集合与常用逻辑用语（11大题型）-高一数学上学期期末专项训练（苏教版）原卷版及全解全析

专题01集合与常用逻辑用语

I题型归纳・内容导航I

I题型通关•靶向提分

题型一利用元素的互异性求参数（共4小题）

1.已知，〃eR,〃eR,若集合1/〃,二［1={〃?2,加+九。},则〃产+〃2025的值为（）

"IJ1

A.-2B.-1C.1D.2

2.（25-26高一上・江苏扬州•期中）已知集合4={2,。+5,/+5。},若6eA,则〃=.

3.己知集合4={|2,“2+44"-2},-3GA,则。=（）

A.-1B.-3或1C.3D.-3

4.若集合A={4，&,…vY%，〃eN,3）具有性质p：“对任意，"（1V”J工及），6+%与

至少有一个属于4",则称集合A为户型集合.已知集合{4%，%}为夕型集合，且生=2025,则

%=（）

A.1025B.3075C.4050D.4100

题型二集合子集个数判断（共5小题）

5.若集合X={O,1},则集合y={（a/）kwX,a-hwX}的真子集的个数为（）

A.3B.4C.7D.15

6.（25-26高一上•江苏常州•期中）已知集合A满足{1,2}些A=[1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为

（）

A.2个B.3个C.4个D.7个

7.若xwA且丁匚€A则称非空集合4为“和谐集〃.已知集合加=12,-4，0/2,3],则集合M的子集中

II23J

"和谐集"的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

8.已知集合A={-1,0,1},A={z|z=x+），+1,xeAyeA},则集合》的真子集个数为（）

A.8B.16C.31D.63

9.定义4*4={2忆=冲+1」"」£斗，设集合A={0,l},集合"={1,2,3},则集合的子集的个数

是（）

A.14B.15C.16D.17

题型三根据集合包含关系求参数（共5小题）

10.（25-26高一上•江苏•月考）若集合A=卜辰、4x+2=0}有2个子集，则实数〃?的值为（）

A.IB.2C.0或2D.1或2

11.已知集合A={X|-2GWI0},非空集合4={坤-〃区yWl+m},若BqA,则实数机的取值范围为

（）

A.m<3B.m<3C.0<m<3D.0<in<3

12.设集合A={x|-l<x<2},B={x|fl<x<«+1）,若BqA,则〃的取值范围是（）

A.[-1,1）B.[-1,1]C.[0,2]D.（-1J]

2

13.已知集合A={/M+2,-3},B={x\x+2x-3=0\t且BqA,则0的值为（）

A.IB.-1C.±1D.3

14.(25-26高一上•江苏淮安・期口)已知全集。=区，设机为实数，集合A={x|lWxW4},集合

B=3〃ZW2-"?}

⑴若加=一1,求名(AJ8)；

(2)若A&5,求加的取值范围.

题型四集合的交并补运算(共5小题)

15.已知集合A=,|/-1一2>0},8=k|y=ln(3x-%2)},yii()

A.(-1,0)B.(—1,3)C.(2,3)D.(0,2)

16.(24-25高一上•江苏南通・期末)己知集合A={工£?^|,1=行3+4}，若AIB=A,满足条件的

所有集合B中元素的和.

17.设全集0=入集合4={x|9-5工+4>()},集合4=卜|2，<8},则(q4)c8=()

A.d,3]B.[1,3)C.[3,4)D.[3,4]

18.设全集U=R,集合A={x|-l<x<4},B={x|y=ln(x-2)|,则4”4网=()

A.(T,4)B.(T,4]C.(-1,+OJ)D.R

19.(24-25高一上•江苏宿迁•期末)己知集合为不大于6的正奇数},3={x|-lvxv4},则

A3=()

A.{1}B.{1,3}C.{3,5}D.{1,3,5}

题型五根据交并补混合运算求参数(共6小题)

2

20.已知集合A={x|xK2},B={x\x-2x-3>0\f且AJ&A)IJC=R,则实数。的取值范

围为()

A.(-1,-Kc)B.(f3)

C.(-oo,-l]D.(TO,3]

21.（25-26高一上•江苏南京・期口）已知集合人={1,，叫，集合8=若=则实数机的

值为.

