角平分线的性质二（学案）-2025湘科版八年级数学上册

第5章直角三角形

5.4角平分线的性质（2）

►学习目标与重难点

学习目标：

1.理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关

键要素，运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。

2.通过分析例题中的条件关联，提升从复杂图形中提炼核心关系的逻辑推理能力。

3.体会几何定理在简化证明、解决实际位置问题中的价值，增强用数学知识解决几何问题的意识。

学习重点：

角平分线性质定理与逆定理的实际应用，能利用“距离相等”与“角平分线”的互逆关系解决问题。

学习难点：

从综合条件（如血枳相等、中点、垂直）中提炼出“点到角两边的距离关系”，准确区分性质定理与

逆定理的适用场景。

►学习过程

一、复习回顾

【回顾】角平分线的性质定理和它的逆定理是什么？

二、探究新知

探究：角平分线的性质及逆定理的应用

教材第179页

【说一说】如图，在aABC中，D,E,F分别是BC,AB,AC边上的点.若BE=CF,SABDE=SACDF，

则点D在NBAC的平分线上吗？

【思考】如图，已知EF_LCD于点E,EFJ_AB于点F,MN_LAC于点N,M是EF的中点.需要添加一

个什么条件，就可使CM,AM分别为NACD和NCAB的*分线呢？

三、例题精讲

例2如图，在AABC的外角NCAD的平分线上任取一点P,作PE1DB,PF1AC,垂足分别为点E,

F.试探索BE+PF与PB的大小关系.E/D

【做一做】任意作一个△ABC,在△ABC内部找一点P,使其到三边的距离相等.

四、课堂练习

【知识技能类作业】

必做题

1.三角形中到三条边距离相等的点是（）

A.三条边的垂直平分线的交点B.三条中线的交点

C.三条高的交点D.三条角平分线的交点

2/408的平分线上一点P到0/1的距离为5,Q是射线。8上任一点，则（）

A.PQ>5B.PQ>5C.PQ<5D.PQ<5

3.如图1,这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其

侧面结构示意图.现量得托板长力B=10cm,支撑板顶端的C恰好是托板力B的中点，托板48可绕

点C转动，支撑板CD可绕点D转动.当CD-且射线D8恰好是乙CDE的平分线时，此时点B到

直线DE的距离是（）

A

C

A.3cmB.5cmC.6cmD.10cm

选做题

4.如图，一个加油站恰好位于两条公路m,n所夹角的平分线上，若加油站到公路m的距离是80m,

则它到公路九的距离是m.

•加油站

5.如图，在△力8C中，BD平分乙ABC,ADLBD,△BCO的面积为45,△/10C的面积为20,则

△4B0的面积等于.

6.如图，0C是440B内部的一条射线，P是射线0C上任意一点，PD104PELOB.下列条件：①

^.AOC=^.BOC.@PD=PE.@OD=OE.④NOP。=，EPO,其中能判定OC是，408的平分线的

有______________.（填序号）

【综合拓展类作业】

7.如图，在△48C中，4D是角平分线，E,"分别为AC,4B上的点，且NAED+N力/。=180°.DE与

。尸有何数量关系？请说明理由.

BDC

五、课堂小结

这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么？

六、作业布置

1.如图，直线12,，3表示三条相互交义的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距

离相等，则可供选择的地址有（）

A.1处B.2处C.3处D.4处

2.东湖高新区为打造成“向往之城”,正建设一批精品口袋公园.如图所示,是一个IF在修建

的口袋公园.要在公园里修建•座凉亭H,使该凉亭到公路力8、AC的距离相等，且使得SMBH=

S&BCH，则凉亭H是（）

A.48AC的角平分线与力。边上中线的交点

B.N84C的角平分线与4B边上中线的交点

C.N4BC的角平分线与/C边上中线的交点

D.ZABC的角平分线与BC边上中线的交点

3.如图，在△4BC中，LC=90°,BD平分448c交力C于点F,作。EJLAC,垂足为E,连接若

/.BAD=90°,AD=4,AC=7,则EF的长为（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

4.如图，4。是的角平分线，々C=90。，C0=1cm,点P是43上一动点.

