核反应堆物理分析课后习题参考答案

核反凌唯物理今新冬案

第T

L1.某压水堆采用UO2作燃料，其富集度为2.43%（质量），密度为10000kg/m3。试计算：当中子能量为0.0253eV

时，U02的宏观吸收截面和宏观裂变截面。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV时：b〃(U5)=680.9氏%。5)=583.54％。8)=2.7b

由289页附录3查得，0.0253eV时：/(0)=0.00027b

以cs表示富集铀内U-235与U的核子数之比，£表示富集度，则有:

235G

235%+238(1-

-1

c5=(1+0.9874(--I))=0.0246

£

M(UO2)=235c5+238(1-%)+16X2=269.9

N(UO、)=ioooPm)x/v,=223xio28

M(UO2)

26(，/)

所以，N(U5)=C5N(UO2)=5.49x10

N(U8)=(1-c5)N(U0)=2.18x1-("3)

N(O)=2N(UQ)=4.46xl()28(小)

\m)=N(U5)b.(U5)+N(U8)/(U8)+N(O)”O)

=0.0549x680.9+2.18x2.7+4.46x0.00027=43.2)

邑(。。2)=N(U5)a,((75)=0.0549x583.5=32.0(/)

12某反应堆堆芯由U-235,H2O和Al组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和0.398,计算堆芯的总吸收截面

(E=0.0253eV)o

解：由18页表1-3查得，O.O253eV时：?（。5）=680.9。

由289页附录3查得，0.0253eV时：，(A/)=1.5〃/\%(&0)=2.2，/,M(U)=23803,

p(U)=19.05x1O,版/加3

可得天然U核子数密度N(U)=100()/XU)NJM(U)=4.82x10"(/n-3)

则纯U-235的宏观吸收截面：Z“(U5)=N(U5)xa(U5)=4.82x680.9=3279.2(">

总的宏观吸收截面：=0.0022〃（U5）+0.6匕（〃2O）+0.398Z“（A/）=8.4（m：1）

1-3.求热中子（0.025电子伏）在轻水、重水、和镉中运动时，被吸收前平均遭受的散射碰撞次数。・

解：设碰撞次数为t

4S103.厂/13.6ic/八八7cc,iz\-3

t=—==——^=—=----=156t=-----=13600t=-----=2.86x10

42,町2()0.66n刖()0.001cc4d/2450

1・4、试比较：将2.0MeV的中子束强度减弱到1/10分别需要的ALNa,和Pb的厚度。

解：查表得到E=O.O253eV中子截面数据：

2a2s

Al：0.0150.084

Na：0.0130.102

Pb：0.0060.363

Al和Na的宏观吸收截面满足1/v律。

Q：铅对2MeV中子的吸收截面在屏蔽中是否可以忽略？(在跨越了可分辨共振区后截面变得非常小)

2a=Za(0.0253)(0.0253/2X106)人1/2

2a

Al0.0169X10-4

Na0.0146X10-4

窄束中子衰减规律：

I=I0c-£x

1=(1/10)10

/.x=(ln)0)/S

因此若只考虑吸收哀减：

xAl=l36.25X104m

xNa=157.71X104m

对于轻核和中等质量核，弹性散射截面在eV〜几MeV范围内基本不变。所以只考虑弹性散射截面时，结果如下:

(相比较之卜能量为2McV时，弹性散射截面要比吸收界面大很多)

但是不清楚对于重核铅弹性截面基本不变的假设是否成立？

xAI=27.41m

xNa=22.57m

xPb=6.34m

1-6

PV=^VZx3.2xlO11

7

P_2xl0,72

*2x3.2x10"-5x3.2x10-"1.25xl0m

1-7.有一座小型核电站，电功率为15万千瓦，设电站的效率为27%,试估算该电站反应堆额定功率运行一小时所

消耗的铀・235数量。

解：热能：E出——-———

7171

裂变U235核数：r

〃=_______%_______

5/200xl06xl.6xl0-19

77x200x106x1.6x1079

15X104X103X3600

-0.27x200X106X1.6xlO-19

=6.25x1()22

〃=nx-=6.25xIO22x向''

俘获加裂变U235核数：'%583.5

«7.30xl022

消耗U235总质量量：

“7.30X1022

=------------x235

523

N八6.02xl()