22.集合A={x|-lvx<4},B={x\-l<x<3}t集合C={x]〃?CW〃?+2},若CR4（AB）=0,则以下

”的取值不满足题意的是（）

A."1=-1B.in=0C.m=\D.in=2

23.已知集合人=卜|3"<7},B={x|x>〃“，若（Q4）U4=R,则机的取值范围是（）

A.in<3B.in>3C.in<7D.m>7

24.（25-26高一上•江苏镇江•月考）设4={小2一7工+12=0},3=卜依-1=0},若"8=8,则实数a

的值不可以是（）

A.0B.-C.-D.3

34

25.（24-25高一上•江苏•期末）己知集合人={乂"-1<工<〃+1},B={x\0<x<3}.

⑴若AB=B,求实数。的取值范围；

⑵若人B*0,求实数。的取值范围.

题型六Venn图及容斥原理的应用（共7小题）

43是U的两个子集，则阴影部分可表示为（)

C.a（回用D.①⑷(ACB)

27.高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪

山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人.则这两部电影都观看的有（）

A.6人B.7kC.8人D.9人

28.（25-26高一上•江苏南京・期口）己知全集U=R,A={x\-3<x<\],8={x[0Wx<2},则图中阴影

29.现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25

名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加

的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（）

A.10B.8C.9D.14

30.某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A、径赛项目8、其他健身项目

C.该班有25名同学选择球类项目A,20名同学选择径赛项目3,18名同学选择其他健身项目。；共中

有6名同学同时选择4和8,4名同学同时选择A和C,3名同学同时选择3和C.若全班同学每人至少选

择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（）

A.52B.51C.50D.49

31.”量子计算机原型机，九章三号，〃“可重复使用试验航天器〃”新一代人工智能大模型喋东太初30〃是2025

年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15

人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器〃，有14人关注了“紫东太初3.0〃，有3人同

时关注了“九章三号''和"可重复使用试验航天器〃，有3人同时关注了“九章三号〃和〃紫东太初3。〃，没有人

同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0〃的人数为（）

A.6B.7C.8D.9

32.已知集合A、B、C是全集〃的三个真子集，A、B、。的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所

A.AcBcCB.AlC+BflC

C.（AcC+8cC）-Ac8cCD.

题型上_集合新定义(共5小题)

■、

33.若xwA,则A,则称A是伙伴关系集合，在集合用二卜4,-2,-!，-1,0,"1,2,4的所有非空子集

x22

中，具有伙伴关系的集合个数为()

A.16B.15C.14D.13

34.已知集合人={1,2,3},/?=(X€N|X2-3X-4<()),若A©B=卜,任A且xw8},则()

A.{0,4}B.{-1,4}C.{-1,0}D.{-1,0,4}

35.对于集合AB,我们把集合{x|xeA,且x/8}叫做集合AB的差集，记作A—从已知集合

M=(—2,1),/V={x|x2-2(r+l)A-+r+2/<0},则下列说法正确的有()

A.若1=0,则M—N=(—2,0)B.若/=1,则N—M=[l,2)

C.若M-N=1,N,则一2q4一1D.存在f,使得A1—N=N-A/

36.若数集A={q,g,,«„}(1<«,<a2<<4,,〃之2)具有性质产：对任意的仃(1工，</工〃)，《勺与也中

ai

至少有一个属于4,则称集合人为"权集"，则()

A.{1,3,4}为〃权集〃B.{2,3,6}为“权集”

C.“权集"中元素可以有0D.“权集"中一定有1

37.已知实数集4=佃,%%…,%}(，/3),定义中(人)三忆勺।%,%之"*/}.

⑴若A={—2,—1,0,3},求e(A)；

(2)若夕(A)={75,TZ-6,0,8,1(),20}，求A；

⑶若A中的元素个数为7,求W(A)的元素个数的最小值.

