计数原理（易错必刷50题10种题型）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点复习（湘教版选择性必修第一册）原卷版及全解全析

专题04计数原理（易错必刷50题10种题型专项训练）

题型一分类加法计数原理题型二分步乘法计数原理

题型三涂色问题题型四数字排位问题

题型五与排列组合数有关的运算题型六分组分配问题

题型七相邻与不相邻问题捆绑插孔法题型八定序问题

题型九根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）题型十利用赋值法进行求有关系数和

题型一分类加法计数原理

1.（23-24高二下.广西玉林.期末）某校有5名学生参加数学竞赛，要求必须有人参加比赛，其中2名学生

必须同时参加或同时不参加，其他学生可以独立决定是否参加，求不同的参赛组合数（）.

A.10种B.15种

C.20种D.25种

2.（23-24高二下•甘肃白银•期末）从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女

生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有（）种.

A.23B.22C.24D.26

3.（23-24高二下•河南漂河.期末）现有包含AB两本书的六本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，要求每人

至少一本，其中AB两本书被分给甲的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

12245422

4.123-24高二下•天津西青•期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，

小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（）

A.2+3+2=7B.1+1+1=3C.2x3x2=12D.（23）2=64

5.（23-24高二下•北京海淀•期木）将分别写有2,0,2,4的四张R片，按一定次序排成一行组成一个四位

数（首位不为0）,则组成的不同四位数的个数为（）

A.9B.12C.18D.24

题型二分步乘法计数原理

6.（23-24高二下.新疆・期末）1（）人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站

法种数为（）

A.A；A：B.A；A；

C.A；A；D.A；A：

7.（23-24高二下•贵州黔南•期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独

山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少

数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安

排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（）

A.A；A%B.A沁C.A＞；2D.A%A；；

8.（23-24高二下.黑龙江哈尔滨.期末）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难

求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰

有三人在同一区域的不同座位方式共有（）

A.30种B.60种C.120种D.24种

9.（23-24高二下•贵州安顺・期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需

要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（）

A.21种B.27种C.30种D.42种

10.（23-24高二下.广西桂林.期末）从I,3,5,7中任取2个数字，从2,4中任取1个数字，可以组成没

有重复数字的三位数的个数是（）

A.8B.12C.18D.72

题型三涂色问题

11.（23・24高二下•重庆・期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模

最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会

在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构

成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5

种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（）

A.120种B.360种C.420种D.540种

12.（23-24高二下.山东青岛・期末）我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”,

亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件A="相邻区域颜色不同”,

事件8=”区域1和3颜色相同”，则尸（例人）=（）

13.（23-24面二下•广东清远•期末）现要对三棱柱ABC-4&G的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择,

要求同一条棱的两个顶点濒色不一样，则不同的涂色方案有（）

A.264种B.216种C.192种D.144种

14.（23-24高二下.四川凉山.期末）用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、。、D涂色,

要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）

A.14种B.16种C.20种D.18种

15.（23-24高二下.黑龙江哈尔滨•期中）如图，给ABCDEF六个点、涂色,现有五种不同的颜色可供选用，要

求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）种.

C.2160D.3360

题型四数字排位问题

16.（23-24高二下•江苏徐州・期末）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（）

A.48B.60C.96D.120

17.（23-24高二下•四川攀枝花•期末）由。，2,3这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排

法种数为（）

A.10B.12C.18D.24

18.（23-24高二下•云南曲靖・期末）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可

以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适

当的方式全部放入表格匚口□中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的

19.（23-24高二卜•吉林通化•期末）从由数字04,2,3,4组成没有重复数字的九位数中任取一个，则取到数字

1和2相邻的五位数的概率为（）

A.-B.1C.-D.-

2484

20.（23-24高二下•湖北.期末）从数字（M23,4中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（）

A.52个B.64个C.66个D.70个

题型五与排列组合数有关的运算

21.（23-24高二下•新疆•期末）C；+3!=（）

A.6B.7C.8D.9

22.（23-24高二下•河南郑州•期末）不等式3A：K2A3+6A；的解集为（）

A.{3,4,5}B.{3,4,5,6}C.{xl3<x<5}D.{x|3<x<6}

23.（23-24高二下.湖北.期末）下列等式不正确的是（）

A.C；°=C：oB.义=2C.6A；=A：D.A：=C：.A；

24.（23-24高二下•吉林通化•期末）若A；=A：,则〃?=（）

A.6B.5C.4D.3

25.（22-23高二下•河南郑州•期末）下列各式中与不学写的是（）

5+1)!

