集合与逻辑（考点清单知识导图+10个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期（湘教版必修第一册）解析版

清单01集合与逻辑

(10个考点梳理+题型解读+提升训练)

判断充分条件.如赫件能1，有

充分条件与必要条件的判浙।■台/无虐，MUSTA,记佗6A

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全称■词命建与存在♦词命H的否定

加B1C前1中的全年与存在5段同时书钠论.

【清单01】关于集合的元素的特征

(I)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或

者不是A的元素,，两种情况必有一种且只有一种成立.

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此,

同一集合中不应重复出现同一元素.

(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分汝口：由1,2,3组成的集合，也可以写成

由1,3,2组成一个集合，它们都表示同一个集合.

【清单02】元素与集合关系

元素与集合的关系：

(I)如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作acA

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作a《A

常用数集及其表示

非负整数集(或自然戮集)，记作N,正整数集，记作N-或N+.整数集，记作Z

有理数集，记作Q实数集，记作R

【清单03】集合的表示方法

1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：“，2,3,4,5},{x2,

3x+2,5y3-x,x2+y2}>....

2.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号｛｝内.具体方法：在大括号

内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出

这个集合中元素所具有的共同特征.

【清单04】集合与集合的关系（子集、真子集、空集）

（I）一般地，对于两个集合A,B，如果集合4中任意一个元素都是集合8中的元素，我

们就说这两个集合有包含关系，称集合A为3的子集.记作：A^B（或33

（2）如果两个集合所含的元素完全相同（4口3且8=4）,那么我们称这两个集合相等.

记作：A=B

（3）真子集：若集合AQB,存在元素xwB且A,则称集合A是集合8的真子集。

记作：（或

（4）空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作：0.

规定：空集是任何集合的子集。

高端结论：（1）AqA（类比

（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（3）若则AqC（类比〃工c则

（4）一般地，一个集合元素若为〃个，则其子集数为2〃个，其真子集数为2〃・1个，

特别地，空集的子集个数为1,真子集个数为0。

【清单05】集合的运算（并集、交集、补集）

（1）并集一般地，由所有属于集合A或属于集合〃的元素所组成的集合，称为集合A与B

的并集，记作：AU8读作i“A并歹,即：AUB=｛小或xeB｝

Venn图表示：

（2）交集一般地，由属于集合A且属于集合4的元素所组成的集合，叫做集合A与8的交

集；记作：读作：“A交B”,即4止（小WA,且x"｝；交集的论〃〃图表示：

就称这个集合为全集，通常记作U.

补集：对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称

为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作：CL,A,即

CL；A={x\xeU且x纪川补集的Venn图表示:

(1)AcB±A,AcBqB,AcA二A,An0=0,AnB=BnA

(2)AqADB,BqAuB,ADA=A,AU0=A,ADB=BUA

(3)(QA)DA=U,(C(jA)ryA=0

(4)若AD8=A,则AqB,反之也成立，若AU3=B,则A^B,反之也成立

(5)若xw(AnB),则xwA且若xw(AUB),贝！jxeA,或xwB

【清单06】充分条件与必要条件充要条件概念与判断

⑴概念:符号p=q与p*q的含义

“若p,则q"为真命题，记作：pnq；

“若〃，则g”为假命题，记作：p书q.

充分条件、必要条件与充要条件

①若pnq，称〃是q的充分条件，夕是〃的必要条件.

②如果既有p=q,又有qnp,就记作〃<=>4，这时〃是q的充分必要条件，称p

是4的充要条件.

⑵充分条件、必要条件与充要条件的判断

命题“若〃，则9"，其条件P与结论4之间的逻辑关系

①若〃=>",但夕*〃，则〃是g的充分不必要条件，“是〃的必要不充分条件;

②若〃於“，但q=p,则〃是(7的必要不充分条件，q是〃的充分不必要条件；

③若p=q,且q=>〃，即〃og,则p、q互为充要条件：

④若p*q,且〃为〃，则〃是的既不充分也不必要条件.