题型八充分条件、必要条件、充要条件的判断(共8小题)

38.2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光好纪念日.台湾是中国不

可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳.那么“小明是台湾人"是“小明是中国人”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

39.设。，4eR,则“sina=sin[”是"。+/?=冗”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

40.对于实数X,“户1”是牛一2.1”的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分乂不必要条件

41.（多选）下列结论中正确的是（）

A."x<4"是"欢-2〃的必要不充分条件.

B.在0A8C中，+是"V48c为直角三角形〃的充要条件.

C.若MR,则“片+从/0，，是％,〃不全为0〃的充要条件.

D."|.4<1"是"/一2工-3<（）"的充分不必要条件.

42.已知函数“X）的定义域为R,命题P"（2）>〃1）,命题//（“是增函数，则〃是夕的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

43."-2vxv2”的一个必要不充分条件是（）

A.-2<x<2B.-1<x<2

C.x>2D.x>-2

44.“知之者不如好之者，好之者不如乐之者〃出自《论语•雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的

人，不如喜爱学习的人：喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题P：“一个人以学习为乐〃，命题

“：”一个人喜爱学习”，则〃是"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

45.”匈奴未灭，何以家为〃是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮

语.体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活.没有“大

国崛起〃，就没有“小民尊严”.请问"大国崛起"是“小民尊严〃的（）条件•.

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件D.充分不必要条件

题型九Jg据充分条供出要条件求叁数式共6小题）

46.己知p：-l<x<l,q:x>m,若4是〃的必要不充分条件，则实数6的取值范围是（）

A.[-l,+oo）B.（-oo,-l]C.（-1,0）D.

47.己知集合A={M-2WxW5},B=+1<x<2/M-1|,若P：xeA,9：xwB,〃是“的必要不充

分条件，则，〃的取值范围是（）

A.[2,3]B.[-3,3]C.（-oo,3]D.（2,3]

48.已知集合人={#4工1或x之3）,3={x|l<xv〃+2）,若XRKA是的充分不必要条件，则实数。的

取信范围是（）

A.[1,3]B.（-oo,l]C.（1,-Ko）D.[1,+co）

49.设集合4={划/+'一6=0},8=5|"优-2=0},则8是2的真子集的一个充分不必要条件是（）

2B.mAo--

A.WG«;（）,--

3

2

C.mwD.

50.已知命题p:四二-（2a+l）x+/+a<0,若P是"的充分不必要条件，则实数。的取值范围

是（）

51.已知命题P：*CR,X2—6X+/=O,当命题〃为真命题时，实数〃的取值集合为A.

⑴求集合A；

⑵设牛宅集合B=若是xeB的必要条件，求实数机的取值范围.

题型十全称■词命题和存在・词命题的否定（共4小题）

52.命题“小wR,f_3x+3<0〃的否定是（）

A.VxeR,JV2—3x+3>0B.VxGR>x2—3x+3N0

C.BxeR,X2-3X+3>0D.士eR,x2-3.r+3>0

53.命题"Wx>l,f—x<o，，的否定是（）

A.Vx<l,^2-x<0B.Vx>l,x2-x>0

C.1»A-2-A-<0D.2x>I,A2-x>0

54.已知命题p:Vxe(O,$,sinx<x,则「〃为()

7T

A.3.r^((),-),sinx>xB.3XG(0,—),sinx>x

C.3x必(O.?)，sinx>xD.3X€(0,^),sinx>x

55.己知命题〃:“3xe(0,g，x2-x+l<0"

则T7为()

B.Vxefo,—,A2-X+1>0

A.3xe|0,—,x2-x+1>0

【2)I2j

(j\,

C.Vxe0,—,x2-x+1>0D.3xe0.—I，x'-x+\>0

I2I2)

