江苏省常州市某校2025-2026学年高二年级上册期中学情调研数学试卷（解析版）

江苏省常州市合作学校2025-2026学年

高二上学期期中学情调研数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若一条直线经过两点（1,0）和则该直线的倾斜角为（）

71n7C-2兀m5-

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】直线经过两点（io）和

所以该直线的斜率为3二9二，

0-1

则该直线的倾斜角a满足tana，

2兀

因为。£[0,兀），所以

3

故选：C.

2.抛物线丁=8x的焦点到准线的距离是（）

11

A.4B.2C.—D.—

1632

【答案】A

【解析】由V=8x可得2〃=8,即〃=4,故焦点到准线距离为4.

故选：A.

3.己知直线不一），-3二0和直线x—），—1=0平行，则这两条线之间的距离为（）

A.B.yfo.C.2>/2D.45/2

【答案】B

故选：B.

4.已知圆d+V+Dv+fy+RuO的圆心坐标为（-2,3）,D,E分别为（）

A.4,—6B.-4,-6C.-4,6

【答案】A

【解析】圆/2+y2+£）x+£y4~E=o的圆心一~—I,

I，巳）

DE

又已知该圆的圆心坐标为1—2,3）,所以=-2,--=3.

22

所以。=4,E=-6.

故答案A.

5.己知直线4：h一丁+1=0与/?："+（4-k）y+l=0平行，则上的值是（）

A.5B.0或5C.0D.0或1

【答案】C

【解析】由两直线平行得，当2=0时，两直线分别为y=l和），=-1,显然两直线立

行；当女工0时，由由二二，解得4=5；而当左二5时两直线重合.

k4一攵

综上所述，k侑为0.

故选：C.

6.已知椭圆工+二=1与双曲线工一工二1有共同的焦点，则〃?=（）

2516tn5

A.14B.9C.4D.2

【答案】C

2222

【解析】设椭圆工+二=1半焦距为。，则/=25-16=9,而椭圆工+上=1与双曲

25162516

2222

线工-二=1有共同的焦点，则在双曲线二-二=1中，。2=m+5,即有利+5=9,

m5m5

解得机=4,所以加=4.

故选：C.

7.已知双曲线C:二一工=1（4力〉0）的离心率为G，焦点到渐近距离为2,则双曲线

a~b~

C实轴长（）

A.72B.2C.272D.4

【答案】C

\hc\

【解析】焦点到渐近线得地离为“二=b=2,

\la2+/?2

又・•・〃=加,••・长轴为

故选：c.

8.已知在平面直角坐标系中，A(—1,0),8(1,0),动点M满足M42+M¥=20,得

到动点M的轨迹为曲线C.直线/：y=A(x+2)+〃与曲线。恒有公共点，则8的取值

范围是()

A.[-3,3]B.卜瓜啊

C.[-4,4]D.[\/5,-\/5]

【答案】D

【解析】设动点M的坐标为(x,y),已知A(TO),3(1,0),且M42+MB2=20.

则(工+1『+_/+(戈-1)2+)，2=20,化简得：x2+r=9.

所以曲线C：是以原点(0,0)为圆心，3为半径的圆.

因为直线/：y=Z(x+2)+Z?与曲线C恒有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径.

2k+b

即",=\\S3C,化简得5公一4/M+9-〃2NO恒成立.

Jk2+l

所以/=(-4b)2—4x5x[9—Z?)2W0,解得：-也JbJ加.

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.以下四个命题表述正确的是()

A.过点人(-2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线I的方程为x+y=-5

B.圆f+),2=4上有且仅有3个点到直线l：x-y+42=0的距离都等于1

C.曲线G；/+/+2.1=0与曲线。2：/+)，2—4%-8,，+5=0恰有三条公切线，则加=4

D.已知直线依一,，一攵-1=0和以M(-31)、N(3,2)为端点的线段相交，则实数%的取

值范围为一二4女工三

22

【答案】BC

【解析】对于A选项，当直线/过原点时，设直线/的方程为y="，

将点4的坐标代入直线方程得一2攵=一3,解得左=^|,此时直线/的方程为)，=?工，

当直线/不过原点时，设直线/的方程为5+?=1(。。())，即x+y-a=0,

将点A的坐标代入直线方程得一2-3-。=0,解得〃=—5,

此时直线/的方程为x+丁+5=0,

综上所述，直线/的方程为y=|x或x+），+5=0,A错;