从集合与集合间的关系看

若p：q：xWB,

①若AqB,则〃是g的充分条件，q是〃的必要条件；

②若A是B的真子集，则〃是q的充分不必要条件：

③若则〃、夕互为充要条件；

④若A不是B的子集且8不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.

【清单07】全称量词与全称量词命题

1.全称量词：一般地，“任意”“所有"每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全

称量词,用符号表示

2.全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.

3.全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x,r(x)，简记为：对V£M,r(x).

【清单08】存在量词与存在量词命题

1.全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个“在陈述句中表示所述事物的个体或部分，

称为全存在量词，用符号勺”表示.

2.存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题.

3.存在量词命题的形式：存在集合M中的元素为s(x),简记为：对me",s(x).

【清单09】命题的否定

1.一般地，对命题〃加以否定，就得到一个新的命题，记作“力”，读作"非"’或〃的否定.

2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.

(1)全称量词命题的否定

一般地，全称量词命题“也£/，4(力''的否定是存在量词命题：.

(2)存在量词命题的否定

一般地，存在量词命题“大”的否定是全称量词命题：.

【清单10］判断命题真假的方法

(1)真命题的判定方法.

要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、

公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.

(2)假命题的判定方法.

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.

【考点题型一】元素与集合的关系

技巧：判断元素与集合关系的两种方法

(1)直接法：如果集合中的元素是更接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。

(2)推理法：对于•些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有

的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。

【例11若ae{l,2,〃3},则。的所有可能的取值构成的集合为()

A.{0}B.{0,-1}

C.{0,2}D.{0-1,2}

【答案】D

【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可.

【详解】当4=1，则“'=1，显然集合元素不满足互异性；

当。=2,则/=8,此时集合为{1,2,8},满足；

当〃=即4=0或〃=-1,(其中。=1舍),

若〃=0,此时集合为{0」,2},满足；若〃=-1,此时集合为{TL2},满足；

综上，。的取值集合为{0,-1,2}.故选：D

【变式1-1】己知集合A-{x|2K-avO}(a©R),且leA,2更A,则()

A.«<4B.a>2

C.2<«<4D.2<«<4

【答案】D

【分析】利用元素与集合的关系可求解.

【详解】因为SA,23所以—，解得2＜心4.

故选：D.

【变式1・2】已知集合4={1,3。+1,2/+。-3},若—2eA,则。=（）

A.—1B.-C.1D.—1或一

22

【答案】B

【分析】根据元素与集合的关系可得出3々+1=-2或2/+〃-3=-2,再结合集合A中的元

素满足互异性可得出实数。的值.

【详解】因为集合人={1，3"1,2/+。一3},且一2eA,分以下两种情况讨论：

（1）若3。+1=—2,则。二一1,此时，2a2+a-3=2-\-3=-2,

此时集合A中的元素不满足互异性，自去：

（2）若2/+4-3=-2，即2/+〃-1=0,解得〃或。=一1（舍），

135

当〃二；时・，3〃+1=；+1==，合乎题意.

222

综上所述，“二g.故选：B.

【变式1-3】已知集合4={见时,”3},若3”,则实数〃的值为（）

A.-3B.3C.3或-3D.6

【答案】A

【分析】根据条件得到〃=3或同=3或a-3=3,再利用集合的互异性即可求出结果.

【详解】因为3e4,所以a=3或同=3或a-3=3,

当。=3时，a=\a\=3,不满足集合元索的互异性，

当时=3时，得到。=一3或。=3（舍），又。=一3时，A={-3,3,-6},满足题意，

当。-3=3,得到。=6,此时a=|a|=6,不满足集合元素的互异性，

故选：A.

【变式1-4】己知集合从={々-2,/+4凡10},若-3wA,则实数。的值为（）

A.-3B.1C.一3或一1D.无解

【答案】A

【分析】由题意得〃-2=-3或/+4〃=_3,解方程，由集合元素的互异性即可求.

【详解】因为一3wA，

所以。一2=-3或d+4〃=一3,

当〃-2=-3即。=一1时，>4={-3-3,10},不符合集合元素的互异性,

故。=-1不符合题意，舍；

当/+4〃=-3即。=-1(舍)或。=-3时,A={-5-3,10},符合题意，

故。的值为-3.

