几何中动角问题的三种考法-2024人教版七年级数学上册（解析版）

专题08几何中动角问题的三种考法

O

A-重难点题型分类

题型1:求值问题I

题型2：定值问题......................................................II

题型3：角度之间数量关系问题.........................................20

题型4：存在性问题....................................................30

B-能力提升.............................................................41

O镀辘

1.角的平分线

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分

线.类似地，还有角的三等分线等，如图.

（犯是的平分线

（出.（X、足/ACQ的三等分线

图6.3-10图6.3-11

【题型1:求值问题】

【例1】如图1,。为直线4B上一点，过点。作射线OC,Z-AOC=30°,将一直角三角板QM=

30。）的直角顶点放在点。处，一边ON在射线04上，另一边0M与0C都在直线48的上方.（注:

本题旋转角度最多180。.）

（1）将图1中的三角板绕点。以每秒3。的速度沿顺时斜方向旋转.如图2,经过匕秒后,

乙AON=度（用含珀勺式子表示），若0M恰好平分乙8。。，则七=秒（直接写结

果）.

（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线。。也绕。点以每秒6。的速度沿顺时

针方向旋转，如图3,经过t秒后，^AOC=度（用含t的式子表示）若。。平分NMON,

求£为多少秒？

（3）若（2）间的条件不变，那么经过秒0C平分480M?（直接写结果）

【答案】（1）3t,5；（2）30+635；（3）经过2秒。C平分4BOM

3

【分析】（1）根据图形和题意得出乙40N=15。，再除以每秒速度，即可得出t；

（2）根据图形和题意得出匕CON=45。，再根据转动速度从而得出答案;

（3）分别根据转动速度关系和0。平分乙80M画图即可.

【详解】（1）乙AON=3t

^Z-AOC=30°

0ZFOC=150°

回0M平分iBOC,乙MON=90。

^COM=75°

⑦乙CON=15°

团440N=Z.AOC-乙CON=30°-15°=15°

解得：t=15°4-3°=5秒

(2)Z,AOC=(30+6。度

0ZM0N=90°,OC^-^Z.MON

因乙CON=4COM=45°

团4AOC-jAON="ON=45°

团30+6t-3t=45解得：t=5秒

(3)如图:

^AON+乙BOM=90°,LBOC=乙COM

由题可设乙4ON为33乙4OC为(30。十6。

0ZCOM=Z.BOC=l(90°-3t)

回，80C+Z.AOC=180°

(30+6t)+1(90-3t)=180

解得：秒

答：经过U秒OC平分心BOM.

3

【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个最之间的关

系求出角的度数是解题的关键.

【变式1-1］如图(1),NBOC和NAOB都是锐角，射线OB在N40C内部，^LAOB=a,乙BOC=

仇(本题所涉及的角都是小于180。的角)

0

图(1)图②图(4)

⑴如图(2),OM平分ZBOC,ON平分〃OC,填空:

①当a=40°,p=70。时，乙COM=,乙CON=,乙MON=；

②上MON=(用含有a或夕的代数式表示).

(2)如图(3),户为匕AOB内任意一点，直线PQ过点O,点Q在乙40B外部：

①当。M平分ZP08,ON平分立。。4,NMON的度数为；

②当0M平分NQOB,ON平分NQ04,4M0N的度数为；

(用MON的度数用含有a或/?的代数式表示)

(3)如图(4),当a=40。，0=70。时，射线。P从0C处以5。/分的速度绕点O开始逆时针旋

转一周，同时射线0Q从0B处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，0M平分4POQ,0N平

分“。4那么多少分钟时，上M0N的度数是40。？

【答案】⑴35。，55。，20°,

(2)*180°

⑶8分钟或48分钟时,Z.MON=40°

【分析】(1)根据角平分线的定义判断即可；

(2)①根据WMON=：(乙POB+/P。力)求解即可，②根据/M0N=g(480Q+4Q0AAR

解即可；

(3)分OP在41。8的外部和内部两种情况讨论，在外部时根据旋转的时间乘以速度等于

Z.POA+^.AOB+乙BOC,在内部时可以判断NPOM=35\NMON=乙POM-PON=40°.

【详解】(1)解：①；。0平分乙BOC,ON平分乙4OC,

当a=40°,/?=70。时，LCOM=^BOC=\p=35。，

(CON=-2Z.AOC=-2(Z.AOB+Z2.BOC)=-(«+/?)=55°,

乙MON=(CON-COM=1(a+/?)-1/?=1a=20°

②4MON=£.CON-COM=^(a+/?)-^=^a

故答案为：35。，55°,20%\a

(2)解：①OM平分"08,ON平分乙POA,

•••乙MON=：(乙POB+Z.POA)=\LAOB=\a

②...ON^^HQOA,

Z-MON=^(^BOQ+Z-QOA)=:(360。一4408)=180。一

故答案为：(a，180°

(3)解：根据题意/POQ=NBOC=/?

