几何图形初步（知识+9大易错+易错训练）原卷版-2025-2026学年七年级数学上学期（人教版）

几何图形初步（必备知识+9大易错+易错训练）

思维导图

1.立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方

体、圆柱等；平面图形的各部分都在同一平面内，如三角形、圆等.

几直线，即两点确定一条目线。

何

2.线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC=BC

图

3.有关线段的基本事实：两点之间，线段最短.

形

4.两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距题.

初

步

1•角的定义：有公共瑞点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕

着它的踪点旋转而形成的图形.

2.角的度量：1周角=360。，1平隹=180。，V=60',r=60".

3.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线,0L做这

个角的平分线.

4.余角和补角：如果两个角的和羔于90。，就说汶两个角互为余角：如果两个角的和等于

180。，就说这两个角互为补角.同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等.

5.方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写道常要先写

北或南，再写偏东或偏西.

知识清单

清单01几何图形

1.立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都

在同一平面内，如三角形、圆等。

2.从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视

图。

3.点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面,

面动成体。

清单02直线、射线、线段

1.有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。

2,线段的中点：若。是线段48的中点，则4c=8。=/仄

3.有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。

4.两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。

清单03角

1.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形

成的图形。

2.角的度量：1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60〃。

3.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若08

是4OC的角平分线，则N/O4=NBOC=；N/OC。

4.余角和补角：如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°,就说这

两个角互为补角。同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。

5.方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东

或偏西。

易错总结

易错点一几何体中的点、棱、面的关系

1.易错总结：混淆点与棱、面的从属关系，如误将“棱.上的点”归为“面上的点”，忽略棱是面的交线这一

本质。计算多面体棱数时，错用“面数X边数”直接相加，忘记每条棱被两个面共用，导致重复计数。

2.注意事项：明确基本关系：点是棱的端点，棱是面的交线，面由棱围成，可结合具体几何体（如正方体）

直观记忆。利用公式验证（如欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2）,计算棱数时需除以2消除重复，确保逻辑

自泠。

例题1.仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题:

AA

AD

1

CBOA'

正四面体正六面体正八面体

（1）填空：

①正四面体的顶点数y=_____,面数/=_______,棱数e=______;

②正六面体的顶点数丫=_____,面数/=_______,棱数6=______；

③正八面体的顶点数_____，面数/=_______，棱数e=______:

（2）若将多面体的顶点数用v表示，面数用/表示，棱数用e表示，则v,/；e之间的数量关系可用一个公式

来表示：

易错点二含图案的正方体的展开图

1.易错总结：忽略图案方向，误将翻转后的图案视为相同，如正方体展开图中相邻面的图案朝向在折叠后

会发生旋转。错判相对面图案，仅凭位置远近判断，忽略“Z”字形或间隔一行/一列的相对面规律。

2.注意事项：标记图案朝向（如箭头方向），折叠时注意相邻面图案的旋转角度，可通过实物模拟验证。用

“相对面不相邻”原则，先确定展开图中相对面的图案，再排除折叠后不可能出现的组合。

例题2.（24-25七年级上•陕西安康•期末）如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）

O

易错点三根据从不同方向看到的图形确定小立方体的个数

1.易错总结：仅凭一两面视图臆断总数，忽略隐藏立方体，如正面和侧面视图均有列时，易漏算重叠处的

小立方体.对“最多”“最少”情况区分不清，未考虑不同视图约束下的可变空间，导致个数计算偏差。

2.注意事项：先标记各列/行的最大层数（从三视图提取），以最小层数为基准确定必有的立方体，再根据

其他视图补充可变部分。用分层法逐层分析，结合俯视图确定位置，正/侧视图确定高度，道过“搭积木”

式模拟验证总数。

例题3.（23-24七年级上•贵州毕节•期末）用相同的小立方块搭一个几何体，从正面、上面看到的形状

图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问答下列问题：

从正面看从上面行从左面看

（1）填空：d

（2）请在如图的M格中㈣出当a=2,A=c=1时这个儿何体从左向看到的形状图.

