空间向量基本定理（教学设计）-2025-2026学年高二数学上册人教A版选择性必修第一册

空间向量基本定理

一、教学内容

空间向量的正交分解；空间向量基本定理及其证明,借助gcogcbra软件、豆包、dccpscck

等AI大模型软件。

二、教学目标

1.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，并学会在简单问

题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他向量，培养学生数学抽象和直观想象的核心

素养；

2.理解单位正交基底，正交分解的概念，并能够将向最进行正确的正交分解，解决相

关问题，提升学生的数学抽象素养以及提高学生解决问题的能力；

3.理解空间向量基本定理的意义，培养学生数学抽象的核心素养.

三、教学重点与难点

重点：空间向量基本定理，定理的猜想和证明过程.

难点：空间向量基本定理“唯一性”的证明.

四、教学过程设计

（一）AI赋能，唤醒旧知

教师提问“平面向量基本定理的内容是什么？”

引导学生回忆“平面内任意向量可由两个不共线向量线性表示，且表示式唯一”<

同时，通过GcuGebra软件实时展示平面内向量的分解过程，点击屏幕即可调整基底和

待分解向量，直观呈现定理内涵。

（强调两个向量一定共面，三个向量可能共面，可能异面）

展示无人机飞行轨迹图，提问“无人机在三维空间中的位移向量，能否用类似平面的方

式表示？需要几个‘基准向量

播放AI生成的三维空间向量动态视频，展示空间中向量的复杂运动，引发学生思考“平

面到空间的推广逻辑这三个空间向量是不共面的，那么这三个空间向量能否表示空间中的

其它向量呢？

设计意图：根据生活中的实例，引出空间向量基本定理这一课题，培恭学生学习的兴趣

（-）探究新知

任务I:探究空间向量基本定理的内容.

思考：类比平面内任一向量p都可以用两个不共线的向量a,b来表示（平面向量基本定

理），任意一个空间向量是否也能用任意三个不共面的向量a,b,c来表示呢？

合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.

探究：AI模拟，直观感知

组织学生分组操作：每组通过GeoGebra3D软件，自主设定三个不共面的向量(如以正

方体顶点为起点的棱向量i，J，k)，再任意构造空间向量p,使p=xi±y/+或软件实时显示向

量合成过程，发现“无论p如何变化，都能找到唯一一组x,y,

(1)情形-：如图(1)所示，空间中三个不共面的向量两两互相垂直时,0万能用这三个向量

唯一表示吗？

情形二：如图(2)所示，空间中任意三个不共面的向量时，而能用这三个向量唯一表示

吗？

情形一：空间中三个不共面的向软两两互相垂直时,

如右图，设i,/,々是空间中三个两两互相垂直的向量，且表示

它们的有向线段有公共起点。.对于任意一个空间向量p=OP,设的

为而在所确定的平面上的投影向量，则而=而+在.乂向量炉

,k共线，因此存在唯一的实数z,使得丽=zk从而

OP=OQ+zk

而在i,j所确定的平面匕由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对Q,y),

使得

OQ=xi+yj

从而

OP=OQ+zk=xi+yj+zk

因此，如果i,j,&是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p,存在有序

实数组（x,y>z）,使得

p=xi+yj-\-zk

我们称%i,yj,分别为向量p在i,j,々上的分向量.

情形二：空间中任意三个不共面的向量时，

活动一（验证“存在性”）：

在预设的3D坐标空间中，任意拖动一个目标向量po

提供三个可调整的不共面向量a,b,c作为基底。

尝试用a,b,c的线性组合去“匹配”目标向量p。

设Q,b,c不共面，过点。作色？=a,OB=b,OC=c,OP=pf

过点P作直线尸P'平行于0。交平面O4B于点P在平面0A8内，

过点P'作直线PWII08,P'B'||0A,

存在三个数％,y,z,使得。4=%。4=XQ,OB'=yOB=yb,OC1=zOC=zc,

从而

0P=0A'+OB'+OC'=xOA+yOB+zOC=xa+yb+zc,

因此，如果a,b,c是空间中任意三个不共面的向量，那么对任意一个空间向量p,存

在有序实数组Q，y,z）,使得

p=xa+yb+zc.