X28.5g

8、某反应堆在额定功率SOO兆瓦下运行了31天后停堆，设每次裂变产生的裂变产物的放射性活度为L08X10・16t・L2

居里。此处t为裂变后的时间，单位为天，试估算停堆24小时堆内裂变产物的居里数

解：耳奴v=500x10324x36007

n=______处_____

如’200xl06xl.6xl019

500X1Q6X24X3600

-200xl()6x1.6x1019

=1.35xl024

31

A=jl.35xl()24xl.()8x1(尸6尸-2力

I

=3.62x108C/

1-9.设核燃料中铀・235的浓缩度为千2%(重量)，试求铀・235与铀-238的核子数之比。

c=[l+0.9874(--I)]-'

5£

1.公G0.0324„_

=[1+().9874------1)]-,2=1-=,,=0.0335

0.03241-G1-0.0324

=0.0324

I/O.为使铀的n=1.7,试求铀中U-235富集度应为多少(E=0.0253eV)。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV时：％(U5)=680.9。,%。5)=583.5。,4。8)=2.7。

,—416

由定义易得：〃二吧幺=W5Mg”5)

七N(U5)b〃(U5)+N(U8)b〃(U8)

N(U5)MU5)b/(U5)

nN(U8)=%(U8)(ITb,(U5))

为使铀的n=1.7,N(U8)=当多(2.416X583.56809)=549x(45)

富集

11.、为了得到1千瓦时的能量，需要使多少铀・235裂变

解：设单次裂变产生能量200MeV

E=1000x3600=3.6xlO6./

U235裂变数：n=_________E_______

，75-200xl06xl.6xl0-19

3.6xlQ6

200xl06xl.6xl0-19

U235质量：=1.125xl017

%u3.6x106

川235

5-M=---------------67------------------,[79-------------------2x3

NA、200xl0xl.6xl(rx6.02xIO

=0.43xl0Tg

1-12.反应堆的电功率为1000兆瓦，设电站的效率为32%。问每秒有多少个铀・235发生裂变？问运行一年共需消

耗多少公斤易裂变物质？一座相同功率煤电厂在问样时间需要多少燃料？已知标准煤的燃烧热为Q=29兆焦/公斤。

lPT1000x109

每z秒钟发出的热量：E=---=---------=3.125x10J

0.32

每秒钟裂变的U235：JV=3.125x10°x3.125xl09=9.7656x10,9(>b)

运行一年的裂变的U235：N'=NxT=9.7656x1019x365x24x3600=3.0797x1027(个)

消耗的u235质量：

(l+o)N‘人(1+0.18)x3.0797x1()27x235……m

m=-------xA=---------------------------=1.4228xl06g=l422.8kg

23

NA6.022XIO

需消耗的煤：m=—=L"36"24x360°=33983xl09K=3.3983x10°吨

Q().32x2.9xlO7

.一核电站以富集度20%的U-235为熟料，热功率900MW,年负荷因子(实际年发电量/额定年发电量)为0.85,U-235

的俘获一裂变比取0.169,试计算其一年消耗的核燃料质量。

解：该电站一年释放出的总能量=900x1()6x0.85x36()()x60x24x365=2.4125xl(y6j

2.4125x1()16

对应急的裂变反应数二=7.54xl026

200xl06xl.6xl(r,9

因为对核燃料而言：b/=bf+by

核燃料总的核反应次数=7.54X1026X(I+0.169)=8.81X1026

8.81xlQ26x235

消耗的U-235质量二=344(依)

6.02x1()23x1()()0

消耗的核燃料质量=344/20%=172()(kg)

第二#

.某裂变堆，快中子增殖因数L05,逃脱共振俘获概率0.9,慢化不泄漏概率0.952,扩散不泄漏概率0.94,有效裂

变中子数L335,热中子利用系数0.882,试计算其有效增殖因数和无限介质增殖因数。

解：无限介质增殖因数：=£力〃=1.1127不泄漏概率：A=AvA<y=0.952x0.94=0.89488

有效增殖因数：keff=匕A=0.9957

2-1.H和O在lOOOeV到leV能量范围内的散射截面近似为常数，分别为20b和38b。计算H2O的。以及在H2O

中中子从lOOOeV慢化到leV所需的平均碰撞次数。

解：不难得出，H2O的散射截面与平均对数能降应有下述关系：

OH2O&H2O-20Hqi+

即：

(2OH+Oo).(H2O=2OH4+

&H2O=(2OH4H+G%)/(2OH+Co)