（3）这个几何体最少由多少个小立方块搭成？最多由多少个小立方块搭成？

易错点四根据从上面看到的图形确定几何体的形状

1.易错总结：误将俯视图直接等同于几何体形状，忽略高度信息，如俯视图中相同方格可能对应不同层数

的立方体。漏看俯视图中隐含的位置关系，对“行”“列”划分不清，导致几何体行列错位。

2.注意事项：明确俯视图仅反映底面布局，需结合高度条件（如“最多”“最少”或具体层数）确定立体结

构。用标记法在俯视图方格中标注可能的层数范围，再依据约束条件排除不合理情况，避免主观臆断。

例题4.一个几何体是由大小相同的小立方块搭成，其中小正方形上的数字表示在该位置上的小立方块的个

数，请画出从正面和从左面看到的这个儿何体的形状图.

从正面而从左面看

易错五、分类讨论求线段多解易错问题

1.恃况遗漏：在求线段长度（如已知力B、BC长度,求4C）时，易忽略点的位置多样性，只考虑点在中间

或一侧的一种情况，导致漏解。

2.逻辑混乱：分类讨论时未明确分类标准（如按点的左右位置、在线段匕或延长线上），易出现重复或矛盾

的推导，影响结果准确性。

例题5.（24-25七年级上•浙江宁波•期末）已知点。是线段44的中点，点。分线段/出的长度为5:3.已知

CQ=7厘米，则4。的长为厘米.

题型六、分类讨论求角多解易错问题

1.漏情况：求角的度数（如己知/力。从作射线0C求/80C）时，易忽略。。位置.，只考虑在角内部或外

部一种情况，未全面分析射线与已知角的位置关系，导致少解。

2.错判断：分类时未明确标准（如按射线在角内/外），或误将不同位置归为同一类，比如把。C在

邻补角区域当作内部情况，逻辑混乱致结果错误。

例题6.（24-25七年级上♦山东济宁•期末）过/月08的顶点。画射线OC.若

ZAOB=80020；zfBOC:^AOB=t4,则ZAOC的度数是.

题型七、分类讨论求角中旋转多解易错问题

1.漏旋转方向：求旋转后角的度数时，易忽略旋转有顺时针、逆时针两个方向，只按单一方向计算，比如

射线绕端点转30。，漏算反向旋转的情况，导致少解。

2.错定旋转范围：未明确旋转角是否超过平角、周角，误将超过的情况排除，比如旋转180°以上时，仍按

小于180。计算，或未结合图形边界判断，导致结果偏差。

例题7.（24-25七年级上•湖北随州•期末）如图①，。为直线48上一点，过。点作射线OC,使

Zfi（9C=60°,将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点。处，一条直角边OP在射线。4上，将图①中的

三角尺绕点O以每秒5。的速度按逆时针方向旋转（如图②所示;，在旋转一周的过程中第/秒时，。。所在

直线恰好平分NAOC,则/的值为.

图①图②

题型八、线段上动点探究易错问题

1.漏定位置范围：未明确动点在线段上、延长线上的不同位置，直接按单一区域计算线段长度，比如点尸

在,48上或48延长线，误统一按在线段上算，导致结果错误。

2.错用数量关系：未用含参数的表达式（如设力尸气）表示动点相关线段，或计算时混淆线段和差，比如误

将P8写成（实际应是力8TP,。在线段上时），逻辑混乱致错。

例题8.（23-24七年级上•四川眉山・期末）如图，6是线段月。上一动点，沿/一。一力以每秒2cm的速度

往返运动1次，C是线段8。的中点，AD=\Ocm,设点8的运动时间为，秒（0右410）.

1111

ABCD

（1）当/=3时，AB=cm,CD=cm：

（2）用含有/的代数式表示运动过程中AB的长；

（3）在运动过程中，若的中点为凡则的长度是否发牛变化？若不变,求出EC的长：若变化,请说明

理由.

题型九、角中旋转探究易错问题

1.漏旋转阶段：未考虑旋转角跨越特殊角（如平角、周角）的阶段差异，比如射线旋转超过180°后，角的

构成从“和”变“差二仍按初始阶段计算，导致角度结果错误。

2.错关联动态角：未用含时间/旋转角的参数表示动态角（如设旋转角为。），或混淆旋转前后角的和差关

系，比如误将旋转后的角直接等同于初始角加减旋转角，忽略位置变化的影响。

例题9.（24-25七年级上•山西运城•期末）活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线样上，

45。角的顶点与60。的顶点重合于点O,斜边。8与直角边OO在直线反上，然后将直角三角尺048绕点。

按15。/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为f秒.

⑴旋转前，^AOC=,4BOC=；

（2）“希望”小组同学发现：当1=2时，。力是28OC的角平分线，请利用图②说明理由；

（3）“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，N/1OC+/BO。为定值.请你判断是

否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由.