AB.c.c："+c：D.

A・J+lA，”〃一，〃）!加

题型六分组分配问题

26.（23-24高二下•山东荷泽•期末）已知袋中有标记为1,2,3,4的卡片各一张,每次从中取出一张,记

下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（）

1「15-75n243

242565121024

27.（23-24高二下•陕西渭南•期末）2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生

和2名护士，分配方法共有（）

A.10种B.12种C.14种D.16种

28.（23-24高二下•天津南开•期末）为丰富同学们的劳动体验，漕强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最

伟大，高二年级在社会实践期间开展“打境作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目.某宿

舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项归，且每个项目至多三人参加，则这8个人

中至多有1人参加“打境作畦”的不同参加方法数为（）

A.2730B.10080C.20160D.40320

29.（23-24高二下•山东枣庄•期末）将座位号为1,2,3,4的四张电影票分给甲、乙两人,每人至少一张.

若分给同一•人多张票，则必须连号，那么不同的分法种数为（）

A.6B.9C.14D.20

30.（23-24高二下.四川成都.期末）某市人民政府新招聘进5名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医

疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，若教育部门必须安排2人，其余部门各安排1人，则不同的方

案数为（）

A.52B.60C.72D.360

题型七相邻与不相邻问题捆绑括孔法

31.（23-24高二下•青海・期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为

（）

A.—B.—C.—D.—

18153090

32.（23-24高二下.内蒙古.期末）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机

摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

33.（23-24高二下•山东临沂•期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、

乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（）

A.24B.36C.40D.48

34.（23-24高二下•青海西宁・期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南

方的ABCD,E,F六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要

求B,C相邻，A与。不相邻，则不同的排队方法种数为（）

A.36B.72C.144D.288

35.（23-24高二下•新疆・期末）一场文艺汇演中共有2个小品节目、2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要

求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第•个表演，则不同的演出顺序共有（）

A.480种B.1200种C.2400种D.5040种

题型八定序问题

36.（23-24高二下•贵州黔东南•期末）学校计划派甲、乙、丙、「4名学生参加周六、周口的公益活动，每

名学牛选择一天参加公益活动.若甲、乙不在同一天参加公益活动•则不同的参加公益活动的方法共有（）

A.4种B.6种C.8种D.16种

37.（23-24高二下•海南海口•期末）某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划）,

以“为国选才育才''为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专

门培养，为国家重大战略领域输送后备人才.某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围

该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）.甲和乙去询问成

绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军“，对乙说：“你当然不会是最差的“从这两个回答分析，

5人的名次排列可能有多少种不同情况有（）

A.48种B.54种C.60种D.72种

38.（23-24高二下,山西太原・期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天

员乘组胜利会师“天宫”随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每

个乘组有一名指令氐拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数

为（）

A.24B.48C.360D.720

39.（23・24高二下•黑龙江齐齐哈尔•期末）现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的

排法种数为（）

A.216B.240C.432D.720

40.（23-24高二下.北京通州.期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从A,B,

C,。，E,/这6名员_E中选出4人，安排在4道_11序上工作（每道_£序安排一人），如果员_1_A不能安

排在第四道工序，则不同的安排方法共有（）

A.360种B.300种C.180种D.120种

题型九根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）

41.（23-24高二下•广东广州・期木）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项

为（）

A.160B.20C.-160D.-112（）

42.（23-24高二下•河南开封•期末）已知（1+x）”的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的

二项式系数是（）

A.21B.42C.84D.168

43.（23-24高二下.北京海淀・期末）*-1）5的展开式中，所有二项式的系数和为（）

A.0B.25C.1D.26

44.（23-24高二下.黑龙江齐齐哈尔.期末）已知的展开式的各二项式系数和为128,且产的系数

为280,则4=（）

A.1B.2C.±1D.±2

45.（23-24高一下•广西•期末）若丘一叼的展开式中一项式系数最大的项仅有第6项，则偿—时展

开式中的常数项为（）

A.第4项B.第5项

C.第6项D.第7项

题型十利用赋值法进行求有关系数和

46.（23-24高二下.陕西榆林.阶段练习）已知二项式卜+2）的展开式中，所有项的二项式系数之和为。,

各项的系数之和为〃，a+b=275.

