计数原理（考点清单知识导图+11个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期（湘教版选择性必修第一册）原卷版

清单04计数原理

（11个考点梳理+题型解读+提升训练）

eaaahHiM

【清单01】分类加法计数原理（也称加法原理）

1.分类加法计数原理：

完成一件事，有〃类办法.在第1类办法中有吗种不同方法，在第2类办法中有.%种不同的方法,……，在第

〃类办法中有〃?“种不同方法，那么完成这件事共有汽=仍+加2+-+/〃“种不同的方法.

2.加法原理的特点是：

①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；

②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；

③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数.

【清单02】分步乘法计数原理

1.分步乘法计数原理

“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要

完成这件事必须并且只需连续完成这n个步煤后，这件事才算完成.

2.乘法原理的特点：

①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可;

②完成每一步有若干种方法；

③把每•步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.

【清单03】分类计数原理和分步计数原理的应用

利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：

（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？

（2）然后考虑如何完成？主要有三种类型

①分类或分步。

②先分类，再在每•类里再分步。

③先分步，再在每一步里再分类，等等。

（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？

【清单04】排列的定义：

一般地，从n个不同的元素中取出m（mgn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中

取出m个元素的一个排列.

（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列

（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.

（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m

个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.

【清单05】1.排列数的定义

从〃个不同元素中，任取〃?（加工〃）个元素的所有排列的个数叫做从〃个元素中取出〃I元素的排列

数，用符号表示.

“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m<n）个元素，按

照一定的顺序排成一列''，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；

2.排列数公式

（/?-/«+1）,其中n,m£N+,且m$n.

【清单06】组合数公式：

（1）C=-^-=———----；--------（/"、neN+,且〃

"A7加！

n\

⑵玛=m、"wN.,且m<n)

，〃!(〃-m)!

【清单。7】组合数的性质

性质1：C；：=CL("I、且〃?W〃)

性质2：C；L+C：T(m、八”,且mW〃)

【清单08】组合问题常见题型

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：

“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去

选取.

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：

解这类题必须卜分重视“至少”与“最多''这两个关键词的含义，建防重复与漏解.用直接法和间接法都可

以求解，但通常用直接法分类复杂时.，考虑逆向思维，用间接法处理.

(3)分堆问题

平分到指定位置

①平均分堆，其分法数为:

堆数的阶乘

分到指定位置

②分堆但不平均，其分法数为

相同数量的堆数阶乘之积

(4)定序问题.

对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序

元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列.

(5)相同元素分组问题用“隔板法”：

【清单09】二项式定理

一般地，对于任意正整数〃，都有：

(a+b)n=C^an+C>"-"+…+C；,an-rbr+•••+C,\bn(〃6N"),

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(。+人)”的二项展开式。

式中的优一7,做二项展开式的通项，用T用表示，即通项为展开式的第什1项：72=a(广”，

其中的系数C：(r=0,I,2,…，n)叫做二项式系数

【清单10］二项展开式的通项公式

二项展开式的通项:

rr

(+1=Cna''b'(r=0,1,2,…,〃)

公式特点：

①它表示二项展开式的第什1项，该项的二项式系数是C；；

②字母b的次数和组合数的上标相同；

【清单11】二项式系数及其性质

1.(〃+切〃的展开式中各项的二项式系数c；、c；、c；…c具有如下性质：

①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C：=C，r；

②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，

n

当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数C,，最大：当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式

H-lW4-1

系数c7，相等，且最大.

③各二项式系数之和为2"，即《+C；+C;+C：+G：++C：：=2"；

④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等卜各偶数项的二项式系数之和，

即.+a+C：+••.=C：++盘+••.=2〃T。

2,(a+b+c)”展开式中。陟，的系数求法(N0的整数且〃+q+r=〃)

(a+b+c)n=[(a+b)+cY=C：(a+b)Ec，=C：C3dLr3c，

击型循学

【考点题型一】分类加法计数原理

技巧：1.分类加法计数原理：

完成一件事,有八类办法.在第1类办法中有叫种不同方法，在第2类办法中有〃种不同的方法,……,在第〃

类办法中有机〃种不同方法.那么完成这件事共有N=g+%+…+〃?“种不同的方法.