题型十一根据命题的真假求参数（共5小题）

56.已知命题"3LrwR,rV+2依-4=0”为假命题，则实数。的取值范围为（）

A.{a[-4<a«。}B.{cdTva<。}

C.{t/|-4<«<0}D.同“-4或力0}

57.已知命题"存在xe{41<x<2},使得等式3x-〃z=0成立"是假命题，则实数加的取值范围是（）

A.{〃1|一3<〃2<6}B.{m|in<-3m>6）

C.{/zz|-3</zz<6{D.卜〃|/〃<一3或旭26}

58.已知命题p：3xG[0,1],x2-2x-2+a>0;命题q：VxGR»x2+av+10>若命题p，q均为假命

题，则实数。的取值范围为（）

A.（-<»,-2]B.（-a?,-2]u[2,oo）

C.{2}D.（F,-2]D{2}

59.已知命题〃："Vxe[l,2],x-aN0”，命题q：“3xeR,x°+2ar+4=0”.若两个命题，一真一假,则实数

。的取值范围是（）

A.{ala<-2]B.{ala4-2或a>1}

C.{al-2vaW1或422}D.（alaX2}

60.已知/〃>0,/?:(x+l)(x-5)<0,q:\-m<x<\+m.

⑴若〃?=5,〃国有且只有一个为其命题，求实数x的取值范围:

⑵若〃是4的充分不必要条件，求实数，〃的取值范围.

61.已知集合人=卜,2-5工一6<。｝,〃=｛x|〃?+l<X<2〃L1｝且3K0.

(1)若“命题〃:xcZr是真命题，求实数，〃的取值范围；

⑵若是的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

专题01集合与常用逻辑用语（期末复习讲义）

■明•期末考情.

核心考点复习目标考情规律

集合的概念与能准确判断集合的类型（数集、点集等）：基础考点，常出现在选择题，填空题

表示熟练用列举法、描述法表示集合

元素的确定能依据"三性，判断元素是否属于集合：重点考点，常出现在选择题，填空题

性、互异性、熟练利用互异性求解集合中参数的值。

无序性

子集、真子集掌握子集、真子集的个数计算公式：重难必考点，常出现选择题，填空题，解

与空集能熟练结合空集的特殊性解决含参集合关系答题

问题

交集、并集与熟练用Venn图、数轴分析集合运算；能快基础考点，常出现在选择题，填空题

补集的运算速计算多个集合的交、并、补结果

充分条件、必回顾判断两个命题间的条件关系的方法；基础考点，常出现在选择题，填空题

要条件与充要熟练运用集合包含关系分析充要条件。

条件

全称量词命题回顾识别命题的量词类型的方法：能熟练判基础考点，常出现在选择题，填空题

与存在量词命断两类命题的真假

题

命题的否定及能准确写出全称与存在量词命题的否定：熟重难必考点，常出现选择题，填空题，解

应用练利用命题的否定解决参数范围问题答题

■记•必备知识・

知识点01集合的有关概念

（1）集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性.

（2）集合与元素的关系用符号m和任表示.

（3）常用数集的表示符号：

正整数集（自

集合.自然数集.整数集“有理数集.实数集.

然数集）.

符号.N.N•或N+”Z.Q.R.

（4）常用数的表示：若〃为偶数，则〃=2Z,%EZ；若〃为奇数，则〃=2Z—IMeZ：若〃被3整除,

则"=3%,ZGZ：若〃被3除余1,则〃=3h2,ZcZ.

（3）集合的分类：①有限集：含有有限个元素的集合；②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任

何元素的集合，记作0

知识点02集合的表示方法

（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在“{}”内表示集合的方法。元素间用分隔号隔开，

不重复，无顺序；

（2）描述法；把集合中的元素的公共属性描述出来，写成“卜|〃（“}"，x为该集合的代表元素，“（X）

是元素具有的性质

（3）venn图示法：为了形象的描述集合，我们常常画一条封闭的曲线的内部来表示集合。

知识点03元素与集合间的关系

（1）集合中元素的三大性质：①确定性：②互异性；③无序性。

（2）元素与集合的关系：

①属于：如果。是集合A的元素，记作。£4,读作“。属于集合A”。

②不属于：如果。不是集合A的元素，记作。任A,读作“。不属于集合A”