（1）求〃的值:

（2）求展开式中./的系数.

24

47.（23-24高二下•河南郑州.期末）已知二项式（〃eNJ的二项展开式中二项式系数之和为256.

(1)求展开式中/的系数；

(2)求展开式中所有的有理项.

48.(23-24高二下•河北石家庄•期末)已知/5)=(21-3)”展开式的二项式系数和为512,且

(2A-3)0=%+4(x-+…+•

⑴求知的值：

(2)求%+生+/+…+。”的值；

(3)求4+2a2+3%+L+nan的值.

49.(23-24高二下.四川眉山•期末)已知(x+：)"(〃eN.)的展开式中所有的二项式系数之和为64.

X-

⑴求n的值：

⑵求该展开式的常数项.

50.(23-24高二下.福建南平.期末)已知®7+3/)”的展开式中，二项式系数和为64.

⑴求展开式中各项系数的和；

⑵求展开式中含f的项.

专题04计数原理（易错必刷50题10种题型专项训练）

题型一分类加法计数原理题型二分步乘法计数原理

题型三涂色问题题型四数字排位问题

题型五与排列组合数有关的运算题型六分组分配问题

题型七相邻与不相邻问题捆绑插孔法题型八定序问题

题型九根求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）题型十利用赋值法进行求有关系数和

题型一分类加法计数原理

1.（23-24高二下.广西玉林.期末）某校有5名学生参加数学竞赛，要求必须有人参加比赛，其中2名学生

必须同时参加或同时不参加，其他学生可以独立决定是否参加，求不同的参赛组合数（）.

A.10种B.15种

C.20种D.25种

【答案】B

【分析】由于其中2名学生必须同时参加或同时不参加，进行分类，由分类加法计数原理求解即可.

【详解】某校有5名学生参加数学竞赛，其中2名学生必须同时参加或同时不参加，

所以设这两名同学为甲乙，

当甲乙同时参加时，剩下的三名同学可能有：

没有同学参加有1种情况，恰有一名同学参加有C；种情况，

恰有两名同学参加有C；种情况，三名同学都参加有1种情况，

所以共有1+C；+C；+1=8种组合；

当甲乙同时不参加时，剩下的三名同学可能有：

恰有一名同学参加有C；种情况，恰有两名同学参加有C；种情况，

三名同学都参加有1种情况，所以共有C+C；+1=7种组合：

所以不同的参赛组合数为：8+7=15种，

故选：B

2.（23-24高二下.甘肃白银.期末）从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女

生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有（）种.

A.23B.22C.24D.26

【答案】B

【分析】分2男I女和3男0女两种情况求解即可.

【详解】由题意知，选取的3人中女生人数不多于男生人数，包括2男1女和3男0女两种情况.

若3人中有2男1女，则不同的选法共有C：C；=18（种）；

若3人中有3男0女，则不同的选法共有C；C；=4（种）.

根据分类计数原理，所有不同的选法共有18+4=22（种）.

故选：B

3.（23-24高二下•河南:累河•期末）现有包含A8两本书的六本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，要求每人

至少一本，其中AB两本书被分给甲的概率为（）

]753

A.—B.—C.—D.—

12245422

【答案】C

【分析】将六本书先分组再分配，按照三组本数为2,2,2,1J4和1,2,3三种情况讨论可得总分法.每种情况

下优先分甲可得满足条件的分法，然后由古典概型概率公式可得.

r2r2r2

【详解】第一类，将六本书分成2,2.2三组，然后分给三人共有七1A；=90利％

其中满足条件的分法：先将A"两本分给甲，然后将4本书分成2?两组分给乙、丙，

共有嬖A；=6种；

第二类,将六本书分成3,4三组，然后分给三人共有或争

A；=90种,

其中满足条件的分法：先从4本书中取2本连同A8分给甲，剩下的分给乙、丙,

共有C；A；=12种;

第三类，将六本书分成1,2,3三组，然后分给三人共有C：C；C；A；=360种，

其中满足条件的分法：

I）甲得2本：将A8分给甲，然后将剩余4本分成1,3两组分给乙、丙，

共有C：C；A；=8种;

2）甲得3本：先从4本书中取1本连同48分给甲，再将剩余3本分成1,2两组分给乙、丙,

共有CCC；A；=24.

