江苏省南通市2025-2026学年高一年级上册期中考试 数学试题（含解析）

江苏省南通市2025-2026学年高一上学期期中质量监测

数学试题

一、单选题

1.己知集合力={-1,。1},〃={0,1,2,3},则()

A.{0,1}B.{-1,0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{-1,0,1}

2.命题“\/戈>0,/+1>》”的否定是()

A.Vx<0,x2+1<.rB.3x<0,x2+1>x

C.Hr>0,x*+1<xD.Hr>0,x:+1>x

3.设“〉0，则病的分数指数事形式为)

A.二B*aC.qD,a

4.已知P：1</)<a<2,q:0<a—<1,则P是g的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知/[;尸则〃2)=()

x—1

A5Bi

A，3-4C.3D.--

己知偶函数/(x)的定义域为(YO,y),对任意的西应€(-8,()),都有不等式/(*)一/("2)>()成立.设

6.

Xl~X2

«=/(-2),/)=/(1),c=/(V2),则a也c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

7.任何一个正实数N可以表示成N=axlO"(lKa<l(),〃wZ),此时lgN=〃+lga,(0«Iga<1).当〃>0时,

N是〃+1位数，则452°是()

(参考数据：lg2*0.301,lg3交0.477)

A.24位数B.33位数C.34位数D.43位数

8.已知/(x)=/+5x,若对于正数凡力，满足/(2"力)+/(28-1)=0,则」々的最大值为[)

a+b

B.C.UD.3-2V2

84

二、多选题

9.如图，已知矩形。表示全集，48是U的两个子集，则阴影部分可表示为（）

A.B.Q«c4)C.4(4c4)D.限氯力c5)

V

10.已知且满足logJJ"：虫,则下列结论正确的是（)

B.x+y=ly/xy

D.1+y的最小值为7-3石

X

II.已知函数〃x）=2'J'若〃XJ=/（X2）,且为VX2,则（）

X,XI,

、z、4

A.（阳-1）/（32）的最小值

B.%2一演的最大值为1

C.3x0€R,使=

D.存在唯一%,使/（%）+/（—,%）=0

三、填空题

12.已知函数/（'）的定义域为（。、2）,则函数f（2x-l）的定义域为.

13.若不等式|乂<。的一个充分不必要条件为J<1,则实数。的取值范围是_______.

x-2

14.若Vx«0,+8），3+3）（.，-b+l）K0,其中a,bwZ,贝iJa+/»=.

四、解答题

15.（1）计算e-e—iogQ-logiZ+（0.125）：的值；

3_3

（2）已知姬_\_2，求。2+42的值

16.已知函数/(工)=^^)(^1)送(工)=》!+心+加-1.设/(*)的定义域为集合力，/(x)的值域为集合

B,集合C={xlg(x)<0］.

(1)求力cB；

(2)若力nc=4,求实数"7的取值范围.

17.己知函数/(x)="2+(a_l)x+l(awR).

⑴若不等式/(切>0在(-8,+8)上恒成立，求。的取值范围：

(2)若/(X)在［-1,+8)上单调递减，求a的取值范围；

(3)若函数g(x)=/(x)+(l-a)x2在卜1,2］上的最大值为6,求。的值.

18.研究发现：函数/(x)=x+£(a>O”N*)在区间0,(〃。)可上单调递减，在区间(。心向+8上单调

递增.请根据以上结论解决下列问题：

⑴求函数/(x)=x+f27■的值域;

4

⑵已知函数力(x)=x+F(x>0).

-X

①写出〃(x)的单调减区间，并用定义法证明：

②若0〈七〈占，满足力(王)=力(不)，证明：$+/>4.

19.设集合力={6,。2,…，%}，l<q<。2<…<凡.若Wx/e4，且x«y,k€/,上G/至少有一个成立，则

x

称集合力为“C”集.

(1)已知力={1,2,4},夕={2,4,8},直接判断集合48是否为“C”集.

(2)若力={%,。2，6，4，%}为“。”集，1Wq<a2<〃3<%,%=2，求7=〃化%4%的值；

(3)若力={q,。2吗，《4M5，％/}为“C”集，<。2<03<。4</^=2,^=4,求/.

题号12345678910

答案BCBABCCDACBCD

题号11

答案AC

1.B

根据题意结合集合的并集运算求解即可.