查附录3,可知平均对数能降：3=1.000,4=0/20,代入计算得：

^H2O=(2X2OX1.000+38X0.120)/(2x20+38)=0.571

可得平均碰撞次数:

Nc=ln(E2/Ei)/^H2o=ln(1000/1)/0.571=12.09,12.1

2・6.在讨论中子热化时，认为热中子源项Q(E)是从某给定分界能E,以上能区的中子，经过弹性散射慢化而来的。

设慢化能谱服从①(E)=O/E分布，试求在氢介质内每秒每单位体积内由班以上能区，(D散射到能量E(E<EC)

的单位能量间隔内之中子数Q(E)；(2)散射到能量区间.国内的中子数Qg。

解：(1)由题意可知：

Q(E)=J：E<E，)@(E)f(E'TE)dE，

对于氢介质而言，一次碰撞就足以使中子越过中能区，可以认为宏观截面为常数：

Q(E)=\；E@(E,)f(E，TE)dE,

在质心系下，利用各向同性散射函数：八E'fE)dE'=一"E。已知°(£)=啰_,有:

E'

。⑹心。-阳£-阳_11、_(E—aE<)2@

E，a(l-a)E,2—(l-a)E----)--------------

£•(1-«)£'eEla(\-a)EE(

(这里意含•个前提：E/a>ED

(2)利用上一问的结论：

CZW2丫。E工@「％1，r.工@,Eg]—EgEg1、

%(1-cr)E((\-a)J勺E(1-a)E(E

2-8.计算温度为535.5K,密度为0.802x1伊kg/nP的H2O的热中子平均宏观吸收截面。

解：已知H2O的相关参数,M=18.015g/mol,p=0.802x103kg/m\可得：

lO'.p.N八_0.802xlQ6,6.023xlQ23

28.3

N==2.68xl0m

M18.015

已知玻尔兹曼常数)=1.38x10-23J.KL则：

kTM=1.38x10-23x535.5=739.0(J)=0.4619(eV)

查附录3,得热中子对应能最下，Ga=0.664b,&=0.948,os=103b,oa=0.664b,由“l/v”律:

q,(kTM)=%(0.0253)70.0253/A:7；=0.4914(b)

由56页(2-81)式，中子温度:

7>m+。.46/醇吗=535印+。.46普黑工二577.8的

E,Nxl03

一二%(0.0253)(293_0.6641293

对于这种“1/v”介质，有:4一M28~~1.128V577.80.4192(b)

所以：E”=No0=2.68x0.4108=1.123(m'1)

三本

3.1有两束方向相反的平行热中子束射到235U薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度为1012cnr2・s」。自右

面入射的中子束强度2X1012cm』・s」。计算：

(1)该点的中子通量密度；

(2)该点的中子流密度；

(3)设&=19.2XKPm”,求该点的吸收率。

解：(1)由定义可知:(/>=I'+I=3x10'2(cm-2,s'1)

(2)若以向右为正方向：J=1+—1~=-IxlO12(cm-2,s'1)

可见其方向垂直于薄片表面向左。

121331

(3)Ra=工&=19.2*3xl0=5.76X10(cm-s-)

3.2设在x处中子密度的分布函数是

〃(乂E,Q)=+cos〃)

24

其中：。为常数，"是同与x轴的夹角。求：

(1)中子总密度〃(X)；

(2)与能量相关的中子通量密度0x,E)；

(3)中子流密度J(x,E)。

解：由于此处中子密度只与&与x轴的夹角有关，不妨视4为极角，定义6在Y-Z平面的投影上与Z轴的夹角s

为方向角，则有：

(1)根据定义：

〃(幻=「'dE1区"”线+cos〃)d±

=[dEJod。J。'c"(1+cos//)sin/nd〃

=4邛'e"T/EJO(1+cos〃)sin/.id〃

可见，上式可积的前提应保证。vO,则有：

aE内]]

n(x)=〃/-'"(——)(「sin/id〃+cos〃sinpcljn)

ao

=_巨9戴+。)=-/

aa

(2)令，而为中子质量，则E=城/2=丫⑷=校/

Mx,E)=〃(x,E)*v(E)=yj2E/mn・1〃(x,E、Q)t/Q=2/?oeyj2E/mtl

(等价性证明：如果不作坐标变换，则依据投影关系可得：

cos〃二sinOcos。

则涉及角通量的、关于空间角的枳分:

£(1+cos//)t/Q=7JJ(J+sincos(p)sin

=J：〃'夕J：sinOdO+J；cos(pd(p\：sin2OdO

=2^-(-cos)+(sin(p\~^•jjs>n2OdG)=4乃+0=4乃

对比:

.―•r2/r।•开

J4(l+cos〃)dQ=Jod-Jo(l+cos〃)sin〃d〃

=Jo喇°sinW〃+J。喇。sinpcosMR

=21(一cos〃[；)+(2乃•/sin//cos=4乃+()=4乃

可知两种方法的等价性。)

(3)根据定义式：

J(xyE)=£E,Q)JQ=£Cz(x,E,Q)y(E)d。

々仔-*"/"j2£/〃z“户一

=-----------------Id(p\cos//(I+cos〃)sinpd〃

2^z"。。

2

=〃()e"Vyj2E/mH(£*cos//sinjudp+£cos//sin4d〃)

rcos/I+1x

利用不定积分：|cosMxsinx^=--------+C(其中n为正整数)，则:

Jn+\

J(x㈤=历加(0-誓幺:=2〃°D；J2E/?.

JoJ

3.7设一立方体反应堆，边长。=9m。中子通量密度分布为

(JV,y,z)=3x1()'3cos(—)cos(—)cos(—){cm2•『)

aaa

已知0=0.84XIO^m,L=0.175m。试求：

(1)J")表达式；

(2)从两端及侧面每秒泄漏的中子数；

(3)每秒被吸收的中子数(设外推距离很小可略去)。

解：有必要将坐标原点取在立方体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见，不妨设四=3*10门J。

•sdo

(1)利用Fick'sLaw：

7(；)=J(x,y,z)=-Dgrad。(用y,z)=-0(*j+半G)

dxdycz

=D(t\、—[sin(——)cos(^)cosi,——)z+sin(——)cos(——)cos(—)j+sin(——)cos(——)COS(^)K]

aaaaaaaaaa

J(r)=|7(r)|

222222222

=D(/f{)—Jsin(—)cos(—)cos(—)+sin(—)cos(—)cos(—)+sin(—)cos(—)cos(—)

a\aaaaaaaaa

计算上瑞面的泄漏率：

心2=LC⑺•矽S=饭鼠:肛:S呜)co吟)co吟"

allall

八47ira./万I、〕ra./万y、i.,a

=D^0—[—sm(——)].[—sin(^-)]=4。0°—

71

ci7ta“2a_a/27i

同理可得，六个面上总的泄漏率为:

L=6X4D^-=24X0.84X10-2X3X10,3X104X——=1.7xl017（s-1）

43.14

其中，两端面的泄漏率为L/3=5.8x®6（s」）；侧面的泄漏率为L-L/3=1.2x1017（s」）

（如果有同学把问题理解成‘六个面'上总的泄漏，也不算错）

（3）由=可得二=。/心2

由于外推距离可忽略，只考虑堆体积内的吸收反应率：

Ji=网V邛。。£肛:肛＞os（$co吟）cos（学心=白（少

0.84x102

=1.24x1020(<,)

0.175?

3.8圆柱体裸堆内中子通量密度分布为

。（八z）=IO12COS（生）J（）（j""’）（C〃尸・5“）

HR

其中，%£为反应堆的高度和半径（假定外推距离可略去不计）。试求：

（1）径向和轴向的平均中子通量密度与最大中子通量密度之比；

（2）每秒从堆侧表面和两个端面泄漏的中子数；

（3）设〃=7m,R=3m,反应堆功率为10MW,^5=410b,求反应堆内23§u的装载量。

解：有必要将坐标原点取在圆柱体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见，不妨设血=10合5]-2

•s-'o巨借用上一题的D值。

（1）先考虑轴向：

—CH/2PH!2CH!2乃Z2.405/*

0=匚眦/。,产=J〃/。cos(—)J0(^-)Jr//7

H/2

A2.4()5rH.尸22.405/

=—Jo(------)(一Sin(——)]