综上，将六本不同的书，分给甲、乙、内三个人，共有90+90+360=540种,

满足条件的分法有6+12+8+24=50种.

所以，A8两本书被分给甲的概率为三.

54054

故选：C

4.⑵-24高二下•天津西青•期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，

小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（）

A.2+3+2=7B.1+1+1=3C.2x3x2=12D.（2）=64

【答案】A

【分析】由分类计数原理求解.

【详解】由分类计数原理得，不同的诜法种数为：2+3+2=7,

故选：A

5.（23-24高二下•北京海淀•期末）将分别写有2,0,2,4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位

数（首位不为0）,则组成的不同四位数的个数为（）

A.9B.12C.18D.24

【答案】A

【分析】因四位数首位非零，且囚个数字中有重发数字，故可先安排首位，可确定其他数位.

【详解】根据题意，可将四位数分成两类：

第一类，首位是2,则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有A；=6个；

第二类，首位是4,只需在余下的三个数位选一个给（）即可，有A；=3个.

由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为6+3=9,

故选：A.

题型二分步乘法计数原理

6.（23-24高二下.新疆.期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站

法种数为（）

A.A；A；B.A：A；

C.A：A；D.A；A：

【答案】D

【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可.

【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有A；种不同的站法,

然后我们把他们捆绑为一个整体，

再对■这个整体和其他7个人全排列，共有A：种不同的站法，

所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为A；A：,故D正确.

故选：D

7.（23-24高二下•贵州黔南•期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独

山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少

数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安

排一次活动,日不同时举行.若要求罗甸具、长顺具、惠水县相邻举行.则不同的时间安排种数为（）

A.B.C.D.A*；

【答案】C

【分析】根据题意，先把3个县捆绑在一起，看成一个整体，再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）

进行全排列，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有A；和排法；

再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共A：；种，

根据分步相乘计数原理，共有种排法.

故选：C.

8.（23-24高二下.黑龙江哈尔滨•期木）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难

求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰

有三人在同一区域的不同座位方式共有（）

A.30种B.60种C.120种D.24种

【答案】D

【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的一人在其它两个区域进行选择，

由分步乘法计数原理即可得到答案.

【详解】要使四人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：

第一步，先从四人中任选三人，有C：种方法；

第二步再选这三人所在的区域，有C；种方法；

第三步，将另外一人从余下的两个区域里任选，有C；种方法.

由分步乘法计数原理，共有C：-C/C；=24种方法.

故选：D.

9.（23-24高二下•贵州安顺・期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需

要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（）

A.21种B.27种C.30种D.42种

【答案】D

【分析】利用插空法，结合分步乘法计数原理求解.

【详解】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择，

当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择，

所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6X7=42（种）.

故选：D

10.（23-24高二下•广西桂林•期末）从1,3,5,7中任取2个数字，从2,4中任取1个数字，可以组成没

有重玛数字的三位数的个数是（）

A.8B.12C.18D.72

【答案】D

【分析】利用分步计数原理，结合组合数与排列数，即可计算结果.

【详解】从1，3,5,7中任取2个数的方法数有C：=6；

从2,4中任取1个数的方法数有C；=2；

选出的3个数的排列有A；=6；

再利用分步计数乘法原理得：

可以组成没有重复数字的三位数的个数有6x2x6=72.

故选：D.

题型三涂色问题

11.（23-24高二下•重庆・期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模

最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2()02年第24届国际数学家大会

在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构

成(如图).现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5

种S不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有()

A.120科1B.360种C.420种D.540种

【答案】C

【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色，然后对使用的颜色种数进行

分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果.