【详解】因为集合4为-1,0川,8={0,1,2,3},所以/U8=1,2,3}.

故选：B.

2.C

利用全称命题的否定法则可得答案.

【详解】命题“Vx>0,/+1>x”的否定是“3X>0,X2+1<X

故选：C

3.B

利用根式与分数指数幕的互化可得出结果.

【详解】当4>0时，则正存工.荆=）.

17

故选：B.

4.A

根据充分必要条件的定义从充分性，必要性两个方面分析即可.

【详解】判断P是否是q的充分条件（即p=q是否成立）：

由b<a,得a-b>。,

由a<2和b>1,得a-b<2-1=1,

因此，0<«-/?<I,

故成立，P是.q的充分条件；

判断P是否是q的必要条件（即q=P是否成立）：

反例：取。=3,/）=2.5,则a-b=0.5,满足0<0.5<1,即9成立，

但h=2.5>2,不满足P中的b<2,

因此，q=>p不成立，P不是q的必要条件.

故P是。/的充分不必要条件.

故选：A

5.B

应用赋值法计算求解.

_1_+1

【详解】因为/囚=袈，令汇=:，则/(2)=—二2.

x-12-3

4-

故选：B.

6.C

根据给定条件，利用单调性定义确定函数单调性，再利用单调性、偶函数性质比较大小.

【详解】由对任意的M,/£(,，。)，都有不等式上匕9>。，得函数/(外在(-叱0)上单调递增，

由“X)是R上的偶函数，得/㈤在(0,*o)上单调递减，而1<贝<2，

因此/⑴>/(V2)>/(2)=/(-2),所以a,仇。的大小关系为a<c<b.

故选：C

7.C

先利用对数的性质进行化简，再根据题干即可求出.

【详解】先对4520取常用对数，用45?°=201g45,

又Ig45=lg(9x5)=lg9+lg5=21g3+lg5=21g3+lg¥=21g3+l-lg2,

又lg2«0.301,lg3«0.477,/.Ig45«2x0.477+1-0.301=1.653,

则lg452。=20x1.653=33.06,

设4520=axl(r(l<a<l0,〃GZ),根据IgiV=n+Iga,(0<Iga<1),

这里〃=33,Iga=0.06,♦.,〃>()时,A，是〃+1位数，/.452°是33+1=34位数.

故选：C.

8.D

先判断出/(x)的单调性和奇偶性，然后将条件转化为关于的等量关系，利用“1的代换”求解出：的

ab

最小值，则的最大值可知.

a+b

【详解】因为/(r)=(T)3+5(T)=-〃x),且/(x)的定义域为R关于原点对称，

所以/（X）为R上的奇函数,

又因为N=Y,y=5x均在R上单调递增，所以/（X）在R上单调递增,

因为/(2"6)+〃26-1)=0,所以/(2"b)=—〃2b-l)=/(S),

所以2。一方二1一26,所以2。+8=1,

=3+系+23+2厝=3+2日

2-V2

当且仅当髭

即•"2时取等号,

b=4i-\

所以卜:的最小值为3+2近，

abI

所以黑的最大值为力=3-2"

又因为a+b-I1-1>

ab

故选：D.

9.AC

利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果.

【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合8,而不属于集合力,

即在阴影部分区域内任取一个元素大，则满足x任力，且即xeQ/且xe6；

因此阴影部分可表示为（Q/）n8,即A正确；

且x史（/f!4）,因此阴影部分可表示为。（/08）,C正确；

易知阴影部分表示的集合是Q«c8）和du8）（4n8）的真子集，即B错误，D错误.

故选：AC.

10.BCD

利用对数的运算法则化简可得到书笈=再，再令a=G=M',t=,经计算可得到

叵,通过代换化简可判断选项A,B,C,对于D利用基本不等式求最值可得答案.

h2

【详解】由对数的运算法则可得：唾/；1咀丁=.詈/log：⑸）L而，

所以：噫"；"二］吗病，

所以：正乎二河，

令a=G,b=6，则x=a2>y=b2,且a>b>0,

得：---=,即：a+b=3>fab»

令，=在>1(因为a>b>0),则：a=rb,\[ab-tb,rb+b=3tb»

由于b^O,得：/一3,+1=0,

解得：”3±g*,

22

又因为"1,故,=止叵.