2.加法原理的特点是：

①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；

②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；

③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数.

I］书架上有10本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出I本阅读，则

不同的选法共有（）

A.9种B.10种C.19种D.90种

【变式1-1】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同

的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（）

A.3B.8C.12D.18

【变式1-2］2160的不同正因数个数为（）

A.42B.40C.36D.30

【变式1-3］从A地到区地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次,

轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（）

A.3B.9C.24D.以上都不对

【变式1-4】某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀才I员10人,三班有优秀团员6人，学校组

织他们去参观某爱国主义教育基地.推选1名优秀团员为总负责人，不同的选法种数是（）

A.480B.24C.14D.18

【考点题型二】分步乘法计数原理

技巧:1.分步乘法计数原理

“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，

要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成.

2.乘法原理的特点：

①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；

②完成每一步有若干种方法；

③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.

【例2】甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两

人听同一个讲座的种数为（）

A.6B.12C.18D.24

【变式2-1］从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（）

A.37B.73C.21D.210

【变式2-2】如图，无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出4种不同颜色

的光，1至5号的无人机颜色必须相同，6、7号无人机颜色必须相同，8号无人机与其他无人机颜色均不相

同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.

①

A.48B.12C.18D.36

【变式2-3】编号为1,2,3,4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1,2,3,4的四个门，若

规定编号为1，2,3,4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入

博物馆的方法种数为（）

A.12B.16C.81D.256

【变式2-4］现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方

法共有（）种

A.10B.20C.30D.60

【考点题型三】涂色问题

技巧：涂色问题分步（乘法）、分类（加法）处理：尽可能多的找两两相邻的区域，因为这些区域颜色各不相同，

按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。

【例3】用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至

少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（）

OOOOO

A.25B.630C.605D.580

【变式3-1】用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用

同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）

A.120种B.720种C.840种D.960种

【变式3-2］如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在

提供5种颜色给其中5个小区域深色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色

方案种数为（）

A.120B.26

C.340D.420

【变式3-3】如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个

展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有().

C.360种D.420种

【变式3-4］如图，用四种不同颜色给矩形A、3、C、。涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂

B.24种C.48种D.72种

【考点题型四】数字排位问题

技巧：某个或某几个元素要或不要排在指定位置，可先排这个或这几个元素，再排其他的元素（元素

代先法）；也可针对特殊元素，先把指定位置安排好元素，再排其他的元素（位置化先法）.

【例4】用数字0,1,2,3,4,5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（）

A.76B.38C.36D.30

【变式4-1】用0,I,2,3,4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有（）

A.48个B.24个C.18个D.12个

【变式4-2】由数字1,2,3,4构成的三位数有（）

A.4?个B.3,个C.4x3x2个D.1x2x3个

【变式4-3】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中比4000大的偶数共有（）

A.48个B.56个

C.60个D.72个

【变式4-4】用。〜9这10个数字，可以组成个没有重狂数字的三位偶数()

A.720B.648C.320D.328

【考点题型五】与排列组合数有关的运算

技巧：排列数公式

A：=〃(〃一1)(〃一2)(〃一〃?+1),其中n,m<=N+,且mSn.

排列数公式的阶乘式:

/:•(/?-1)•(〃-2)-(n-m+\)(n-m)-•21nlnl

A：=〃5-1)(〃-2)(/?-/??+1)=所以A：二

fn-~(77-〃7)!’

Am(〃-〃2+1)

C"'H=—▲tn（阳、,且m工〃）

F77TT

〃!

3=不彳(机、〃$M,且m<n)

【例5】若知=人；+人：+抬++A第，则例的个位数字是（)

A.3B.8C.0D.5

【变式5-1】A：2—A：o的值是（）

A.480B.520C.600D.1320

【变式5-2】20x21x22x23x24表示为)

A.B.A：4C.D.

【变式5-3】化简生+工工+显+~+「2425

〜结果为（)

1x22x33x425x2626x27

2627

A,^6D2-272-27227-28

D.-------------------C.D.