v0M平分"OQ,

11八

:.乙POM=-Z-POQ=-P=35°

如图1所示，当OP在N40B的外部时，

(3Z40N+Z-PON=Z-AOB+乙BOC+乙COP-乙MON,

^AON+35°=70°+40°+(5t)°-40°,

SON=35°+(5t)。，

团ON平分心力。P,

国乙WN=:十乙BOC十乙COP)=55°+(y)°,

035+5t=55+-,

2

解得£=8；

如图2所示，当0P在匕4。8的夕卜部时,

团4MO/V的度数是40°,Z.MON=Z.PON+POM

乙PON=5°

(30N平分N/10P,

・••Z.POA=2乙PON=10°

Z.POC=Z-BOC+Z,AOB+Z.AOP=120°

则。P旋转了360。-120。=240°

:.240+5=48分

即48分钟时，4MON的度数是40。；

如图3,当OP在440B的内部时，

•••乙M0N=乙POM-乙PON

即40。=35°-Z.PON

乙PON=-5°

此情况不存在：

如图4所示，当。P在z4。8的夕卜部时,

(3NM0N=Z.AOP-乙POM-乙AON,

团70。+40°-[360°-(5t)°|-35°="""小“⑸二+40°,

110-360+5t

011O-36O+5t-35=+40,

05t-25O=150,

解得t=80（舍去）；

综上所述，8分钟或48分钟时，^MON=40°.

【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的意义，掌握角平分线的意义是解题

的关键.

【变式1-2】已知0C是NAOB内部的一条射线，M、N分别为OA、0C」二的点，线段0M、

ON分别以30%10%的速度绕点0逆时针旋转.

㈱电

(1)如图①,若NAOB=140。,当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到OM\ON，处，求N

BOW+NCOM，的值;

(2)如图②，若OM、ON分别在NAOC、ZCOB内部旋转时，总有NCOM=3NBON,求生任

ZAOB

的值.

(3)知识迁移，如图③，C是线段AB上的一点，点M从点A出发在线段AC上向C点运

动，点N从点C出发在线段CB上向B点运动，点M、N的速度比是2:1,在运动过程中始终

有CM=2BN,求能=.

【答案】(1)60°：(2)4；(3)2.

【详解】试题分析：(1)先求出0AOM，、CON，，再表示出配ON，、团COM，，然后相加并根据

团AOB=140。计算即可得解；

(2)设旋转时间为t,表示出团BON、0COM,然后列方程求解得到OAOC、(3BOC的关系，再

整理即可得解：

(3)设运动时间为3点M、N的速度分别为2v、V,然后表示出CM、BN,再列出方程求

解即可.

试题解析：解：(1)团线段01\/1、ON分别以30。人、107s的速度绕点。逆时针旋转2s,

团0AOM'=2x3O°=6O°,0CON,=2xlO°=2Oo,

团团BON'=(3BOC-20°,(3COMM2AOC-60°,

酿BON'+0COM'=[3BOC-2O°俺AOC-600=(3AOB-80°,

第AOB=140°,

回回BON'+0coM'=1400-80°=60°；

(2)设旋转时间为3则UBON=iaBOC-10t°,

0COM=0AOC-3Ot0,

iaaCOM=30BON,

00AOC-3Ot0=3(0BOC-lOt°),

00AOC=30BOC,

"8。。Z.BOC1

0------=-----------------=

NA083480c+/80C4

(3)设运动时间为t,则CM=AC-2vt,BN=BC-vt,

0CM=2BN,

团AC-2Vt=2(BC-vt),

HAC=2BC,

嗤V

考点：1、角的计算；2、两点间的距离.

【变式1-3]已知：如图1,点A、0、B依次在直线MN上，现将射线。力绕点。按顺时针方

向以每秒20。的速度旋转，同时射线08绕点。按逆时针方向以每秒40。的速度旋转，如图2,

设旋转时间为/(0秒W£W30秒)

（1）用含/的代数式表示乙MOA的度数.

（2）在运动过程中,当乙4。8第二次达到120。时，求/的值.

（3）如果让射线。力改变方向，绕点。逆时针方向旋转，在用时不超过30秒的情况下，用

时多少秒，能使得44。8=30。，请直接写出/的值.

【答案】（1）当0SK9时，回MQ4=201,当9〈区18时，0A/OA=36O0-2Or,当18〈笈27时，

回MOA=20/-360°,当27VW30时，（3MOA=720°—20t；（2）5；（3）7.5或10.5或25.5或

28.5

【分析】（1）分四种情况，分别求出团MQ4的度数，即可；

（2）当财。5第二次达到120。时，射线OB在OA的左侧，西OM与财ON重叠部分为财。从

故有等量关系?加0人+团2。8-m08=180。，列方程求解可得t.