【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色，

若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有C；种，相对的直角一角形必同色，

此时不同的涂色方案有C；A；=60种；

若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有C；种，其中一对相对的直角三角形必同色，

余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有C；C；A：=240种：

若5块区域只用5种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有A；=12O种；

综上，不同的涂色方案有：60+240+120=420种.

故选：C.

12.(23-24高二下•山东青岛・期末)我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”,

亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件A="相邻区域颜色不同”,

事件3="区域1和3颜色相同"，则P(B|A)=()

【答案】C

【分析】由计数原理结合占典概型概率计算公式即可求解.

【详解】事件A="相邻区域颜色不同”，先对区域1涂色，有4种涂色方法，

对区域2涂色，有3种涂色方法，

对区域5涂色，有2种涂色方法，

对区域4涂色，若区域4、区域2颜色不同，则区域3只有1种涂色方法，

若区域4、区域2颜色相同，则区域3只有2种涂色方法，

所以相邻区域颜色不同包含的基本事件有：4x3x2x（l+2）=72；

事件4="区域I和3颜色相同”，先对区域I、区域3涂色有4种涂色方法，

对区域2涂色，有3种涂色方法，

对区域5涂色，有2种涂色方法，

对区域4涂色，有2种涂色方法，

区域1和3颜色相同所包含的基本事件有：4x3x2x2=48；

故所求概率为尸=”48=2

723

故选：C.

13.（23-24高二下•广东清远•期末）现要对三棱柱A8C-AMG的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，

要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（）

A.264种B.216种C.192种D.144种

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算

即得.

【详解】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法，

用4种颜色，先涂点A及。有A：种方法，再在A，q，G中选•点涂第4色，另两点有3种涂色方法,

因此不同涂色方法数为3cA：=216；

用3种颜色，先涂点A8.C有A：种方法，再涂A，稣G有2种方法,

因此不同涂色方法数为2A：=48,

所以不回的涂色方案有216+48=264（种）.

故选:A

14.（23-24高二下•四川凉山・期末）用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、。涂色,

要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）

A.14种B.16种C.20种D.18种

【答案】D

【分析】分A与。同色与不同色两类，每一类中利用分步计数原理求解，可得总的方法数.

【详解】先涂A，有3种涂法，再涂B有2种涂法，涂C时，与A同色，有1种涂法，此时。有2种涂法，

当C与人异色时有1种涂法，这是。有1种涂法，

所以共有3X2X（1X24-1X1）=18种.

故选：D.

15.（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期中）如图，给ABCDEF六个点涂色,现有五种不同的颜色可供选用，要

求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）种.

AB

A.1440B.1920C.2160D.3360

【答案】B

【分析】根据题意，依次分析A、B、C和。、E、尸的涂色方法数FI,由分步计数原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2步进行分析：

①对于A、B、C三点，两两相邻，有A；=6（）种涂色方法，

②尸与C相邻，有4种颜色可选，

若F与A同色，其中力与8同色时，月有3种涂色方法，。与6不同色时，力有2种颜色口/诜，E有2种

颜色可选，

此时有3+2x2=7种涂色方法，同理：若尸与“同色，有7种涂色方法，

若F与A、B颜色都不同，尸有2种颜色可选，。、E有3种颜色可选，

此时有2x3x3=18种涂色方法，

则尸、。、E有7+7+18=32种涂色方法，

故有60x（7十7十18）=1920种涂色方法.

故选：B.

题型四数字排位问题

16.（23-24高二下.江苏徐州•期末）用数字L2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（）

A.48B.60C.96D.120

【答案】A

【分析】考查排列组合中的分步计数原理，先确定个位数字，再确定其他位数字即可.

【详解】第一步，个位为2或4,共两种排法；

第二步，千、百、十位有A；种排法.

所以,共2A：=48种排法.

故选：A.

17.（23-24高二下•四川攀枝花•期末）由01,2,3这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排

法种数为（）

A.10B.12C.18D.24

【答案】A

【分析】按个位数字是0和2分类求解即得.

【详解】当个位数字是0时'无重复数字的四位偶数的个数是A；,

当个位数字是2时，无重复数字的四位偶数的个数是A；A；,

所以不同的排法种数为A；+A；A；=10.

