集合（六类核心）-2026年高考数学一轮复习考点讲义

专题1.1集合

目录

目录......................................................1

一、5年高考•真题感悟.....................................2

二、课程标准・考情分析....................................4

【课程标准】......................................................4

【考情分析】......................................................4

【2026考向预测】..................................................5

三、知识点•逐点夯实......................................5

知识点1、集合与元素...............................................s

知识点2、集合间的基本关系........................................5

知识点3、集合的运算...............................................6

【常用结论】......................................................6

四、重点难点・分类突破....................................6

考点1元素与集合的关系...........................................6

考点2集合中元素的三大特征.......................................8

考点3集合间的基本关系（子集、真子集与相等）...................10

考点4集合的基本运算（交集、并集、补基与全集）................12

考点5韦恩图的应用..............................................14

考点6集合的创新定义运算.......................................17

五、必考题型・分层训练...................................21

A、基础保分........................................................21

B、综合提升........................................................25

一、5年高考•真题感悟

1.(2024•北京•高考真题)已知集合“={x|-3vx<l},N={i|-1WX<4},则MVJN=()

A.{x|-l<x<1}B.{x|x>-3)

C.{x|-3<x<4}D.{x|xv4}

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】并集的概念及运算

【分析】直接根据并集含义即可得到答案.

【详解】由题意得MuN={x|-3vxv4}.

故选：C.

2.(2024•全国甲卷•高考真题)若集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+le可，则4=()

A.{1,2,3}B.{3,4,9}C.{1,2,3,4}D.{2,3,4,5}

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据集合b的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【详解】依题意得，对于集合6中的元素x,满足x+l=l,2,3,4,5,9,

则“可能的取值为。,1,2,3,4,8,即B={0,1,2,3,4,8},

于是AcB={l,2,3,4}.

故选：C

3.(2024•天津•高考真题)集合A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},则A04=()

A.{123,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.

【详解】因为集合4={1,2,3/},B={2,3J,5),

所以AB={2,3,4},

故选：B

4.(2023•全国甲卷•高考真题)设全集U=Z，集合M={dx=3k+l,&wZ),N={Hx=3k+2,keZ},

bu(M2N)=()

A.{x|x=3女,ZwZ}B.{A|x=3k-\,keZ]

C.{.dx=3k-2,kwZ}D.0

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】交并补混合运算

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.

【详解】因为整数集Z={x*=3£ZeZ}{x|/=3A+lMeZ}L{x|x=3〃+2,&cZ},U=Z,所以，

N)={x|x=3女&£Z}.

故选:A.

5.(2023•新课标团卷•高考真题)已知集合例={-2,-1。1,2},/V={X|X2-X-6>0},则M-N=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合例中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为％=卜,2_—6对}=(-8,-2]33，+8)，而"={-2,-1,0,1,2},

所以M[N={-2}.

故选：C.

方法:因为“={-2,-1。1,2},将一2,7,0,1,2代入不等式/_%_620,只有-2使不等式成立，所以

MN={-2}.

故选：C.

6.(2023・新课标回卷・高考真题)设集合4={0,-q，8={1,。-2,2。-2},若Aq8,则”().

2

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】根据包含关系分。-2=0和27-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为A=则有：

若〃一2=0,解得a=2,此时A={0,-2},3={1,0,2},不符合题意；

若2a-2=0,解得a=l,此时4={0,-1},8={1,-1,()},符合题意；

综上所述：4=1.

故选：B.

二、课程标准・考情分析

【课程标准】

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述

法)描述不同的具体问题；

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；

3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的

补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。

【5年考情分析】

5年考情分析

考题示例考点分析难易程度(简单、一般、较难、很难)

2025年新I卷，第2题,5分集合的补集简单

2025年新U卷，第3题,5分集合的交集简单

2024年新I卷，第1题,5分集合的交集一般

2023年新I卷，第1题,5分集合的交集一般

2023年新H卷，第2题5分元素的性质、集合的子集简单

2022年新I卷，第1题,5分集合的交集简单

2022年新H卷，第1题,5分集合的交集简单

【2026考向预测】

高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.重点是集合间的基本运算，主

要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、

对数不等式解法结合

重点关注：集合与集合之间的关系，子集与真子集的个数及关系。

三、知识点•逐点夯实

知识点1.集合与元素

(1)、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2)、元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号与_或色表示.

(3)、集合的表示法：列举法、描述法、Ve〃〃图法.

(4)、常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN+（或N*）ZQR

(5)、集合的分类

若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集;若按元素的属性分类，可分为点集、数集等.特

别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空臭，空集用符

号“0”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.解题时切勿忽视空集的情形.

知识点2.集合间的基本关系

关系自然语言符号语言Venn图

集合A中所有元素都在集合B中(即若

子集

则x£3)（或434）（O

或

（^）

集合A是集合8的子集，且集合8中至少AB

真子集

有一个元素不在集合A中（或54）

集合A,8中元素完全相同或集合4,B互

集合相等A=3

为子集

子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.

知识点3.集合的运算

如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，合集通常用字

母U表示:

集合的并集集合的交集集合的补集

图形掇(33

ACB逊

符号

【常用结论】

1.若有限集4中有〃个元素，则A的子集有2。个，真子集有2"_1个，非空子集有才-1个，非空真子集

有2"-2个.

2.空集是任何集合A的了.集，是任何非空集合8的真了•集.

3.人仁/，$。8=431_18=80API（稠）=00AU（vB]=1J

4.奇数集：{Mx=2〃+l,〃£Z}={xk=2〃-l,〃eZ}={/k=4〃±l.〃eZ}.

5.德•摩根定律：

①并集的补集等于补集的交集，即瘠（818）=（4A）&B）；

②交集的补集等于补集的并集，即翔（4「8）=（“人）&B）.

6.数集运算的封闭性,高考多次考查，基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素（同一元素可重复选

出）,选出的这两个元素通过某种（或几种）运算后的得数仍是该数集中的元素，那么，就说该集合对于这种（或几

种）运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数

集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环，有限数集{（）}就是一个数环，叫零环.设F是由一

些数所构成的集合，其中包含。和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）,仍是F中的数,

即运算封闭，则称F为数域.

四、重点难点・分类突破

考点1元素与集合的关系

例1.（2025•辽宁沈阳•一模）集合A={xwN||x-U<2},则集合A=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】列举法表示集合

【分析】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可.

【详解】集合A={xeN||xT|<2}={xeN[T<x<3}={0』,2}.

故选：B.

例2.（2025•河南•一模）下列表达式中不正确的是（）

A.1GNB.0={0}

c.2x/2eRD.{（1,1）}G«（x,y）y=x2-

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系

【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系，逐项判断得解.

【详解】对于A,lcN,A正确；对于B,0中无任何元素，而{0}有一个元素0,B错误；

对于C,2x/2eR，C正确；对于D,数对（1,1）满足）,=%，则D正确.

故选:B

【变式训练11.（2025•宁夏银川•一模）己知集合4={0」,2},则集合吕={（工,丁）|*《），"€人），£力中元

素的个数是（）

A.1B.3C.6D.9

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】列举法求集合中元素的个数

【分析】根据题意，采用列举法表示集合8即可求解.

【详解】由题，可得8={（0,0）,（0」）,（0,2）,（1,1）,（1,2）,（2,2）},

所以集合8含有6个元素.

故选：C.

【变式训练2】.（2022•全国乙卷•高考真题）设全集U={123.4,5},集合M满足4历="3},则（）

A.2GMB.3eMC.4任MD.5它M

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算

【分析】先写出集合然后逐项验证即可

【详解】由题知加={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误

故选:A

考点2集合中元素的三大特征

例3.（2024呐蒙古呼伦贝尔•二模）己知集合4={1,。},4={2,/},若A.8中恰有三个元素，则由a的

取值组成的集合为（）

A.{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2}

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】根据并集结果求集合或参数、利用集合元素的互异性求参数

【分析】48中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.

【详解】因为AB中恰有三个元素，所以a=2或a=或1=总

结合集合中元素的互异性，解得a=2或。=0或（舍去）或。=7.

故选：D.

例4.（2023•河南郑州•模拟预测）已知集合人徊〃=2&-1«=*/金0},Q={2,3,5},则集合

7={对］€。,），€。}中元素的个数为（）

A.30B.28C.26D.24

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】集合元素互异性的应用、利用集合中元素的性质求集合元素个数

【分析】

根据题意得到「二{1,3,5,7911,13,15,17,19},再结合/={刈％£P,），eQ}求解即可.

【详解】P={巾=2k-1,AeN*,A410}={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19},g={2,3,5）,

因为T={加"，”。}，

当"wP,y=2时，孙为偶数，共有10个元素.

当尸,），=3时，必’为奇数，

此时个=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,共有10个元素.

当xeP,y=5时，个为奇数，

此时外=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,有重复数字15,45,去掉,共有8个元素.

综上T={^|xQ\中元素的个数为I（）+10+8=28个.

故选：B

【变式训练31.（2024・四川乐山•三模）已知集合4={-1,0,1}1={1,2},。=卜|工=〃+8,4£4/£可，则

集合C的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数

【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可.

【详解】由题意知，〃e{-1,01},匹{1,2},

当〃£{一1,0,1},〃=1时，4+〃£{0,1,2},

当〃£{-1,0,1},〃=2时，。+力已1,2,3},

所以。={0,1,2,3},

所以集合C中的元素个数为4.

故选：C.

【变式训练41.（2025•江西新余•模拟预测）己知集合A={0.4,〃+6},4={。,“，若A18=8,则实数

【答案】2或3

【难度】0.94

【知识点】根据交集结果求集合或参数、利用集合元素的互异性求参数

【分析】根据集合元素互异性可得。工0,由4区=8可得〃qA,然后分类讨论即可求得参数.

【详解】由题知，。工0.

因为4B=B,所以BqA,

则当/=4时，。=±2,而aH-2；

当『=々+6时，。=-2(舍)或3,

所以。=2或3.

故答案为：2或3

考点3集合间的基本关系(子集、真子集与相等)

例5.(2023•新课标回卷•高考真题)设集合A={0,F},B={\,a-2,2a-2\,若A=则。=().

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】根据包含关系分。-2=0和27-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为Ac8,则有：

若〃一2二0,解得4=2,此时A={(),-2},3={1,0,2},不符合题意；

若2々一2=0,解得〃=1,此时A={OI},5={1,-1,0},符合题意；

综上所述：4=1.

故选:B.

例6.(2025•安徽安庆•二模)已知集合4={.d0<x<a+l},8={.d/-3x+2<。},若AqA,则实数〃的取

值范围为()

A.(-oo,0]B.(-<»,2]C.[1,-Kx>)D.(1,-K»)

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】先求出集合用=(1,2),然后利用列出方程即可得出答案.

【详解】B={^|X2-3X+2<0)=(L2),

又A={x|0vxva+l},所以a+122,得

故选：C.

例7.（2025•河北衡水•模拟预测）设集合A={db},八{2〃,2叫，若A=B,则"=.

【答案】1/0.5

【难度】0.94

【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数

【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出。，生

【详解】在8={2〃,2/}中，2"2",则〃工0且〃工1,

2a2

而4={©。},A=B,显然。工2〃，因此《a—方，解得”=不i6=1,

[b=2a2

所以而=人

2

故答案为：:

【变式训练5】.（2025•辽宁•模拟预测）已知集合A={123,4,5},8={），|），=2工-1/€可，则Ac8的子集

个数为（）

A.3B.7C.8D.9

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、列举法求集合中元素的个数

【分析】根据题意先求出集合8,利用集合的交集运算得到AC8,再根据交集中元素的个数计算其子集的

个数.

【详解】由题意得5={），|），=2XTXWA}={1,3,5,7,9},

所以48={1,3,5},所以4cA的子集个数为少=8.

故选：C.

【变式训练6】、（2025•广东广州•模拟预测）满足卜产+2..3=0仁从{一3,-1,0,1,3}的集合A的个数为

（）

A.3B.7C.8D.15

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】判断集合的于集（真于集）的个数、根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算

【分析】由一元二次方程以及集合之间的包含关系，可得答案.

【详解】由f+2x—3=0,整理可得(x+3)(x-l)=0,解得工=一3或1,

则{-3,1}土4{-3,-1,0,1,3},设8={-3,1},所以1A{-1,0,3},可得2,—1=7.

故选：B.

【变式训练7】.(2023•江西•模拟预测)已知实数集合A={l,a间,8={集&曲,若A=B,则产+产=

()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】根据4=A得到〃2=],必=b或〃2=6心=],然后解方程，再根据集合中亓索的互异性得到〃=0,

4=-1,最后计算即可.

【详解】当/=1,，力=〃时，b=0,。=一1或〃任意，〃=1(舍去)；

当I『=b，"=1时，a=\,b=l,不成立，

所以6=0,〃=-1,/团+。2023=一]

故选：A.

考点4集合的基本运算(交集、并集、全集与补集)

例8.(2025♦云南•模拟预测)已知全集。=人口8={1,2,3,4},A={l,2,3},Ac8={3},贝()

A.{1,2,3}B.{3,4}C.{1,2,4}D.{1,2,3,4}

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】交并补混合运算

【分析】根据给定条件，利用交并补的运算求解.

【详解】由U=A4={1,2,3.4},A={1,2,3},得@A)8={4},而Ac3={3},

所以8=[a4)「用540或={3,4}.

故选：B

例9.(2024•广东江苏•高考真题)已知集合4=口-5＜寸＜5},8={-3,-1,0,2,3},则()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.(-1,0,2}

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算、由基函数的单调性解不等式

【分析】化简集合A,由交集的概念即可得解.

【详解】因为A=8=0,2,3},日.注意到1〈指<2,

从而414={-1,0}.

故选：A.

例10.(2024・北京•高考真题)已知集合”={1|-3<大<1},^={x|-l<x<4),则M=N=()

A.{x|-I<x<1}B.{x|x>-3}

C.{x\3cx<4}D.{x|x<4)

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】并集的概念及运算

【分析】直接根据并集含义即可得到答案.

【详解】由题意得MuN={x|-3vxv4}.

故选：C.

【变式训练8】.(2025•河北邯郸模拟预测)已知集合"={工£那|<3},/V={X|X2+X-2>0),则MCN=

()

A.{-3,2,3}B.{-3,3}C.{2,3}D.[-3,-2)u(I,3]

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】求出集合M，N,再求解McN判断选项.

【详解】解析：由题意可知，集合M={-3,—27,0,1,2,3},N={*rv—2或x>l},

.•.MCN={—3,2,3}.

故选：A.

【变式训练9】.（2025•黑龙江哈尔滨•二模）己知集合4=上次2-4工工0},8={止3-工4},则（QA）1B=

（）

A.{x|-3<x<0）B.{x|-3<x<4}

C.{x|-3<x<（）{D.{x|x>4）

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】解一元二次不等式求出集合A,再根据补集、交集的定义计算可得.

【详解】由/一4尤v0,即（X—4）x40,解得04x44,

所以4={X|X2-4X40}={X|0WXW4},所以QA={x|x<0或工>4},

又8={1卜3<彳£4},所以（*4）cB={x[-3<x<0}.

故选：C

【变式训练10】.（2025•甘肃•二模）已知A={x|log/N_1},8=卜1=庐7卜则Af18=（）

A.[L2]B,（0,2]C.pljD.[1,1]

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式

【分析】由对数函数单调性解不等式及1-丁20求解不等式，再由交集运算即可求解.

[详解[A={x|log2x-1}=^x|log2x>log,»=«xx2g»,

由1-Y之0可得：,则8={闻一1«“41},

所以4,B=g，l，

故选：D

考点5韦恩图的应用（容斥原理）

例11.（2025・吉林二模）设全集0=乙4={-1,0/},8=1£用国42},则图中阴影部分表示的集合是（）

u

AB

A.{1}B.{-1,2}C.{0,1}D.{-1,0,2）

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算

【分析】先判断表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定义求解即可.

【详解】因为8=次£叫同42},所以8二{0,1,2},

因为A={T0,l},所以A8={0,1},AuB={-l,0,l,2},

而阴影部分表示的集合是kkcAuB且X任AcB},

则图中阴影部分表示的集合是{7,2},故B正确.

故选:B

例12.（24-25高三上•湖北•阶段练习）向50名学生调查对A、8两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数

是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成3的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A4都不赞成

的学生数比对42都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（）

A.赞成A的不赞成8的有9人

B.赞成8的不赞成A的有11人

C.对45都赞成的有21人

D.对48都不赞成的有8人

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】容斥原理的应用

【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可.

3

【详解】赞成A的人数为5Oxg=3O,赞成B的人数为30+3=33.记50名学生组成的集合为U,赞成事件A

的学生全体为集合A,赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示,

设对事件A,B都赞成的学生人数为工，

则对A,B都不赞成的学生人数为;+1.赞成A而不赞成B的人数为30-%，

赞成B而不赞成A的人数为33r.依题意(30r)+(337)+x+(+l)=50,解得x=21.

所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A,B都赞成的有21人，对A,B都不

赞成的有8人.

故选：B

2

【变式训练11】.(24-25高三上•广东佛山•周测)已知全集。=凤集合A=k|0"W2},B=[xx-x>o}t

则图中的阴影部分表示的集合()

C.{x\\<x<2}D.{x|l<x?2}

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】利用Venn图求集合、解不含参数的一元二次不等式、并集的概念及运算、交集的概念及运算

【分析】解不等式化简集合8,再结合韦恩图及集合运算求出答案.

【详解】依题意，B={x\x(x-l)>0}={x\x<0^x>\],而4={工|0"«2},

则AZ?-R,AB={x\\<x<2},

由韦恩图知，阴影部分是=或x>2}.

故选：A

【变式训练12】.(2024•河北石家庄•三模)(多选题)某校“五一田径运动会〃上，共有12名同学参加100

米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”,有7人参加“400米比赛”,有5人参加“1500

米比赛〃，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米〃都参

加的有3人，则下列说法正确的是（）

A.三项比赛都参加的有2人B.只参加100米比赛的有3人

C.只参加400米比赛的有3人D.只参加1500米比赛的有1人

【答案】ABD

【难度】0.65

【知识点】根据交集结果求集合元素个数、容斥原理的应用

【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项.

【详解】根据题意，设4=｛H彳是参加100米的同学｝,

4=｛x|x是参加400米的同学｝,

。=｛耳不是参力口1500米的同学｝,

则card（人）=8,card（"）=7,card（C|=5,

且card（A8）=4,card（AC）=3,card（8C）=3,

则card（ABC）=l2-［（8+7+5）-（4+3+3）］=2,

所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，

只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.

故选：ABD

考点6集合的创新定义运算

例13.（24-25高三上•河南新乡•期中）定义非空数集M的“和睦数〃〃如下：将M中的元素按照递减的次

序排列，然后将第•个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合｛123,4.5｝的〃和睦数〃是

5+4-3+2-1=7,｛2,4｝的“和睦数〃是4+2=6,｛1｝的“和睦数”是1.对于集合A=〃一^-eN,〃eN卜其

所有非空子集的“和睦数〃的总和为（）

A.82B.74C.12D.70

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义

【分析】分别列举子集“，根据"和睦数"的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解.

【详解】^=]«—eN,/ieN={l,2,3,6）,非空子集有2，1=15个.

当子集M为单元素集{1},{2},{3},{6}时，“和睦数”分别为1,2,3,6,和为12；

当子集M为双元素集{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}时,

“和睦数”分别为3,4,7,5,8,9,和为36；

当子集”为三元素集{123},{1,2,6},{1,3,6},{23,6}时,

“和睦数”分别为4,7,8,7,和为26；

当子集M为四元素集{123,6}时，“和睦数”为6+3—2+1=8.

故"利率数”的总和为12+36+26+8=82.

故选：A

例14.（2025•浙江温州•模拟预测）（多选题）给定〃©N+，若集合P土{1,2,3,,〃},且存在a,b,c,dwP,

满足a<b〈c<d,b-a=d-c,则称尸为“广义等差集合〃.记尸的元素个数为IPI,则（）

A.{1,2,3}是“广义等差集合〃

B.{134,6}是“广义等差集合〃

C.若尸不是“广义等差集合"，当〃=8时，1尸1的最大值为4

D.若「不是“广义等差集合〃，若IPI的最大值为4,则"可以是13

【答案】ABC

【难度】0.65

【知识点】集合新定义

【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D,根据|P|=5时，设

P={ai,a2Ja3,a4,a5},利用裂项相消得之I+2+3+4=10>8矛盾求解C.

【详解】对丁A,取a=l,〃=c=2）=3,则符合“广义等差集合”的定义，故A正确，

对FB,取。=12=3,。=4/=6=6-。=4一。=2,故8正确，

对于C,当〃=8时，Pc{l,2,3,.8）,如|尸|=5时，设「二佃,%%，/，4}，

由胭意可知，一4-/4-6，4-4两两不ffl同，则

6一4=（%-卬）+（4-%）+（%-电）+（%-4）21+2+3+4=10>8矛盾，故|尸|<5,当|2|=4时，取

P={1,2,4,8},满足。不是“广义等差集合〃，故|尸|的最大值为4,故C正确，

对于D,当〃=13时，取干={1248,13},这与团2=4矛盾,故D错误,

故选：ABC

【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：

1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；

2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.

3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的

概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.

【变式训练13】、(2024•全国•模拟预测)大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛

卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编

程人员需要了解笛卡尔积.两个集合A和用A中元素为第一元素，“中元素为第二元素构成有序对，所

有这样的有序对组成的集合叫作A与8的笛卡尔积，又称直积，记为AxB.即Ax4={(x,y)keA且

yeB].关于任意非空集合N,T,下列说法一定正确的是()

A.MxN=NxMB.(MxN)xT=MxT)

C.D.Mx(N「7)=(例xN)n(〃xT)

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】集合新定义、判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算

【分析】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D.

【详解】对于A,若例={1}”={1,2}‘则2'"={(11),(1,2)},"、例={(1,1),(2,1)},加乂/7/及、加，A错

误；

对千B,若M={1},N={2},7={3},则MXN={(1,2)},(MXN)X7={((L2),3)},

而Mx(NxT)={(M2,3))},(MxN)xrwMx(NxT),B错误；

对于C,若用={1}小={2},7={3},则MX(NJT)={(1,2),(1,3)},

MxN={(l,2)},MxT={(l,3)),Mx(NT)=(MxxT),c错误；

对于D,任取元素(x,y)eA4x(NnT),则xeM且yGT,则yG2且yG7，

于是（x,），）w"xN且（x,y）w"xT,即（x,），）e（MxN）（MxT）,

反之若任取元素（x,y）«MxN）「（Mxr）,则（x,y）£MxN且（x,y）cMxT,

因此xeM,yeN且yeT,即xeM且ywN|T,

所以（x,），）wMx（Nrir）,即用x（NQT）=（MxN）n（Mxr）,D正确.

故选：D

【变式训练14］（24-25高三上•河北石家庄•阶段练习）（多选题）群论，是代数学的分支学科，在抽象代

数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方

程没有根式解就可以用群论知识证明•群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非

空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a,beG,有a,bwG；②对

任意的a,b,cwG,有③存在etG,使得对任意的〃eG,有ea=a・e=。，e称为

单位元：④对仟竟的aeG,存在bwG,^.ab=ba=e,称〃与b互为逆元.则称G关于"•"新构成一个群.

则下列说法不正确的有（）

A.G={0』,2}关于数的乘法构成群

B.自然数集N关于数的加法构成群

C.实数集R关于数的乘法构成群

D.G={a+@|a力eZ}关于数的加法构成群

【答案】ABC

【难度】0.15

【知识点】集合新定义

【分析】反例判断A,B,C是否满足④，对于D,对所有的a,/?eG,设。=工+=s+EZ）,

求出a+b,依次看是否满足要求.

【详解】A：由leGIlVaeG,使la=al=a,但OwG,不存在〃eG,使0。=匕0=1,故A错误；

B：由OcNJlVacN,都有0+。=。+0=。，但leN,不存在beN,使l+Z?=b+l=O,故B错误；

C：由leR且TacR,使la=al=a,filOeR,不存在〃61^,使03=方0=1,故C错误；

D:对所有的々,力€6,可设4=工+&乂〃=5+",（乂），,5,，£2）,

则a+/>=（x+5）+x/2（y+/）eG,

①G满足加法结合律，即Va,"ceG,有（a+））+c=a+（>+c）；

②%=OwG,使得X/aeG,有e+a=a+e=a；

③VatG,设a=x+\/5y,x,y?Z,b=-x-41y?G,使a+/)=Z>+a=e,正确.

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：对于D,对所有的。力eG,a=x+J5y,b=$+",(x,y,s/eZ),求出a+〃.

五、分层训练

基础保分

一、单选题

1.(2025・浙江・二模)已知全集。二卜金川X43},A={1,2,3},B=,£N|/一段斗，则Q,,(Ac团=()

A.{0,1,3}B.[0,1)C.{0,3}D.{0,2,3}

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】确定全集U和集合B,再求出AcB,最后根据补集的定义求出41(Ac8).

【详解】已知全集。={1£岫工<3),N表示自然数集，所以U=[0,123}.

对于集合8={xeN|x2—x<2},解不等式/一]<2,则其解为-1WXW2.

又因为xwN,所以A={0J2}.

已知A={1,2,3},B={0,l,2},可得Af)8={l,2}.

因为U={0,l,2,3},AlB={1,2},所以9(AcB)={0,3}.

故选：C.

2.(2025•内蒙古呼和浩特•二模)设集合A={1,2,3,456},八卜印<8},则Ac&8)=()

A.{1,2,3}B.{2,3,45}C.{4,5,6}D.{345,6}

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】交并补混合运算、由指数函数的单调性解不等式

【分析】先求解集合8,再求出集合B在R中的补集最后求出集合A与的交集A

【详解】已知8={己2，<8},因为8=2,所以2、V23.

根据指数函数的单调性，对于指数函数)，=23函数在R上单调递增.

那么由2*<23可得M3,即8=口以<3},所以金8={x|xN3}.

已知4={1,23,4,5,6},dRB={x\x>3},所以Ac&B)={3,4,5,6}.

故选：D.

3.(2025•湖南长沙•一模)已知某合A={x|/<4},8={x|lg(x-l)vl},那么集合“3=()

A.(1,2)B.(2,11)C.(-2,11)D.(1,11)

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】交集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式

【分析】分别求出集合AB,利用交集的定义求解即可.

【详解】因为4={X|为<4}=(一2、2),8={]|磔%一1)〈1}=(1,11),所以4八8=(1,2),

故选：A.

4.(2025•福建莆田•三模)已知集合A={0,123,4,8},B={x\x-2eA\,则AC8=()

A.{2,3,4}B.{1,2,3,4)

C.{3,4}D.{4}

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据题意求集合从进而可得交集.

【详解】因为A={0,1,2,3,4,8},则3={4r—2eA}={2,3,4,5,6,10},

所以A3={2,3,4}.

故选:A.

（2025・重庆•模拟预测）已知集合A=<xx=-n+-,neZy,x=—/2+—,7?GZ>,则AB=

A.<xx=-〃+—,〃wZB.<xx=—n——j?wZ»

6666

C.<xx=n—,eZ-D.<xx=—n+—,neZ>

666

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算

【分析】集合A，B可化为分母相同的元素，其中分子分别为除3余2整数，除2余1整数，据此可得出交

集.

-..113/7+2J„112/7+3r

【详.s解】集合4=〈xx=—〃+—=-------,//eZ>,8=<xx=-n+—=--------

236326

所以4c8x=

故选：C

6.（21-22高三下•四川德阳•期末）已知集合M=H）