2

于是.J/(3+君19+6指+5_14+67?7+3追

选项A：假设A选项iF确，

即：>[x+>fy=~xy,代入得：ai-b=—a~b2,由a+b=34记得:3yfab=-a'b~,

444

即(")3=16,aZ,=2x2i,而,/=12芋，当6=1时，/=上芋，两者不相等，故A错误;

22

选项B：x+y=a+b1y[xy=ab,由a+b=3yfab>

a2^b2=(a+b)2-lab=(3而>-lab=lab,

所以x+y=7yfxy,故B正确;

选项c：由F=得:

计算：--T

bat

13+753->/525/5_/T

2~~~~

I3+石3)”

/+-=-----+-----=3，

z22

所咔一片片二号3=36故C正确:

选项D：令y=c2,则一二〃，x

y

由基本不等式得：”'=77+*2值7"=产=三砺=7-3/

2-

当且仅当!二。2,即y=/=",户小时取等号.

故］+y的最小值为7-3石.故DE确.

故选:BCD

11.AC

令〃』）=/（8）=/，易得/对于A,换元后构造成二次函数仪/）=也科求其在（L4］中的最小值

即可判断：对于B,换元构造新函数"/）=，--，判断其在。,4］中的最大值即可判断；对于C,举例即

可判断：对于D,分类讨论，根据其根是否符合题意进行判断.

【详解】N=3X+1在X。上的值域为（YO,4］,»=/在工>1上的值域为。,+00）,

令/（*）=/&）=，，易得小（1,4］,且XL9,

对于A，（再一1）/（々）=一/二笥4，

令g（/）=^/，飞（1，4］，

所以g"）是开口向上，对称轴为，=2的二次函数,

所以g（，）在。，4］上的最小值为g（2）=20；4）=一；故A正确；

厂/—1

对干B,x,—X1=V/——>

令咐=6（=卫苧"!，，e（L4］,

则其为开口向下，对称轴为〃=，即/=（的二次函数，

所以〃⑴在（用上单调递增，在与4）上单调递减，

9

所以力⑴在（1,4］上的最大值为/2］=叵2_=2_2〉］，故B错误;

对于C,取x0=l,则〃1)=4,f(2-l)=/⑴=4,因此超WR,使得/(见)=〃27°),故c正确;

对于D,当/w[T/]时，/(.%)+/(-/)=2H0,

当“<-1时，/(q)+/(—/)=片+3.%+1=0,解得人=Z2^L

当方>1时，/(%)+/(-%)=片-3/+1=0,解得/=苦叵，

所以存在两解，故D错误；

故选:AC.

12-匕句

应用抽象函数的定义性质计算求解.

【详解】由函数1(%)的定义域为(0,2),

,(13、

则函数/’(2x—1)中0<2x-l<2,即得工€5,不，

12乙)

则函数/(2工-1)的定义域为(提|；

故答案为：(；，；).

13.[2,-KO)

先求解不等式生，<1,再根据充分不必要条件的性质得到关于“的不等式，进而求出实数。的取值范围.

x-2

2丫_]?Y-1Y-t-1

【详解】由题意得一三<1=J—・<0,即(x-2)(x+l)<o,解得一1<XV2,

x-2x-2x-2

当“wo时，不等式国〈。无解；当4>0时，不等式国<〃的解集为(一。,。)，

不等式—•<1是不等式IM<。的充分不必要条件，

x-2

•••天等式组<1的解集是不等式IMv。解集的真子集，

x-2

当aWO时，不等式的解集为空集，不符合要求，

当心0时，不等式国<〃的解集为(-。,。)，需满足解得422.

实数。的取值范围是[2,+8).

故答案为：[2,+3).

14.-1或9

o

由题意可得N=G+3与y=/f+i有公共的正零点，设为看,则可得a%+3=q_"l=0,可得G-^+l

a

且。<0,结合〃力£Z可得。=-1或。=-3,再分类计算即可得.