故选：A

【考点题型二】韦恩图及其应用

技巧：Venn是集合的乂一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问

题、解决问题，但它不能作为严密的数学L具使用.

【例2】已知全集〃=酊集合用={小>2},N={R1<XV3},那么下面的维恩图中，阴

A.{木>2}B.{x|x<2}C.{x\x>2]D.{x\x<\}

【答案】D

【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案.

【详解】M|JN={x|工>1},

阴影部分表示集合为Q(〃-N)=31XI}.

故选：D

【变式2-1]自2024年起.江西新高考采用“3+1+2”模式,其中，“3”为全国统考科目，即

语文、数学、外语；'T'为首选科目，考生要在物理、历史科目中选择I门：“2”为再选科目，

考生可在思想政治、地理、化学、生物学4个科目中选择2门.已知某校首选科目为物理的考

生有800人，其中再选科目选了化学的有56()人，再选科目没有选生物学的有.480人，再选

科目同时选了化学和生物学的有320人，则该校首选科目为物理的考生中，再选科目同时选

了思想政治和地理的人数是（）

A.80B.160C.240D.320

【答案】C

【分析】根据集合之间的容斥关系进行求解即可.

【详解】•.•再选科目同时走了化学和生物学的有320人，

再选科目选了化学，没有选生物学的有560-320=240人；

二再选科目没有选生物学，也没有选化学的有480-240=240人，

即再选科目同时选了思想玫治和地理的人数为240人.

故选：C.

【变式2・2】已知全集〃="集合A={-1,0,2,3},5={x|x>l},则图中阴影部分表示的

B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】C

【分析】由题意，图中阴影部分所表示的集合为AC£,B）,进而结合交集和补集的定义求

解即可.

【详解】已知全集〃=口，集合A={T,0,1,2,3},8={.x\x>\},

则电由={小41},

图中阴影部分所表示的集合为Ac（q/）={-L0,l}.

故选：C.

【变式2-3】已知全集。=*集合M={X|XN2},N=31<x<3},那么下面的韦恩图中，

阴影部分所表示的集合为（）

A.{x\x<2\B.{x\x<2}C.{x|x<l}D.{x|.r<l}

【答案】C

【分析】根据韦恩图，等价转化为集合的表示，结合并集和补集，可得答案.

【详解】由图可知，阴影部分为布（MUN）,由MuN={#>1},则0,,（M。N）={x\x<1},

故选：C.

【变式2-4】已知集合人={冰）4443},8={乂4<1或123},则图中的阴影部分表示的集合

{x|l<x<3}C.{x|l<J<3}D.{^|l<x<3}

【答案】C

【分析】求出入eg,再根据补集的含义即可得到答案.

【详解】由题意得Ac8={x|（Kx<l或x=3},

由图知阴影部分表示的在A中的补集，

则阴影部分表示的集合为{划<x<3}.

故选：C.

【考点题型三】根据集合间的关系求参数

技巧：根据集合之间关系，求参数的值或范围：

1.求解此类问题通常是借功于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形

定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“二”用实心点表示，不含“二”用空心

点表示.

2.涉及“AGB”或且附。”的问题，一定要分4=。和AR。两种情况进行讨论，其中4二。

的情况容易被忽略，应引起足够的重视.

【例3】已知集合/4=闺0<工<〃},8={对£4<2},若则实数。的取值范围为（）

A.（2,+8）B.[2,+oo）C.（0,2）D.（0,2]

【答案】B

【分析】根据BqA,通过数轴即可求解.

【详解】因为BqA,

所以由数轴可得。之2,

故实数。的取值范围为。22.

故选：B.

---i-1---o--->

012ax

【变式3-1】已知集合A=[x]l<x<2},8={疝。<〃},若〃qA,则实数〃的取值范围是（）

A.（2,4<C）B.（1,2]C.（YO,2]D.[2,-KO）

【答案】C

【分析】由集合的包含关系，对集合4是否是空集分类讨论即可求解.