（3）。4、08都是逆时针旋转，可理解为初始路程差为180。的追及问题：当（MOA第一次

达到30。时,即到8差30°追上OA,路程差为（180-30）°,BP40r-20r=180-30；第二次达

到30。时，即08追上OA且超过30。，路程差为（180+30）。；第三次达到30。时，OB再走

一圈差30。追上OA,路程差为（180+360-30）°；第四次达到30。时，08再次追上且超过

30。，路程差为（180+360+30）。，此时求出的/已接近30,故不需再求第五次.

【详解】解：（1）当04仁9时,SMOA=20ff

当9cmi8时，SMOA=360°-20h

当18（长27时，I3MQ4=20/360°,

当27〈在30时，附〃）4=720。-203

（2）当财08第二次达到120。时，如图1,得：

团MOA+团NO8-0AO8=180°

020/+40/-120=180,解得7=5；

B

图1

(3)如图2,当0AOB第一次达到30。时，。8比0A多转了(180-30)°,得:

40/-20/=180-30

解得：f=7.5

0

如图3,当MOB第二次达到30。时，08比。4多转了(180+30)°,得:

40,-20，=180+30

图3

当酎03第三次达到30。时，。8比OA多转了(180+360-30)。，得：

40/-20/=180+360-30

解得：7=25.5

当斯OB第四次达到30。时，比0A多转了(180+360+30)。，得：

40r-20r=180+360+30

解得：1=28.5

综上所述，1=7.5或10.5或25.5或28.5时，0408=30°.

【点睛】本题考查了角度计算，一元一次方程的应用.第(3)题转化为追及问题来思考,

可把每次财。3达到30。的分类计算方法更统一且好理解.

【题型2：定值问题】

［例1］已知，如图1,OB,0C分别为定角(大小不会发生改变内部的两条动射线,

Z.AOC+乙BOD=180°,LAOB+乙COD=40°.

图1图2图3

(1)求4力。。的度数；

(2)如图2,射线。M,ON分别为乙4。8,乙C。。的平分线，当N3。。绕着点。旋转时，乙MON

的位置也会变化但人•小保持不变，请求出乙M0N的度数：

(3)如图3,。瓦OF是乙4。0外部的两条射线，R/.EO3=ACOF=110°,OP平分iEOO,

0Q平分/力。凡当N80C绕着点。旋转时，4P0Q的大小是否会发生变化？若不变，求出其

度数；若变化，说明理由.

【答案】(1)110°：(2)90°；(3)4POQ的大小不变为130。.

【分析】(1)由4A0C+/8。。=180。，可得乙1。8+/C。。+2/8OC=180。，从而可求

解乙BOC=7。。,从而可得乙4。0的大小；

(2)由射线OM,ON分别为4108,乙。。0的平分线，求解N80M+4CON=20。，从而可得

△M0N的度数为90。；

(3)先求解乙。。6=480尸=40。，再证明乙。。£1+乙4。尸=40。，结合角平分线的性质求

解乙。OP+Z.AOQ=:(乙DOE+Z.AOF)=20°,从而可得乙POQ=乙DOP+4AOQ+^AOD=

130°.

【详解】解：(1)ONAOC+NBOD=180°,

^AOB+乙COD+2乙BOC=180°

^Z.AOB+(COD=40°,

团480c=70°

团4400=LAOB+乙COD+乙BOC=110°

(2)团射线OM,ON分别为N/1OB,NC。。的平分线,

团

ZBOM=-2Z.AOB2,(CON=-Z-COD

回ZBOM+乙CON=I(Z.AOB+Z.COD)=1x40°=20°

团乙MON=乙CON4-乙BOM+乙BOC=20°+70°=90°

团ZMON的度数为90。.

(3)NPOQ的大小不变为130。.理由如下:

回，E08=乙COF=110°,乙BOC=70°,

取COE=乙BOF=110°-70°=40°,

••・Z.COE+乙BOF=乙COD+/.DOE+LAOB+Z.AOF=80°,

^Z.AOB+乙COD=40°

团乙。OE+Z.AOF=40°

(3OP平分2E。。，OQ平分£力。尸

0ZDOP+Z-AOQ=*4DOE+Z.AOF)=20°

团NPOQ=Z-DOP+Z-AOQ+Z.AOD=20°+110°=130°

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，角的和差运算，掌握以上知识是解题的关键.

【变式1-1】已知将一副三角尺（直角三角尺。力B和OCD）的两个顶点重合于点O,乙4。8=

90°,"OD=30°

（1）如图1，将三角尺COD绕点。逆时针方向转动,当08恰好平分”OD时,求乙40c的度

数；

（2）如图2,当三角尺OCD摆放在立力08内部时，作射线OM平分上力OC,射线ON平分/B0D,

如果三角尺。CD在乙4。8内绕点。任意转动，4MON的度数是否发生变化？如果不变，求其

值：如果变化，说明理由.

【答案】(1)/-COB=75°；(2)不变.乙MON=60°

【分析】(1)根据OB平分NCOU,求出(3B0C,再用角的和差求0Aoe即可；

(2)根据角平分线的性质，求出自DON和13coM的和是因BOD和回AOC和的一半即可.