故选：A

18.（23-24高二下.云南曲靖.期末）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可

以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：力”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适

当的方式全部放入表格工口中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的

【答案】A

【分析】根据表示数字的火柴棒的根数分类讨论，即可求解.

【详解】因为10根火柴可以摆出的数字为2,3或2,5或3,5或4,6或4,9或7,8或1,2,5或1,3,

7或1,5,7,所以可以组成6C；A；+3A；=42个无重复数字的三位数.

故选:A

19.（23-24高二下.吉林通化.期末）从由数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数中任取一个，则取到数字

1和2相邻的五位数的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

2484

【答案】C

【分析】先求出数字（M，2,3,4组成的五位数的个数，再利用捆绑法求出数字1和2相邻的五位数的个数，

从而得到概率.

【详解】由数字0J2,3.4组成的五位数，

先从千位，百位，十位，个位四个数位上选I个安排。，再对剩余4个数和4个数位进行全排列，

故共有c：A：=96个，

其中数字1和2相邻的五位数，先将1和2进行捆绑，看作一个整体m内部可进行排列，

首位安排0,再将，、3、4三个元素作全排有A；A；：将0、&3、4四个元素作做全排有A；A：,

共有A；A：-A；A；=36个.

所以取到数字1和2相邻的五位数的概率为1|二，

故选:C.

20.（23-24高二下•湖北•期末）从数字Q123,4中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（）

A.52个B.64个C.66个D.70个

【答案】D

【分析】根据题意，分为三类，首位大于2、首位为2且第二位非。和首位为2,第二位为0,结合排列数

的计算公式,即可求公

【详解】根据题意，可分为三类：

当首位大于2时有2A：=48种；

当首位为2,第二位非0时有3A；=18种；

当首位为2,第二位为0时有2A；=4种；

综上，总共有48+18+4=70种.

故选D.

题型五与排列组合数有关的运算

21.（23-24高二下.新疆.期末）C；+3!=（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】利用组合数公式及阶乘运算计算即得.

【详解】C；+3!=--+3x2xl=9.

2x1

故选：D

22.（23-24高二下•河南郑州•期末）不等式3A：K2A3+6A；的解集为（）

A.{3,4,5}B.{3,45,6}C.{xl3<x<5}D.{x|3<x<6}

【答案】A

【分析】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解.

【详解】易知xeN.

因为A：二天（工一0（五一2），A；］=（x+l）x,A；=x（x-1）,

所以原不等式可化为3乩♦1）（4-2）«2人"+1）+6工（4-1），

所以3£xW5,

所以原不等式的解集为{3,4,5}.

故选：A

23.（23-24高二下•湖北•期末）下列等式不正确的是（）

A.C；o=C：°B.写=2C.6A；=A：D.A：=C〉A：

【答案】B

【分析】由组合数性质判断A；由阶乘的运算判断B；由排列数以及组合数公式计算CD.

【详解】由组合数性质可得C；0=C：尸=c：”,故A正确;

6!6x5x4x3x2x1

=120,故B错误;

3!"3x2x1

6A；=6x5x4x3x2xl=A：,故C1E确;

hx,X4

A：=6X5X4=——x3x2xl=C：・A；,故D正确;

3x2x1

故选：B

24.（23-24高二下•吉林通化・期末）若A：=A；,则〃?=（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【分析】根据排列数得到方程，求出答案.

【详解】由A：=A：,得〃?（〃7-1）=〃2（〃2-1）（"7-2）,"?23,解得〃?=3.

故选：D.

25.（22-23高二下•河南郑州•期末）下列各式中与C3（〃K〃,〃5eN*）不般等的是（）

A"'

zi-m+iA"+l(〃+l)!

A.CZI41B.c.cL+c：D.

An(〃-〃?)!〃]!

【答案】D

【分析】根据排列数、组合数及组合数的性质计算可得.

【详解】因为CRCh=定=借高而,故A、B正确；D错误,

de：:A：\A；=〃?A；，A：

A：=A：A：

mn(n-I-+2)+〃(/?一I)…-+1)

八(〃-1)一(〃-〃？+2)(〃-〃7+1+〃?)

(〃+(〃-1)…+2)A：\