知识点04集合间的基本关系

（1）子集:对于两个集合A、B，若集合A中的任意一个元素都在集合8中，则A是8的子集;记作A三8,

读作A包含于3

（2）真子集：对于两个集合A、B,若集合4中的任意一个元素都在集合B中，集合B中至少有一个元素

不在集合A中，则A是4的真子集；记作读作A真包含于3

注意子集个数判断：若集合A中有"个元素（〃£Nj,则A的子集个数有2”个，非空子集有2”-1个，真

子集个数有2"-1个，非空真子集个数有2"-2个

（3）相等集合：若BQA,则A=8

（4）我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为0

规定：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑—空集—的情

况，否则会造成漏解.

（5）全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，

通常记作U

'知识点05集合的基本运算

1.交集的概念及其运算

（1）定义：一般地，对于给定的集合A与集合&由既属于集合力又属于集合8的所有元素组成的集合，称为

集合力与集合B的交集,记作ACl8.读作“A交夕’.即4n8=且“£8}.

（2）例如：设集合力二{2,4,6},集合8:{0,1,2},则4nB={2}.

2.并集的概念及其运算

（1）定义：一般地，对于给定的集合力与集合B,由集合4与集合B的所有元素组成的集合称为集合力与集合

B的并集,记作AUB.读作“4并8”.即AuB={x\xEA或xeB}.

（2）例如：设集合列二{1,3,5,7},集合8:{0,2,3,4,6},则AUB={0,1,2,3,456,7}

3.补集的概念及其运算

（1）定义：一般地，如果集合力是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合

称为集合4在全集U中的补集，记作即QA={x|xeU且xWA]

（2）例如：设全集U={xeN\x<7}t集合4={1,2,4,6},则={0,3,5）

4.集合的基本运算相关结论

补集运券的相关结

并集运灯的相关结论，交集运弟的相关结论,

论，

AQB=BQA

A[\A=A

AliCA=U

A\JA=A4rl0=0PlN=0〃u

Ar\CvA=0

AIJ0=0UA=AA[}B=A<=>^CB

)=N

AL)B=BOAaB4n8=0仍=0)=>{/；0(分类讨论)

注1：德摩根公式

Q（AnB）=（Q,A）U（Q,B）

G，（AU3）=（G，A）n（Qi）

注2：容斥定理之集合中元素个数

card（AU8）=card（A）+card⑻-card（AAB）

card（AU3UC）=card（A）+card（B）+card（C）-card（AAB）-card{A^C}

-card（8riC）+wd（ACl8C|C）

'知识点06充分条件、必要条件与充要条件

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

P是q的充分条件P=>Q

夕是。的充分不必要条件片且如夕

〃是4的必要不充分条件产4且产＞〃

夕是4的充要条件2q

夕是9的既不充分也不必要条件炉。且GP

注意：箭头指向必要条件；

2.充分条件、必要条件与集合的关系（小范围=大范围）

设A={A-|才满足条件夕},//=3x满足条件q\

ACBP是q的充分条件；q是P的必要条件

BeAq是P的充分条件；P是q的必要条件

A=BP是q的充要条件

'知识点07全称量词命题与存在量词命题

（1）全称量词及全称命题

①全称量词：短语含有“所有、一切、任意、全部、每一个等”在逻辑中通常叫做全称量词.并用符号

"V"表示.

②含有全称量词的命题，叫做全称命题.表示为：“对M中任意一个x,有p（x）成立"可用符号简记为

VxeM.p（x）,读作“对任意x属于M,有p（x）成立”.

（2）存在量词及特称命题

①存在量词：短语含有“存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等“在逻辑中通常叫做存在

量词。

②含有存在量词的命题，叫做特称命题.表示为“存在M中的一个xO,使p（xo）成立"可用符号简记为

出cwM,p（x0），读作“存在M中的元素xo，使p（xo）成立”.