【详解】解：(1)•••。3平分4(?。。

乙COB=-Z-COD=-x30°=15°,

22

/-AOC=Z-AOB-乙COB=900—15°=75°；

•••0M平夕》乙40C,ON平分

乙NOD=-Z.BOD,乙COM=-/.AOC

22

11

：•乙MON=乙NOD+乙COD+4COM=-Z.BOD+-^.AOC+乙COD

22

=1(乙BOD+£AOC)+乙COD

乙

=；(440B-乙COD)+乙COD

乙

1

=-x(90°-30°)+30°=60°

【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质，结合角的和差进行计算是

解题关键.

【变式1-2］如图，两条直线4B,CD相交于点。，且乙力OC=90。，射线OM从OB开始绕。点

逆时针方向旋转，速度为15。/5,射线ON同时从0。开始绕。点顺时针方向旋转，速度为

12%.两条射线。M，ON同时运动，运动时间为£秒.(本题出现的角均小于平角)

(2)当0Vt<12时，^iLAOM=3Z,A0N-60°.试求出t的值；

(3)当0vt<6时，探窕丝丝有产上的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样

乙MON

的条件不是定值？

【答案】(1)144%66。；(2)多秒或10秒；(3)当OVtV?时，包二寨土竺£的值是1；

73LMON

%iz10jj.R._L乙BON-Z»C0M+z»40C/♦士-y日-JU,/.I-

当7r〈tVG时，------------的值不是定值.

3乙MON

【分析】(1)根据时间和速度分别计算国30M和团QON的度数，再根据角的和与差可得结论；

(2)分两种情况：①如图所示，当0V匹7.5时，②如图所示，当7.5V/V12时，分别根

据已知条件列等式可得/的值；

(3)分两种情况，分别L算她ON、团COM和团MON的度数，代入可得结论.

【详解】解：(1)由题意得:

当£=2时，

团MON=(38OM+团8OQ+圆。ON=2xl5°+90°+2xl2°=144°,

@AON=SAOD-0DON=9Oo-24<,=66\

故答案为：144°,66°；

(2)当ON与OA重合时，t=904-12=7.5(s)

当。M与。A重合时，t=180°4-15=12(s)

如图所示，①当0<抬7.5时，(MO/V=90°-12f,0AOM=18O°-15r

由(MOM=3MON-60°,可得180-15U3(90-12/)-60,解得t邛,

综上，/的值为3秒或1°秒；

(3)当团MON=180°时，团BOM+团BOQ+团DON=180°,

015r+9O+12r=18O,解得

如图所示，①当0«4时，团COM=90°-15/°,(3BON=93°+12r,

^MON=^BOM+^BOD+^DON=15f+90°+12f,

：，

^ElZ-.B-O-N-—Z.—C-OM-+-£-A-OC90°+12°-(90°-15°)+90°=1（定值）,

4MON15t0+90o+12r

②当与V/V6时，0COM=9O°-15/%鲂。N=90°+12〃,

团MON=360°-(^BOM+^BOD+^DON)=360°-(15/+900+12/)=270o-27/%

yBON-NCOM+NAOC_90。+12尸一（90。-151。）+90。_90。+271（不曰<?值）

LMON_270°-27t°一270。-27俨足且•

综上所述，当OVtV与时，口吁党—的值是1;当当VtV6时，幽f产竺的值

3乙MON3乙MON

不是定值.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的和差关系的计算，解决问题的关键是将

相关的角用含t的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解

题时注意方程思想和分类思、想的灵活运用.

【变式1-3】己知将一副三角板（4108=90。/。。。=30。）如图1摆放，点、O、A、C在

一条直线上.将直角三角板。。。绕点。逆时针方向转动，变化摆放如图位置.

（1）如图1,当点。、A、C在同一条直线上时，Z.BOD=度；如图2,若要08恰

好平分”。0,则N/10C=度；

（2）如图3,当三角板OCZ）摆放在N/1OB内部时，作射线0M平分乙40C,射线ON'F分ZBOO,

如果三角板OCD在乙408内绕点。任意转动，々M0N的度数是否发生变化？如果不变，求其

值；如果变化，说明理由.

（3）当三角板。CD从图1H勺位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线0M平分”0C、

射线ON平分QA0C<180。"。。<180°）,在旋转过程中,（2）中的结论是否保持

不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度。

在什么范围内时NMO/V的度数是多少）.

【答案】（1）60,75；（2%M0N=60。,理由见详解;（3）①当0。<a<180。时，NM0N=60°；

②当a=180°时，4M0N=60°或120°,③当180。VaV240°时，Z.MON=120°；④当

a=240。时，乙M0N=120°或60°；⑤当240。<a<360。时，乙MON=60°

【分析】（1）由题意易得乙。。。=30。//1。8=90。，然后根据角平分线的定义及角的和差

关系可进行求解：

(2)由题意易得NM。。=：乙BOD,乙AOC+乙BOD=90°-Z-COD=60°,

进而可得NMOC+乙NOD=30°,然后问题可求解；

(3)设旋转角度为。，根据题意可得：LCOD=30。/力。8=90°,①当0。<a<180。时，

②当a=180。时，即乙1OC为平角，③当180。<a<240。时，④当a=240。时，贝此BOD=

180°,⑤当240。vav360。时，然后进行分类求解即可.