【详解】集合4={疝<工<2},5={动<X<。},若BqA,

则若则8=0=A满足题意：

若a>1,且8=A,则1<。W2,

综上所述，实数。的取值范围是（f,2].

故选：C

【变式3・2】已知集合A={R-1<X<10},非空集合A={W+lvxv2a-2},且则

〃的取值范围为（）

A.3<fz<6B.3<a<6C.3<ci<6D.3<“S6

【答案】D

【分析】根据集合间的包含关系，列出不等式，求解即可.

【详解】因为B小0,

a+\<2a-2

所以，a+12T,解得3vaK6,

2a-2<10

故选：D.

【变式3-3】已知集合A={a,O」},4={1,/+。},且BqA,则〃=()

A.0B.。或—1C.-ID.1

【答案】C

【分析】由集合的包含关系，确定等式求解即可.

【详解】由6jA,

可得：a2+a=a^.a2+a=0»

当/+〃=〃可得：。=(),集合A中元素重复，故舍去，

当〃2+a=o，解得：a=0(舍去)，〃=—1,

而当〃二一1时，A={-l,0,l},8={1,0},符合题意，

故。=一1.

故选：C

【变式3-4】已知集合A={小式-2或%>1},〃=卜心+2<0},且BqA,则〃的取值范

围是()

A.{t/|0<a<1}B.\a\-2<a<\^

C.[a\-2<a<\\D.{〃卜2<〃<0或。<〃W1}

【答案】B

【分析】分。=0、。>0、a<0三种情况讨论，求出集合4,在〃=0时，直接验证即可；

在。>0、。<0这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数。的不等式，综合可得

出实数。的取值范围.

【详解】因为集合4=卜上4一2或》>1},B={x|ax+2<0},且BqA,分以下几种情况讨

论：

(1)当。=0时，B=0cA,合乎题意；

2o

(2)当〃>0时，5={XLU+2<0}=^VX<一一>，KiJ--<-2,

aa

因为00时，解得0<a41；

(3)当〃<0时，B=2<0}=jxx>一一,则」>1,

因为4<0,解得一2<〃<0.

综上所述，实数〃的取值范围是{。卜2<〃力}.

故选:B.

【考点题型四】根据两集合相等求参数

技巧:集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性.反过来，一组对象若不具备这三

性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三人特性是我们判断一组对象是否能构

成集合的依据.

解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面,

我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注

意检验元素是否满足它的“三性”.

【例4】若集合{x,l+x,f}={TO,|},则户()

A.0B.IC.-1D.1,-1

【答案】C

【分析】根据集合相等求参，再分别计穿是否符合题意即可得出参数.

【详解】因为集合卜,1+不门={_1,0,1},

当％=-1,则J—l+x=O,符合题意；

当%=0,则/=0,不符合题意；

当％=1,则/=1,不符合题意：

所以x=-1.

故选：C.

【变式4-1】设集合A={0,〃},集合8={-1/},若A=8,则的值为()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】C

【分析】根据集合元素的性质可求。涉的值，故可得正确的选项.

【详解】因为A=8,所以〃=(),a=-\»故〃+人=一1,

故选：C

【变式4-2］若集合A={1,“可，集合8={a,L,闽，且A=3,则()

A.。=-1,b=0B.〃=l,b=0

C.a=±\,b=0D.不确定

【答案】A

【分析】利用集合相等的条件求解即可.

【详解】因为集合A={1,"力},集合3={0优他},且A=

\=a2\b=a2

所以步=ab或〈1=4。解得，

b=0

4W1,/?W14W1,上WI

故选：A.

【变式4-3】已知。损RSR,若集合卜，l}=Mj,o},则产+产的值为()

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】C

【分析】利用集合相等，求出〃，再求出〃，检验代入求值即可.

【详解】根据题意。工0,故2=0,则6=0,

a

故{0,0,1}={/,°,0},则r=i,即。=±1,

当。=1时，与集合的互异性相矛盾，故舍去，

当4=-1,。=0时，{——1,0},符合题意，

所以产+产=1,

故选：C.