(1)连接。P，求DP的最小值：

(2)若乙8=30。，求△AD8的面积.

答案解析

课堂练习；

1.【答案】D

【解析】解：三角形中到三条边距离相等的点是三条角平分线的交点,

故选：D

2.【答案】B

【解析】解：如图，过点P作PE10B于E,

TOP是〃08的平分线，

：,PD=PE=5,

•••Q是。8上任一点，

:・PQ>PE,

:・PQ>5.

故选：B.

3.【答案】B

【解析】解：过点B作BFJ.0E,垂足为点F,

VC是48的中点，AB=10cm,

:.BC=^AB=5cm,

CDLAB,BFLDE,射线OB是NCOE的平分线,

:・BC=BF=5cm,

故选：B.

4.【答案】80.

【解析】解：•・•加油站恰好位于两条公路m,九所夹角的平分线上，且加油站到公路m的距离是

80m,

.••加油站到公路m和公路九的距离是相等的，即它到公路几的距离是807n.

故答案为：80.

5.【答案】25.

【解析】解：延长4。交BC于E,如下图，

力z

•••BD平，＞/48C,力。垂直于BD,

:•乙ABD=LEBD,LADB=LEDB=90°,

在△713。和△EBD中,

Z.ABD=乙EBD

BD-BD

.Z.ADB=Z.EDB

，△力三△E8OG4S4),

：.AD=ED,

,*•^^ABD=S&EBD=S&BCD—S"DE=45-20=25.

故答案为：25.

6.【答案】①②③④.

【解析】解：・・"力。。=4BOC,・・・OC是乙1。8的平分线，故①正确;

*：PD1OA,PELOB,PD=PE

・・・OC是N/1OB的平分线，故②正确；

•：PDLOA,PEIOB,

・"ODP=40"=90°

•：OD=OE,OP=OP

：.Rt△ODP^Rt△OEP(HL)

"DOP=Z.EOP

・・・OC是〃OB的平分线，故③正确；

yPDlOA,PE工OB,

：.WDP=Z.OEP=90°

■:乙DPO=^EPO,OP=OP

:,Rt△ODP^Rt△OEP(AAS)

：,^DOP=LEOP

•••OC是N40B的平分线，故④正确；

故答案为：①②③④.

7.【答案】解：DE=DF.

理由：如图，过点。作。M14B于点M,DNLAC于点、N.

•••DM=DN.

v^AED+^AFD=180°,^AED+乙NED=180°,

Z-AFD=乙NED.

在△/MD和△£17/)中，

乙MFD=£NED,

乙FMD=乙END=90°,

DM=DN,

FMD^△END(AAS),

DE=DF.

作业布置：

1.【答案】D

【解析】解：•・•中转站要到三条公路的距离都相等，

・••货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点,

而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，

・•・货物中转站可以供选择的地址有4处.

故答案为：D.

2.【答案】A

【解析】解：如图:

•.•4。平分上84(7,点H在？1。上,

・•・点H到48、AC的距离相等，

•.•8E是AC边上的中线，

:・“ABE=SgcE，S&AHE=SACAE，

'SAABE—S^AHE—S&BCE—SMHE，

:"S〉ABH=S4C8H，

•••凉亭H是NB4c的角平分线与边上中线的交点，

故答案为：A.

3.【答案】A

【解析】解：如图，作。H18C交的延长线于点H,连接CD,

:.UI=90°,

.:乙BAD=90°,

J.DA1BA,

•・・8Z>'F分乙ABC,RDAA.BA,DHIBC,

：.HD=AD=4,

a：DELAC,LACB=90°,

：.DE||BC,乙DEC=

工乙EDC