【详解】解：(1)由题意得：乙C。。=30。,乙4。8=90°,

团N8O0=Z.AOB-乙COD=60°,

团。夕恰好平分〃。。，

0ZBOC=-2ZfOD=15°,

^Z.AOC=Z.AOB-Z.BOC=75°：

故答案为60,75；

(2)ZMON的度数不发生变化，理由如下：

团射线OM平分/AOC,射线ON平分/BOD,

回乙MOC=^AOC,乙NOD=：乙BOD,

回乙。0。=30°,4力08=90。，

^AOC+乙BOD=90°-LCOD=60°,

0ZMOC4-/.NOD=30%

⑦乙MON=乙MOC+乙NOD+乙COD=60°；

(3)设旋转角度为a,根据题意可得：4。。0二30。,乙4。8=90。，

团射线OM平分N40C,射线ON平分NBOD,

(34Moe=；^AOC,乙NOD=g乙BOD,

①当0。VaV180。时,妇图所示：

回乙MON=Z.MOC+乙NOD-乙BOC=楙(90°+zBOC)+:(30°+乙BOC)-乙BOC=6C°,

②当a=180。时，即44。。为平角，可分为:

当点M在OB上，如图所示：

0ZMO/V=^MOD=60°；

当点M在BO的延长线时，加图所示:

③当180。VaV240。时，如图所示:

团2（乙何0。+30。）+乙CUN+乙CON+30。4-90。=360°,

解得：4MOD+4C0N=90。,

(3ZMON=Z.MOD+乙CON+乙DOC=90°+30°=120°；

④当a=240。时，则乙80。=180。，如图所示：

0当ON平分在她。。的左边时，则,MON=60°,当ON平分在加。。的右边时，则乙M0N=

120°；

⑤当240。Va<360。时，如图所示：

(3NMOD=乙COM-30°,/AON=乙BON-90°,

回4MON=LAOD-(乙AON+々MOD)=:(30。-^AOD)+:(90°-LAOD)+Z.AOD=60°.

【点睛】本题主要考查角平分线的定义及平角的意义，熟练掌握角平分线的定义及平角的意

义是解题的关键.

【题型3：角度之间数量关系问题】

【例1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起.

(1)若0DCE=35°,0ACB=°；

(2)猜想：①回ACE与配CD的大小有何关系？②回ACB与回DCE的大小有何关系？并分别说

明埋由；

(3)若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C

按逆时针方向任意转动一个角度(3BCD.设(3BCD=a(00<a<90°),

①0ACB能否是I3DCE的4倍?若能求出a的值;若不能说明理由,

②三角尺ACD转动中，邸CD每秒转动3。，当国DCE=21。时，转动了多少秒？

【答案】(1)145;(2)①(3ACEWBCD,见解析,(2)0ACB+{3DCE=18OO,见解析；(3)①能，

54°,②23秒

【分析】(1)由十是两直角三角形板重叠，重叠的部分就比®ACD+I2ECB减少的部分，所以若

回DCE=35°,贝IJ1MCB的度数为180°-350=145°；

(2)①利用同角的余角相等，即可求解；

②由H3ACD=0ECB=9O。，重叠的度数就是既CD的度数，所以团ACB+SDCE=180。；

(3)①当团ACB是团DCE的4倍，设0ACB=4x,0DCE=x,利用(3ACB与mDCE互补得出即可；

②设当团DCE=21。时，转动了t秒，根据团BCD+I3DCE=9O。，列方程可得结论.

【详解】(1)00ACD=0ECB=9O°,0DCE=35°,

霍ACB=180°-35°=145°,

故答案为：145：

(2)①0ACEM3BCD,

0[3ACE+0ECD=0BCD+0ECD=9O<,,

能ACEWBCD；

@0ACB+0DCE=18O%

理由：00ACE+0ECD+{3DCB+0ECD=18OO.

@ACE+@ECD+(3DCB=(3ACB,

团国ACB+团DCE=180°,即团ACB与团DCE互补；

(3)①当0ACB是E1DCE的4倍,

团设团ACB=4x,0DCE=x,

团［3ACB+mDCE=180°,

04x+x=18O°,

解得：x=36°,

0a=90o-36o=54°；

②设当13DCE=21。时，转动了t秒,

00BCD+0DCE=9O\

03t+21=9O°,

t=23°,

答：当团DCE=21。时，转动了23秒.

【点睛】本题主要考查了互补、互余的定义，一元一次方程的应用等知识，解决本题的关键

是理解重叠的部分实质是两个角的重叠.