对于B选项，圆手+y=4的圆心为0（0,0）,半径为夕=2,

圆心到直线/:工-），+0=0的距离为4=-^=：=l=r-l,

VI2+12

所以圆/+）,2=4上有且仅有3个点到直线/:x-），+正=0的距离都等于1,B对；

对于C选项，圆G标准方程为（x+l『+）/=1，圆心为C"—1,0）,半径为"=1,

圆的标准方程为（X—2『+（y—4）2=20—m，则20-6>0,可得机<20,

圆C2的圆心为G（2,4）,半径为弓二。20-团,

因为两圆有三条切线，故两圆外切，故|£31=J（-1-2『+（0-4『=5=4+G，

故4=120-6=4,解得加=4,C对；

对于D选项，由"一了一%-1=0得女=）里，

x-1

可知攵的几何意义是线段MN上一点P（x,y）与定点Q（l,-1）连线的斜率，如下图所示:

当直线/'。从直线QN的位置运动到靠近直线/的位置时.

3

此时直线P。的倾斜角为锐角，且直线PQ的倾斜角逐渐增大，则攵2⑥°=一；

2

当直线P。从靠近直线/的位置运动到与直线QM重合时，

此时直线P。的倾斜角为钝角，且直线P。的倾斜角逐渐增大，此时女《勺”=-

综上所述，2的取值范围是D错.

故选：BC.

10.已知平面直角坐标系内的一个曲线C的方程为Al-2+By2+Dx+Ey+F=0(4,B不全

为0,尸NO).则正确的是：)

A.当3cA<0,。=七=0,/〉0时，曲线C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆

B.当A<3<0,0=E=0,厂>0时，曲线C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆

C.当曲线C是顶点在坐标原点，焦点在X轴负半轴上的抛物线时，AE>0,B=D=F=0

D.当曲线C是中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线时，AB<0yD=E=^F>0

【答案】AD

【解析】对于A,当3<A<0,D=E=0,/>0时，

72

厂IV=1

曲线C的方程为Av'Bf+/nO,可化为_尸，

A~B

<B<A<0,尸>0,,---->----->(),

AB

・••曲线C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，故A正确;

对于B,当4<3<0,0=E=0,尸>。时，

77

x।y

曲线c的方程为42+耳产+尸=(),可化为

~1

VA<B<0,F>0,A-->-—>0,

BA

工曲线c是中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆，故B错误；

对于c,当曲线c是顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线时,

则满足4=七=/=0,比时方程化为8)，2+Dr=0,即8y2=—Dr,

显然3工()，得至1])，2=一叫工，

而焦点在x轴负半轴上，则一解得4。>0,故C错误；

对于D,当曲线C是中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线时，

则满足AwO,8wO,Q=石=0,尸>0,

此时方程化为九^+耳产+/=。，即_/7十一尸

则卜卜"得孙°,

综上，AB<0,D=E=0,F>0,故D正确，

故选：AD.

IL1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到

两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.设定点的(一L0)，E(i,o)，已

知曲线C:yl(x-l)2+y2-y](x+\)2+y2=1为卡西尼卵形线，下列选项判断正确的是

()

A.原点。在曲线。的内部；

B.曲线C既是中心对称图形，乂是轴对称图形；

C.曲线。上的点的横坐标的取值范围是[-拉,拒]；

D.曲线。上存在点P,使得尸K-LPF?

【答案】BCD

【解析】原点。的坐标代入C的方程，有J(0_1)2+02.J(0+[)2+O2=],

所以原点。在曲线C上，故A错误；

(一X,一y)代入。的方程，得^(-A-1)2+(->')2-yj(-x+\)2+(-y)2=f+广-7(A+1)2+y2=1,方

程成立，故曲线。关于原点对称，

(X，-)代入c的方程，得yj(x-\)2+(-y)2-J(x+1)2+(-))=\l(x-\)2+y2-yj(x+\)2+y2=1,方

程成立，

故曲线。关于x轴对称，(一九,V)代入。的方程，

得J(-."1尸+丁'(T+iy+'rJd)2+〉，2.J(x+|)2+/=],方程成立，故曲线C关于丁轴对称，

综上，曲线C关于原点，4轴，V轴均对称，故B正确；

由J(X—l)2+y2.,(x+lf+V=],两边平方得[。-1)2+>2][(%+])2+),2]=1,

/.(x2+y2+1-2x)(x2+y2+1+2A)=1,即+)/十]):一④(？二1,

A(X2+/+1)2=4X2+1,即f+V+i="f+i，

：•y2=-x2-l+>/4x2+l，

所以-f—l+“f+l“，得"f+lNf+],

化简得/一2/40,即/卜2―2/0,解得-桓SxwO,

・•・曲线C上的点的横坐标的取值范围是[-拉,&],故C正确；

若曲线。上存在点凡〃)，使得2耳，尸工，即。个尸鸟=0，

VPF]=(-1--z?),PF2=(l-77Z,-/7),

PR♦PF?=(-l-7n)(l-m)+(-«)(-«)=AW2+rr-1=0,

22

又fr=-nr-1+\l4m4-1»则1一〃广=-nr-1+V4/J?+1，

即“病+1=2,即4〃/+1=4,解得〃z=±三，

，曲线C上存在点夕.使得。月上夕入，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知从点4(6,1)射出的光线经)，轴上的点M反射后经过点8(3,-2),则点M的坐标

为.