HR71H-H11

且警二—jo疝（不）4（三竺竺）在整个堆内只在z=0时为0,故有:

ozHHR

2405r

。加、=。"，0）二@"。（^^）

K

-V..22.405/-2.405/2

0/03=一如0(——)zVo(―—)=-

7iRR兀

径向：

&=忡/J：dr=J：4cos售)4(然当力/R

且字二4)cos(空)〃(必")=一空电域)cos(—)J,(2竺")在整个堆内只在F=0时为0,故有:

orHRRHR

7T7

以皿=0(0,z)=@)cos(£)

n

-Tc(/ZfR2.405r71Z2.405r

4sm、=^)>s(—)1Jo(——,it/r/^()cos(—)=IJQ(——)dr/R

n八'Kn八K

f2.405

已知Jo，o(x)以■=1.47,所以：

—.1.47xR

0,/0,m”=--------//?=0.61I

z2.405

(2)先计算上端面的泄漏率：

L\=fj(rW5=|f-Dgrad^(r,zW5

lz=，/2Js(z=H/2)-\JS(z=H/2)r，

=-D]：d9r普”(^2=-oj：d°r胃sin(詈)rJ°(^：Mr

zc_兀rR7/2.405人】"2TIDM：…八八

=-D(b2万——[-----rJ.(-------)1=-----——J.(2.405)

a°H2.405R02.405771

易知，两端面总泄漏率为2x露人(2.405)=2.93x1()14(5)

侧面泄漏率：

从"=[…'⑺.公=JssjDgrad。(几z)疝dS

=-D(2\/(p(H2迎Rdz

j。j-/〃25a尸r=R

利用Bessel函数微分关系式：JQ=,且已知4(2.405)=0.5191,可得:

矶(2.405/7R)2.4052.405、

加RR

所以：

HI2

儿鹏=一。°。2x2.4()5HOa),'c/八《、,

2/^^/?J,(2.405)[^sin(^)]------------丝人(2.405)=4.68x10,4(s-)

-H/271

6,9

(3)已知每次裂变释能Ef=200MeV=200xl0xl.6xl0-=3.2x10一”(J)

P=与皿J=Ef・JjjN0fgdV

VV

所以：N,=—由!------

号业3丫

V

其中：

胪八匕㈤:何加。吟)4(竿:).

〃4Z”2产2.405厂

=2谢)[―sin(—)]•[rJ(——)dr]

4H一〃2%()R

Hn

利用Bessel函数的积分关系式：JxJn_}(x)cb:=xJn,可得

r.2.405r..R,2.405r

rJAz------)dr=-----rJ.(-------)

J°R2,4051R

已知：Ji(0)=0,71(2.405)=0.5191,所以:

阿磷也鲁4

JJJV=2M(2.405)=/HR?4(2.405)=5.44x07皿/)

2.405

所以：

p

M=--------------=106/(32X10川X410X10-28x5.44x1017)=1.40X1024(m3)

—•JJ"

所需23$U装载量:

"4=1()-3N、VM、/N[=l(r3x1.40X1O24X3.14X32^7X235/(6.O2XIO23)=108(kg)

3.9试计算E=0.025eV时的镀和石墨的扩散系数。

解：查附录3可得，对于七二0.025eV的中子：

S/m-1

M1一〃0

Be8.650.9259

C3.850.9444

2.2..1

对于Be：D=—=------=----------------=0.0416(m)

33(1-〃。)3\(1-//0)

同理可得，对于C：/9=0.09l7（m）

3-12试计算T=535K,p=802kg/m3时水的热中子扩散系数和扩散长度。

解：查79页表3-2可得，294K时：D=0.0016m,由定义可知:

O(T)_4r(7)/3_1/")_N(293K)b、(293K)〜p(293K)

/(293K)-4,(293K)/3-1/Z,(293K)~/V(T)^(T)-=p(T)

所以；

D=/?[293K)O(293K)/p=0.00195(m)

(另一种方法：如果近似认为水的微观散射截面在热能区为常数，且不受温度影响，查附表3可得:

282

=103x10-28m2,=0676,^=0.664x10-m

在T=535K,p=802kg/m3时，水的分子数密度：

N=:PN*=1O3X8O2X6.O2X1O23/18=2.68X1028(m3)

M

所以：=N(y$=276(m1)

4A1

D=-=------=——h=V(3X2.68X1()3X0.676)=0.00179(m)

33(l-//0)3\(1-A))

这一结果只能作为近似值)

中子温度利用56页(2-81)式计算：

7；=7；□十0.462gd1=^[1+().462Ab〃(/)]

2s区

其中,介质吸收截面在中子能量等于k%=7.28X1()21j=00461eV

再利用“1/v”律：

々(%)=々(0.0253e『),0.0253/0.0461=0.4920(b)

7；=535X(1+0.46X36X0.4920/103)=577(K)