知识点08命题的否定

全称量词命题：VXGA/»p（x），否定为：「"（x）

存在量词命题：*wM,〃（x）,否定为：X/xeM,

注1：符号”「p（x）”表示“p（x）的反面”

注2：全称量词命题的否定是存在量词命题

注3：若原命题为真命题，则它的否定为假命题

.破•重难题型.

「题型一元素与集合的关系

解|融|技|巧

（1）直接对照法：如果集合里的元素是直接列出来的（比如{1,2,3}这种），想判断某个元素在不在这

个集合里，直接看它有没有“出现在列表里"就行。

（2）特征匹配法：要是集合没直接写元素（比如用条件描述的，像"所有大于2的数〃），先搞清楚

这个集合对元素的"要求〃（比如“大于2〃），再看要判断的元素是否符合这个要求。

易错提醒：别忘了集合里的元素得"互不重复"，遇到带参数的集合时，判断完元素归属后，要检查集

合里的元素是不是都不一样（互异性）

【典例1】（25-26高一上・江苏扬州•月考）若集合尸=3jtW而西,〃=20,则（）

A.auPB.{«}ePC.D.a出P

【答案】C

【分析】先判断元素是否满足集合的条件，再确定元素和集合的从属关系.

【详解】集合尸表示不大于元的数构成的集合，而.=2夜＜而记，元素

故选：C.

【变式1】（25-26高一上•江苏苏州・月考）若“=卜卜=。挺+A4£Z/WZ},则下列结论中正确结论的个

数为（）

①3一；6M；②ZqM；③若不々eM则N+WGM；④若对々eM且七了0,则±eM・

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系，以及实数的运算法则，逐一判断各命题的正误，求

出结果.

_13+2\/2_-rr..

【详解】①：①2©（3+2及）=3+29-叫所以①正确;

（2）：当〃=0时，M=卜卜二反〃wZ}=Z,满足ZqM,所以②正确;

③若N-GdW，设内=4=40+伪，则芯+9=（4+%）\/5+4+4，

因为也＜zZ,所以qI%cZ,〃［卜々uZ,则玉+电uM,所以③正确；

…LN13+夜3&八

④：设％=仪=。+3,则丁口T（3.码（3+行广77名此所以④错误；

故选：C.

【变式2］已知集合A={a—2,/+4a』2},且-3wA,则。等于（）

A.-1B.-3C.3D.一3或一1

【答案】B

【分析】分别令。-2=-3和/+〃=-3,求得a值，根据集合的互异性，分析即可得答案.

【详解】因为一3wA,当a-2=-3,即。=一1时，

集合4={-3,-3,12},不满足互异性，不符合题意，

当/+4。=_3时，解得々=一3或〃=一1（舍），

当”=一3时，集合A={-5,-3,12},满足题意.

故迄B

【变式3】（25-26亩一上•江苏南京•月考）非空集合4具有如下性质：①若x,yeA,则56月；②若

x,ycA,则x+yeA；由此可知：下列判断错误的是（）

A.0任AB.leA

C.若则g*4D.若x,ye4,则

【答案】D

【分析】通过对乂丁进行赋值及利用两个性质可判断各个选项.

【详解】由于0不能作除数，所以。任A,A正确；由性质①，取x=>可得IEA，B正确;

因为ItA,所以IwA,由性质①T'A

即冷，eA,C正确;

y

假设若则x-），e4,取％=V可得0eA与0£A矛盾，D错误.

故选：D

「题型二集合间基本关系求子集和真子集个数

解|题|技|巧

（1）若集合人中含有〃个元素，则有2”个子集,有2”-1个非空子集，有2〃-1个真子集，有

2"2个非空直子集.

（2）子集关系的传递性，即A=及BuCnAqC

易错提醒：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，不能忽略空集

【典例1】设集合A={Wog2（x+2）W2,x£Z},则集合A的真子集个数为（）

A.32B.31C.16D.15

【答案】D

【分析】先化简用列举法表示集合A,据集合中元素的个数得真子集个数.

【详解】由1%。+2）<2得0<x+244,解得-2vxW2,

又・.・xwZ,../={-1,0,1,2},

由集合中共有4个元素，故A的真子集个数为2,-1=15.

