角平分线的性质一 （学案）-2025湘科版八年级数学上册

第5章直角三角形

5.4角平分线的性质（1）

►学习目标与重难点

学习目标：

I.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容，能运用定理进行简单证明、计算与作图。

2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能

力。

3.感受几何图形的严谨性，培养用数学语言精准描述图形性质的习惯。

学习重点：

角平分线的性质定理及逆定理的内容、证明与初步应用。

学习难点：

理解性质与逆定理的互逆关系，潴确运用定理时把握“距离是垂直距离”的条件.

►学习过程

一、复习回顾

【回顾】什么是角平分线？

A

2

0之------B

二、探究新知

探究：角平分线的性质定理

教材第177页

【探究】如图，在NAOB的平分线0C上任取一点P,作PD10A,PE10B,垂足分别为点D,E.

比较线段PD,PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？

已知：0C是NAOB的角平分线，PD10A,PE10B.

求证：PD=PE.

C)EB

【归纳】角平分线的性质定理:

探究二：角平分线的性质定理的逆定理

【思考】角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗?

【作图】如图，点P在/AOB的内部，作PD_LOA,PE1OB,垂足分别为点D,E,且PD=PE.过点

O,P作射线0C.

【证明】已知：点P在/AOB的内部，PD1OA,PE1OB,PD=PE.

求证：0C是NAOB的角平分线.

【归纳】角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

三、例题精讲

例1如图，ZBAD=ZBCD=90°,Z1=Z2.

求证：(1)点B在NADC的平分线上；

(2)BD平分NABC.

四、课堂练习

【知识技能类作业】

必做题

1.如图，在RsABC中，ZC=90°,AD是角平分线，若AB=10,CD=3,则△ABD的面积是()

A.12B.15C.18D.24

2.如图，0P平分NMON,P4_L0N于点4,点Q是射线OM上一个动点，若P4=3,则PQ的最小值为

A.V3D.26

3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZC=90°,AB=AD=3,CD=2,则点D到边AB的距离为

()

表~^P

C.7

选做题

4.如图，△ABC中，2。=90。,/10平分/84。,48=75。0=4,则的面积是.

5.如图，点P是乙4。8平分线OC上一点，PELOA,PF10B,垂足分别是E和F,若PE=6,则

A

P

O

C

B

6.如图，在中，匕4=90。，点。在边力8上，DE1BC,垂足为点E,AD=DE,Z.B=

32。，则乙8。。的度数为.

【综合拓展类作业】

7.如图所示，在△/BC中，710平分8E是高线，Z.BAC=50°,Z.EBC=20°,求乙力。。的度

五、课堂小结

这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么?

六、作业布置

1.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O信OD_LBC,垂足为D,且OD=4.若

△ABC的面积是34,则△ABC的周长为()

B.15C.17D.34

2.如图，在△48。中，AQ=PQ,PR=PS,PR_L48于R,PSJLAC于S,则下列三个结论:

①4s=4R；②QP〃/R；③&BPRaQSP,其中正确的结论是()

C.②③D.①③

3.如图，BO、CO分别平分乙A6C,Z.ACB,且0。18C于点D,△ABC的周长为24cm,0D3cm,

则A/WC的面积为

4.如图，在△48C中，力。是它的角平分线，AB=9,AC=6,BC=10.

(1)求△48。与△4G)的面积之比:

(2)求CO的长.

答案解析

课堂练习：

I.【答案】B

【解析】解：过点。作DE于E,如图所示:

DE=DC=3,

：.△48D的面积是:48•0E=gx10x3=15,

故答案为：B.

2.【答案】C

【解析】解：如图，

•：OP^^MON,PA1ON,PA=3,

:.PB=尸力=3,

・・・PQ的最小值为3.

故选：C.

3【答案】B

【解析】解：・・・AD〃BC,

.\ZADB=ZDBC,

•・•AB=AD,

AZABD=ZADB,

AZABD=ZDBC,

,:ZC=90°,

・••点D到边AB的距离=DC=2.

故答案为；B.

4.【答案】15.

【解析】解：过点D作DE_LAB于点E,如图,

'：AD^^Z-BAC,Z-C=90°,/.ED=CD=4,

ASAABD=•DE=[x7.5x4=15：

故答案为：15.

5.【答案】6.

【解析】解：YOC平分乙4。&且PE104PF10B，

:・PF=PE=6,

故答案为：6.

6.【答案】29°.

【解析】解：:乙4=90°,乙B=32。，

：.^.ACB=90°-32°=58°；

\'AA=90°,DE1BC,AD=DE,

・・・CD平分乙4C8,

"BCD=^ACB=29°；

故答案为：29°.

7【答案】解:平分血C,BE是高线,B.Z.BAC=50c

：.Z.BAD=/.CAD=^/.BAC=25°

LBEA=90°

：,/-ABE=1800-Z.BAC-LBEA=40°

：,Z.ADC=/-ABE+Z.EBC+/-BAD=85°

."ADC的度数为85。

作业布置：

1.【答案】C

【解析】解；•・•点O为△ABC的两条角平分线的交点,

・••点0到4ABC各边的距离相等，

而OD_LBC,OD=4,

:.点0到4ABC各边的距离为4,

VSAABC=SAAOB+SABOC+SAAOC»

/.-xABx4+^-xACX4-H-XBCx4=34,

222

AAB+AC+BC=17,

即^ABC的周长为17.

故答案为：C.

2.【答案】B

【解析】解：PR=PS,PRLAB,PSIAC,

:.AP平分43g

•••乙RAP=乙SAP,

在△4RP与△ASP中，

(Z.RAP=/.SAP

l^ARP=Z.ASP,

(PR=PS

.•.△ARP三△4SP0L4S),

AS=AR,

，结论正确，

AQ=PQ,

:.Z.QAP=Z.QPA,

vZ.QAP=Z.RAP,

4RAP=Z.QPA,

•••QPIIAR,

・•・结论正确，

③在aBPR与^QSP中，只有条件PR=PS,"SQ="R8不能判断三角形全等;

综上可得，正确的结论是①②，

故答案为：B.

3.【答案】36cm2

【解析】蟀：连接。儿作OEJ./B于点E,作0F1AC于点凡

A

•・・08,0C分别平分N48c和44C8,OD1BC,

：,0E=0F=0D=3(cm),

的周长是24cm,。。_L8C于。，且00=3cm,

•••S—BC=：x48xOE+：x8Cx0。+：xACx。尸=：x〔4B+BC+AC)x3=Tx24x3=

36(cm2),

故答案为:36cm2.

4.【答案】(1)解：如图，过点D作。ElAB于点E,作Dr1/1C于点尸，

•••在△ABC中，40是它的角平分线，

：,DE=DF,

*：AB=9,AC=6,

=\AB-DE=\DE=^DF,S^ACD=；AC•DF=3DF,

.・.S”BD=辿=日

S^ACD3DF2

・•・△480与44C0的面积之比为3:2.

(2)解：如图，过点。作DE_48于点E,作D尸_L4C于点F,过