【详解】当4=0时，3+3乂，-6+1）=3（一）40,贝帅之1,

由外€［0,+8）,（4_¥+3）卜2-6+1）40,

则_y=ax+3单调递减，且），=/-8+1在［0,+8）上单调递增，

贝lJax+3>0时，x2-b+\<0，当。x+3<0时，x2-/>+l>0»

则>=仆+3与+1有公共的正零点，设为“,

3____

则4%+3=工：-6+1=0,即有/二一一="-1,

a

9

解得b=/+l，且有。<0，

则》=办+3在［0,+8）上单调递减，乂y=/-b+1在［0,+司上单调递增,

当xw[0,/）时，ax+3>0,/_方+]<0,满足题意;

当*c［.%,+oo）时，ar+3<0,x2-b+\>0,满足题意；

9

由a,beZ,则eJeZ,—GZ,又“<0,则。=一1或。=一3；

a~

若°=-1,则〃=9+1=10,此时°+〃=9；

若a=-3,则/）=1+1=2,此时a^-h=-\.

故答案为：-1或9.

⑸⑴卷⑵卷

（1）利用换底公式以及指对数的运算法则可得答案；

（2）利用完全平方公式以及立方和公式可得答案.

2

【详解】⑴原式=e之星.星+?y

Ig4lg3⑻

1111

=———+——--.

32412

..（1」丫

22

⑵因为「_a~2_2»所以。+小=a-a+2=6.

a+q-J6-15

1~672"'ll'

二22

(S+Q)a-a

\/

16.⑴[0,2]

(2),'«<-2.

(1)求出〃丫)的定义域与值域，把集合4。具休化，然后利用集合的运算法则可得答案：

(2)由/nC=1,得4qC,解一元二次不等式可得到C,利用集合的基本关系可得答案.

【详解】(1)由(37)(4+1)20,M-l<x<3,即4=[T3].

由/V)=J_(X-1)2+4,

因为-14x43,所以04/a)42,即8=[0,2].

所以jcA=[0,2].

(2)g(.r)=x2+mx+/??-1<(),得(x+1)(x+m—1)K().

因为/口。=彳，所以NqC,

所以[-1,3k[-1,1-〃?],

所以1一〃？23,解得mK—2,

所以实数m的取值范围是机<-2.

17.(1)3-2&<°<3+2近

(2)-l<i?<0-

⑶-3或

(1)利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案；

(2)利用二次函数的单调性可得答案；

(3)根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单周性可得答案.

【详解】(1)由条件，/("="2+(。-1户+1>0在(—8,+8)上恒成立，

当“=0J(x)=—x+l,不符合；

当avO时，显然也不符合，

所以。＞0,且△=(。-1)2-4。＜(),

解得3-2右<a<3+2&.

综上，〃的取值范围是3-2&<Q<3+2JL

(2)由条件，/,(切=亦2+(。-1八+|在卜1,+8)上单调递减，

当a=OJ(x)=r+l,符合；

当。>0时，显然不符合，

所以。<0,且一三一1,

2a

解得一lWa<0.

综上，〃的取值范围是-三。工0・

(3)由8(戈)=/(4)+(1-4"2,即g(x)=x2+(q_］)Y+l

由条件g(x)在［T2］上的最大值为6,

当--之；，即心0时，［g(x)K=g(—l)=3—%

即3-。=6,解得。=—3,符合；

当一一<；，即。>0时，［g(x)］max=g(2)=24+3,

即2a+3=6,解得a=3,符合.

2

3

所以符合条件的。的取值为-3或;.

18.(l)(-«?-4］u［4,+a>)

(2)①单调减区间为(0,2),证明见解析；②证明见解析

(1)利用题目中给的结论得到函数的单调性，再结合函数的奇,禺性可得答案;

(2)①利用题目中给的结论得到函数的单调性，并用函数单调性定义证明；

②由力($)=力(々)得(*—/?+"J=(),再化简即得答案.

玉X2

771

【详解】(1)由/(x)=x+y,知4=27,〃=3,所以(〃4)初=3，

所以当x>0时，/(X)在(0,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递熠，

所以［/(力焉=/⑶=4

又/（-x）…+寻=一1+卦一/⑴,

所以/（X）是奇函数，

所以当x<0时，［/313=/（-3）=-4.

所以/（X）的值域为（-4M4,+%）.

（2）①4（x）的单调减区间为（0,2）.

证明如下：设0<玉</<2,

4444

/7（.r）-/z（x,）=x,

1+~~X2+-=Xl-X2+~~

王

"f+9=（…）

XXX]x

\22

=（再_々）“"；_''+$）（*）

X\X2

因为0<K<吃<2,所以0<x1x2<4,0<.¥）+x2<4,

因为工也〈（土产）•七%=石+%（%/、2），

所以x：x；-4（/+