【变式1-1】已知。是直线力8上的一点，△。。0=90。,。£平分NBOC.

⑴如图1,射线0C,。。在直线4B的同侧.

①若N/IOC=28°,zDOF=；^Z,AOC=32°,4DOE=度；

②猜想〃。C与乙DOE之间的数量关系；

③若乙40C=30。,乙80C的内部有一射线0G,射线0G将4BOC分为104两部分，求ND0G的

度数；

⑵如图2,射线。。,。0在直线48的异侧，判断乙4OC与乙DOE之间的数量关系与②中的是否

相同，并说明理由.

【答案】⑴①14。；16°；②44OC=2/OOE；③60。或30°

(2)相同，理由见解析

【分析】(1)①先求出NB0C=152°,根据0E平分，80C得至比COE=76。，即可得到/DOE=

乙COD-“OE=14°,同埋可得当NAOC=32。时，乙DOE=16°：

②猜想N40C=2^D0E,根据NBOC=180°-Z-AOC,OE平分NBOC即可得至IJNCOE=

乙BOE=90°—：乙AOC,由4。。。=90°,得至U/DOE=:4力0。，猜想得证.

③分OG在OD左侧和OG在OD右侧两种情况，分别进行求解即可；

(2)根据乙80c=180。一乙AOC,0E平分ZB0C即可得至ljNCOE=zBOE=90°-gzAOC,

由4。。。二90。，得到NDOE=1N40C,结论得证.

本题考查角度的计算，主要涉及角平分线，垂直，邻补角的相关知识，计算过程中注意合理

利用已知条件，利用角的和差来求解要求的角.

【详解】(1)解:①配AOC=28。，

配BOC=180°-LAOC=152°,

团0E平分480C.

^COE=乙BOE=-^-BOC=76°

2

团乙COO=90°,

团4DOE=乙COD-乙COE=90°-76°=14°,

团24OC=32。，

团NBOC=180°-^AOC=148°,

(30E平分NBOC.

团，COE=乙BOE=-LBOC=74°

2

0Z.COD=90°,

^DOE=乙COD-乙COE=90°-74°=16°,

故答案为：14。；16°.

②猜想乙力。C=2Z.DOE,

证明：0ZFOC=180°-/.AOC,OE平分480C.

0ZCOE=Z.BOE=^BOC=^180°-AAOC)=90。一：44。。，

0ZCOD=90°,

0ZDOF=乙COD-乙COE=90°-(90°一(/AOC)=^AAOC,

即NJAOC=2Z-DOE.

③如图，当OG在。。左侧时，乙COG=%BOG,

0Z/4OC=30°,

团/BOC=180°-^AOC=150°,

因“OG=2。。=30°,

0ZCOD=90°,

^DOG=乙COD-乙COG=90°-30°=60°,

如图，当在。右彳则时,

OG0Z.BOG=-4z.BOC,

^AOC=30°,

13480c=180°-Z,AOC=150°,

4

0ZCOG=^Z-BOC=120°.

团4COO=90。，

团/DOG=乙COG-乙COD=120°-90°=30°,

综上可知，/DOG的度数为60。或30。；

(2)乙力OC与/DOE之间的数量关系与②中的相同，BPMOC=2/-DOE,

理由如下：

团乙BOC=180°-Z,AOC,OE平分4BOC.

^/COF.=/ROE==1(1RO°-/40r)=90°-\/AOC,

^Z-DOE=Z.COD-乙COE=90°-(90°-1z/10C)=*0C,

即匕力OC=24OOE.

【变式1-2］已知m(用=水7。。=90。，OE平分团BOC.

E

⑴如图，若0AOC=3O。，则皿）0E的度数是；（直接写出答案）

⑵将（1）中的条件他40。=30。〃改为他40c是锐角〃，猜想团。。£与财。。的关系，并说明

理由；

⑶若M0C是钝角，请先画出图形，再探索（3OOE与财OC之间的数量关系.（不用写探索过

程，将结论直接写在你画的图的下面）

【答案】⑴60。

（2）£DOE=45°+^AOC,理由见解析

（3）0AC）C+20DC>E=27Oo^2[3DC>E-（MOC=9Oo^a4OC+2[3ZX）E=45OonJca4OC-20DOE=9Oo

【分析】（1）先求出团80c的度数，即可利用角平分线的定义求出团COE的度数，由此即可

得到答案；

<2）同（1）求解即可；

（3）分当。。在财。8内部和当0。在团4。4外部两种情况画出图形求解即可.