【答案】(0,-1)

【解析】设点〃(0,y),

根据反射的对称性，知点8(3,—2)关于)，轴的对称点9(—3,-2)与AM在同一直线上,

-2-1v-1

所以*A8,二心"，所以二~~7=^~7,解得)1，

-J-60-6

所以点M的坐标为(0,-1).

故答案为:(。，-1)•

13.已知圆G过点(6,1),(1,—1)，且圆心在直线y=i.则圆G的标准方程为

【答案】x2+(y-l)2=5

【解析】圆G的标准方程为：(x-4)2+(y-〃)2=/，

(6-a)+(1-Z?)2=r2

a=0

则《(l-r/)2+(-l-/?)2=r2,解得：.b=1

b=\r=>/5

所以圆G的标准方程为：x2+(y-l)2=5,

故答案为：x2+(y-l)2=5.

2222

14.如图，半椭圆G：三+斗=1*20)与半椭圆g：2++=l(x<0)组成的曲线称为

a“Dc

“果圆”，其中/=从+/,。>(),“果圆”与x轴的交点分别为A、4,与y

轴的交点分别为用，£,若在“果圆勺轴左侧部分上存在点P使得NA"=工，则£

2a

【解析】由题意A(—c,0)，4(«0),设产(ccosg,》sin，)，cos，£(-l,0),

AQ=(ccos6+c,bsin6),&〜=(ccos0-a,bs\x\0),

jr-----■

22

*.*Z.A]PA2=—,/.A^P•A,P=(ccos0+c)(ccos0-a)+bsin^?=0»

c2cos26+((?-ac^cosO-ac+b1-b2cos26=0,

/.(c2-/?2)cos28+(/-ac^cos3-ac+b2=0,

.二[卜。-〃2)COS°+〃2-ac](COS0+l)=0,

Acos-L,或cos6=-l(舍)，

c2-b2

-1

令£=/，:a?=Z??+c?,a>0,〃>c>0,

a

，a2=b2+c2>c2+c2，即a2>2c2，

**•o<—y<—»即o<£<，

a12a2

I万

即。<产<二，0</<—，从而2产一l<o,

22

A-1<cos9='”--<(),

2r2-l

*•»—2/~+1>t~+f_1>0»即3t~+/—2v0且产+t—\>0»

结合0<，<也，解得避二1Vze2,

223

fV5-l2]

的取值范围为

a\27

'布-12

故答案为:

2'5

四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知直线4的方程为y=-2x+l.

(1)若直线4与4平行，且过点(L3),求直线(的方程；

(2)若直线，2与4垂直，且/2与两坐标轴围成的二角形面积为4,求真线，2的方程♦

解：(1)由直线4与4平行，可设4的方程为)'=-2工+〃，

将点(1,3)代入,得3=(-2)xl+b,即得〃=5,

所以直线4的方程为y=-2X+5.

(2)由直线，2与4垂直，可设，2的方程为y=gx+，〃，

令y=。，得x=—26，令％=0,得y=m,

故三角形面积S=g|-2/〃|・|〃?|=4,

所以nr=4，解得m=±2,

所以直线4的方程是)'=；x+2或y=：x—2.

16.已知抛物线。的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点4(1,2).

(1)求抛物线C的方程；

(2)若抛物线C的焦点在x轴上，一条斜率为6的直线过该抛物线C的焦点，且与C交

于AB两点,求弦目的长度.

解：(1)若抛物线C焦点在x轴上，则可设。：丁二2〃汇，

抛物线C经过点A(l,2),.•.2〃=4,解得：p=2,

•••抛物线方程为：y2=4x：

若抛物线C焦点在丁轴上，则可设C:f=2p)，，

抛物线C经过点4(1,2),「.1=4〃，解得：/;=1,

「•抛物线方程为：f

综上所述：抛物线C的方程为：)，2=4x或工2=15.

(2)由(1)知：抛物线C的方程为：y2=4x,焦点为(1,0),

则直线48:丁二百*一1),

代入抛物线方程，消去得3(X—1)2=4X,则3/一10.1+3=0,显然△=64>0,

所以/+/=与，=1，

则|4用=>/1+3-y](xA+xH)--^xAxH=2x<=学■

17.已知A(4,3),8(5,2),C(1,0),是圆M上的三点，。(2,3).

