吉林省通化市2025-2026学年高三年级上册12月月考数学试题（含答案）

高三数学12月考

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.设集合”={止必43},N=k|2"2},则集合（）

A[-1,1]B,[0,3]c.[-1,0]D.[1,3]

(3。-l)x+4〃,x<1/(x)-/()..

2.己知函数,满足：对任意玉,X2-R，当.工一时，都有,”>0成立，则实

x--av+6,x>1~~x,-x2

数。的取值范围是()

A.[2,+00)B.(1,2]C.(1,1]D.[1,2]

3.在V月8c中，内角A,B,C对边分别为。，b,c,若tanA=3tan3,tanC=2,则tanA=()

A.6B.1C.3D.2

4.如图，止方体ABC。-A,BCR中，点E是AA的中点，点厂为止方形A446内一动点，且C尸〃平面。员工

若异面直线C尸与AR所成角为。，则tang的最小值等于（）

71

正BD.

.3-I43

2

5.已知正四面体A8CO外接球的球心为。一A3,过点O,。的平面夕与棱ACAO分别相交，记在平面。两

3

y

侧的几何体的体积分别为吊,吃,其中匕工匕，则亍的最小值为（）

32

43

6.已知。>0,h>0,设甲：a+-<2,乙：/?+,22,则甲是乙的（

ba

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知〃=3,z?=log23xlog27,C=21og26,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

x

8.设实数若不等式Qes-l..ln-对任意x>。恒成立，则。的最小值为（）

e

c11

A.eB.2eC.-D.—

e2e

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合

题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.

9.已知〃〉0,。+6=1,则下列结论正确的是（）

A.-+->3B.--------------->9+4>/5

abab

C.（4+1）（2〃+1）<3D.a2+4b<4

“3sina+2cosa8.…、“、上十丁〃，八日，、

10.己知—；----------=一，下列设法正确的是（）

2sina—cosa3

.2

AA.sinacosa=—

5

R•।3后

Bsina+cosa=------

5

C.cos4a-sin4a=~—

5

-sina.Il-cosor,（3y[5-

D.cosaJ------------+sinaJ--------------=±-------+2

V1+sinav1+cosa（5

11.在平面直角坐标系my中，▽八8。满足4—2,0）,以0,2）,。9。5。,411夕），其中。£1<.0为坐标原点，6为丫48。

的重心，。为VA3c的外心，下列说法正确的是（）

A.|OG区1+2&B,存在，wR,使得SGA8=：

33

C.当VABC为直角三角形时，OG・AB=±"D.CO.AB的最大值为2四

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知“VxwR,不等式W+4>ar恒成立"为假命题，则实数。的取值范围为.

13.已知函数/（x）的定义域为（2,8）,其图象关于工=/对称，若当2<了"时，/（力=21，则/（，+1）=

14.在VA8C中，A=p且Jisin3+cosB=2,则。=;若点。满足DC=25D，且,48在4。上

的高为1,则VA3C的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(xbf—Z/lnx.

(1)求曲线y=/(力在点(ej(e))处的切线方程;

(2)求证：/(X)W1.

16.设数列小｝的前〃项和s,广■-1，数列｛叫满足1=(〃+］；地必.

(1)求数列也｝和也｝的通项公式；

⑵若数列｛〃｝的前〃项和小％=鲁-，求数列仁｝的前〃项和

।一4

17.已知。为坐标原点，向量0M=(28亩2为一1),ON=(l,1-2Gsinxcosx),设/(x)=OMO\'.

(1)求“力单调递增区间;

(A、

(2)在锐角三角形VAAC中，内角AB,C对边分别为ab,c,已知/弓=1,求sinA+sinB+sinC的取值范围.

\,乙)

18.已知｛4｝是各项都为正数的递增数列，给出两个性质：①对于｛«〃｝中任意两项4,%«</),在｛5｝中都存在一

项品，使得2“「q=am.②对于｛q｝中任意一项an(〃23),在也｝中都存在两项ak必(2<。，使得an=2at-ak.

(1)若勺=2",判断｛q｝是否满足性质①，说明理由；

(2)若%=〃，判断｛q｝是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(3)若,力同时满足性质①和性质②，证明：成等差数列.

19.对于一个函数“力和一个点加(。/)，令函数5(1=〃')一",若％是s(”极值点，则称点P«J(%))

X—Cl

是M在f(x)的“边界点

(1)对于函数/(x)=e",证明：对于点M(l,0),存在点/，，使得点〃是M在/(“”边界点

(2)对于函数办2M(o,o),若不存在点儿使得点P是M在〃x)的“边界点”，求。的取值范围.

(3)对于函数/(工)=(/+0¥)12"«0,0),若存在两个不同的点尸，使得点P是M在/")的“边界点”，求。的

取值范围.

ACCCDAAC9ABD10AC11ACD

兀7\/57力

12(fTUH+co)13&14①.§##60。②.B##五5

15【小问1详解】

当X=e时，/(e)=e2-2e3,

函数求导得f(x)=2x-2x2-6x2Inx,则/z(e)=2e-8e2,

故曲线y=f(x)在点(e./(e))处的切线方程为>-(e2-2e3)=(2e-8e2)(x-e).

整理得y=(2e-8，卜-^+6€，.

【小问2详解】

注意到f'(x)=2x(l-x-3xlnx),xw(0,l)时，l-x>0,-3xlnx>0,

故fXx')>0,故/(%)单调递增：

xw(l,+8)时，/(x)<0,/(x)单调递减.

所以函数“X)的最大值为/(1)=1.

故/(X)</(1)=1.

16【小问1详解】

当〃=1时，％=S[=3：

T+I33"3

由S”二^—一三得S”1=」一](n>2),

"2222

・・・4=S“-S〃T=3"(应2),

又q=5=3也符合，

/.an=3"(〃£N"),

111

rt

(n+l)log3an(n+l)log33n(n+l),

【小问2详解】

r111Jill10.1

1x22x3〃(〃+1)I223nn+\)n+\

:.R〃=2x3+3x32+4x33+,.+(〃+1>3”，①

・•・3R〃=2x32+3x3,+4x3,+,・.+(〃+1)・3向，②

①,②两式相减得：—2R“=2x3i+32+33++3"_(〃+1).3向=6+90_3)_(〃+]).3-=3_2±1

1—322

所以q二生1.3e_。.

44

17【小问1详解】

因为/")=0M-0N,

所以J(工)=2sin2x-I+2V3siiivcosx=-cos2x+Gsin2x

JV3.1)

-2——sm02x—cos2x

I22

7T7T7T

厂.—+2knW2,x—<—+2kit,keZ,

262

/.--+2bi<2x<—+Ikit.keZ

33

...—+AJT<x<一+kit.keZ,

63

兀兀

\/(x)的单调递增区间为一q+Eg+E,keZ.

【小问2详解】

由⑴得/但=2sinA-y=1,

]_

「.sin一

2

A—=2攵兀H—或A—=2ZTTH---,kQZ,

6666

即A=2E+'或A=2而+兀，kwZ,

3

>4G(0,n),

、n

，A=­

3

VA+B4-C=7T»

sinB=sin(A+C)=sin(—+C),

3

G・c兀)・c

sinA+sinB+sinC=4-sinC+—H-sinC

2I3J

4

—sinC+-cosC

22

sinfc+-Y

2I6)

0<Y

兀「兀

—<C<一,

62

兀一兀2兀

:.—<C+—<—

363

,李岛福+总娉+泻)，

故sin>4+sinB+sinCw—+—.

222

18【小问1详解】

由％=2”,性质①是任意4,%(，>/),存在2q-4=q”，

令i=/+P,则%要满足2"'=2'+9—2'(p>0),

可得2m=2，(2"-1),可得2时，=2⑷一1，

其中2〃T为偶数，2/川一1为奇数，所以不成立，

如：当i=4,J=3时，2川=2$-23=24，不存在这样的胴.

【小问2详解】

当q=〃(〃=1,2,…)时，2ai-aJ=2i-j,i>jt所以万一/>0,

所以存在加=2i-j使得数列｛q｝满足性质①；

对性质②，取攵=〃一1,I=n-2,n>3,

则4=一/_2=2(〃-1)一(〃-2)二〃成立，所以满足性质②.

【小问3详解】

由｛。“｝是递增数列，满足性质①和性质②，所以%=24—勺，即4产弓=2%

当〃=3时，4+4=2%,

己知攵〉/,所以/<2<3,

又由A,/wN+,所以/=1,%=2,即6+6=2%.

取〃=4,则4=2〃/一%.>4，所以2W/W3,

若/=2,攵=1,则4=2%-4=%，不符合题意，舍去.

若/=3,1=1,则。4=2%-q.

因为〃3<243-。2<2%-4=。4，所以2%一。2不是｛q｝中的项，不满足性质①，不符合题意，舍去,

所以1=3,左=2,则。4=2%-%,

所以=。3-。2=%一片，故％，。2，。3，。4成等差数歹八

19【小问1详解】

(x-2)eA

证明:M(l,0),5(x)=——,«%)=

x—1U-1)2

当xw(y』)U(L2)时，s'(x)<0；当XE(2,+OO)时，s'(x)〉O.

所以s(M在(-8,1),(1,2)上单调递减，在(2,中»)上单调递增，

则2是s(x)的极小值点，

故存在点尸(2d),使得点尸是M在f(x)的“边界点”.

【小问2详解】

1。

-x4-\-ax~

M((),()),s(x)=^-------=-A:3+ax(xw=x2+Q(X.0)，

因为不存在点人使得点0是M在/⑴的“边界点”，所以s(x)没有极值点.

若。之0,则s'(x)>0,s(x)没有极值点.

若avO,则当时，s'(x)>0,

当天£卜>/^,0)^1(。,\/^)时，/(%)<0,

所以S(x)在(―J—4,0),(0,J—4)上单调递城,在上单调递增，所以—是S(X)的极大

值点，口是S(x)的极小值点.

综上，a>0.

【小问3详解】

2