。＞0,/7＞（）,且〃+。=1,则——7的最大值为（）

ab

A.-9B.-7C.-5D.-3

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出工1+：4的最小值，即可得出答案.

ab

【详解】因为。＞0,/?＞（）,且〃+。=1,

L।14（14\_b4。\b4a

所1r以i_+t=_+e（«+^）=5+—+--＞5+2./-------=9,

ab\ab）abNab

当且仅当&=尊，a＞0,b＞0,即a=［,匕=］时等号成立，

ab33

I4

所以一一一的最大值为_9.

ab

故选：A.

例8.（2025・黑龙江佳木斯•三模）已知正数x,y满足2'4'=4»，则2x+），的最小值是（）

9

A.2夜B.9C.-D.13

2

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】指数第的运算、基本不等式“1"的妙用求最值

【分析】由2匚军'=4。可得;+'=1，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.

2y工

【详解】由2匚4「=4。，则2。22'=22%即x+2y=2盯，则［+,=1,

2Vx

所以2x+y=（2x+y）（-!-+』］=^+2+322、^^+2=2,

、\2yX）yx2］/yx22

xV?

当且仅当一二二，即x=y=：时等号成立，

y%2

9

所以2x+y的最小值是会

故选：C.

例9.已知实数，则x+2），的最小值是_________.

x+1y+\

【答案】2&

【难度】0.65

【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1〃的妙用求最值

【分析】表示x+2y=（x+l）+2（）+l）-3,再利用1的代换解出最小值即可.

2(y+l)-31f—+—

【详解】由题意可得x+2y=［（x+l）+=[(x+l)+2(y+l+

I)」5+1),+U

1+必+组巴+2-3小声国=2近,

y+\x+lyy+lx+1

x+1_2(y+l)

当且仅当);+，即尸=q时，等号成立,

f时,

------+=1

x+\y+1

则x+2y的最小值是2应.

故答案为：2&

【变式训练7】.（2025・安徽•模％预测）若加＞0,〃＞0,〃?+2〃=1,则_1+二的最小值是.

mn

【答案】9

【难度】0.85

【知识点】基本不等式“1〃的妙用求最值

【分析】应用基本不等式“1〃的代换求上+士的最小值即可.

mn

【详解】由题设■L+2=（_L+2）（〃2+2〃）=5+也+型25+2、叵互=9,

mnmnmnVmn

11?

当且仅当三二心，即〃?=〃=：时取等号，故上+4的最小值是9.

mn3mn

故答案为：9.

I9

【变式训练8】.（2025•陕西西安•二模）若点式2,1）在直线/:〃比+通=1上,且〃加＞0,则企+£的最小值

mn

为.

【答案】8

【难度】0.85

【知识点】直线的一般式方程及辨析、基本不等式“1〃的妙用求最值

【分析】根据给定条件可得2m+"=l,再利用基本不等式“V的妙用求出最小值.

【详解】由点解2,1)在直线=lI二,得2/〃+〃=1,而制＞0,则m

因此1+2=(2切+〃)(乂2)=4+二+驯24+2、叵叵=8,

innmnmnvmn

当且仅当2=也，即〃=2m=:时取等号，

inn2

1?

所以上+4的最小值为8.

inn

故答案为：8

【变式训练9】.(2025・重庆•模％预测)若心力＞1,且。+劝=5,则」Y+「的最小值为

a-bb-\

【答案】25

【难度】0.65

【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式"1〃的妙用求最值

【分析】利用已知条件构造(。-3+4(〃-1)=1,利用乘“1〃法及基本不等式计算可得；

【详解】由力＞1,可知。一人＞0,/?-1＞0,

所以3—8)+4(/?-1)=a+3b-4=5-4=l,

所以+3+4俗—1)]

\a-bb-\)

(a-b)+4(b-\)4[(a-h)+4(b-\)\

=------------------------1---------------------------

a-bb-\

=17H-------------1-------------

a-bb-\

l4(b-l)4(a-b)_

2I/+|x-239

Va-bb-\

当且仅当〃-6=力-1=：=〃=q,4=(时，等号成立，

所以一二+±的最小值为25・

a-bb-i

故答案为：25

考点5齐次化求最值

例10.(2025・甘肃白银•模拟预测)若正实数”，〃满足。+〃=1,则金+上的最小值是_

67+1b+2

【答案】7/0.25

4

【难度】0.65

【知识点】基本不等式"1"的妙用求最值

【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1〃的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙

用求解.