【变式4-4】含有三个实数的集合可以表示为也可以表示为{0,|M，x+y},则

的值为()

A.1B.-1C.0D.一1或1

【答案】B

【分析】根据题意，得到{尤］』}二{0,凶了+训，结合集合相等的概念，以及元素的互异性，

求得KV的值，即可求解.

【详解】由题意，可得{入彳,1}={0,|乩］+训，

因为工工0,所以y=0,即{用0,1}={0,岗,后，

则满足N=i,解得x=±i,

当x=l时，集合中的元素不满足互异性，舍去；

当x=-l时，可得=符合题意，

所以7-旷=(-1)5-。37

故选：B.

【考点题型五】集合的交集、并集与补集的混合运算

技巧：求解与不等式有关的集合问题的方法

解决与不等不有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用常示方式)可以

使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.

【例5】已知全集己={1,2,3,4,5},A={2,4},"={1,4,5},则(gA)c4=()

A.{3}B.{4}

C.{1,4}D.{1,5}

【答案】D

【分析】利用补集与交集的定义"J求解.

【详解】因为全集〃={123,4,5},A={2,4},所以24={1,3,5},

又因为8={1,4,5},(6加5={1,3所{1,4,5}={1,5}.

故选：D.

【变式5/】设全集U={>rZ|-3vx<5},A={-2,2},8={-2,4},则向A”3=()

A.{4}B.{-1,0,4}C.{-2,034}D.{-2,-1,0,1,3,4}

【答案】D

【分析】由补集、并集的概念即可得解•.

【详解】因为U={xeZ|-3cv5}={_2,T0,l,2,3,4},A={-2,2},

所以电A={T0J3,4},又3={-24},

所以(j={-21,0,1,3,4}.

故选：D.

【变式5-2】已知集合2={-ZT0,l,2,3},A={l,2},5={T(M},则(楙)C(A)=()

A.{-2,3}B.{-2,2,3}

C.{-2,—1,0,3}D.{-2,—1,0,2,3}

【答案】A

【分析】由交集、补集的概念即可求解.

【详解】因为集合。={-2-1,0,1,2,3}*={1,2},3={-1,0,1},

所以那={-2,-1,0,3},心={-2,2,3},(标)c(d)={-2,3}.

故选:A.

【变式5-3】设全集U={0,123,4,5},集合M={0,3},N={3,4},则Mu@N)=()

A.{0,2,3,5)B.{0,1,3,4)

C.{0,123,5}D.{023,4,5}

【答案】C

【分析】利用补集与并集的概念计算即可.

【详解】易知2N={0J2,5},又M={0,3},所以MU&N)={0,123,5}.

故选：C

【变式5-4】已知全集〃={123,4.5},集合"={1,2},/V={2,3,4},则@M)(JN=()

A.{234,5}B.{1,3,4}C.{3,4}D.{3}

【答案】A

【分析】根据题意结合补集和并集运算求解即可.

【详解】因为全集〃={1.2.3.4.5}.集合〃={1.2}.N={2,3,4},

则0，M={3,4,5},所以(4，M)UN={2,3,4,5}.

故选：A.

【考点题型六】充分、必要条件的判断

技巧：I.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

(1)充分不必要条件，即〃=>〃，而〃二小〃.

(2)必要不充分条件，即〃A”，而〃今〃.

(3)充要条件，既有〃台“，乂有”今〃.

(4)既不充分也不必要条件，既有p分小又有“R

2.充分条件与必要条件的判断.

⑴直接利用定义判断：即“若〃=>〃成立，则〃是0的充分条件，1是〃的必要条件”.(条

件与结论是相对的)

⑵利用等价命题的关系判断：“片加”的等价命题是“q0””即“若g少’成立,

则〃是4的充分条件，0是〃的必要条件.

⑶利用集合间的包含关系进行判断：如果条件〃和结论。都是集合，那么若〃Qq,则

〃是〃的充分条件；若〃二0则〃是0的必要条件；若e=“，则〃是〃的充要条件.

【例6】已知acR,则“〃>7”是“/>49”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分和必要条件的知以确定正确答案.

【详解】当“。>7"时，“不>49”；

当“/>49”时，可能。二一10,不能得至『七>7"；

所以％>7”是“/>49”的充分不必要条件.

故选：A

【变式6-1](已知集合人=卜,2-21一8<()},4={小<4},则“xeA”是()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由集合间的包含关系即可判断.

[详解]A={X|A-2-2X-8<0}={X|-2<X<4},

所以A?”

所以“xwA”是“xwB”的充分不必要条件.

故选：C

【变式6-2](“％-1=0”是“x2-1=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】由x—l=O解得工=1；

由丁・|二()解得工=±1；

所以=0”是_1=0，，的充分不必要条件.

故选：A

【变式6-3](已知集合知=｛山？7+2=。｝(aeR),则是“集合”仅有1个真子

集”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分乂不必要条件

【答案】B

【分析】由真子集个数得到集合M只有一个元素，分。=0和两种情况，结合根的判别

式得到〃=0或4=：,从而得到结论.

O

【详解】集合M=｛x|"2_x+2=O｝仅有।个真子集，即集合M只有一个元素，

若a=O,方程必？xI2=0等价于-x+2=0,解得x=2,满足条件；

若。。0,方程加-x+2=0要满足△=1-8〃=0,有〃=：，

O

则集合M=｛x|ad7+2=0｝仅有I个真子集，有。=0或〃=：,

O

则。=：时满足集合M仅有I个真子集，集合”仅有1个真子集时不一定有〃=

OO

所以"〃=]'是"集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件.

O

故选：B.

【变式6-4](“工工2”的一个充分不必要条件是()

x+1

A.0<x<-B,-1<x<-C.x<-\^x>-D.x>\

222

【答案】D

3

【分析】求出不等式一三42的解，逐个选项判断，即可得答案.

x+1

【详解】解一^-«2,BP---2<0,即^

x+1.v+1x+l

即产7卜+1)川，解得名或”T,

x+lwO2

由于0<x<1,—均推不出xNg或x<—1,故A,B选项不合题意：

222

3

C中条件和“一《2”等价，不合题意，

x+1

X>1时，一定有xz[或]<-1成立，反之不成立，

2

3

故x>l是“一的一个充分不必要条件，

x+1

故选：D

【考点题型七】根据充分、必要条件求参数取值范围

技巧：(1)化简P、q两命题，

⑵根据P与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，

(3)利用集合间的关系建立不等关系，

(4)求解参数范围.

【例7】若“〃z-2<x<m+2”是的必要不充分条件，则实数机的取值范围是()

A.1</w<2B.\<m<3C.-l<m<2D.1<m<3

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义列式求解即得.

【详解】“m-2<x<m+2”是“1vxv3”的必要不充分条件,

[777-2<1[/??-2<1

则〈r。或〈rr，解得或1K"?V3,则1W〃?W3,

〃?+2>3[〃?+2之3

所以实数m的取值范围是l</n<3.

故选：D

【变式7-1]已知〃:xwA={x|xv-l或xN3},q:xeB={x\ax+\<0],若〃是。的必要条

件，则实数”的范围是()

A.一；/)B.-1,1C.S，-l)3。，”)D.-1,O^u(O,l)

【答案】A

【分析】由题得出两个集合之间的关系：再对集合8中的不等式求解，分类讨论研

究即可.

【详解】由题意知：8aA

①当avO时，«={x|ar+l<0}=xx>--kBqA,故一4之3,解得“之一：,

fa\a3

故一；44<0；

②当4=0时，«={x|64V+l<O}=0,满足5=4;

③当〃〉()时，«={x|or+l<0}=*BqA,故一:<一1,解得avl,

故0vav1；

「1、

综上所述：ae--»1.

.J/

故选:A.

【变式7-2]已知〃:」>1闯:.1>"1,若夕是〃的必要条件，则实数初的取值范围是（）

x

A.[0,-Ko）B.[l,+oo）

C.D.（f,0]

【答案】D

【分析】化简命题〃，根据“是〃的必要条件求解.

【详解】由p」>1可得P：O<x<l,

x

因为学是〃的必要条件•，所以〃=4,

则｛x|Ovxvl｝是｛Rx>"“的子集,故m40.

故选：D.

【变式7-3]关于x的一元二次方程f+x+m=。有实数解的一个必要不充分条件的是（）

A.m<-B.m<-C.m<--D.m<-

2424

【答案】A

【分析】由△'（）可得mW：，根据充分、必要条件的定乂，结合选项即可求解•.

4

【详解】因为一元二次方程f+x+〃?=。有实根，

所以△=1一4〃?之0,解得"?

4

又（"，；]是（—8，；）的真子集，

所以“sf”是“（-吟.’的必要不充分条件.

故选：A

【变式7-4]若"x>2"_3"是"1"""的必要不充分条件，则实数。的取值范围是（）

A.[-夜,&]B.（-V2,V2）C.（-1,1）D.[-1,1]

【答案】B

【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果.

【详解】因为是WW4”的必要不充分条件，

所以即a2V2,解得-及va<&,

故选：B.

【考点题型八】由全称或存在量词命题的真假确定参数取值范围

技巧：解题方法：（等价转化，分离参数）

（1）对于命题p,〃（儿a）（〃为参数）为真，选过分离参数的方法求得参数的取值

范围

（2）对•于命题p,（〃为参数）为真，通过否定

Yxs/丁〃（尤4）（。为参数〕为假转化为恒成立问题，确定出a的取值范围A,最后取A的

补集

（3）对于命题p,玉（〃为参数）为假，通过否定

Vx£/J〃（Km（a为参数）为假转化为恒成立问题，确定出a的取值范围

（4）对于命题p,ave/,p（x,a）①为参数）为假，通过分离参数的方法求得参数的取

值范围

【例8】已知命题P：ESR,/+2%+〃?20,若〃为真命题，则实数〃，的取值范围为（）

A.（YO,1）B.（-<0,-1]C.（-h-K0）D.[l,+00）

【答案】D

【分析】由题意可得AWO，由此可解得实数，〃的取值范围.

【详解】因为命题P'xeR，x2+2x+m>0,且〃为真命题，则△=4一4/〃40,解得〃壮1.

故选：D.

【变式8-1】若“五£仞,3工72>（），，为真命题“以€",彳<2"为假命题，则集合"可以是（）

A.{x|x<0}B.{x|O^x<l}

C.{x|1<x<3}D.{x|x<l}

【答案】C

【分析】根据命题的真假确定集合M中的元素具有的性质，得正确结论.

【详解】Af,3%-炉>0”为真命题,3x—/>0。9—3xvOoO<x<3,

囚此做这个M中含有（。，3）I.的数，

为假命题，则M中有不小于2的元素，

只有C选项的集合M满足题意.

故选：C.

【变式8-2】已知命题〃:Vxe{x|l«x«2},都有/“之。，命题，存在

/£凤内：+2办。+2-。=0,若〃与^不全为真命题，则实数。的取值范围是（）

A.{々|〃工-2}B.{a\a<\]

C.{a|a£-2或t?=l}D.{a\-2<a<\^ci>\]

【答案】D

【分析】求得〃为真命题，实数。的取值范围；9为真命题，实数。的取值范围；进而可得

〃与<7全为真命题时，实数。的取值范围，进而可得结论.

【详解】若〃为真命题，则〃<，焉，又xe{x|l—W2},所以（丁濡=1，所以。41，

若4为真命题,则x：+2aq+2-a=0有解，所以△=（2。）?一4x1X（2-。）20,

解得a21或aK-2,

所以P与4全为真命题时，实数〃的取值范围是仅1。工-2或〃=1},

所以〃与“不全为真命题，则实数。的取值范围是或。>1}.

故选：D.