(1)判断ARC,。四点否共圆，并说明理由；

(2)过点。的直线/被圆M截得的弦长为4,求直线/的方程.

解：(1)设圆M的方程为Y+y2+ox+E)，+/=。

25+4Q+3E+/=0

则（29+5O+2E+/=0,解得。=-6,E=—2,F=5.

1+D+F=O

所以，圆〃的方程为一4/一6工一2），+5=0.

代入。（2,3）圆的方程，4+9-12-6+5=0.

故点D在圆”上,即点8,C,D四点共圆.

（2）当直线/的斜率不存在时，对于（x-3『+（y-l『=5,

令x=2,得y=3或），=一1.

此时弦K为3—（—1）=4,符合题意，故直线/的方程为人=2.

当直线/的斜率存在时，设y-3=〃（x-2）,即6一y-2A+3=0.

/、|31-2左+3||4+2|

于是圆心M（3,l）到直线的距离为4=^~,1='1.

\/k~+\\Jk~+\

则4=24-（号2）.解得《=.故直线/的方程为3x+4y-18=0.

综上所述，直线/的方程为x=2或3x+4y-18=0.

222

18.设椭圆。：5+*=1（。>/2>0）的左右焦点用，巴分别是双曲线?->2=1的左右

顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为冬何.

5

（1）求椭圆C的方程；

Q

（2）设圆。：/+）,2=§上的任意一点处的切线/交椭圆c于点M,N,问：OMON

是否为定值？若是，求出此定值：若不是，请说明理由.

2

解：（1）双曲线的左右顶点分别为（—2,0）,（2,0）,

由题意得:£（—2,0）,乙（2,0）,故〃一序=心

双曲线渐近线方程为x±2.y=0,

故椭圆右顶点（。,0）到双曲线渐近线距离为7m彳=邛@

因为。>0,解得：a=2>/2>故从=8-4=4,

所以椭圆方程为。：［+?=1.

84

（2）当切线/的斜率不存在时，其方程为不=±2如,

3

、以、2显心.x2v21得"士手,

将x=±二一代入一+—=1

384

丁什心A/2m2g/262新）

不妨设M［T'—亍J'^—―p

。加J炖「也I。乂［辿,辿］,

133JI33J

所以OM.ON二半x半

当切线/的斜率存在时，设方程为y="+列M（内,y）,N（4，%），

因为/与圆O:d+y2=g相切，所以普［==宜6,即3〃「=822+8,

3J1+公3

22

将丁=依+〃?代入:+力=1,得（2公+l）f+4切LT+2〃?2—8=0,

-4km2疗一8

所以$+%=2r+1'*々-2二+1

又OMON=x,x2+yy,=xxx2+（如+利）（丘2+利）

=（攵2+1）百毛+x2）+tvr

22

（公+1）（2加—8）+-4km+^2

2公+1+2—+1+m

3〃/一8人2—8八

=-----r------=U，

2k2f1

综上，OM-ON=3

19.已知双曲线。：0-齐=1（4>0,/?>0）的左、右焦点分别为A、6,右焦点尸2与抛

物线y2=8x的焦点相同，其一条渐近线方程为），二年x.

（1）求双曲线的标准方程;

（2）己知。（弓,0）,点。在双曲线。上且也不与坐标轴垂直，若J,。鸟为直角三角

形，求..尸QB的面积;

3

（3）过点尸2的动直线/交双曲线。于M，N两点，过点M,N分别作直线x=5的垂线,

垂足分别为A与8（不同于点M,N）,连接AN,3M,这两条直线相交于点Q,问点。

是否为定点，若是，请求出点。的坐标，若不是，请说明理由.

解：⑴抛物线y?=8x的焦点（2,0）,即尸2（2,0）,得c=2,

双曲线一六二1（。＞0力＞0）,渐近线方程为），=±理「

b_y[3

=

则aT，解得。=G，b=\,故双曲线C的标准方程为,一），2=1.

a1+/?2=4

（2）当NP6Q=］时，横坐标x=2代入双曲线方程可得。2,±

3

=lx力2734x/3

则S△PQF1x——=------；

21339

当/5=］时，设°（毛，%）,

___-.(14、

*'•玛。=(%-2,y()),PQ=仔)—■’

一_./(14

X)X

F2QPQ=(0-20--+城=0f—

则，解得/为二±二一，

20

>o2=l

1<1421x场二亚

则Sz/OF=-X—

△P”213)69

综上，