【详解】（1）解：幽408=90°,040030°,

物BOC=GMOB通40060°,

OOE平分团80C,

00COE=0BOE=3O°,

回团COQ=9（T,

^DOE=^COD-^COE=60°,

故答案为：60。

（2）解：4D0E=45°+g乙40c,理由如下：

盟A08=90°,

W3()C=^AOB-^AOC=9Q0-MOC

团0E平分团BOC,

团4COE=Z-BOE=^(90°-Z.AOC)=45°-1Z.AOC

团团CO£)=90°,

团4OOE=乙COD-乙COE=90°-45°+-z/10C=45o+-^AOC

22

(3)解：如图3-1所示，当OD在财OB内部时，

(3OE平分鲂。C,

WOC=2^BOE=2^COE,

豳AO乐团COD=90°,

团财OC=a4O4+团8。。=900+2团COE,团。。氏团C。。-团CO£=90°-用CO£,

团财0。+2团。OE=900+2团COE+1800-2(3COE=270°；

如图3-2所示，当。。在MOB外部时，

同理可以求出财OC=MO8+团8OC=900+2回COE,回。0代@。0。+团。。£>90°+回COE,

团2团。。6财0。=1800+2团COE-900-2团C。/=90°；

如图3-3所示，当。£>在MOB外部时，

同理可以求出0AOC=36O°4MO8-团8。0270°-2[3。。£团。。氏90°+13coE,

00AOC+20D<7£=27OO-20CO£+18OO+20CC；£=45OO；

图3-3

如图3-4所示，当。。在MOB外部时，

同理可以求出财OC=270°-2团COE,WOE=90°^COE,

回财。C-2团DOE=90°；

综上所述，M0C+2回。。氏270°或2团。。E-财0090°或由10。+2囱。。氏450°或

刖0。-2回。0£=90°.

图3《

【点睛】本题主要考渣了几何中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意利用数形结合

和分类讨论的思想求解是解题的关键.

【变式1-3］如图，已知乙408=150。，将一个直角三角形纸片亿。=90。）的一个顶点放在

点。处，现将三角形纸片绕点。任意转动，0M平分斜边0C与。人的夹角，ON平分工BOD.

（1）将三角形纸片绕点。转动（三角形纸片始终保持在乙4。8的内部），若/。。。=30°,则

Z.MON=；

（2）将三角形纸片绕点。转动（三角形纸片始终保持在乙40B的内部），若射线0D恰好平分

乙MON,若乙MON=8乙COD,求NCOD的度数；

（3）将三角形纸片绕点。从0C与0A重合位置逆时针转到。。与。力重合的位置，猜想在转动

过程中NC。。和4M0N的数量关系？并说明理由.

N

备用图

【答案】(1)90°；(2)ZCOD=10°；(3)乙MON=：匕COD+75。,证明见解析

【分析】(1)利用角平分线定义得出乙40M=zlMOC=，乙4OC=%,乙BON=々DON=

;(BOD=y,再利用团AOB的和差关系进行列方程即可求解；

(2)利用ZMON=8"。。，表达出(3AOC、0BOD,利用(3AOB的和差关系进行列方程即可

求解；

(3)画出图形后利用角的和差关系进行计算求解即可.

【详解】解：(1)团0M平分斜边0C与。4的夹角，ON平分480D.

0OM平分团AOC,ON平分回BOD

团设/40M=Z.MOC=-Z.AOC=x/BON=乙DON=-LBOD=y

22

^AOC=2x,^BOD=2y,乙MON=乙MOC十乙COD+乙DON=x+30n+y

团乙AOB=Z.AOC+乙BOD+乙COD=2x+30°+2y=150°

(2)x+y=60°

0ZMO/V=x+30°+y=90°

故答案为：90。

(2)团/MON=8乙COD

团设4COO=a,NMO/V=8Q

团射线0D恰好平方4MON

(3zJ)OM=乙DON=三乙MON=4a,

l3z_COM=乙DOM—Z.COD=4a—a=3a,

(3OM平分斜边OC与。4的夹角，ON平分乙8。2

0OM平分回AOC,ON平分回BOD

团440M=Z.MOC=^AOC=3a/BON=乙DON=g4B。。=4a

0Z/4OC=6a/BOD=8a

回匕AOB=Z.AOC4-乙BOD+乙COD=6。+a+8。=150°

跳i=10°

团乙COD=10°

(3)乙MON=^AOC+750,证明如下：

当OC与OA重合时，设l3COD=x，则4BOO=Z.AOB-乙COD=150°-Z.COD=1500-x

团ON平分EIBOD

^DON=-^BOD=75°--x

22

国4MON=乙COD+乙DON

=%+75。一，

2

=75。+3

2

⑦乙MON=75°+-zCOD

2

当OC在OA的左侧时

设回AOD=a,回AOC=b,则团BODWAOB-0AOD=15O0-a,0COD=0AOD+0AOC=a+b

0ON平分团BOD

⑦4DON=-2Z,BOD2=75°--a

HOM平分(3AOC

0Z/1OM=/.COM=-2Z-AOC=-2b

00MON=[?]MOA+[?IAOD+[?)DON

="+。+75。一/

22

=-2b+-2a+75°

=ZOO+75。

2

当OD与OA重合时

0ON平分0A0B

团4AON=g4A08=75°

0OM平分13Aoe

团4MON=2zL40c

2

回/MON=乙MOD+乙AON

=力。。+75°

2

综上所述乙MON=^AOC+75°

【点睛】本题考查了角平分线的动态问题，掌握角平分线的性质是解题的关键.