活动二（理解“唯一性”）：

教师提问："表示法唯一吗？如果我们找到一组（x,y,z）,还能找到另一组吗？”

平台设置一个“锁定”的向量P。学生尝试输入不同的x,y,z组合，看看能否得到同一个

P。

AI会显示“此组合已偏离目标”或进行逻辑提示：“如果存在两组解，会导致什么矛盾？

（引导出共面假设的冲突）工

追问：用不共面的三个向量a,b,c表示空间内任一向量p,存在有序实数组（％,y,z）,

使得p=xa+yb+zc,这样的有序实数组是否唯一？

答：唯一.

如何证明唯一性，学生思考。AI辅助提供证明方法。

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空间向・基本定理的唯一性.核心前提

是：设｛瓦，属，石｝是空间中三个不共面

的向■（即线性无关），若对任意空间向

量五，存在两组实数（%,%,人J）和

使得

a—AiCj+%&+43自且

d="I行++43&，则需证明

入1=〃1、△2=〃2、入3=〃3。以下是

三种不同证明方法：

方法一：反证法（经典逻辑推导）方法二：坐标法（具象化野化）

反证法通过“假设不唯一-＞推出矛盾-证坐标法通过“将向■旖化为坐标二利用

明唯一性，是最基础的思路。•向・坐标唯一”证明系数唯一，更直

观。

1.假设存在两组不同系数：假设

（八1,入2,入3）¥♦1"2,〃3）,即至1.建立空间直角坐标系：以｛行，&,6｝

为基向■（可看作X、y,z轴的单位

少有一个系数不相等（如％#Ml

向・，或任意不共面的基），建立空

）。间直角坐标系.

2.构造零向■的线性组合：由

2.向■坐标的定义,不任意向■/,其坐

AjCj+八2©2+入303=+

“2房+〃3瓦标（孙仍2）的定义是：

,移项得：a=are14-i/C2+z为，且坐标

（入1-Ml）^l+02-〃2）&+

（i,y,z）是唯一的（向■相等的充要

（入3-M3）63=6

条件是■■对应坐标相等"）。

3.利用基向■的线2无关性：因

3.系数与坐标的等价性：若

｛自，&，济｝不共面（线性无关），根

5=Aiei+-0+入3武则

据线性无关的定义：.若一组线性无关

向■的线性组合为零向■,则所有系

（AI,A2,入3）就，;在该基下的坐标；

数必为0”，故：

同理（"1,"2,〃3：也是,的坐标。

Ai-Mi=0,入2-〃2=

0,》3-"3=04.坐标唯一性推导系数唯一：因向■的

坐标唯一，故

4.推出矛盾这与“假设至少一个系数

（入1,入2,入3）=（“1,"2,〃3），即系

不相等”矛盾，因此假设不成立，系

数组唯一。.数唯一.

设另有一组实数工0，Vo，z0,使得p=+yob+z（）c,

则xa+yb+zc=xoa+yob+zoc

•••(x-x0)a+(y-yo)b+(z-z0)c=0,

a,b,c不共面，

x-x0=y-y0=z-z0=0,即无=%()且y=%且z=z0,

故实数x，y,z是唯一的.

因此，类似平面向量基本定理，我们也有空间向量基本定理.即

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组

(x,y,z),使得

p=xa+yb+zc

如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是｛p|p=XQ+yb+

zc,x,y,zER｝.我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

提示1：空间任意不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

提示2：｛a,b,c｝是空间中的一个基底，则Q,b,c均为非零向量.

设计意图：先从空间中三个不共面的向量两两互相垂直这一特殊情况进行分析，再分析

空间中任意三个不共面的向量的情影，从特殊到一般，层层递边，引出空问向量基本定理的

内容，强化学生对抽象概念的理解，并加强对空间任一向量可用空间不共而的三个已知向量

唯一线性表示的理解，培养学生数学抽象的核心素养.

任务2：探究单位正交基底及空间向量的正交分解

思考：探究(1)中，空间中的三个基向量｛i,j，目两两互相垂直，如果长度为1时，这个

基底叫做单位正交基底.反之，空间中任一向量是否也能分解成三个两两互相垂直的向量呢

9

合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都

为1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用｛i,j,幻表示.

由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量Q,均可以

分解为三个向量xi,yj,猛，使。=康+力+2配像这样，把一

个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行

正交分解.