(若认为其值与在0.0253eV时的值相差不大，直接用0.0253eV热中子数据计算:

7；,=535X(1+0.46X36X0.664/103)=592(K)

这是一种近似结果)

（另一种方法：查79页表3-2,利用293K时的平均宏观吸收截面与平均散射截面：2/293K）=1.97（m」）

Z,(293K)=-=----------=1/(3X0.0016X().676)=308(m1)

3D(293/C)(1-AJ)

进而可得到北二592K)

利用57页(2-88)式

a”(0.0253)1293

4=——=O.4I4X|O-28源)

1.128592

2a=Ncr'=l』l(n」)

&=Nb、_____________N=p

E093K)-N(293K)q(293K)=NQ93K)—0(293K)

—/?E,(293K)p.

/.E,=-------=----------」.........-=802/(3X100)X0.0()16X0.676)=247(m4)

/X293K)3p(293K)D(293K)(l-〃o)

L=/-----]—=-=J--------5---------=0.0424(m)

V3心工(1-%)V3xl.llx247x0.676

(此题如果利用79页(3-77)式来计算：

由于水是“1/v”介质，非1/v修正因子为1：

八嗨

代入中子温度可得：

L=7^^592/293=0.0285x#592/293=0.0340(m)

这是错误的！因为(3-74)式是在(3-76)式基础上导出的，而(3-76)式是栅格的计算公式，其前提是核子数密

度不随温度变化)

3.13如图3・15所示，在无限介质内有两个源强为S5的点源，试求Pi和PZ点的中子通量密度和中子流密度。

解：按图示定义平面坐标。

O

假设该介质无吸收、无散射，则在P2点，来自左右两个点源的中子束流强度均为l+=r=S4囱2,可知:

1

0(鸟)=广(鸟)+I~(P2)=S1271a

人6)=/+(2)-厂(2)=0

在Pi点，来自左右两个点源的中子束流强度均为S/4;r(、汇a)2,且其水平方向的投影分量恰好大小相等、方向相

反，可得：

。（片）=/+（片）+厂（4）=S/4&2

人用=『（［）-尸（用卜/+(<)+/-《)=2S&

41—正8乃标84。2

其方向沿Y轴正向。

若考虑介质对中子的吸收及散射，设总反应截面为心，则上述结果变为:

75

。(？)=Se%"/21〃2J(P2)=O。([)=Sc-"'/4%/

叵Se-g。

J(PJ=

8兀。2

（注意：如果有同学用解扩散方程的方法，在有限远处的通量密度同时与x、y、z有关。）

3-16设有一强度为I（m-2*s-'）的平行中子束入射到厚度为a的无限平板层上。试求：

（1）中子不遭受碰撞而穿过平板的概率；

（2）平板内中子通量密度的分布；

（3）中子最终扩散穿过平板的概率。

解：（1）/（〃）//（）=exp（-2用）

（2）此情况相当于一侧有强度为/的源，建立以该侧所在横坐标为x原点的•维坐标系，则扩散方程为:

竺L绰:o

x>0

dx21}

边界条件：i.limJ(x)=Z

ii.limJ(^)=0

x-^a

方程普遍解为：蚁x）=Ae~x,L+Cex!L

由边界条件i可得：

—Iin

limJ(.r)=lim(-=\m{-D\A—Qx,L+C-ex,L]}=-(A-C)=I

XTOXTO

XTOLLL

=>A=—+C

D

由边界条件ii可得：

a(La!Lu,La/L

\e+Ce-\e+Ce八

-------------------+----------------------=0

叱"华+六等46J

l.t=d

邑小2a/L=一+2DCg2,"L

2-3国,L-2D

所以:

=房一

L-2DDD2D+L

e2atL—1

2D-L

2D+L2a/L

AIL,、1、IL2D二L

D2Q+L2”/D2D+L

e-1------e2a/L-1

2D-L2D-L

20+.galL

d)(x}=—(2D-L------e-x/L-------!------//,

{

叭D2D+L2a(L2D+”L

e-ie—i1

2D-L--------------2D-L

_比(£+20e(“r)〃+(2D-L)e《EL

~D—(L+2D)ea,l-(2D-L)e-a/L

(也可使用双曲函数形式：

方程普遍解为：。⑴=Acosh(x/L)+Csinh(x/L)

由边界条件i可得：

limJ(.r)=lim(-=sinh(—)+—cosh(—)|)=--C=I

NTONTOXTOLLLLL

二c」

D

由边界条件ii可得:

Acosh(-)+Csinh(-)Asinh(—)+Ccosh(—)

--------------------+--------------------=0

3)=华自等x=a46J

cosh(-)/6J+sinh(-)/4〃2Qcosh(a+Lsinh(^)

nA=-C-----卜-------------L_=H

cosh(-)/4+sinh(-)/6监，DLcosh(^)+2Osinh(,

LL

所以:

n2Dcosh(y)+£sinh(y)

0(x)=—[(-------------------)cosh(-)-sinh(-)]

DLcosh(++2Dsin呜)LL

可以证明这两种解的形式是等价的)

(3)此问相当于求x=a处单位面积的泄漏率与源强之比：

-(^+2D)-+(L-2D)-

41f_—_J(a)_-Dd(Kx)

=-LLL

I1~I~Idx(L+2D)ea,L+(L-2D)e'a/L

x-a

4D

(L+2D)ea,L^(L-2D)e-a,L

(或用双曲函数形式:

2。

)

ILcosh(tzIL)+2Dsinh(6//L)

3-17设有如图3・16所示的单位平板状“燃料栅元”，燃料厚度为2a,栅元厚度为2b,假定热中子在慢化剂内以均

匀分布源(源强为S)出现。在栅元边界上的中子流为零(即假定栅元之间没有中子的净转移)。试求：

(1)屏蔽因子Q,其定义为燃料表面上的中子通量密度与燃料内平均中子通量密度之比；

(2)中子被燃料吸收的份额。

解：(1)以栅元几何中线对应的横坐标点为原点，建立一维横坐标系。在这样对称的几何条件下，对于所要解决的

问题，我们只需对x>0的区域进行讨论。

燃料内的单能中子扩散方程：4等一冬.=(),0<x<a

cbCI：

边界条件：i.limJ(x)=0ii.Iim^(x)=5

x->0xTa

通解形式为；=Acosh(x/L)+Csinh(x/L)

利用Fick'sLaw：./(x)=-D^^-=-D[-sinh(-)+—cosh(-)]

dxLLLL

Ax「rDC

代入边界条件i：-D[-sinh(-)+-cosh(-)l=一一-=0=>C=0

LLLLx=0L

代入边界条件ii：Acosh(-)+Csinh(-)=Acosh(-)=S=>A=——-——

LLLcosh(6z/L)

所以小小竺辿」S「&sh心小U・"inh(a〃)=些tanh")

jdvdxQcoshio/L)"Lacosh(6//L)aL

Scosh(f//£)

°二幽二”/L)=4。户)

%—tanh(«/L)LL

a

(2)把该问题理解为“燃料内中子吸收率/燃料和慢化剂内总的中子吸收率”，设燃料和慢化剂的宏观吸收截面分

别为曷和则有：

—J"—二—在竺—=、J两—=—*nh(a/L)_回顾扩散

\N@dV+£z；y^/VJ；(t)dx-J"Cc咻+Z：(b-a)SE"tanh(aIL)+(b-a)

长度的定义，可知：?=DE=»L=DIL,所以上式化为：

E"tanh(a/L)_Dtanh(a/L)

tanh(d/L)+(b-a)~Dtanh(tz/L)+(b-a)

(这里是将慢化剂中的通量视为处处用同，大小为S,其在b处的流密度自然为0,但在a处情况特殊：如果认为

其流密度也为0,就会导致没有向燃料内的净流动、进而燃料内通量为。这一结论！所以对于这一吸度简化的模型,

应理解其求解的目的，不要严格追究每个细节。)

3-21

解：(1)建立以无限介质内任一点为原点的球坐标系(对此问题表达式较简单)，建立扩散方程：

yq

_£>▽*+Z,/=S即：力0j=__

DD

边界条件：i.0<^<-K)o,ii.J(r)=0,0<r<+oo

设存在连续函数夕(r)满足:

vV=v>,（1）

可见，函数w(r)满足方程^^。二士口，其通解形式：(p(r)=^eXp("r"£)+CeXp(r'"A)

Crr

由条件i可知：C=0,

由方程(2)可得:。(r)=°(/*)+S/E“=Aexp(-r/L)/r+S/Z“

再由条件ii可知：A=0,所以：

gsj

(实际上，可直接由物理模型的特点看出通量处处相等这一结论，进而其梯度为0)

(2)此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程: