江西省新余市仙女湖区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）

2024・2025学年江西省新余市仙女湖区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.如图是奥运会会旗标志图案，它是由五个半径相同的圆组成，象征着五大洲体育健儿团结拼搏.那么这

个图案（）

F

A.是轴对称图形B.是中心对称图形

C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.不是对称图形

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的

关键.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转

180度后两部分重合.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：根据五个圆的摆放位置，则它只是轴对称图形，且只有一条对称轴，即连接下边两个圆的圆心

的垂直平分线.

故选：A.

2.如图是抛物线），1=公2+法+c（°刈）图象的一部分，抛物线的顶点坐标4（1,3）,与x轴的一个交点3

（4,0）,直线>2=心+〃（/岸0）与抛物线交于A,8两点，下列结论：①2白+8=0：②"c>0；③方程

以2+云+。=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（7,0）；⑤当lVx<4时，有

V.其中正确结论的个数是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系逐一判断即可

-b

【详解】解：①由抛物线对称轴为直线工二一二1,从而b=—2a,则2“+〃=0,故①正确；

2a

②抛物线开口向下，与)'轴相交与正半轴，则。<0,c>0,而匕=一2〃>0,因而故②错误；

③方程ax2+bx+c=3的解，即是)，=+bx+c与直线y=3的交点的横坐标，

从图象可得，抛物线顶点为(1,3).则抛物线与直线有且只有一个交点，

故方程依2+法+c=3有两个相等的实数根，故③正确；

④由抛物线对称性，与x轴的一个交点3(4,0),根据对称轴为x=l,可知另一个交点坐标为(-2,0),

故④错误；

⑤由图象可知，当1VXV4时，巾>必故⑤正确；

故正确的有①③⑤，共计3个

故选C

【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数

形结合.

3.下列说法不正确的是()

A.了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查

B.”彩票中奖的概率为0.1%”表示买1000张彩票肯定会中奖

C.“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点

6

数是2”这一事件发生的频率稳定在)附近

D.在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件

【答案】B

【解析】

【分析】根据抽样调查的特点，概率意义的理解，随机事件分析选项即可.

【洋解】解：由题意可知：

A.了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查，说法正确，不符合题意；

B.”彩票中奖的概率为0.1%”表示买1000张彩票可能会中奖，说法不正确，符合题意；

C.“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点

6

数是2”这一事件发生的频率稳定在,附近，说法正确，不符合题意；

6

D.在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件，说法正确，不符合题意；

故选：B

【点睛】本题考查抽样调查的特点，概率意义的理解，随机事件，解题的关键是掌握以上知识点.

4.如图，。为NA08功。4上一点，NA08=30"，OP=10cm,以P为圆心，5cm为半径的圆与直线08

A,相离B.相交C.相切D.无法确定

【答案】C

【解析】

【详解】解：过户点作尸OJ•。从垂足为

在对△。尸。中，NAO8=30°，OP=lO,

：,PD=^OP=5,又圆的半径为5,

・・・0P与08相切.

故选C.

5.如图，矩形八4。。中，对角线AC=8c〃?，△AO笈是等边三角形，则人£＞的长为（）c/n.

A.4B.6C.46D.3及

【答案】C

【解析】

【分析】先求得NACB=30。，再求出AB=4cm,由勾股定理求得AD的长.

【详解】是等边三角形，

・・・N84C=60。，

・•・N4CB=30。，

VXC=8cm,

,\AB=4cm,

在R@A8C中，BC=yjAC2-AB2=加-甲=4Gcm,

,:AD=BC,

：.AD长为4百cm.

故选C.

【点睛】本题考查的是矩形的性质，关键是根据在直角三角形中，30。的锐角所对的直角边等于斜边的一

半；以及勾股定理解答.

6.下列各点中，在函数)，=一”的图象上的点是()

x

A.(3,4)B.(-2,-6)C.(-2,61D.(—3,T)

【答案】C

【解析】

k

【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数y=[(AwO)中，&=肛的特点

对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：A、・-3x4=12工-12,.•.此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

8、♦.•(一2)x(-6)=12w—12,.•.此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误

C、・.・(-2)><6=-12,.•.此点在反比例函数的图象上，故木选项正确；

。、•・•(-3)x(7)=12。-12,二.此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误.

故选：C.

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.

7.如图，矩形。从3C的顶点A,。分别在X轴负半轴和y轴正半轴上，。4=4,。。=6,点。在A8上，

k

且80=4,过点。的双曲线y=一与8c交于点£,则3石=.

x

【解析】

【详解】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数），=《（女为常数，左。0）的图象是双

x

曲线，图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值k，即%.乜考查了矩形的性质.

先确定。点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，接着计算出函数值为6对应的自变量的值得

到E点坐标，然后计算BC-CE即可.

【解答】•.•在矩形。43C中，。4=4,OC=6,

.-.AB=OC=6,BC=OA=4,

•.•B力=4，

:.AD=2,

「.唳⑶，

把。（4,—2）代入y=与得k=4x（-2）=-8,

JC

Q

反比例函数解析式为y=-一，

x

Q

当y=6时，—=6,

x

4

解得x=——,

3

（4、4

E——,6,则CE=—,

t3J3

Q

故答案为:7-

3

8.要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是

白色的概率是！，可以怎样放球：________.（只写一种）

3

【答案】答案不唯一，如放2个白球，4个黄球(只要满足放入的白色球数量占全部球数量的?即可)

【解析】

【详解】根据概率的意义，可知要使得从袋中任意摸出一个乒乓球是黄色的概率是,，只需使黄球占总数的

3

」即可，例如：在袋中放入2个黄球，4个红球，答案不唯一.

3

9.已知圆锥的高是8cm,圆锥的底面半径是6cm,则该圆锥的侧面积是cm2.

【答案】60〃

【解析】

【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算方法，解决本题的关键是根据已知条件求出圆锥的母线长和侧面

展开扇形的弧长，然后用弧长与母线长乘积的一半求扇形的面积.根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母

线K，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积.

【详解】解：由勾股定理得：圆锥的母线长+8?=10(cm)，

••咽锥的底面周长为24r=24x6=12^-(cm),

・••圆锥的侧面展开扇形的弧长为12;rcm,

1,

・•・圆锥的侧面积为：一x12〃x10=60^(cm2).

2

故答案为：60%.

io.对于一个函数，如果它的自变量x与函数值》满足：当一iwxwi时，一ivywi,则称这个函数为“闭

函数”.例如：y=)’=-x均是“闭函数”.已知)，="2+瓜是“闭函数”，且抛物线经

过点41,-1)和点则4的取值范围是__________.

【答案】一,工。＜0或

22

【解析】

【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质和二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是能灵活

运用相关性质和新定义求解.把A、8的坐标代入函数解析式，即可求出a+c=0,b=-\,代入得出抛

物线表达式为y=得出对称轴为x=再结合图象进行判断即可.

2a

【详解】解：•・,抛物线y=a?+法+c(aw0)经过点和点

「.4+〃+C=-1（D,ci—b+c=1（2）,

①+②得：a+c=O,即。与c互为相反数，

①-②得：/?=—1；

二.抛物线表达式为y=cue-x-a(a*0),

对称轴为x=—，

2a

当〃<0时，抛物线开口向下，且工=」-〈0,

2a

・.・抛物线)，=(£一工一4(々工0)经过点4。,一1)和点8(—1,1),

画图可知，当」-W—1时符合题意，此时一1工。<0,

2a2

同理，当a>0时，抛物线开口向上，且4一」->0,

2a

综上所述：。的取值范围是一或

22

故答案为：—＜。＜0或0＜。£—.

22

11.如图，在△ABC中，A。平分/84C,AB+BD=AC,N84C=75。，则/C的度数为.

【答案】35。.

【解析】

【分析】先在AC上截取AE=AB,连接DE.想办法求出NB：NC的值即可解决问题.

【详解】在AC上截取AE=4B,连接OE

VABAD=^DAE,AD=AD

:•区ABD9丛AED(SAS),

：.ZR=ZAFD,RD=DE

又・.・A8+BO=AC,

：.CE=BD=DE

：・/C=/EDC,

・・・NB=NAED=2NC

：.ZB：ZC=2：1,

VZZ?AC=75°,

/.Zfi+ZC=180°-75°=105°,

・・・NB=70。，ZC=35°,

故答案35°.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，以及三角形的外角等于不相邻的

两个内角之和.作出辅助线是解答本题的关键.

12.如图，己知点A在反比例函数），=9（人>0）的图像上，作RtZ\A6C,/ASC=90。，边笈C在x轴

X

上，点。为斜边AC的中点，连结。8并延长交），轴于点石，若△BCE的面积为.

【答案】3

【解析】

【分析】先根据题意证明△8QESZXCB4,根据相似比及面积公式得出EOxCB的值即为I女I的值，进

而得3CE的面积.

【详解】解：Q8O为RlZ\A8C的斜边AC上的中线，

;.BD=DC,ZDBC=ZACB,

又4DBC=/EBO,

/./EBO=ZACB,

又4BOE=/CBA=9。。,

；1AACBA.

BCAB

・'.----=-----，即BCxOE=BOxAB.

OBOE

乂■.•点A在反比例函数y=9（x>0）的图象上，

x

BOxAB=6,

BC,EO=6,

SRCF=~BC•OE=—x6=3.

△BCE22

故答案为：3.

【点睛】本题考查反比例函数系数女的几何意义.反比例函数）二与中攵的几何意义，即过双曲线上任意

x

一点引X轴、轴垂线，所得矩形面积为|4|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，

做此类题一定要正确理解上的几何意义.

三、解答题：木题共11小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

13.关于x的一元二次方程mr2-4x+3=0有实数根.

（1）求〃?的取值范围；

（2）若〃?为正整数，求出此时方程的根.

4

【答案】（1）mW-且加工0

3

（2）%）=1,x2=3

【解析】

分析［（1）由二次项系数非零及根的判别式△NO,可得出关7的一元一次不等式组，解之即可得出〃?

的取值范围；

（2）由（1）的结论，结合加为正整数，可得出加的值，再其代入原方程，解之即可得出结论.

【小问1详解】

解：•・•关于x的一元二次方程以J4x+3=0有实数根，

inw0

•«

A=（-4）~-4xwx3>0

4

解得：—且相声0,

3

4

ni的取值范围为〃z4二且，〃工0;

3

【小问2详解】

4

•・•加且机工0,且机为正整数，

3

/./n=1,

・••原方程为d—4x+3=0，

即（大_3）（工-1）=0,

解得：X|=1,匕=3.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题

的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式ANO,找出关于相的一元一次不等式组；（2）代入机的

值，求出方程的解.

14.在矩形A5CO中，A3=8cm,5c=16cm,E、尸分别是A。、上两点，并且石尸垂直平分AC,

垂足为o.

(1)连接AF、CE.说明四边形4RZ为菱形；

(2)求AF的长.

【答案】(1)见解析⑵10cm

【解析】

【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理：

(1)证明△AQE四△CQF(ASA),得到EO=OF,推出四边形APCE是平行四边形，根据EF上AC,

即可得证；

(2)设A/=R?=xcm,则3F=(16—x)cm,在/中，利用勾股定理进行求解即可.

【小问1详解】

证明：•・•四边形48CO矩形，

AAD//BC,

・•・ZACF=ZEAC,

•••E万平分AC.

:.OC=AO»

在ZVIOE和△(%>月中，

ZEAC=ZACF

<AO=CO,

ZAOE=ZCOF

・•・△AOEHCORASA),

・•・EO=OF,

・•・四边形AbCE是平行四边形，

*：EFLAC.

・•・四边形是菱形.

【小问2详解】

.・•四边形是菱形，

AiiAF=FC=xcm,则BF=(16f)cm

在RjAB/中，由勾股定理，得：AB2+BF2=AF2»

・•・82+(16-X)2=X2

・・・K=10,

・•・AF的长为10cm.

15.某节能灯厂出售一批额定功率为301v的节能灯，每盒装有100个节能灯，由于包装工人的疏忽，在包

装时混进了额定功率15W的节能灯.某批发商从工厂购进了50盒30W的节能灯，每盒中混入15W灯数

如表：

每盒中混入15W灯数（个）01234

盒数1425911

（1）平均每盒混入几个15W灯？

（2）若一盒混入15W节能灯的数量大于2%,工厂需给批发商赔偿.从这50盒中任意抽取一盒，记事件

A为：该盒需要给批发商赔偿.求事件A的概率.

【答案】（1）1⑵之

25

【解析】

【分析】（1）先求出15卬灯数个数，除以盒数就是平均每盒混入的个数；

（2）求出需要赔偿的盒数，再根据概率公式求出即可.

【小问1详解】

15W灯数个数：1?252?93?14?150，

平均每盒混入：*二1（个）

【小问2详解】

每盒中混入。个，1个，2个，数量小于等于2%,不用赔偿，

混入3个数量是3%,混入4个数量是4%,需要赔偿，

21

尸⑷=—=—

L5025

【点睛】此题考杳了概率问题，解题的关键是读懂题意并根据概率公式求解.

16.如图所示，在VA8C中，M为8c的中点，AO为。的平分线，BDtAD于D,48=12,

AC=18,求的长.

A

【解析】

【分析】延长交AC于点石，根据已知条件可得aAG石足等腰二角形，则A8=AE,DB=DE，

由中位线定理可得。M=，CE,即可求得MD的长.

2

【详解】如图，延长30交AC于点E,

・・•AD1BE,AD平分NBAC，

:"BAD=NEAR/ADB=ZADE,

又,M)=AD，

:./\ADB^/\ADE^

；,BD=DE，

..AB=AE,

•.•修为3c的中点，

:.DM=-EC=-(AC-AE)=-(AC-AB)=-x(\S-\2)=3.

2222

【点睹】本题考杳了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三线合一，中位线定理，作出

辅助线是解题的关键.

17.如图是二次函数)，=。(1+1丫+2的图象的一部分，根据图象回答下列问题.

则抛物线与X轴的另•个交点3的坐标是

(2)确定〃的值;

(3)设抛物线上的一点是尸，若的面积是3,求出此时点尸的横坐标

【答案】(1)(-3,0)；(1,0)

(2)a=——

2

(3)(-i+S,-3)或(-1一万,一2)或(-2,。)

222

【解析】

【分析】(1)由图象可求得A点的坐标，由解析式可求得抛物线的对•称轴方程，利用图象的对称性可求得

B点坐标；

(2)把3点坐标代入抛物线解析式可求得〃的值；

(3)由抛物线解析式可设出夕点坐标，再结合4、A坐标可求得八8的值，则可根据△P4B=3列出方

程，求出方程的解即可得出结论.

【小问1详解】

由图象可知A点坐标为(一3,0),

Vy=a(x+l)2+2,

・•・抛物线对称轴方程为x=-l,

8两点关于对称轴对称，

・・・8的坐标为(1,0),

故答案为：(-3,0)；(1,0)；

【小问2详解】

将(1,0)代入y=a(x+l)2+2,

可得4。十2=0,解得4二一二；

2

【小问3详解】

由(2)得y=-g(x+l)2+2,

.•.抛物线的顶点坐标是(-L2),

•・•,4(-3,0),仅1,0),

/.AB=xR-xA=1-(-3)=4,

1,

设「。,一5。+1尸+2)

2

•••^B=^X4X|-1(X4-1)+2|=3

解得，%)=—l+V7,%,=—l-V7,^=-2,X4=0(舍去)

二点P的坐标为(―1+J7,—1)或(―1—0,—1)或(-2,当.

222

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴及顶点坐标的求法是解题的关键，即在

尸心-疗+」中,对称轴为K=〃，顶点坐标为(〃,％).

18.在反比例函数)，="(女工0)的图象上有一点A,它的横坐标〃使方程f一心.+〃_]=()有两个相等的实

X

数根，点A与点8(0,0)和点C(3,0)围成的三角形面积为6,求这个反比例函数的解析式.

r8.-8

【答案】y=一或y=—

XX

【解析】

【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0,求出〃的值，再由围成的三角形面积，求

出A的纵坐标，确定出反比例函数解析式即可.此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根的判别式，

反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关

键.

【详解】解：•.•方程x2-小+〃-1=0有两个相等的实数根，

A=0,即〃2一4(〃-1)=0,

解得：n=2,

•・•点A与点5(0,0)和点C(3,0)围成的三角形面积为6,

,二7'BC・b儿纵坐标|=6,即不x3,|%纵坐标|=6,

乙J

解得：I，做坐标I=4,

：•纵坐标=4或者-4

即A（2,4）,或者A（2,-4）

把A（2,4）坐标代入反比例解析式得：4=1,

解得：％=8,

V

则反比例函数解析式为丁二一.

X

把A（2,T）坐标代入反比例解析式得：-4=1,

则反比例函数解析式为〉二三.

x

19.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB,点A、B均在小正方形的顶点上.

（1）在方格纸中画出以NABC为直角的直角三角形ABC,点C在小正方形的顶点上，且三角形ABC的

面积为5；

（2）在方格纸中画出以AB为一辿的菱形ABDE,点D、E在小正方形的顶点上，且菱形ABDE的面积为

3,连接CE,请直接写出线段CE的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析，V26

【解析】

【分析】（1）根据题意，根据勾股定理可知48二石，因为三角形ABC的面积为5,NABC=9（T,所以

8C=2石，画出图形即可；

（2）根据题意画出图形，根据勾股定理即可求出CE的长.

【详解】（1）如图，Z\ABC即为所求；

•：AB=>5，ZABC=90°,三角形ABC的面积为5,

・•・8c=2逐;

（2）;AB=逐，菱形ABDE的面积为3,

・•・如图，CE即为所求，

•**CE=Vl2+52=V26-

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意找出符合条件的点是解题的关键.

20.建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经市场调查发现：搭建一个面积为x（%为整数）公顷的

大棚，前期准备所需总费用由建设费用和内部设备费用两部分组成，其中建设费用与炉成正匕例，内部设

备费用与x+2成正比例，部分数据如下：

大棚面积H公顷38

前期准备所需总费用/万元21134

（1）求前期准备所需总费用卬与”之间的函数关系式.

（2）若种植1公顷蔬菜需种子、化肥、农药的开支0.4万元，收获1公顷的蔬菜年均可卖9.4万元.设当

年收获蔬菜的总收益（扣除修建和种植成本）为）'万元，写出V与x之间的函数关系式.

（3）求种植的面积为多少公顷时，当年收获蔬菜的总收益最大.最大值为多少？

【答案】（1）VV=2X2+-X+-

5

一426

（2）y=-2x~+—x——

55

(3)种植的面积为2公顷时，当年收获蔬菜的总收益最大，最大值为7.6万元

【解析】

【分析】(1)由题意可设卬=勺f+&(工+2)，再利用待定系数法即可求解；

(2)由蔬菜的总收益等于总售价扣除修建和种植成本，即可求解；

426

(3)将卜=-2/+二不一1配成顶点式即可求解.

【小问1详解】

2

根据题意可设w=k1x+&(x+2),

*.*x=3»w=2\；x=8,vv=134»

[21=9匕+5幺色=2

•1134=64K+10&'解得＜k2=-'

k5

c)3/分,36

1伊~2x~■!—(x+2)―2x—x—・

5V755

【小问2详解】

36

由(1)得卬=2kH—XH—,

55

……以236、c，426

...y=9.4x-0.4x-2x+-x+—\=-2x"+—x—.

I55)55

【小问3详解】

c2426J21V381

y=-2戈H-----x—=—2xH-----

55I1050

•・・x为整数，2＜言＜3,

・••当x=2时，)，=7.6,当x=3时，y=6,

：•y被大=7.6万.

答：种植的面积为2公顷时，当年收获蔬菜的总收益最大，最大值为7.6万元.

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及求二次函数的最大(小)值，读懂题意，列出函数关系是解

决问题的关键.

21.如图①，在VA8C中，ZB=45°,ZC=30°,过点A作直线AC的垂线交3c于点O.

AA

图①图②

（1）求NBA。的度数；

（2）若4C=2&，求A3的长；

（3）如本题图②，过点A作/ZMC角平分线交8c于点P,点。关于直线40的对称点为E,试探究

线段CE与之间的数量关系，并对结论给予证明.

【答案】（1）15°；

（2）2;

（3）CE=2BD,证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用三角形内角和定理求出N8AC=105。，再由NZMC=90。，即可得出答案；

（2）作A/IBC于尸，由含30。角的直角三角形的性质得AF=《AC=夜，再由等腰直角三角形的性质

得A尸=3/，从而求出A3的长；

（3）作AFJ.BC于F,设DF=x,则AD=2x,AF=y/3x^AC=2&，则BD=BF-DF=瓜-x，

由点。关于直线AP的对称点为E，得AE=AO=2x,可表示出CE的长，从而得出结论.

【小问1详解】

解：・.・NB=45。,ZC=30°,

.•.ZBAC=180°-Z^-ZC=180o-45o-30o=105°,

VADlACf

ZDAC=90°,

:.ZBAD=ABAC-ADAC=105°-90°=15°；

【小问2详解】

解：作A尸于尸，

・.・ZC=30°,

AF=-AC=y[2

2f

vZ4BF=45°,

AF=BF=0，

AB=yjAF2+BF2=41AF=&x0=2；

【小问3详解】

解：CE=2BD.

理由如下：作Ab工BC于产，

图②

•・•ZDAF+NCAF=90°，ZCAF+NC=90°，

.•./ZME=NC=30。，

设。/二犬，则AO=2x,AF=，AC=26x，

BF=AF=6X，

BD=BF-DF=Cx-x，

•・•点D关于直线AP的对称点为E,

AE=AD=2x,

:.CE=AC-AE=2y/3x-2x，

:.CE=2BD.

【点睛】本题考查了勾股定理，含30。角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内

角和定理等知识，用x的代数式表示各线段长，从而发现线段之间的数量关系是解题的关键.

22.已知抛物线产(1-。)]2+&什力的图象的一部分如图所示，抛物线的顶点在第一象限，且经过点A(0,

-7)和点朋

(1)求。的取值范围；

(2)若04=206,求抛物线的解析式.

【答案】(1)”的取值范围是—；(2)y=--x2+8x-7.

77

【解析】

【分析】(1)因为二次函数过点A,所以可以确定b的值，又因为抛物线为y=(1-a)x2+8x-7又抛物线的顶

点在第一象限，开口向下，所以抛物线与x轴有两个不同的交点，所以可以确定1-aVO,A>0,解不等式

组即可求得a的取值范围；

(2)因为0A=20B,可求得点B的坐标，将点A,B的坐标代入二次函数的解析式即可求得a,b的值，

即可求得二次函数的解析式.

【详解】(1)由图可知,b=-7.

故抛物线为尸(1-6?)x2+8.v-7.

又因抛物线的顶点在第一象限，开口向下，

所以抛物线与x轴有两个不同的交点.

<0

，，<82-4(1-«)(-7)>0，

23

解之，得1VaV—.

7

23

即〃的取值范围是l<a<—.

7

(2)设6(xi,0),

由。人=208,

7

得7=2口，即工产彳.

2

由于x1=1,方程(1-a)]2+8片7=0的一个根，

2

77

・•・(1-a)(-)2+8X--7=0

22

19

•••Uc=—.

7

故所求所抛物线解析式为产-今£+8*7.

【点睛】此题考查了二次函数的图象的性质，开口方向，与X轴的交点个数与△的关系，待定系数法求函

数解析式等；解题的关键是数形结合思想的应用.

25

23.已知抛物线），=。*—3）2+7过点C（0,4）,顶点为M,与4轴交于A,8两点，如图所示以为直

（1）由题意可得抛物线的解析式为,。点坐标为：（写出计算过程）

（2）猜测直线CM与。。的位置关系，并证明你的猜想：

（3）在抛物线第一象限的对称轴上是否存在点若将线段CP绕点尸顺时针旋转90。，使。点的对应点

C恰好落在抛物线上？若能，求点尸的坐标；若不能，说明理由.

【答案】⑴y=~x2+^x+4,（3,0）,计一算见解析；

（2）直线CM与0。相切，理由见解析

（3）存在.（3,1）或（3,3）.

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；求出点A,3的坐标，利用对称性解答即可得出结

论：

（2）连接OC，DM,MC,过点M作轴于点E,利用点的坐标表示出线段。M，OC,EC,

ME的长度，利用勾股定理的逆定理与圆的切线的判定定理解答即司I

（3）依据题意画出图形，设点。（3,利），则尸。二机，过点。作于点E,过点。'作CTJ.力M

于点尸，通过证明△CEP四△PR?'得到。£二尸产=3,PE=CF=A