追问：空间中任意三个不共面的单位向量，都可以构成单位正交基底吗？

答：不可以，还需满足三个向量两两垂直.

设计意图：通过具体的例子，让学生领会用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量

的方法，强化直观想象的核心素养.

(三)应用举例

例1若值石，灯构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是().

A.bc,b,b-cB.a»a+d,a-b

C.a+a—b,cD.d+b,a+b+c,c

提示：根据三个向量共面的充要条件为一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合

逐项判定.

对A：(5+c)+(5-c)-2d=0,因此A不满足题意；

对B：2a=(a+S)+(a-d),选项B不满足题意;

对c根据题意知道d,b,/不共面，而d+B和显然位于向量益和向量B所成平面

内，与向量乙不共面，因此选项C正确;

对D：显然有不=(4+»+。一(五+石)，于是选项D不满足题意.

故选C.

例2如图，在三棱柱中，点M是底面A

481G的重心，若丽*=五，荏=。AC=c^则询=(

A.a++B.+

ooooo

C.a+lb+^cD.la+lb+^c

提示：利用重心定理先求出而及再利用前=彳否+而?，即可求出结果.

解：连接并延长交BiQ于。点,

因为M为底面△&BiQ的重心，则D为BiG的中点，

所以中=g(可瓦+砧)

所以巾=:硒=;百瓦+硒*)=：而+；近=:五+2及

所以A府=AA[+zl]M=a+4-1c.

oJ

故选A.

例3如图，M是四面体6MBC的棱BC的中点，点N在线段0M上，点P在线段4N上，且MN=

；0N,AP=-AN,用向量瓦5,0B,1表示而.

24

解：OP=0A+AP=0A+-AN

4

___3___

=7yA+-（0N-OA）

=0A+^0N-^-OA

44

1—,31—►1一

=严+彳（严+严）

11],

=-OA+-OB+-0C

444

【反思总结】

选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量的方法:

用基底表示向量时：

⑴若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数

乘向量的运算律；

（2）若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便表示其他的

向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.

例4如图所示，在平行六面体48。。一&B1GD1中，E、F分别在和。1。上，旦

13

BE=a町,DF=/。1.

（1）证明4、E、G、尸四点共面；

（2）若前=万超+y而+z丽求x+y+z的值.

4________“

提示：（1）通过证明温=而+而+R彳=荏+不，由此能够证明4、E、J、F四

点共面；

⑵结合图形利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理进行求解.

解：（1）证明：•••宿=亚+而+而

=通+而+:标+?标

4141

=港+3西）+（而+*西）

=通+南+而+而

=AE+AF,

所以温，荏，而共面，且A为公共点，

所以4、E、G、尸四点共面；

............♦♦—,♦--♦3♦,一.3，♦

（2）AF=AD+DF=ADDDX=AD+^AAlt

AE=AB+BE=AB+=力8+,

4141

：.~EF=AF-~AE=（而+:标）-凝+；祢）=一而+而+；析,

•14

~EF=xAB+yADzAAi，

x=-1T»y=41>z=g1,

x+y+z=-.

设计意图：通过例题，熟悉空间向量基本定理及选用基底表示空间中任一向量，提高学

生学以致用的能力.

（四）课堂练习

1.在正方体ABCO-4当。15中，下列各组向量不能作为空间中所有向量的一组基底

的是（）

A.｛裾而，硒B.{AB,AD,AA^}

C.须，福，和｝D.{福，宿，砧}

解：在正方体中

因为前=而+而，所以而，彳?，而共面，

故｛而就，而｝不能作为基底，

向量前，而，而显然不共面，能作为空间所有向量的一组基底；

向量而，而］和显然不共面，能作为空间所有向量的一组基底；

向量福，碣，砧显然不共面，能作为空间所有向量的一组基底.

故选：A.

2.已知d,b,乙是不共面的三个向量，则下列能构成空间的一个基底的一组向量是

().

A.2d,a—b^a+2bB.2b，h-2d+b

C.a,2b，a-c

解：因为在C中，a,2b,五一3不共面，而A、B、D中的向量均为共面向量，根据共面

向量不能构成基底，知C中向量可作为基底，

故选：C.