【详解】方法一

设“+l=s,h+2=t,则s+，=a+〃+3=4.

当且仅当5=彳，，=彳，即。=彳，〃=彳时取等号,

3333

,工+£32」.

6?+1b+244

方法二Qa+/?=1,：.a+\+b+2=4,

a2b2\(a2b2}(a+\+b+2)=^a2a2(b+2)b-(a+\)

---+----=------a+1+b+2+从

a+\b+24(。+1+记

之；(/+2ab+〃)=；(a+b)"=；,

当且仅当〃=：，时取等号，.•.金+工之，.

33。+1b+24

故答案为：!

4

例11.(2025•山东济宁•模拟预测)已知x>0,y>0,且町，+2)J—36=0,则孙?的最大值()

A.12B.6N/6C.36D.246

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】基本不等式求积的最大值

【分析】由条件不，+29-36=0得”=4-2)，，代入个2再运用均值不等式即可求出冷，2的最大值.

【详解】由孙+29-36=0,得y(x+2y)=36,则4=史-2y,

y

因为x>0,y>0,所以孙2=/=—2y=y(36-2y2)=yjy2(36-2y2)(36-2y2)

=\x4），［36-2力（36-2力<lxI今+06-「？+（36-2'）=24庭

当且仅当），=6，x=4指时等号成立，

所以“2的最大值为24#，

故选：D.

V

【变式训练10】.（2025・山东•二模）若实数x,y,z满足x+），+z=O,且x>），>z,则；、的取值范

+Z-

围为（）

A（石⑸a（近夜］r11>

c.yD.（川）

A--TB-FF

\17

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值

v（y）2=]+2

【分析】将y换成用X，Z表示,从而将了—、1’•方表不成4?+z2Z+x,由x>y>z,x+y+z_0求

XZ

出-2〈三〈-工，进而求出范围.

x2

【详解】因为x>y>z,x+），+z=0

所以y=-（x+z）且x>-（x+z）>z,

故一2<三<一］”工>0,

x2

.5zx,c

所以一一〈一十一工一2,

2xz

1,12

故2-z15,

一+一

XZ

-1<^—<--

-Z-rJ—5,

XZ

一9="+Z）2-2xz,2_1.

-~~r=l+----€0r,-1

所以JV+Z?X2+Z2Y+z?22

r+z一z+一x5/

Xz

所以当，

\Jx+z233

故选：A.

【变式训练11】.(23-24高三下•江苏苏州月考)已知a,〃eR,a+〃=4,则-7+广二的最大值为()

+1b~+\

A\[5+1R+2rV5+1nx/5+2

2244

【答案】D

【难度】0.4

【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值

1I18-2而

【分析】由题意首先得/五.八V，进一步通过换元法以及判别式法即可求

a+10+1(ab)-lab+17

解，注意验证取等条件.

【详解】因为a+/>=4,所以/+y+2"=1624"，所以必W4,等号成立当且仅当a=〃=2,

11♦+1+//+1/+1+218-2时

从而/+1K+](02+1)电+1)+a2+b2+1(必)2-2ab+17'

lS-2ab18-2r

令f设片词二藐行显然y>o,

则）/+2（1-），）/+17），_18=0,

因为关于f的一元二次方程有实数根，所以△=4(I-)，)2-4)，(17y-18)20,

整理得一64y2+64),+420,即16y2-16y-l<0,

解得土正亚，注意到)，>0,从而叵，

444

等号成立当且仅当△=()，lip/=2y=l--^=1-4(75-2)=9-475=(V5-2)2<22=4,

所以经检验了的最大值，即士+二二的最大值