【题型4：存在性问题】

【例1】已知：如图1,点4、0、8依次在度线MN上，现将射线0A绕点0沿顺时针方向以

每秒3°的速度旋转，同时射线。8绕点。沿进时针方向以每秒6°的速度前转，如图2,设旋转

时间为t（0秒WCW60秒）.

（1）用含t的代数式表示下列各角的度数：^MOA=,乙N0B=.

（2）在运动过程中,当0秒Kt£30秒时,乙4。8达到45°,求t的值.

（3）在旋转过程中是否存在这样的t,使得射线。8是由射线。M.射线04、射线。N中的其

中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；

如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）336t或360-6t；（2）t为15秒或25秒时,0AOB=45°；（3）存在,t的值分

别为12、15、24、45秒.

【分析】（1）姐OM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，当旋转度数小于180。时，0NOB

的度数等于OB旋转速度乘以旋转时间，当旋转度数大于180。时，回NOB的度数等于360°-OB

旋转速度乘以旋转时间；

（2）分OA,0B相遇前和相遇后两种情况讨论，列方程求解即可；

（3）分0B平分0AoM时,0B平分13MoN时,0B平分BAON时三种情况讨论即可.

【详解】解:（1）0MOA=3t,l3NOB=6t或360-63

故答案为：336t或360-6t；

（2）若OA,0B相遇前，0AOB=45°,

团3t+6t+45°=180°,

0t=15s

若OA,OB相遇后,0AOB=45°,

03t+6t-45°=18O%

0t=25s

团t为15秒或25秒时，回AOB=45°；

（3）射线0B是由射线0M、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三

种情况：

①0B平分团AOM时，

=乙BOM,

0|t=180-63

解得：t=24；

②OB平分团MON时.，

团4BOM=之4MON,BP0BOM=9O\

136t=90,或6t-180=90,

解得：t=15,或t=45；

③OB平分回AON时，

团乙BON=-Z.AON,

2

06t=1（18O-3t）,

解得：t=12；

综上，当t的值分别为12、15、24、45秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON

中的其中两条组成的角的平分线.

【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线性质的运用，一元一次方程的应用.OB为角平

分线时分类讨论是解题的关键和难点.

【变式1-1］如图：已知（3似ON=90。，射线OA绕点。从射线OM位置开始按顺时针方向以

每秒4。的速度旋转，同时射线08绕点。从射线ON位置开始按逆时针方向以每秒6。的速度

旋转，设旋转时间为1秒（04任30）.

（1）用含，的代数式表示团MOA的度数：

（2）在运动过程中，当朋。8第二次达到60。时，求f的值；

（3）射线OA,08在旋转过程中是否存在这样的使得射线OB是由射线OM,射线0A,

射线OV中的其中两条组成的角（指大于0。而不超过180。的角）的平分线？如果存在，请直

备用图

【答案】（1）回“。4=4〃；（2）/=15秒时，（MO8第二次达到60。；（3）存在，/的值分别为:、

4

M:秒，理由见解析.

2o

【分析】（1）[3AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，0NOB的度数等于OB旋转速度

乘以旋转时间;

（2）当国AOB第二次达到60。时，射线OB在OA的左侧.根据0AOM+0BON-团MON=60。列方

程求解可得;

（3）射线OB是由射线。M、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情

况：①0B两次平分0AOM时、根据扣A0MWB0M,列方程求解，②0B两次平分团MON时,

根据用B0M=#）M0N,列方程求解，③0B平分团AON时，根据mBON=g汕ON,列方程求解.

0MOA=4t,0NOB=6t或180°-6t；

(2)如图，

V

B

Si---*------。

图2

根据题意知:0AoM=430BON=6t,

当I3A0B第二次达到60°时，0AOM+0BON-0MON=6O°,

BP4t+6t-90°=60°,解得：t=15,

故t=15秒时，0AOB第二次达到60°；

（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三

种情况:

①0B平分团A0M时，吟3AoM=（3BOM,

（g|x4t=90-6t,

解得：t=f；

4

②0B平分ISMON时，兆1BOM李MON,即团BOM=45°,

06t=45,

解得：t=T：

③OB平，｝[3AON时，00BON=^0AON,

06t4<90-4t）,

2

解得：t吟；

o

综上，当t的值分别为?、?、?秒时，射线0B是由射线0M、射线。A、射线ON中的其

中两条组成的角的平分线.

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算和角平分线性质的运用，0B为角平

分线时分类讨论是解题的关键和难点.

【变式1-2】如图1,点A,O,8依次在直线MN上，将射线绕点O沿顺时针方向以每

秒15。的速度旋转，同时射线08绕点0沿顺时针方向以每秒5。的速度旋转(如图2),设旋