3.如图，二棱锥。一中，0A=a»OB=b»OC=c»点M为BC中点,点N满足

ON=2NA>则而=（）

1-lr2-D1-lr.2-

AA.-a--b--cB.-a--b+-c

4JJ4。。

C争-颉+D.一演-的+吴

解：如图所示：丽=雨.+而+前,

又丽=2斤彳，M为8c中点，

...MN=-^(pB+OC)+OB+80

+而

1_(_(_,_(2_

=一5融+硝+~0B+~B0+^0A

乙。

=如7_娜1一1冠

故选：C.

4.已知｛可，瓦，石｝是空间的一个基底，且西=可+2孩一可，砺=-3可+孩+2瓦,

而=三+需一与，试判断｛6J,而，沅｝能否作为空间的一个基底.

(2)已知空间四边形。A5。中，OA=a,OB=b,沆=3点M在。4上，且。M=

2M4N为BC的中点，产为MN中点.用基底｛五,瓦研表示以下向量：

①而；②元

解：(1)假设立?，08,反共面.

则存在不全为0实数九“使得羽=入赤+〃死，

可+2瓦一可=2(-3可+可+2砌+〃(可+冕-6=(-3A+〃)可+(入+

外司+(22-0瓦,

•・•久，瓦,无不共面，

—31+〃=1,

2+〃=2,此方程组无解，

2A-p=-1,

OA,0B,沆不共面，.•・｛次，而，而｝可以作为空间的一个基底.

(2)如图所示,

①而=丽一丽另（而+元）-酒=-翥+/+/.

②而=g（丽+而）

=^OM+^ON

=gx河+那（而+西

=1OA+^OB+^0C

344

=-1a-+.-lbr+.-1c-.

344

5.已知｛乙氏可是空间的一个基底，且丽=2五+B—3OA=3a+3b,OB=2a+

4b+2c,OC=-a-^-2b+3c.

(1)求证：M,A,B,C四点共面；

(2)｛函,赤，而｝能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示丽；若不能，请

说明理由.

【答案】解：(1)由彳2=0万一次=一五+方+23AC=OC-OA=-4a-b+3c,

而宿=而一而二一五一2万一3则祠=一(荏+*前，

所以M,A,B,C科点共面；

(2)若初，而，沉共的，则=m而+几沅，即3M+3方=m(2万+4万+26+

n(—a+2b+3c),

2m—n=3

所以3五+=(2m-n)五+(4m+2n)B+(2m+3〃)乙贝ij4m+2〃=3,可得

2m+3n=0

所以。7=看方N-,方乙故回f,5N,历｝不能作为基底

设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固空间向量基本定理，加深理解，并能够灵活

运用.

(五)归纳总结

【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

｛a,b,c｝不共面，对任意一个空间向量p,存在唯一的有

序实数组(％,y,z),使得

空空间向

p=xa+ybzc

间量基本

向其中，｛a,h,C｝叫做空间的一个基底，％儿C•都叫做基

量定理

基向量.

本

定单位正若基向量两两垂直，且长度都为1,那么这个基底叫做

理

交基底单位正交基底，常用｛i,j,k｝表示.

和正交把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把

分解空间向量进行正交分解.

(六)布置作业

1.必做题：教材P15习题1.2：1、2、4.课下结合本节课内容画一个思维导图。画完后利用

豆包AI画一下思维导图，并做对比看看还有哪些地方不完善o

2.探究作业：思考“空间向量基本定理在立体几何证明(如线面平行、垂直)中的应用

”，查阅AI推荐的相关案例，下节课分享。

关于空间向量基本定理还有哪些疑问，课下可以与豆包AI大模型对话，听一听豆包给的

建议，也可以向老师寻求帮助。

【设计意图】第1题可以巩固空间向量基本定理及其正交分解，第2题可以激发学

生学习的兴趣，提高动手操作能力.

（A）板书设计

1.2空间向量基本定理（第一课时）

大屏幕

1.空间向量基本定理3.定理唯一性的证明

2.基底、基向量

豆包AI画的本节课的思维导图

箫提条件：空间中三个不共

檀心暗论：咫主间中任存在・一tra^y.z.使将P=xe1♦ye2+ze3

“在：（E,e2,e3）（不共面.非等向联）

w■:（种gwc的•个向

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