故选:D.

【变式1］集合A=卜£2|），=77与+皿（67）}的真子集个数为（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】A

【分析】利用根式与对数式有意义，结合真子集的定义即可求解.

【详解】题意可知二；0’解得3<<6,所以A={xeN'|3<xv6}={3,4,5},

所以集合A的真子集个数为2'-1=7.

故选：A.

【变式2】已知集合4={乂/-3入+2=0,工£1^},B=[X|[<O,K£N],则满足条件AqCqB的集合C

人I

的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】B

【分析】先化简集合A、B,再利用子集的定义分析计算即可得解.

【详解】解/-3.1+2=0,得x=l或x=2,则人={1,2},

解二<0,得一2cx<4,则8={0,1,2,3},

因为AqCqB,所以根据子集的定义，

集合C必须含有元素1,2,且可能含有元素0,3,

则原题即求集合{。,3}的子集个数，即有22=4个.

故选：B.

【变式3]（25-26高一上•江苏淮安•期中）己知AqB,AcC,B={0,2,4,5},C={0,2,6,7）»则所有满

足上述条件的集合A为

【答案】0,{0},{2},{0,2}

【分析】根据题意可知Aq（8C）,进而求出集合A.

【详解】因为5={024,5},C={0,2,6,7},则8〕C={0.2},

又由AqC,可知Aq（6「C）,即Aq{0,2},

所以A=0或A={0}或A={2}或A={0,2}.

故答案为:0,{0},{2},{0,2}

国题型三集合间基本关系求参

解|题|技|巧

（1）连续数集：画数轴“比大小”如果集合是连续的数，直接画个数轴把集合对应的范围标上去，看

范围的包含关系就行。注意：端点处是“实心点”（包含这个数）还是“空心点”（不包含）别搞混。

(2)不连续数集：按包含关系“列方程”要是集合是分散的数(比如{135}这种)，根据“谁包含

谁”的关系，把集合里的元素对应起来列方程。务必记得分情况讨论(比如元素可能对应不同的项)

易错提醒

千万别忘“空集”这个特殊情况！如果题目说“小集合包含于大集合“，小集合有可能是空集，这时候得

单独验证

【典例1】(24-25高一上•江苏南京•期末)已知集合4={1,2,/+2),4={1,3"},若AqA,贝口等于

()

22

A.2B.1或2C.1或2或一D.一

33

【答案】C

【分析】由8qA可以得到〃中的元素都在集合A中，从而求出实数a的值.

【详解】解：6={1,3〃},由8=可得kA且MeA,

:箕合八={12〃+2},

2

，,•当3a=2时，«=—,

当3…2+2时,则.=1或2,

经检验均符合要求,

故〃=1或2或§,

故选:C

【变式1】集合4={小2-21一32。},«={x|ar+l<0},若,则实数〃的取值范围是()

1J(1/

A.卜刑B.匕」

C.(f-1)J[O,”)D.-1.Op(O,l)

【答案】A

【分析】讨论是否为空集，参照子集问题模板求解即可.

【详解】因为入=卜卜2-21-3"}=(-8,-1]33，+8),B={x|cu+l<0},且

二.①当8=0时，即以+140无解,此时。=0,满足题意.

②当8H0时，即以+1«0有解，当。>0时，可得xK-L

a

a>0

要使8±A,则需要彳1,解得0<4<1.

—s—1

a<（）

当。<0时，可得要使则需要，1,解得二《〃<0,

a——>33

a

综上，实数。的取值范围是卜!」.

故选：A.

【变式2】（25-26高一上•江苏南京•月考）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”;

若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食〃.对于集合4={-2/},

8=卜|"2=4,〃20},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食〃，则。的取值集合是（）

A.{-1,4}B.{1,4}C.{0,1,4}D.{-1,0,4）

【答案】C

【分析】根据题目所给定义进行讨论，结合子集、交集进行求解即可.

【详解】当。=0时，B=0,BQA,构成