易错训练

一、单选题

I.（24-25六年级上•山东烟台-期中）由一些大小相同的正方体搭成的几何体的从正面看和从左面看形状

图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）

丑£

从正面力从左面看

A.7B.6C.5D.4

2.（24-25八年级上•江西萍乡•期末）如图，该正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影，下列是该正

3.（24-25七年级上•河北承德•期末）小明根据下列语句，分别画出了图形a,4c”，并将图形的标号填在了

相应的“语句”后面的横线上.其中正确的是（）

①直线/经过点4B,C三点,并且点C在点A与8之间；（c）

②点C在线段48的反向延长线上；S

③点P是直线。外一点，过点P的直线人与直线。相交于点。；3

⑷直线/,〃?，〃相交于点。.）

4①②③④B.①②C.①③④D.②③

4.（23-24七年级上•山东临沂・期末）如图，已知48（8在4的左侧）是数轴上的两点，点/对应的数为

12,且48=18,动点尸从点力出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点尸的运动过程中,

M,N始终为4P,的中点，设运动时间为/（/>（））秒，则下列结论中正确结论的个数是（）

①8对应的数是-6；

②点P到达点夕时，，=9；

③8P=2时，z=8；

④在点P的运动过程中，线段"N的长度会发生变化.

BN-PMA

IIIII►

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

二、填空题

5.（25-26七年级卜•・全国•期末）已知NAOB=140°,OC平分&OB,4D0C=10°,则4。。的大小是.

6.：24-25七年级上•江苏扬州•阶段练习）如图，点股在线段4N的延长线上，且线段〃N=5,第一次操作：

分别取线段4"和4M的中点乂：第二次操作：分别取线段4%和力乂的中点N2.第三次操作:

分别取线段AM2和4小的中点1％，M…连续这样操作2024次，则线段M2024Mg的长度为.

MMN\N

III[IIIII

AMyM>MiM

7.（24-25七年级下•北京昌平•期末）欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈

德•欧拉于1752年提出.这个定理阐述了凸多面体中顶点数（〃）、面数（尸）和棱数（£）之间存在一

定的数量关系.

名称图形顶点数（V）面数（下）棱数（E）

四面体心446

六面体O8612

八面体812

（2）在简单多面体中，P,F,E之间的数量关系是.

8.（24-25七年级上•重庆•期末）如图，直线E产上有一点0,过点。在直线所的上方作射线

^AOF=30°,现将射线04绕点。以每秒16。的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线。。始终平分

NAOF,射线始终是N/1O石的三等分线，且/力。。=；/力。石.设旋转时间为E秒，若

/CO尸一440。=45。，Z的值为.

三、解答题

9.下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图.

从正面看从上面看

（1）搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭

建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数;

（2）搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图.

10.（23-24七年级上•福建龙岩•期末）已知线段48=20,点C在线段初上，且4C二（B.

♦111I

ADPCB

（1）求线段为c,的长;

（2）点尸是线段48上的动点，线段/0的中点为。，设

①请用含有。的式子表示线段尸C,QC的长：

②若三个点。，P,C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称。，P,C三点为“和谐点”，求使得

D,P,C三点为“和谐点”的。的值.

II.（23-24七年级上•广东珠海・期末）综合探究

如图I,把一副直角三角板的直角边放在直线/上，两个直角三角板分别在直线/的两侧，且

（2）如图2,把三角板CQE绕点。旋转，使CE刚好落在Z.ACB的平分线上.此时，C。是否平分4C广？请说明

理由：

（3）如图2,把三角板COE绕点C旋转，使得CE落在4c8内部，

当//。£=10。时，则N8CZ）=。；

当N6CQ=110。时，jjpJZACE=°；

设乙4C£=a,NBCD"试猜想a与夕的数量关系，并说明理由.

12.（24-25七年级上•辽宁盘锦•期末）点C是直线44上一动点，当C4=2CB时，我们称点C是点4与点8

的衍生点，记作。（4&8）,

■1I

ACB

【定义理解】

问题（1）若点C在线段上时，力表示-3,4表示6时，则C（4&4）表示的数是

【深入研究】

当点C是点/与点8的衍生点时，分别取线段4C,的中点〃，M发现线段CW、CN、44之间存在

着•种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②

点C在线段AB的延长线上时.

问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段CM,CN"〃之间满足的数最关系，并说

明理由:

【拓展提升】

问题(3)若点C在线段力4上，线段/必=20cm,8C=8