650650702702

【变式5-4］若C：-C：=0,则C：的值为（）

A.12B.14C.16D.18

【考点题型六］分组分配问题

技巧：相同小球放入不同盒中，即〃个相同元素分成加组（每组的任务不同）的问题.

I：当每组至少含一个元素时，其不同分组分式有N=C：［：种，即给几个元素中间的（〃-1）个空隙中插入

—1）个隔板.

II：任意分组，可出现某些组含。个元素的情况，其不同分组分式有N=C'二二种，即将〃个元索与（加-1）

个相同隔板进行排序，在伍+"-1）个位置中选仿L1）个隔板

【例612024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往

村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，

则不同的安排方法种数为（）

A.900B.600C.450D.150

【变式6-1】某景区新开通了AB,C3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，

每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且甲不体验A项目，则

不同的体验方法共有（）

A.12种B.18种

C.24种D.30种

【变式6-2】某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中1班有2个志愿者队

长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有

（）种分配方法.

A.90B.60C.126D.120

【变式6-3】2026年9月我校组织120年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A、B、C、。等4个任务.每

人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（）

A.20种B.36种C.24种D.18种

【变式6-4】为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学

校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法

数有（）

A.1440种B.240种C.216种D.120种

【考点题型七】相邻与不相邻问题捆绑插孔法

技巧：相邻问题

1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在

一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.

2、解题步骤：

第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数

第二步：求出其余元素的排列种数

第三步：求出总的排列种数

不相邻问题

1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻

的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可

2.解题步骤：

①先考虑不受限制的元素的排列种数

②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数

③求出总的排列种数

【例7】为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》

《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进咛排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起

来》相邻,则不同的排列种数为（）

A.6B.12C.16D.20

【变式7-1】4仇。,。,£五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（）

A.48B.24C.20D.16

【变式7-2】将0,1,2,10四个数字排成一行，可以组成不同的5位数的个数是（）

A.6B.12C.15D.18

【变式7-3】用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字I和4相邻，则这样的六位数的

个数为（）

A.192B.240C.360D.720

【变式7-4】四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生6相邻，

则不同排法的种数有（）

A.288种B.144种C.96种D.72种

【考点题型八】定序问题

技巧：定序问题作倍缩放：将题干给定的总数〃都看成某一个独立的个体（不相同的），进行全排列故

为出：,其次再将有顺序要求的〃?个元素进行全排列A7个，其中满足要求的顺序必为1个，则总的情况数

【例8】2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天.某单位安排7位员工值班，每人值班1

天，每天安排1人.若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的

安排方案共有（）

A.1440种B.1360种

C.1282种D.1128种

【变式8-1】将字母〃，b,c,d,e,一排成一排，其中〃必须在〃的左边，则不同的安排方法种数为（）

A.260B.300C.360D.380

【变式8-2】《志愿军：存亡之战》和《浴火之路》是2024年国庆档的热门电影.某电影院在国庆节的白天、

晚上分别可以放映5场和3场电影，若上述两部影片只放映一次，且不能都在白天放映，则安排放映这两

部电影不同的方式共有（）

A.17种B.32种C.34种D.36种

【变式8-3】将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）

分别排在第4、3位,则分成的两组中甲不是所在绢最矮的日乙不是所在组最高的的分组方式共有（）种.

A.4B.5C.6D.8

【变式8-4】甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（）

A.36种B.72种C.144种D.288种

【考点题型九】根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）

技巧：二项展开式的通项：乙=。"”（厂=0,12…/）

公式特点：①它表示二项展开式的第一1项，该项的二项式系数是C：；

②字母b的次数和组合数的上标相同；

（1

【例9】在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64,则展开式的项数是（）

A.7B.8C.9D.10

IV

【变式9-1】已知任+力1X--的展开式中所有项的系数之和为3,则展开式中的常数项为（）

X）

A.-60B.100C.-260D.380

【变式9-2】已知二项式，五十七］（。＞0）的展开式奇数项的二项式系数和为256,展开式中/项的系数

为84,则。的值为（）

A.1B.—C.2D.一

42

【变式9-3］若g+xj的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为()

A.第3项B.第4