【变式8-3]已知命题/^:3xG[0,3],6/=-x2+2x：命题9:Dxw[-1,2],小+8:-8«0.若〃为假

命题，q为真命题，则实数。的取值范围为（）

A.[—3,1]B.(YO,2]

C.[-7,-3)U(L2]D.(』-3)U(L2]

【答案】C

【分析】由命题〃:BxqoRaM-f+Zx为假命题，则a=*+2x在xw[0,3]上无解，即y=a

与丁=一犬+2工，xw[O,3]函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题

/DXG-1,2,f+or—840为真命题，贝时求出参数求交集即可.

i14+2^-8<0

【详解】命题P：玉£[0,3],a=-x2+2、为假命题,

〃—+2才在山0,3]上无解,

即丁=。与），=一9+2x,xe[0,3]函数图象没有交点,

由图可知：白>1或〃<一3,

命题4：比问一1,2],丁+以-8W0为真命题，贝”:；；巢0,解得一74a<2,

综上所述：实数〃的取值范围为[々,-3）51，2].

故选：C

【变式8-4】已知命题p："Wxe[l,2],x2—a>0'»命题4：“+wR,x?+20¥+4=0”.若命

题〃和命题F都是真命题，则实数。的取值范围是（）

A.a<-2s&a=\B.\<a<2C.-2<a<\D.a>\

【答案】C

【分析】由命题〃是真命题，命题4是假命题，根据二次函数的单调性和二次方程有解列不

等式组可得.

【详解】命题〃和命题r都是真命题，即命题〃是真命题，命题，/是假命题，

a<1

所以♦解得—2<。W1,

V-16<0

故选：c.

【变式8-5]若命题“小€&(r_1卜2+2(&_]h_]>(),,是假命题，则攵的值可以为()

A.-1B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定的真假性，对公-1进行分类讨论来求得人的取值范围.

【详解】由题知BreR,(A2-l)/+2(A7)x-lW0是真命题，

当公一「0,即左二i时，Tv。恒成立，攵=一1时，-21-1W0不恒成立；

当〃2一1<0时，A=4(Z;-l)24-4(A:2-l)<0,解得OKZvl,

综上得0WZW1.

故选：B.

【变式8-6】已知集合人=付。工工工勾,集合8=I3c??2।4},如果命题"Z)/〃eR,

人03工0”为假命题，则实数。的取值范围为()

A.{《a<3}B,{t?|O<i7<3)C.{tz|0<tz<3)D.{a\0<a<3]

【答案】A

【分析】由题命题“VmeR,AnB=0”为真命题，进而分A=0和A=0两种情况讨论求

解即可.

【详解】因为命题八。4工0”为假命题，

所以，命题“DmwR,A。8=0”为真命题；

因为集合4={.1|。工4工4，集合8={M"?2+3KXW〃，+4},

所以，当人={乂()工工4〃}=0时，即。<0时，=0成立，

当A={x[()4xKa}/0时，

_(a>0

由“W〃eR,4nB=0”得〈2r，解得0〈a<3,

a<nr+3

综上所述，实数。的取值范围为{〃|。<3}.

故选：A

【变式8-7]若命题“areR,f+2x+aK0”为真命题，则。的取值范围是()

A.Y』]B.(-00,1)C.(-oo,0]D.(-<o,0)

【答案】A

【分析】根据存在性命题真假性可得△之0,运算求解即可.

【详解】若命题+2x+4W0”为真命题，

则△=4一4〃20,解得

所以〃的取值范围是(2刀.

故选：A.

【变式8-8]若命题y/€R,x：+2〃咻+机+2工0”为真命题，则小的取值范围是()

A.(fT)U(2,+cc)B.(-<»,-1]U[2,4-CO)

C.(-1,2)D.[-1,2]

【答案】B

【分析】根据判别式大于等于0,可求参数的取值范围.

[详解】因为命题“3x„wR,x：+2mX。+m+2<0”为真命题,

所以△=4m2一4〃?一820即〃?W-1或m>2,

故选:B.

【变式8-9】命题尸与与WRM/-3or+2v0是假命题，则。的范围是()

O

A.0<a<-B.a<0

9

8